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人教版七年级数学下册同步精品讲义第05讲第五章相交线与平行线单元测试(学生版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第05讲第五章相交线与平行线单元测试(学生版+解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·全国·七年级专题练习）下图中，和是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述一定正确的是（ ）
A．∠1和∠2互为对顶角B．∠1和∠3互为邻补角C．∠1=∠2D．∠1=∠3
3．(2023秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠3与∠B是同旁内角B．∠A与∠1是同位角
C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠B是同位角
4．(2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
5．(2023春·七年级课时练习）如图，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023春·浙江宁波·八年级校考期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．(2023秋·七年级校联考阶段练习）直线、、在同一平面内，下面的四个结论：
如果ab，ac，那么bc；
如果，，那么ac；
如果ab，，那么；
如果与相交，与相交，那么与相交．
正确的结论为（ ）
A．B．C．D．
9．(2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）将如图中的说理过程补充完整．下列补充不正确的是（ ）
A．①表示B．②表示角平分线的定义
C．③表示等量代换D．④表示内错角相等，两直线平行
10．(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ）
A．B．C．D．
11．(2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学期末）如图，，一副三角尺按如图所示放置，，则的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
12．(2023秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，若OPQRST，则下列等式中正确的是（ ）
A．∠1 + ∠2 - ∠3 = 90°B．∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°
C．∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°D．∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°
13．(2023秋·广西贵港·七年级统考期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．(2023秋·广东广州·七年级统考期中）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，则________度．
16．(2023·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知，，则 ______ ．
17．(2023秋·广西玉林·七年级统考期末）如图，，直线平移后得到直线，则_________．
18．(2023春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．(2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC＝40°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOC ＝2∠BOD，求∠AOE的度数．
20．(2023秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）（1）如图平分，，．求的度数．
（2）如图已知，．求证：．
21．(2023秋·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，点C在的一边上，过点C的直线，平分．当时，求的度数．
解：∵平分，
∴＝ ．
∵，
∴＝ °．
∵直线与交于点C，
∴＝＝ °（ ），
∵，
∴（ ），
∴＝ °．
22．(2023秋·河北邯郸·七年级校考期中）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），三角形ABC的三个顶点均为格点，将三角形ABC沿水平线平移，使点C平移到点，且点A的对应点为，点B的对应点为．
(1)画出平移后的三角形，并写出平移的距离；
(2)连接，写出与相等的线段；
(3)若三角形ABC的周长为a，用含a的式子表示四边形的周长．
23．(2023秋·北京·七年级统考期中）如图，点A在的一边上．按下列要求画图：
(1)过点A画直线，与的另一边相交于点B；
(2)过点A画的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C画直线∥，交直线于点D；
24．(2023春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
25．(2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图1，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与，之间存在的关系是____________，与，之间存在的关系是____________．
利用上面的发现解决下列问题：
(1)如图2，，点是和平分线的交点，，则的度数是______；
(2)如图3，，平分，，平分，若比大，求的度数．
26．(2023秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
如图，，直线与，分别相交于点，，平分，平分，对说明理由．
解：（已知），
∴①=∠CNE（两直线平行，同位角相等）
平分，平分已知，
，（②）
（③），．
第五章 相交线与平行线单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．(2023·全国·七年级专题练习）下图中，和是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义解答即可．
【详解】解：A、和的某一边不是互为反向延长线，则不是对顶角，此项不符合题意；
B、和是对顶角，则此项符合题意；
C、和没有公共顶点，则不是对顶角，此项不符合题意；
D、和的某一边不是互为反向延长线，则不是对顶角，此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟记对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
2．(2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述一定正确的是（ ）
A．∠1和∠2互为对顶角B．∠1和∠3互为邻补角C．∠1=∠2D．∠1=∠3
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义、邻补角的定义进行判断即可；
【详解】解：∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠1和∠3互为对顶角；故A、B错误；
∴∠1=∠3；故D正确；
∵∠1+∠2=180°，故C错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角的定义、邻补角的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
3．(2023秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠3与∠B是同旁内角B．∠A与∠1是同位角
C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠B是同位角
【答案】D
【分析】根据两线被第三线所截，同旁内角，内错角和同位角的定义进行判断即可．
【详解】解：A、∠3与∠B是同旁内角，选项正确，不符合题意；
B、∠A与∠1是同位角，选项正确，不符合题意；
C、∠2与∠3是内错角，选项正确，不符合题意；
D、∠1与∠B不是同位角，选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查三线八角，在找角的时候，首先要确定截线，然后根据它们之间的位置关系进行确定．
4．(2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【详解】解：如图：
∵∠DPF=∠BAF，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法,熟练掌握平行线的判定方法，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．
5．(2023春·七年级课时练习）如图，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，即可求出．
【详解】解：，，
．
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查直角的概念以及角度的计算，比较简单．
6．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故①选项符合题意；
∵，
∴，
故②选项不符合题意；
∵，
∴，
故③选项不符合题意；
∵，不能判定，
故④选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．
7．(2023春·浙江宁波·八年级校考期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：A． ，，满足原命题，不符合题意；
B．，，满足原命题，不符合题意；
C． ，，，是原命题的假命题，符合题意；
D． ，，满足原命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
8．(2023秋·七年级校联考阶段练习）直线、、在同一平面内，下面的四个结论：
如果ab，ac，那么bc；
如果，，那么ac；
如果ab，，那么；
如果与相交，与相交，那么与相交．
正确的结论为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定与性质定理一一判断即可．
【详解】解：若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若与相交，与相交，则与相交也可能是平行，故说法错误，
正确的有，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
9．(2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）将如图中的说理过程补充完整．下列补充不正确的是（ ）
A．①表示B．②表示角平分线的定义
C．③表示等量代换D．④表示内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，，从而可求得，由同位角相等，两直线平行得．
【详解】解：（已知），
两直线平行，同位角相等，故A不符合题意；
平分，平分已知，
，（②角平分线的定义)，故B不符合题意；
等量代换，故C不符合题意；
同位角相等，两直线平行，故D符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与运用．内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和，再列式计算解答．
【详解】解：将阴影部分水平的边通过平移可得水平边之和为：2（a＋b），
将阴影部分竖直的边通过平移可得竖直边之和为：2（a＋c－b），
∴阴影部分的周长为：2（a＋b）＋2（a＋c−b）＝2a＋2b＋2a＋2c−2b＝4a＋2c，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，整式的加减，根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和是解题的关键．
11．(2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学期末）如图，，一副三角尺按如图所示放置，，则的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】B
【分析】先求出，根据平行线的性质求，根据即可得出答案．
【详解】解：∵和是一幅三角尺，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，三角板中角度的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
12．(2023秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，若OPQRST，则下列等式中正确的是（ ）
A．∠1 + ∠2 - ∠3 = 90°B．∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°
C．∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°D．∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，即可解答．
【详解】解：∵STQR，
∴∠QRS=∠3，
即∠QRP+∠1=∠3；
∵OPQR，
∴∠QRP=180°-∠2，
∴180°-∠2+∠1=∠3，
即∠2+∠3-∠1=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，需要注意平行线的性质的运用，比较简单．
13．(2023秋·广西贵港·七年级统考期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，，
①，，
，
平分，
，
代入①得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
14．(2023秋·广东广州·七年级统考期中）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，从而解答本题．
【详解】解：，，
，
平分，，
，故①正确；
，，平分，
，，，，
，，故③正确；
平分，故②正确；
，
，
，
而题目中不能得到，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，则________度．
【答案】
【分析】先根据平角的定义得到，再根据垂线的定义得到，则．
【详解】解；∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
16．(2023·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知，，则 ______ ．
【答案】##180度
【分析】根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补，得到，，等量代换即可求得的值．
【详解】解：如图，设与交于点H，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．
17．(2023秋·广西玉林·七年级统考期末）如图，，直线平移后得到直线，则_________．
【答案】218
【分析】如图，根据平移的性质和平行线的性质得到∠4=∠3=38°，再利用三角形内角和定理和平角定义得到∠2=∠4+∠5，∠5=180°-∠1，从而得∠1+∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵直线b平移后得到直线a，
∴ab，
∴∠4=∠3=38°，
∵∠2=∠4+∠5，∠5=180°-∠1，
∴∠2=38°+180°-∠1，
∴∠1+∠2=218°．
故答案为：218．
【点睛】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
18．(2023春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
【答案】4秒或40秒
【分析】分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得t=4；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故答案为：4秒或40秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．(2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC＝40°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOC ＝2∠BOD，求∠AOE的度数．
【答案】(1)50°
(2)150°
【分析】（1）根据∠BOE=180°-∠AOC-∠COE直接解答即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
【详解】（1）解：∵∠COE=90°，∠AOC=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE
=180°-40°-90°
=50°；
（2）解：∵∠BOC ＝2∠BOD，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=60°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=60°，
∵∠COE=90°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+60°=150°．
【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．
20．(2023秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）（1）如图平分，，．求的度数．
（2）如图已知，．求证：．
【答案】（1）的度数为；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由平行线的性质即可得到结论．
（2）先证明，再利用平行线的性质证明，，即可证明．
【详解】解：（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解答此题的关键．
21．(2023秋·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，点C在的一边上，过点C的直线，平分．当时，求的度数．
解：∵平分，
∴＝ ．
∵，
∴＝ °．
∵直线与交于点C，
∴＝＝ °（ ），
∵，
∴（ ），
∴＝ °．
【答案】；；；对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补；
【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵∵，
∴．
∵直线与交于点C，，
∴（对顶角相等），
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
故答案为：；；；对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补；．
【点晴】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
22．(2023秋·河北邯郸·七年级校考期中）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），三角形ABC的三个顶点均为格点，将三角形ABC沿水平线平移，使点C平移到点，且点A的对应点为，点B的对应点为．
(1)画出平移后的三角形，并写出平移的距离；
(2)连接，写出与相等的线段；
(3)若三角形ABC的周长为a，用含a的式子表示四边形的周长．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)a+4
【分析】（1）利用C点和点的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点即可；
（2）根据平移的性质求解即可；
（3）根据平移的性质可得，从而得到四边形的周长．
（1）
解：∵点C向左平移2个单位到点，
∴平移的距离为2，
如图，则三角形即为所求；
（2）
解：根据题意得：与相等的线段为；
（3）
解：根据题意得：，
∵三角形ABC的周长为a，
∴，
∴四边形A1BCC1的周长为．
【点睛】本题考查了作图一平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．(2023秋·北京·七年级统考期中）如图，点A在的一边上．按下列要求画图：
(1)过点A画直线，与的另一边相交于点B；
(2)过点A画的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C画直线∥，交直线于点D；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义作图即可；
（2）根据垂线段的定义作图即可；
（3）根据平行线的定义作图即可．
（1）
如图，直线AB即为所求．
（2）
如图，垂线段即为所求．
（3）
如图，直线CD即为所求．
【点睛】本题考查了作图，涉及垂线、垂线段及平行线，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(2023春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；
（2）根据垂直定义和平行线的判定与性质即可求出结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
25．(2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图1，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与，之间存在的关系是____________，与，之间存在的关系是____________．
利用上面的发现解决下列问题：
(1)如图2，，点是和平分线的交点，，则的度数是______；
(2)如图3，，平分，，平分，若比大，求的度数．
【答案】(1)发现：，；（1）；
(2)
【分析】发现：根据平行线的性质以及平行线的传递性即可表示各角之间的关系；
（1）运用上面的关系式以及角平分线的定义即可求出的度数；
（2）运用上面的关系式表示出的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据表示出的度数，根据比大列方程，求解即可．
（1）
发现：解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（1），
又，
，
点是和平分线的交点，
，
，
故答案为：；
（2）
解：设，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
比大，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，角平分线的定义等，熟练掌握这些性质是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
26．(2023秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)∠CFB=130°
【分析】（1）过C作CEMN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（2）过B作BRAG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；
（3）过E作ESMN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．
（1）
解：如图，过C作CEMN，
∴∠1=∠MAC，
∵∠2=∠ACB-∠1，
∴∠2=∠ACB-∠MAC，
∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，
∴∠2=∠CBP，
∴CEPQ，
∴MNPQ；
（2）
如图，过B作BRAG，
∵AGCH，
∴BRHF，
∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，
∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），
∴∠CFB-∠BEG=90°；
（3）
如图，过E作ESMN，
∵MNPQ，
∴ESPQ，
∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，
∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，
∴∠CAE=∠AES，
∵∠EBD=90°，
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，
∴∠QBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠BES，
∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=，
∵∠ACB=80°，
∴∠AEB=140°，
∴∠BEG=40°，
∵∠CFB-∠BEG=90°，
∴∠CFB=130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，，直线与，分别相交于点，，平分，平分，对说明理由．
解：（已知），
∴①=∠CNE（两直线平行，同位角相等）
平分，平分已知，
，（②）
（③），．
1．(2023·全国·七年级专题练习）下图中，和是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述一定正确的是（ ）
A．∠1和∠2互为对顶角B．∠1和∠3互为邻补角C．∠1=∠2D．∠1=∠3
3．(2023秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠3与∠B是同旁内角B．∠A与∠1是同位角
C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠B是同位角
4．(2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
5．(2023春·七年级课时练习）如图，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023春·浙江宁波·八年级校考期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
8．(2023秋·七年级校联考阶段练习）直线、、在同一平面内，下面的四个结论：
如果ab，ac，那么bc；
如果，，那么ac；
如果ab，，那么；
如果与相交，与相交，那么与相交．
正确的结论为（ ）
A．B．C．D．
9．(2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）将如图中的说理过程补充完整．下列补充不正确的是（ ）
A．①表示B．②表示角平分线的定义
C．③表示等量代换D．④表示内错角相等，两直线平行
10．(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ）
A．B．C．D．
11．(2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学期末）如图，，一副三角尺按如图所示放置，，则的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
12．(2023秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，若OPQRST，则下列等式中正确的是（ ）
A．∠1 + ∠2 - ∠3 = 90°B．∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°
C．∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°D．∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°
13．(2023秋·广西贵港·七年级统考期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
14．(2023秋·广东广州·七年级统考期中）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，则________度．
16．(2023·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知，，则 ______ ．
17．(2023秋·广西玉林·七年级统考期末）如图，，直线平移后得到直线，则_________．
18．(2023春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．(2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC＝40°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOC ＝2∠BOD，求∠AOE的度数．
20．(2023秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）（1）如图平分，，．求的度数．
（2）如图已知，．求证：．
21．(2023秋·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，点C在的一边上，过点C的直线，平分．当时，求的度数．
解：∵平分，
∴＝ ．
∵，
∴＝ °．
∵直线与交于点C，
∴＝＝ °（ ），
∵，
∴（ ），
∴＝ °．
22．(2023秋·河北邯郸·七年级校考期中）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），三角形ABC的三个顶点均为格点，将三角形ABC沿水平线平移，使点C平移到点，且点A的对应点为，点B的对应点为．
(1)画出平移后的三角形，并写出平移的距离；
(2)连接，写出与相等的线段；
(3)若三角形ABC的周长为a，用含a的式子表示四边形的周长．
23．(2023秋·北京·七年级统考期中）如图，点A在的一边上．按下列要求画图：
(1)过点A画直线，与的另一边相交于点B；
(2)过点A画的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C画直线∥，交直线于点D；
24．(2023春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
25．(2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图1，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与，之间存在的关系是____________，与，之间存在的关系是____________．
利用上面的发现解决下列问题：
(1)如图2，，点是和平分线的交点，，则的度数是______；
(2)如图3，，平分，，平分，若比大，求的度数．
26．(2023秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
如图，，直线与，分别相交于点，，平分，平分，对说明理由．
解：（已知），
∴①=∠CNE（两直线平行，同位角相等）
平分，平分已知，
，（②）
（③），．
第五章 相交线与平行线单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．(2023·全国·七年级专题练习）下图中，和是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对顶角的定义解答即可．
【详解】解：A、和的某一边不是互为反向延长线，则不是对顶角，此项不符合题意；
B、和是对顶角，则此项符合题意；
C、和没有公共顶点，则不是对顶角，此项不符合题意；
D、和的某一边不是互为反向延长线，则不是对顶角，此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是熟记对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
2．(2023秋·河北沧州·七年级统考期末）如图，直线AB、CD相交于点O，下列描述一定正确的是（ ）
A．∠1和∠2互为对顶角B．∠1和∠3互为邻补角C．∠1=∠2D．∠1=∠3
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义、邻补角的定义进行判断即可；
【详解】解：∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠1和∠3互为对顶角；故A、B错误；
∴∠1=∠3；故D正确；
∵∠1+∠2=180°，故C错误；
故选：D．
【点睛】本题主要考查对顶角的定义、邻补角的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
3．(2023秋·浙江杭州·七年级校考期中）如图所示，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠3与∠B是同旁内角B．∠A与∠1是同位角
C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠B是同位角
【答案】D
【分析】根据两线被第三线所截，同旁内角，内错角和同位角的定义进行判断即可．
【详解】解：A、∠3与∠B是同旁内角，选项正确，不符合题意；
B、∠A与∠1是同位角，选项正确，不符合题意；
C、∠2与∠3是内错角，选项正确，不符合题意；
D、∠1与∠B不是同位角，选项错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查三线八角，在找角的时候，首先要确定截线，然后根据它们之间的位置关系进行确定．
4．(2023秋·河北石家庄·七年级校考阶段练习）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．两直线平行，同位角相等B．同位角相等，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行D．同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【详解】解：如图：
∵∠DPF=∠BAF，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法,熟练掌握平行线的判定方法，根据题意得出同位角相等是解决问题的关键．
5．(2023春·七年级课时练习）如图，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出，即可求出．
【详解】解：，，
．
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查直角的概念以及角度的计算，比较简单．
6．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故①选项符合题意；
∵，
∴，
故②选项不符合题意；
∵，
∴，
故③选项不符合题意；
∵，不能判定，
故④选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．
7．(2023春·浙江宁波·八年级校考期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
【详解】解：A． ，，满足原命题，不符合题意；
B．，，满足原命题，不符合题意；
C． ，，，是原命题的假命题，符合题意；
D． ，，满足原命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查的是命题与定理，解题的关键是掌握要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．
8．(2023秋·七年级校联考阶段练习）直线、、在同一平面内，下面的四个结论：
如果ab，ac，那么bc；
如果，，那么ac；
如果ab，，那么；
如果与相交，与相交，那么与相交．
正确的结论为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定与性质定理一一判断即可．
【详解】解：若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若与相交，与相交，则与相交也可能是平行，故说法错误，
正确的有，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
9．(2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）将如图中的说理过程补充完整．下列补充不正确的是（ ）
A．①表示B．②表示角平分线的定义
C．③表示等量代换D．④表示内错角相等，两直线平行
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，，从而可求得，由同位角相等，两直线平行得．
【详解】解：（已知），
两直线平行，同位角相等，故A不符合题意；
平分，平分已知，
，（②角平分线的定义)，故B不符合题意；
等量代换，故C不符合题意；
同位角相等，两直线平行，故D符合题意，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与运用．内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．(2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和，再列式计算解答．
【详解】解：将阴影部分水平的边通过平移可得水平边之和为：2（a＋b），
将阴影部分竖直的边通过平移可得竖直边之和为：2（a＋c－b），
∴阴影部分的周长为：2（a＋b）＋2（a＋c−b）＝2a＋2b＋2a＋2c−2b＝4a＋2c，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平移的性质，整式的加减，根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和是解题的关键．
11．(2023春·吉林长春·七年级长春市第八十七中学期末）如图，，一副三角尺按如图所示放置，，则的度数为（ ）
A．40°B．35°C．30°D．25°
【答案】B
【分析】先求出，根据平行线的性质求，根据即可得出答案．
【详解】解：∵和是一幅三角尺，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，三角板中角度的计算，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
12．(2023秋·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，若OPQRST，则下列等式中正确的是（ ）
A．∠1 + ∠2 - ∠3 = 90°B．∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°
C．∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°D．∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，即可解答．
【详解】解：∵STQR，
∴∠QRS=∠3，
即∠QRP+∠1=∠3；
∵OPQR，
∴∠QRP=180°-∠2，
∴180°-∠2+∠1=∠3，
即∠2+∠3-∠1=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，需要注意平行线的性质的运用，比较简单．
13．(2023秋·广西贵港·七年级统考期末）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，，
①，，
，
平分，
，
代入①得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
14．(2023秋·广东广州·七年级统考期中）如图，AB∥CD，平分，，，，则下列结论：；平分；；其中正确的有( )
A．①②③④B．①②③C．①③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质、垂直的定义，判断各个小题中的结论是否成立，从而解答本题．
【详解】解：，，
，
平分，，
，故①正确；
，，平分，
，，，，
，，故③正确；
平分，故②正确；
，
，
，
而题目中不能得到，故④错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、垂直、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，则________度．
【答案】
【分析】先根据平角的定义得到，再根据垂线的定义得到，则．
【详解】解；∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；．
【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
16．(2023·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）如图，已知，，则 ______ ．
【答案】##180度
【分析】根据两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补，得到，，等量代换即可求得的值．
【详解】解：如图，设与交于点H，
∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．
17．(2023秋·广西玉林·七年级统考期末）如图，，直线平移后得到直线，则_________．
【答案】218
【分析】如图，根据平移的性质和平行线的性质得到∠4=∠3=38°，再利用三角形内角和定理和平角定义得到∠2=∠4+∠5，∠5=180°-∠1，从而得∠1+∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵直线b平移后得到直线a，
∴ab，
∴∠4=∠3=38°，
∵∠2=∠4+∠5，∠5=180°-∠1，
∴∠2=38°+180°-∠1，
∴∠1+∠2=218°．
故答案为：218．
【点睛】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
18．(2023春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．，CD与AB在直线EF异侧．若，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为______时，CD与AB平行．
【答案】4秒或40秒
【分析】分①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在的两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得t=4；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故答案为：4秒或40秒．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．(2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COE=90°．
(1)若∠AOC＝40°，求∠BOE的度数；
(2)若∠BOC ＝2∠BOD，求∠AOE的度数．
【答案】(1)50°
(2)150°
【分析】（1）根据∠BOE=180°-∠AOC-∠COE直接解答即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
【详解】（1）解：∵∠COE=90°，∠AOC=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE
=180°-40°-90°
=50°；
（2）解：∵∠BOC ＝2∠BOD，∠BOD+∠BOC=180°，
∴∠BOD=60°，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠AOC=60°，
∵∠COE=90°，
∴∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+60°=150°．
【点睛】此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．
20．(2023秋·重庆铜梁·七年级校考阶段练习）（1）如图平分，，．求的度数．
（2）如图已知，．求证：．
【答案】（1）的度数为；（2）见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，由平行线的性质即可得到结论．
（2）先证明，再利用平行线的性质证明，，即可证明．
【详解】解：（1）∵平分，，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解答此题的关键．
21．(2023秋·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，点C在的一边上，过点C的直线，平分．当时，求的度数．
解：∵平分，
∴＝ ．
∵，
∴＝ °．
∵直线与交于点C，
∴＝＝ °（ ），
∵，
∴（ ），
∴＝ °．
【答案】；；；对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补；
【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵∵，
∴．
∵直线与交于点C，，
∴（对顶角相等），
∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴．
故答案为：；；；对顶角相等；两直线平行，同旁内角互补；．
【点晴】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
22．(2023秋·河北邯郸·七年级校考期中）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），三角形ABC的三个顶点均为格点，将三角形ABC沿水平线平移，使点C平移到点，且点A的对应点为，点B的对应点为．
(1)画出平移后的三角形，并写出平移的距离；
(2)连接，写出与相等的线段；
(3)若三角形ABC的周长为a，用含a的式子表示四边形的周长．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)a+4
【分析】（1）利用C点和点的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点即可；
（2）根据平移的性质求解即可；
（3）根据平移的性质可得，从而得到四边形的周长．
（1）
解：∵点C向左平移2个单位到点，
∴平移的距离为2，
如图，则三角形即为所求；
（2）
解：根据题意得：与相等的线段为；
（3）
解：根据题意得：，
∵三角形ABC的周长为a，
∴，
∴四边形A1BCC1的周长为．
【点睛】本题考查了作图一平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．(2023秋·北京·七年级统考期中）如图，点A在的一边上．按下列要求画图：
(1)过点A画直线，与的另一边相交于点B；
(2)过点A画的垂线段，垂足为点C；
(3)过点C画直线∥，交直线于点D；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据垂线的定义作图即可；
（2）根据垂线段的定义作图即可；
（3）根据平行线的定义作图即可．
（1）
如图，直线AB即为所求．
（2）
如图，垂线段即为所求．
（3）
如图，直线CD即为所求．
【点睛】本题考查了作图，涉及垂线、垂线段及平行线，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(2023春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；
（2）根据垂直定义和平行线的判定与性质即可求出结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
25．(2023秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图1，，过点作，由平行线的传递性可得，利用平行线的性质，我们不难发现：与，之间存在的关系是____________，与，之间存在的关系是____________．
利用上面的发现解决下列问题：
(1)如图2，，点是和平分线的交点，，则的度数是______；
(2)如图3，，平分，，平分，若比大，求的度数．
【答案】(1)发现：，；（1）；
(2)
【分析】发现：根据平行线的性质以及平行线的传递性即可表示各角之间的关系；
（1）运用上面的关系式以及角平分线的定义即可求出的度数；
（2）运用上面的关系式表示出的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，再根据表示出的度数，根据比大列方程，求解即可．
（1）
发现：解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（1），
又，
，
点是和平分线的交点，
，
，
故答案为：；
（2）
解：设，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
比大，
，
解得，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线的传递性，角平分线的定义等，熟练掌握这些性质是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．
26．(2023秋·辽宁葫芦岛·七年级校考阶段练习）已知，点A，点B分别在线段MN，PQ上，且∠ACB-∠MAC=∠CBP．
(1)如图1，求证：MNPQ；
(2)分别过点A和点C作直线AG、CH使AGCH，以点B为顶点的直角∠DBI的两边分别与直线CH，AG交于点F和点E，如图2，试判断∠CFB、∠BEG之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若BD和AE恰好分别平分∠CBP和∠CAN，并且∠ACB=80°，求∠CFB的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)∠CFB=130°
【分析】（1）过C作CEMN，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
（2）过B作BRAG，根据平行线的性质得到∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，等量代换即可得到结论；
（3）过E作ESMN，根据平行线的性质得到∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，根据角平分线的定义得到∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，根据四边形的内角和即可得到结论．
（1）
解：如图，过C作CEMN，
∴∠1=∠MAC，
∵∠2=∠ACB-∠1，
∴∠2=∠ACB-∠MAC，
∵∠ACB-∠MAC=∠CBP，
∴∠2=∠CBP，
∴CEPQ，
∴MNPQ；
（2）
如图，过B作BRAG，
∵AGCH，
∴BRHF，
∴∠BEG=∠EBR，∠RBF+∠CFB=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠BEG=∠EBR=90°-∠RBF，
∴∠BEG=90°-∠RBF=90°-（180°-∠CFB），
∴∠CFB-∠BEG=90°；
（3）
如图，过E作ESMN，
∵MNPQ，
∴ESPQ，
∴∠NAE=∠AES，∠QBE=∠BES，
∵BD和AE分别平分∠CBP和∠CAN，
∴∠NAE=∠EAC，∠CBD=∠DBP，
∴∠CAE=∠AES，
∵∠EBD=90°，
∴∠EBQ+∠PBD=∠EBC+∠CBD=90°，
∴∠QBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠BES，
∴∠AEB=∠AES+∠BES=∠CAE+∠EBC=，
∵∠ACB=80°，
∴∠AEB=140°，
∴∠BEG=40°，
∵∠CFB-∠BEG=90°，
∴∠CFB=130°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，余角的性质，四边形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
如图，，直线与，分别相交于点，，平分，平分，对说明理由．
解：（已知），
∴①=∠CNE（两直线平行，同位角相等）
平分，平分已知，
，（②）
（③），．
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