2023-2024学年山东省临沂市临沭三中八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省临沂市临沭三中八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.要使分式x2−1x−1有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1B. x≠−1C. x≠±1D. 任何数都可以
2.在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P一定是△ABC( )
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三条中线的交点
3.已知△ABC中，AB=AC，高BD、CE交于点O，连接AO，则图中全等三角形的对数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
4.如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是( )
A. AB=DC
B. BE=CE
C. AC=DB
D. ∠A=∠D
5.如果关于x的二次三项式x2+(m−2)x+9是个完全平方式，那么m的值是( )
A. 8B. −4C. ±8D. 8或−4
6.对于实数a、b定义一种运算“※”，规定a※b=1a−b2，如1※3═11−32，则方程x※(−2)=2x−4−3x的解是
( )
A. x=4B. x=5C. x=6D. x=7
7.如图，长方形ABCD中，△ABP的面积为a，△CDQ的面积为b，则阴影四边形的面积等于( )
A. a+b
B. a−b
C. a+b2
D. 无法确定
8.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，则∠1与∠2的关系是( )
A. ∠1=2∠2B. ∠1+∠2=90°
C. ∠1+2∠2=180°D. 2∠1+∠2=180°
9.如图所示，AB/​/CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线交点，OE⊥AC于E，若OE=2，则AB与CD之间的距离是( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
10.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心作弧，分别与x轴和y轴的正半轴交于点A和点B，再分别以A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点P(m−1,2n)，则实数m与n之间的关系是( )
A. m−2n=1
B. m+2n=1
C. 2n−m=1
D. n−2m=1
11.设M=(x−3)(x−7)，N=(x−2)(x−8)，则M与N的关系为( )
A. MNC. M=ND. 不能确定
12.如图，平面直角坐标系中，已知定点A(3,0)和B(0,4)，若动点C在y轴上运动，则使△ABC为等腰三角形的点C有个．( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
13.分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为(x+6)(x−1)，乙看错了b的值，分解结果为(x−2)(x+1)，那么x2+ax+b分解因式的正确结果为( )
A. (x−2)(x+3)B. (x+2)(x−3)C. (x−2)(x−3)D. (x+2)(x+3)
14.如图，点C、D在线段AB的同侧，CA=4，AB=12，BD=9，M是AB的中点，∠CMD=120°，则CD长的最大值是( )
A. 16B. 19C. 20D. 21
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
15.若一个多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形对角形的条数是______．
16.关于x的分式方程mx−1+31−x=1的解为正数，则m的取值范围是 ．
17.若给定下面一列分式：x3y，−x5y2，x7y3，−x9y4，…，(其中y≠0)，按此规律下去，其中第10个分式应为：______．
18.如果(a2+b2+2)(a2+b2−2)=45，则a2+b2的值为______．
19.已知AB=5，AC=2，D是BC中点，AD是整数，则AD为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
20.解分式方程：1−xx−2=12−x−2
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
计算或化简：
(1)(a+b)(a−b)(a2+b2)+(−a2+b2)2；
(2)(−12)−2−23×0.125+20050+(−5)2019×0.22018．
22.(本小题8分)
先化简，再求值：(a−2a2+2a−a−1a2+4a+4)÷a−4a+2，其中a=−1．
23.(本小题9分)
在2016年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．
(1)求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
(2)已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．
24.(本小题9分)
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：CD=2BF+DE．
25.(本小题9分)
已知△ABC中，∠BAC：∠ABC：∠C=3：4：2，AD、BE分别是角平分线.求证：
(1)BE=CE；
(2)AB+BD=AE+BE．
26.(本小题11分)
完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题.例如：
若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：∵a+b=3，ab=1，
∴(a+b)2=9，2ab=2．
a2+b2+2ab=9．
∴a2+b2=7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(1)a+b=5，ab=1，则a2+b2的值为______；
(2)如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB=6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积；
(3)若(10−x)(x−6)=1，求(10−x)2+(x−6)2的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，即x−1≠0，解得x的取值范围．
【解答】
要使分式有意义，
则x−1≠0，
解得x≠1．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
由在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，可判定点P在AB，BC，AC的垂直平分线上，则可求得答案．
【解答】
解：∵在△ABC内一点P满足PA=PB=PC，
∴点P一定是△ABC三边垂直平分线的交点．
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：∵高BD、CE交于点O，
∴∠AEO=∠ADO=90°，
图中的全等三角形有：
①在△AEC与Rt△ADB中，
∠AEO=∠ADO∠EAC=∠DABAC=AB，
∴△AEC≌△ADB(AAS)，
∴∠ABO=∠ACO，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CBO=∠BCO，
∴OB=OC；
②在△ABO与Rt△ACO中，
AB=ACAO=AOBO=CO，
∴△ABO≌△ACO(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
③在△AEO与Rt△ADO中，
∠AEO=∠ADO∠BAO=∠CAOAO=AO，
∴△AEO≌△ADO(AAS)，
④在△BOE与△COD中，
∠BEO=∠CDO∠BOE=∠CODBO=CO，
∴△BOE≌△COD(AAS)；
⑤在△BCE与△CBD中，
∠CEB=∠BDC∠CBO=∠BCOBC=CB
∴△BCE≌△CBD(AAS).共有5对．
故选C．
根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答．
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．找图中全等三角形时，根据等腰三角形ABC关于AO对称来找比较容易一些．
4.【答案】C
【解析】解：∵BE=CE，
∴∠DBC=∠ACB，
A、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：C．
全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】
解：∵关于x的二次三项式x2+(m−2)x+9是完全平方式，
∴x2+(m−2)x+9=(x±3)2，
而(x±3)2=x2±6x+9，
∴m−2=±6，
∴m=8或−4．
故选：D．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
利用已知新定义化简所求方程，求出解即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：1x−4=2x−4−3x，
去分母得：x=2x−3x+12，
解得：x=6，
经检验x=6是分式方程的解，
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：∵△BEC的高与矩形ABCD的AB边相等
∴S△BEC=12S矩形ABCD，
又有S△ABF+S△CDF=12S矩形ABCD，
∴有S△ABF+S△CDF=S△BEC，
等式左边=S△APB+S△BPF+S△CDQ+S△CFQ，
等式右边=S△BFP+S△CFQ+S阴影部分
两边都减去S△BFP+S△CFQ，
则有S阴影部分=S△APB+S△CDQ=a+b．
故选：A．
根据S△BEC=12S矩形ABCD和S△ABF+S△CDF=12S矩形ABCD可得S△ABF+S△CDF=S△BEC，化简为S阴影部分=S△ABP+S△CDQ即可解题．
本题考查了三角形面积的计算，考查了矩形面积的计算，本题中求得S阴影部分=S△ABP+S△CDQ是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠AED=∠ADE，
∵∠AED=∠C+∠2，∠ADE+∠2=∠1+∠B，
∴∠C+2∠2=∠1+∠B，
∴∠1=2∠2．
故选：A．
根据等腰三角形的性质可得到两组相等的角，再根据三角形外角的性质可表示出∠AED和∠ADC，再根据角之间的关系即可得到∠1与∠2之间的关系．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的性质和平行线之间的距离；熟练掌握角平分线的性质定理是解决问题的关键．
过点O作MN⊥AB于M，交CD于N，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度是多少，再把它们求和即可．
【解答】
解：如图，过点O作MN⊥AB于M，交CD于N，
∵AB/​/CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，
∴OM=OE=2，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON=OE=2，
∴MN=OM+ON=4，
即AB与CD之间的距离是4．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：∵由题意可得出点P在∠AOB的角平分线上，∠AOB=90°，
∴m−1=2n，即m−2n=1．
故选：A．
根据题意可得出点P在∠AOB的角平分线上，再由∠AOB=90°可知m−1=2n，据此可得出结论．
本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：M=(x−3)(x−7)=x2−10x+21，
N=(x−2)(x−8)=x2−10x+16，
M−N=(x2−10x+21)−(x2−10x+16)=5，
则M>N．
故选：B．
根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．
本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：如图所示：
当BC=BA时，使△ABC为等腰三角形的点C有2个；
当AB=AC时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；
当CA=CB时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；
综上所述，若动点C在y轴上运动，使△ABC为等腰三角形的点C有4个．
故选：B．
【分析】
由等腰三角形的判定进行分类讨论，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质的应用；熟练掌握等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的应用．
13.【答案】B
【解析】解：因为(x+6)(x−1)=x2+5x−6，(x−2)(x+1)=x2−x−2，
由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，
乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=−1，
所以多项式x2+ax+b为x2−x+6=(x−3)(x+2)
故选：B．
利用乘法和因式分解的关系，根据甲的分解结果确定b的值，根据乙的分解结果确定a的值，然后分解多项式x2+ax+b．
本题考查了多项式乘法和因式分解的关系及因式分解的十字相乘法．解决本题的关键是利用乘法和因式分解的关系确定多项式中a、b的值．
14.【答案】B
【解析】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD=120°，
∴∠AMC+∠DMB=60°，
∴∠CMA′+∠DMB′=60°，
∴∠A′MB′=60°，
∵MA′=MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=4+6+9=19，
∴CD的最大值为19，
故选：B．
作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
15.【答案】10
【解析】解：360°÷36°=10．
故答案是：10．
根据正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键．
16.【答案】m>2且m≠3
【解析】【分析】
本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件．
方程两边同乘x−1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【解答】
解：mx−1+31−x=1，
mx−1−3x−1=1，
方程两边同乘x−1，得m−3=x−1，
解得x=m−2．
∵分式方程mx−1+31−x=1的解为正数，
∴x>0且x−1≠0，
即m−2>0且m−2−1≠0，
∴m>2且m≠3．
故答案为：m>2且m≠3．
17.【答案】−x21y10
【解析】解：第一个分式：x3y；第二个分式：−x5y2；…
则第n个分式应该是x2n+1(−1)n+1yn；
当n=10时，第10个分式应该是x21(−1)11y10=−x21y10．
先根据已知的条件找出分式的规律，然后求出第10个分式的表达式．
解答此类题的关键是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．
18.【答案】7
【解析】解：设a2+b2=m，
则(m+2)(m−2)=45，
∴m2−4=45，
解得，m=7或m=−7，
∴a2+b2=7或a2+b2=−7(舍去)，
故答案为：7
根据题意，可以设a2+b2=m，从而可以求得m的值，进而求得a2+b2的值，注意a2+b2的值不小于0．
本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是明确换元法解一元二次方程的方法．
19.【答案】2或3
【解析】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴BE=AC=2，
在△ABE中，BE−AB即2<2AD<7，
∴1又∵AD是整数，
∴AD=2或3，
故答案为：2或3．
延长AD到E，使DE=AD，连接BE.证△ADC≌△EDB(SAS)，得BE=AC=2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
20.【答案】解：原方程可化为x−12−x=12−x−2，
方程两边同乘以(2−x)，得
x−1=1−2(2−x)，
x−1=1−4+2x
解得：x=2．
检验：当x=2时，原分式方程的分母2−x=0．
∴x=2是增根，原分式方程无解．
【解析】因为x−2=−(2−x)，所以有1−xx−2=1−x−(2−x)=−1−x2−x=x−12−x，然后按照解分式方程的步骤依次完成．
解分式方程的关键是确定最简公分母，去分母，将分式方程转化为整式方程，本题易错点是忽视验根，丢掉验根这一环节．同时注意去分母不要忘记漏乘常数项．
21.【答案】解：(1)原式=(a2−b2)(a2+b2)+(b2−a2)2
=a4−b4+b4−2a2b2+a4
=2a4−2a2b2；
(2)原式=4−8×18+1+(−5×0.2)2018×(−5)
=4−1+1+(−1)2018×(−5)
=4+1×(−5)
=4−5
=−1．
【解析】(1)利用平方差公式及完全平方公式计算即可；
(2)利用负整数指数幂，零指数幂，积的乘方法则计算即可．
本题考查整式及实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：(a−2a2+2a−a−1a2+4a+4)÷a−4a+2
=[a−2a(a+2)−a−1(a+2)2]÷a−4a+2
=[a2−4a(a+2)2−a2−aa(a+2)2]÷a−4a+2
=a−4a(a+2)2⋅a+2a−4
=1a2+2a，
当a=−1时，原式=1(−1)2+2×(−1)=−1．
【解析】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
先算括号内的减法，再把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．
23.【答案】解：(1)设甲车单独完成任务需要x天，则乙车单独完成任务需要2x天，
(1x+12x)×10=1
解得，x=15
∴2x=30
即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；
(2)设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天(a−1500)元，
[a+(a−1500)]×10=65000
解得，a=4000
∴a−1500=2500
当单独租甲车时，租金为：15×4000=60000，
当单独租乙车时，租金为：30×2500=75000，
∵60000<65000<75000，
∴单独租甲车租金最少．
【解析】(1)根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；
(2)根据题意和第(1)问中的结果可以分别求得三种方式的费用，从而可以解答本题．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.【答案】证明：(1)∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△BAC≌△DAE(SAS)，
即△ABC≌△ADE；
(2)∵∠CAE=90°，AC=AE，
∴∠E=45°，
由(1)知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；
(3)延长BF到G，使得FG=FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG=∠AFB=90°，
在△AFB和△AFG中，
BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，
∴△AFB≌△AFG(SAS)，
∴AB=AG，∠ABF=∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，
∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，
∴∠G=∠CDA，
∵∠GCA=∠DCA=45°，
在△CGA和△CDA中，
∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，
∴△CGA≌△CDA(AAS)，
∴CG=CD，
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，
∴CD=2BF+DE．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
(1)根据题意和题目中的条件可以找出△BAC≌△DAE的条件；
(2)根据(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
(3)根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
25.【答案】证明：(1)延长AB到F，使BF=BD，连接DF，如图所示：
∴∠F=∠BDF，
∵∠A：∠B：∠C=3：4：2，
∴∠ABC=80°，∠ACB=40°，
∴∠F=40°，∠F=∠ACB，
∵AD是平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADF和△ADC中，
∠DAF=∠DAC∠F=∠CAD=AD，
∴△ADF≌△ADC(AAS)，
∴AF=AC，
∵BE是角平分线，
∴∠CBE=12∠ABC=40°，
∴∠EBD=∠C，
∴BE=EC；
(2)∵BE=CE，
∴BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．
∴AB+BD=AE+BE．
【解析】(1)延长AB到F，使BF=BD，连接DF，首先证明△ADF≌△ADC，推出AF=AC，由BE是角平分线，推出∠CBE=40°推出∠EBD=∠C，推出BE=EC，
(2)证出BE+AE=EC+AE=AC=AF=AB+BF=AB+BD．
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26.【答案】23
【解析】解：(1)∵a+b=5，ab=1，
∴(a+b)2=25，2ab=2．
a2+b2+2ab=25．
∴a2+b2=23．
故答案为：23；
(2)设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据题意可知a+b=6，a2+b2=20，
∴(a+b)2=36，
a2+b2+2ab=36，
2ab=36−20=16，
ab=8，
∴S△AFC=12ab=12×8=4，
(3)∵(10−x)(x−6)=1
∴(10−x)2+(x−6)2=[(10−x)+(x−6)]2−2(10−x)(x−6)=42−2×1=14．
(1)根据条件可得a2+b2+2ab=25.所以a2+b2=23．
(2)设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据题意可知a+b=6，a2+b2=20，所以(a+b)2=36，a2+b2+2ab=36，2ab=36−20=16，ab=8，所以S△AFC=12ab=12×8=4，
(3)根据条件得(10−x)2+(x−6)2=[(10−x)+(x−6)]2−2(10−x)(x−6)=42−2×1=12．
本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的变形是解答本题的关键．