人教版七年级数学下册同步精品讲义第03讲专题5.3-5.4平行线的性质、平移(学生版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第03讲专题5.3-5.4平行线的性质、平移(学生版+解析)，共83页。试卷主要包含了平行线的性质，判断一件事情的语句叫命题，平移，3-5等内容，欢迎下载使用。

1.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图所示。性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2.判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
3.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等
考点精讲
考点1:应用平行线的性质求角度
典例：(2023秋·西藏林芝·七年级校考期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
方法或规律点拨
本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·山东济南·八年级校考期中）在中，若，则的度数是（ ）
A．140°B．120°C．100°D．40°
2．(2023春·四川资阳·七年级统考期末）如图，小明从处出发沿着北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向走至处，此时需把方向调整到与出发时一致（即），则方向的调整应是（ ）
A．左转100°B．右转100°C．左转80°D．右转80°
3．(2023秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）如图，直线与相交于点E，在的平分线上有一点F，．当时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023春·湖南长沙·九年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）如图，直线平行直线，，平分，则（ ）
A．B．C．D．
5．(2023秋·河南信阳·七年级校考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角尺按如图方式放置（），其中，两点分别落在直线，上，若，则度数为（ ）
A．32°B．57°C．55°D．27°
6．(2023秋·北京西城·七年级期中）如图，若，EF与AB，CD分别相交于点E，F，，平分线与EP相交于点P，，则__________°．
7．(2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，如果，那么______度．
8．(2023秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，快艇从处向正北航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，此时的航行方向为北偏西______°．
9．(2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
10．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，已知，，若，则________．
11．（2023春·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．
12．(2023·全国·七年级专题练习）如图，，若，，则∠E=______．
13．(2023秋·四川南充·七年级四川省南充市高坪中学校考阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
14．(2023秋·山东德州·七年级校考期中）如图：
(1)若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
(2)若，如图②，直接写出、与之间的数量关系： ．
(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则 ．
15．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，，直线外有一点，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数．
16．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）阅读并解决问题，课上教师呈现一个问题：
已知：如图，，交于点，交于点，当，时，求的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点作．
分析思路：
①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；
②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数；
③由，推出，由此可推出；
④由已知，即，所以可得的度数；
⑤从而可求的度数．
(1)你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思路．辅助线：_________________________________
分析思路：
(2)请你根据丙同学所画的图形，求的度数．
考点2：真假命题的判定
典例： （1）(2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）命题“等边对等角”的题设是______结论是______
（2）(2023春·八年级单元测试）下列命题中，是真命题的是_________．（填序号）
①对顶角相等；
②内错角相等；
③三条直线两两相交，总有三个交点；
④若，，则．
方法或规律点拨
本题考查判断命题真假，涉及对顶角相等、平行线的性质、直线相交的交点问题，解答的关键是在判断一个命题的真假时，需要熟知涉及到的相关数学知识，并对每一个命题作出正确的判断．
巩固练习
1．(2023春·山东青岛·八年级期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（ ）
2．(2023春·浙江·八年级期中）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·全国·七年级专题练习）下列语句是命题的是（ ）
A．画出两个相等的线段B．所有的同位角都相等吗
C．延长线段到C，使得D．相等的角是对顶角
4．(2023春·八年级课时练习）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．，
C．，D．，
5．(2023春·河南鹤壁·八年级校考期中）关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（ ）
A．这个命题是真命题B．条件是“一个三角形有两个角相等”
C．结论是“这两个角所对的边也相等”D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题
6．(2023春·北京·八年级人大附中校考期中）n个正整数排成一列A：a1，a2，a3，……，an，，每次进行以下操作之一：
操作一：将其中一个数删除；
操作二：将其中一个数变为更小的正整数；
操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；
现甲乙两人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜．以下说法正确的是（ ）
A．若A：2，3，则甲第一次操作后可以产生6种不同的结果
B．若A：2，3，若甲乙两人经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则b＝1或5
C．若A：1，2，2，则甲有必胜策略
D．若A：1，2，3，则乙有必胜策略
7．(2023春·湖南长沙·七年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里．已知：
（1）J住在两套公寓的楼层．
（2）K住在P的上一层．
（3）二层只有一套公寓．
（4）M、N住在同一层．
（5）O、Q不同层．
（6）Q不住在一层或二层．
（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．
（8）M在第四层；
那么，J住在第（ ）层．
A．1B．2C．3D．5
8．(2023春·吉林长春·八年级吉林大学附属中学期末）判断命题“若，则”是假命题，需要举出的反例是______．
9．(2023秋·北京海淀·七年级校考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果，那么．
A．1B．2C．3D．4
10．(2023春·上海·八年级阶段练习）写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果___________________，那么 _____________________．
11．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）有下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．有一边互为反向延长线，且和为180°的两个角是邻补角
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
12．(2023春·浙江·八年级阶段练习）命题“对顶角相等”改写成如果___，那么___．
13．(2023春·全国·八年级专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
（1）则丁同学的得分是_____；
（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是_____（写出一种即可）
考点3：平行线的性质与判定的综合应用
典例：(2023春·陕西汉中·七年级统考期末）如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．
(1)试判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
2．(2023秋·广东湛江·七年级校考期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023秋·江苏南通·七年级期中）如图，线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
(1)如图，若点在线段上，且为钝角．求证：；
(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．
4．(2023春·八年级单元测试）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若求的度数．
5．(2023春·八年级单元测试）如图所示，已知，，试判断与的大小关系，并对结论进行说理．
6．(2023春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作
∵（已知），
∴（______），
∴，（______），
∴______＋______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
（3）拓展延伸：如图3，若与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系______．
7．(2023秋·北京·七年级校考期中）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
(1)如图1，当点在点的左侧时，若，，直接写出的度数；
(2)如图2，当点在点的右侧时，设，，求的度数（用含有，的式子表示）．
8．(2023秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）如图，点在上，点在上，、分别交于点、，已知，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，且，求的度数．
9．(2023春·陕西汉中·七年级统考期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，过点P作，则与平行吗？为什么？
10．(2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
11．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）已知：，、是上的点，、是上的点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为的角平分线，交于点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点，若平分，且比的多，求的度数．
12．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
考点4：利用图形的平移解决问题
典例：(2023秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
(1)把△ABC进行平移得到△A′B′C′，使点B与B′对应，请在网格中画出；
(2)线段AA′与线段CC′的关系是______________；
(3)平移过程中，线段BC扫过的面积是________．
方法或规律点拨
本题考查了平移变换作图以及平移的性质，解答本题的关键是根据网格结构找到对应点的位置，然后顺次连接．
巩固练习1．(2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图是2022年北京冬奥会的吉样祥物冰墩墩，在下面的四个图形中，能由该图经过平移得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，有一块长为a米，宽为3米的长方形地．中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移米能得到它的右边线，若草地的面积为12米，则a的值为（ ）
A．B．C．D．5
3．(2023秋·江苏南通·七年级期中）如图，将直角沿边向右平移得到，交于点G．，，，则图中阴影部分的面积为______．
4．(2023秋·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，中，，，将平移至的位置，若四边形的面积为20，且，则__．
5．(2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，这个图形的周长为多少____ ．
6．(2023春·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？
7．(2023秋·北京西城·七年级期中）如图，将沿BC方向平移得到，若的周长为16，则四边形的周长为__________．
8．(2023秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪. 则草坪的面积为__________.
9．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为．
(1)请在图中画出三角形．
(2)连接、，直接写出三角形的面积为___________．
10．(2023春·江苏·八年级统考期中）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，内角均为直角，的三个顶点均在“格点”处．
(1)将平移，使得点B移到点的位置，画出平移后的；
(2)利用正方形网格画出的高；
(3)连接、，利用全等三角形的知识证明．
11．(2023·全国·七年级专题练习）在如图所示的网格图每个小网格都是边长为个单位长度的小正方形中，，分别是的边，上的两点．
(1)将线段向右平移，使点与点重合，画出线段平移后的线段，连接，并写出相等的线段；
(2)在（1）的条件下，直接写出与相等的角；
(3)请在射线上找出一点，使点与点的距离最短，并写出依据．
12．(2023秋·河北承德·七年级校考期中）作图并回答问题：
(1)上图中的网格是边长为1个单位长度的正方形构成的，画出网格内四边形ABCD向右平移8个单位长度后的四边形．
(2)若∠DCB=95°，∠=65°，则∠=_______，∠BAD=_______；
(3)若AD=3.2，=5.2，则=_______，AB=_______；
(4)线段、、、之间的关系是_________________________．
13．(2023秋·福建厦门·七年级校考阶段练习）按要求作图
(1)在图1中过A点画直线l的垂线段，垂足为点D．
(2)在图2中画出△ABC平移后的图形△，使点A运动到点A'．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．(2023春·陕西汉中·八年级统考期中）可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．(2023·全国·七年级专题练习）如图，若图形A经过平移与下方图形阴影部分拼成一个长方形，则平移方式可以是（ ）
A．向右平移4个格，再向下平移4个格
B．向右平移6个格，再向下平移5个格
C．向右平移4个格，再向下平移3个格
D．向右平移5个格，再向下平移4个格
3．(2023·河南安阳·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023春·八年级单元测试）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023秋·河北邢台·七年级校考期末）如图，点，分别在直线，上，点，在两直线之间，线段与相交于点，且有，．三人说法如下：甲：；乙：；丙：．下列判断正确的是（ ）
A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲对，丙对D．乙对，丙错
二、填空题（每题3分）
7．(2023春·八年级单元测试）在同一平面内，直线、、中，若，，则、的位置关系是__．
8．(2023秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……，那么……”的形式为__________________________________________．
9．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为_________
10．(2023·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有___________ ．
11．(2023春·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）如图，将沿着方向平移得到，若，，，则四边形的面积为_____________．
12．(2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知∠5＝2∠3，2∠2﹣90°＝∠7，则∠4＝_____．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）填空完成推理过程：
如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
（ ），
∴（ ），
∴ （ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
14．(2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将平移后得到，图中点为点的对应点．
(1)画出的边上的中线；
(2)画出的边上的高；
(3)画出；
(4)的面积为_____．
15．(2023春·吉林长春·七年级期末）【感知】如图①，，，，的度数为______．
【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，
（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A

专题5.3-5.4平行线的性质、平移
目标导航
1.平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
性质2：两直线平行，内错角相等。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图所示。性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2.判断一件事情的语句叫命题。命题由 题设 和 结论 两部分组成，有 真命题 和 假命题 之分。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
3.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质:平移前后两个图形中①对应点的连线平行（或共线）且相等；②对应线段相等③对应角相等
考点精讲
考点1:应用平行线的性质求角度
典例：(2023秋·西藏林芝·七年级校考期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ADG＝40°
【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．
（1）证明：∵，
∴∠1＝∠DBC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴．
（2）∵EF⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∵∠2＝∠1＝50°，
∴∠C＝90°－50°＝40°．
∵，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
方法或规律点拨
本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·山东济南·八年级校考期中）在中，若，则的度数是（ ）
A．140°B．120°C．100°D．40°
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行即可求解
【详解】如图：
由可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行、对角相等是解题的关键．
2．(2023春·四川资阳·七年级统考期末）如图，小明从处出发沿着北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向走至处，此时需把方向调整到与出发时一致（即），则方向的调整应是（ ）
A．左转100°B．右转100°C．左转80°D．右转80°
【答案】B
【分析】从处出发沿着北偏东方向行走至处，北偏西方向走至处，根据平行的性质可知，把方向调整到与出发时一致（即），则，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，当时，，
根据方向上，点处的平角可知，方向向右转，
即可得到，
故选：．
【点睛】本题主要考查方位角，掌握方位角中方向与偏角的关系，平行线的性质是解题的关键．
3．(2023秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）如图，直线与相交于点E，在的平分线上有一点F，．当时，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对顶角求得，由角平分线的定义求得，根据平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
4．(2023春·湖南长沙·九年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）如图，直线平行直线，，平分，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可知，进而求出，再根据平分可，再根据平行线的性质知．
【详解】解：，
（两直线平行，同旁内角互补），
．
平分，
．
，
（两直线平行，内错角相等）．
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，和角平分线的定义．熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．(2023秋·河南信阳·七年级校考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角尺按如图方式放置（），其中，两点分别落在直线，上，若，则度数为（ ）
A．32°B．57°C．55°D．27°
【答案】D
【分析】根据题意易得∠2=∠ABD=57°，然后问题可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴∠2=∠ABD=57°，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
6．(2023秋·北京西城·七年级期中）如图，若，EF与AB，CD分别相交于点E，F，，平分线与EP相交于点P，，则__________°．
【答案】
【分析】由题可求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补可知，根据角平分线的定义可得到结果．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，注意数形结合思想是解题关键．
7．(2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，将一块三角板的直角顶点放在直线a上，如果，那么______度．
【答案】
【分析】根据平行线得到内错角相等，在根据直角即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴
故答案为．
【点睛】本题考查平行线性质：两直线平行内错角相等．
8．(2023秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，快艇从处向正北航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，此时的航行方向为北偏西______°．
【答案】
【分析】根据平行线的性质与方位角的定义即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
此时的航行方向为：北偏西；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查方位角，解题的关键是熟知方位角的定义及平行线的性质．
9．(2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．
【答案】
【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．
【详解】如图，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．
10．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，已知，，若，则________．
【答案】
【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”得出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案．
【详解】如图所示．
∵，
∴.
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，灵活选择平行线的性质是解题的关键．
11．（2023春·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．
【答案】
【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵直线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
12．(2023·全国·七年级专题练习）如图，，若，，则∠E=______．
【答案】##66度
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．
13．(2023秋·四川南充·七年级四川省南充市高坪中学校考阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质求出即可．
（1）
解：∵，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
14．(2023秋·山东德州·七年级校考期中）如图：
(1)若，猜想图①中，、与之间的数量关系并加以证明；
(2)若，如图②，直接写出、与之间的数量关系： ．
(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于，平行于地面，若，则 ．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作；通过平行线的性质倒角即可；
（2）过点作；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；
（3）由（2）中的结论计算即可；
【详解】（1）解：；理由如下：
如图，过点作；
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）解：；理由如下：
如图，过点作；
∵
∴
∴，
∴
（3）解：由（2）可知：
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．
15．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图1，，直线外有一点，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，根据平行线性质即可得到角度关系，即可求证；
（2）过点作，过点作根据平行线性质得到角度关系即可得到答案；
（3）过点做，过点作，根据平行线性质得到角度关系即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点作，
∵，，
∴
∴，,，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，设，
又∵平分，设，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴
∴；
（3）设，
过点做，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查根据平行线的性质，解题的关键是作平行辅助线转换角度关系．
16．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）阅读并解决问题，课上教师呈现一个问题：
已知：如图，，交于点，交于点，当，时，求的度数．
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如下图：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下：
辅助线：过点作．
分析思路：
①欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数之和；
②由辅助线作图可知，，从而由已知的度数可得的度数；
③由，推出，由此可推出；
④由已知，即，所以可得的度数；
⑤从而可求的度数．
(1)你阅读甲同学思路和方法后，请你根据乙同学所画的图形，描述辅助线的做法，并写出你相应的分析思路．辅助线：_________________________________
分析思路：
(2)请你根据丙同学所画的图形，求的度数．
【答案】(1)过点作交于点；分析思路见解析
(2)
【分析】（1）过点作交于点；根据，得出，根据得出，即可得出，从而得出答案；
（2）过点做交于点，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：辅助线：过点作交于点；
分析思路：
1．欲求的度数，由辅助线作图可知，，因此，只需转化为求的度数
2．欲求的度数，由图可知只需转化为求和的度数和；
3．由已知的度数，所以只需求出的度数；
4．由，可推出；
由可推出，所以可得；
5．由已知，可得
6．从而求出度数．
故答案为：过点作交于点
（2）解：如图丙，过点做交于点，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
考点2：真假命题的判定
典例： （1）(2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）命题“等边对等角”的题设是______结论是______
【答案】 同一个三角形中的两条边相等； 这两条边所对的两个角也相等
【分析】判断一件事情的语句叫做命题．任何一个命题都有题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分．
【详解】解：由于命题“在同一个三角形中，等边对等角”可改写成：在同一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的两个角相等．所以题设是同一个三角形中的两条边相等，结论是这两条边所对的两个角相等．
故答案为：同一个三角形中的两条边相等；这两条边所对的两个角相等．
（2）(2023春·八年级单元测试）下列命题中，是真命题的是_________．（填序号）
①对顶角相等；
②内错角相等；
③三条直线两两相交，总有三个交点；
④若，，则．
【答案】①④##④①
【分析】根据对顶角相等可判断①；根据平行线的性质可判断②；根据两条直线相交的定义可判断③；根据平行于同一条直线的两条直线平行可判断④，据此可作出判断．
【详解】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；
②两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；
③三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故原命题错误，不符合题意；
④若，，则，正确，是真命题，符合题意，
正确的有①④．
故答案为：①④．
方法或规律点拨
本题考查判断命题真假，涉及对顶角相等、平行线的性质、直线相交的交点问题，解答的关键是在判断一个命题的真假时，需要熟知涉及到的相关数学知识，并对每一个命题作出正确的判断．
巩固练习
1．(2023春·山东青岛·八年级期末）要说明命题“若，则”是假命题，可以举的一个反例是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据举出的反例要满足，但不满足，据此对选项一一进行分析，即可．
【详解】解：A．当时，不满足，故不能成为反例，不符合题意；
B．当时，不满足，故不能成为反例，不符合题意；
C．当时，，则，故不是反例，不符合题意；
D．当时，，但不成立，故能成为反例，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了反例法判断命题真假，解本题的关键在熟练掌握举反例的方法．
2．(2023春·浙江·八年级期中）对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项判断即可．
【详解】A、满足，但不满足，满足题意；
B、满足命题“如果，那么”，不符合题意；
C、不满足命题“如果，那么”，不符合题意；
D、不满足命题“如果，那么”，不符合题意；
故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键
3．(2023·全国·七年级专题练习）下列语句是命题的是（ ）
A．画出两个相等的线段B．所有的同位角都相等吗
C．延长线段到C，使得D．相等的角是对顶角
【答案】D
【分析】根据命题的概念判断即可．
【详解】解：A、画出两个相等的线段，没有做错判断，不是命题；
B、所有的同位角都相等吗，没有做错判断，不是命题；
C、延长线段到C，使得，没有做错判断，不是命题；
D、相等的角是对顶角，是命题；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的概念，掌握判断一件事情的语句，叫做命题，是解题的关键．
4．(2023春·八年级课时练习）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】判断命题是假命题，结论错误即可，由此即可求解．
【详解】解：当时，，但，
∴命题“如果，那么”是假命题，
故选：．
【点睛】本题主要考查命题真假的判定，掌握命题真假的判定方法是理解命题的条件与结论的关系，即掌握相关定理，命题的定义和性质是解题的关键．
5．(2023春·河南鹤壁·八年级校考期中）关于命题“等角对等边”，下列说法错误的是（ ）
A．这个命题是真命题B．条件是“一个三角形有两个角相等”
C．结论是“这两个角所对的边也相等”D．可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题
【答案】D
【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．
【详解】解：在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称：“等角对等边”，
则选项A、B、C正确，不符合题意，
不可以用“举反例”的方法证明这个命题是真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是关键．
6．(2023春·北京·八年级人大附中校考期中）n个正整数排成一列A：a1，a2，a3，……，an，，每次进行以下操作之一：
操作一：将其中一个数删除；
操作二：将其中一个数变为更小的正整数；
操作三：将其中一个数变为两个正整数，且两个正整数之和小于原来的正整数；
现甲乙两人对这些数按照甲—乙—甲—乙—……的顺序轮流进行操作，规定最后操作将所有数删除的人获胜．以下说法正确的是（ ）
A．若A：2，3，则甲第一次操作后可以产生6种不同的结果
B．若A：2，3，若甲乙两人经过k次操作后将所有数都删除，且上述三种操作至少各进行了一次，则b＝1或5
C．若A：1，2，2，则甲有必胜策略
D．若A：1，2，3，则乙有必胜策略
【答案】C
【分析】若要进行操作三，则最大项的数值必须大于等于3；若要进行操作二，则最大项的数值必须大于等于2；进行操作二不改变数列的项数．
【详解】解：A、当甲进行操作一时，会产生2种不同的结果，或；当甲进行操作二时，会产生2种不同的结果，或；当甲进行操作三时，会产生1种不同的结果，；因此甲第一次操作后可以产生5种不同的结果，A故错误．
B、在数列中，只有项能进行操作三，并要求三种操作至少各进行了一次，进行操作三后，项数为3，：
①第二步先进行操作一时，只能删除为1的项，此时（操作三）+1（操作二）+4（操作一）；
②第二步先进行操作二时，此时（操作三）+1（操作二）+3（操作一）；
因此或6，故B错误．
C、根据题意可知，若数列有奇数个项，甲、乙逐个消去，最终甲执行最后一次操作；有偶数个项逐个消去，最终乙执行最后一次操作；执行操作二、操作三不影响最终结果；
，为奇数项且最多可执行2（偶数）次操作二，
能确保甲最后将所有项消除，只需保证进行偶数次操作二即可，故C正确．
D、，为奇数项且最多可执行3（奇数）次操作二，
能确保乙最后将所有项消除，只需保证进行奇数次操作二即可，故D错误．
故选C
【点睛】本题主要考查了数列的应用和逻辑推理，属于难题．
7．(2023春·湖南长沙·七年级长沙县湘郡未来实验学校校考阶段练习）一栋公寓楼有5层，每层有一或两套公寓．楼内共有8套公寓．住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里．已知：
（1）J住在两套公寓的楼层．
（2）K住在P的上一层．
（3）二层只有一套公寓．
（4）M、N住在同一层．
（5）O、Q不同层．
（6）Q不住在一层或二层．
（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一次或第五层．
（8）M在第四层；
那么，J住在第（ ）层．
A．1B．2C．3D．5
【答案】D
【分析】首先根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选，就能确定答案．
【详解】解：由（4）和（8）得出M和N住在第四层．由（2）得K只能在2或3层，又由（7）得出L在3层且只有一户，K在二层只有一户，P则在一层．又由（5）和（6）知道O只能在一层，Q在五层．这时只有五层还有一套公寓，所以J只能住在五层．
故选：D．
【点睛】用到的知识点是推理和论证，能根据已知，采取筛选法进行一个一个筛选是解此题的关键．
8．(2023春·吉林长春·八年级吉林大学附属中学期末）判断命题“若，则”是假命题，需要举出的反例是______．
【答案】当时，满足，但是
【分析】根据举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子即可．
【详解】解：∵当时，满足，但是，
∴“若，则”是假命题的反例为：当时，满足，但是，
故答案为：当时，满足，但是．
【点睛】本题主要考查了乘方、命题以及证明，熟知举反例的要求举出满足题设，但是不满足结论的例子是解题的关键．
9．(2023秋·北京海淀·七年级校考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①相等的角是对顶角；
②同位角相等；
③等角的余角相等；
④如果，那么．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据对顶角、平行线的性质、余角的概念、平方根的概念逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题；
②两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题；
③等角的余角相等，原说法正确，是真命题；
④如果，那么，原说法错误，是假命题，
即真命题的个数为1，
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．(2023春·上海·八年级阶段练习）写出命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果___________________，那么 _____________________．
【答案】 三角形两边上的高相等 这个三角形是等腰三角形
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；
【详解】命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
故答案为：三角形两边上的高相等，这个三角形是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
11．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）有下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．有一边互为反向延长线，且和为180°的两个角是邻补角
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【分析】根据对顶角的性质和定义，邻补角的定义，平行线的性质，平行线公理逐一判断即可．
【详解】A、共顶点，且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，但是，相等的两个角，若不满足对顶角的定义，也不是对顶角，故此命题是假命题；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题是假命题；
C、有一边互为反向延长线，且共顶点与共一条边的两个角是邻补角，故此命题是假命题；
D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题真假的判断，掌握命题所涉的相关知识是关键．
12．(2023春·浙江·八年级阶段练习）命题“对顶角相等”改写成如果___，那么___．
【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等
【分析】分清题目的已知与结论，即可解答．
【详解】解：命题“对顶角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
【点睛】本题考查命题的扩充改写，解题关键是先要明确命题中的已知条件和结论，然后根据已经学过的知识将已知和结论的描述语言进行适当扩充．
13．(2023春·全国·八年级专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
（1）则丁同学的得分是_____；
（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是_____（写出一种即可）
【答案】 3 CACCC
【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确，
针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的地方为2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第5题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分，
针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分，
故答案为3；
（ 2）由（ 1）知，五道题的正确选项分别是：CCABA，
如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，
即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，
故答案为：CACCC（答案不唯一）.
【点睛】本题考查合情推理的应用，考查分析图表的能力，熟练运用推理能力是解决本题的关键
考点3：平行线的性质与判定的综合应用
典例：(2023春·陕西汉中·七年级统考期末）如图，点D，E，G分别在，，上，连接，点F在上，连接，，已知．
(1)试判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据，证明，，即可得出结论；
（2）根据平行线的性质以及平角的性质可得答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
又，
，
∵，
．
方法或规律点拨
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
巩固练习
1．(2023秋·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）已知，点E在连线的右侧，与的角平分线相交于点F，则下列说法正确的是（ ）；
①；
②若，则；
③如图（2）中，若，，则；
④如图（2）中，若，，则．
A．①②④B．②③④C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】分别过、作，，再根据平行线的性质可以得到解答．
【详解】解：分别过、作，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，①正确；

∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，②正确，
与上同理，，
∴，
∴，③正确，
由题意，④不一定正确，
∴①②③正确，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键．
2．(2023秋·广东湛江·七年级校考期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据证得，求出，利用邻补角定义求出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
3．(2023秋·江苏南通·七年级期中）如图，线段，交于点，为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
(1)如图，若点在线段上，且为钝角．求证：；
(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）依据过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点，画出图形，根据平行线的性质，即可得出，进而得出；
（2）过点作，根据平行线的性质即可得到，再根据平行线的性质即可得到，进而得出．
【详解】（1）证明：如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2），
理由：如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等：两直线平行，同旁内角互补．
4．(2023春·八年级单元测试）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析；
(3)
【分析】（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；
（2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出；
（3）依据已知条件求得的度数，进而利用平行的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：;
理由：，
,
，
,
,
；
（3）解：，，
,
又，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判定两直线的位置关系，平行线的性质是由平行线关系来寻找角的数量关系．
5．(2023春·八年级单元测试）如图所示，已知，，试判断与的大小关系，并对结论进行说理．
【答案】．证明见解析
【分析】根据平行线的判定与性质进行推理即可．
【详解】解：．证明见解析
证明：（邻补角定义），（已知）
（同角的补角相等）
（内错角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
6．(2023春·吉林长春·七年级吉林大学附属中学期末）（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点P作
∵（已知），
∴（______），
∴，（______），
∴______＋______（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是______．
（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．
（3）拓展延伸：如图3，若与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系______．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；（2）；（3）
【分析】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；
（2）如图2，过E点作，根据平行线的性质可得，，结合对顶角的性质可求解；
（3）由（2）知：，如图3，过F点作，利用平行线的性质可得，由角平分线的定义即可求解．
【详解】解：（1）过点P作，
∵（已知），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，（两直线平行，内错角相等），
∴（等式的性质）．
即，，之间的数量关系是．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；
（2）如图2，过E点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
；
故答案为：；
（3）由（2）知：，
如图3，过F点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，利用类比方式推理是解题的关键．
7．(2023秋·北京·七年级校考期中）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点．
(1)如图1，当点在点的左侧时，若，，直接写出的度数；
(2)如图2，当点在点的右侧时，设，，求的度数（用含有，的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，当点在点的左侧时，根据，，结合平行线的判定与性质，由题中角平分线的定义得到，，即可求的度数；
（2）过点作，当点在点的右侧时，，，参照（1）中解决问题的方法即可求的度数．
【详解】（1）解：过点作，如图1所示：
则有，
，
，
，
，即，
平分，平分，
，，
；
（2）过点作，如图2所示：
则，
，
，
，
，
，即，
平分，平分，
，，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
8．(2023秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）如图，点在上，点在上，、分别交于点、，已知，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)，理由见详解
(2)
【分析】（1）由，，即可推出，即可证明；
（2）由，可推出，从而可证明，得出，，结合题意即得出，再根据得出，从而可得出．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、邻补角、对顶角等知识，熟练掌握平行线的判定条件和性质是解题关键．
9．(2023春·陕西汉中·七年级统考期末）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，过点P作，则与平行吗？为什么？
【答案】(1)，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得，则，由即可得到结论．
【详解】（1）解：，
理由：∵，，
，
．
（2）解：由（1）知，，
．
，
，
，
即．
，
．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
10．(2023秋·河北保定·七年级统考期末）如图1，已知，点，分别在射线和上，在内部作射线，，使平行于．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)小颖发现，在内部，无论如何变化，的值始终为定值，请你结合图2求出这一定值；
(3)①如图3，把图1中的改为，其他条件不变，请直接写出与之间的数量关系；
②如图4，已知，点，分别在射线，上，在与内部作射线，，使平行于，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)①，②
【分析】（1）过点作，可以求出，结合，可以得到，即可求出的度数；
（2）过点作，结合已知可以得出，进而得到，即可求出，的值；
（3）①根据题意画出对应的图形，结合平行线的性质和判定即可得到与之间的数量关系；
②根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线，结合平行线的性质与判定即可正确解答．
【详解】（1）过点作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
（2）过点作
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
（3）①
②
【点睛】本题主要考查的是平行线模型，根据题意画出对应的图形，添加适当的辅助线是解题的关键．
11．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）已知：，、是上的点，、是上的点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为的角平分线，交于点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点，若平分，且比的多，求的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；
（2）如图所示（见详解），过点作，根据平行性的性质，可求得，由此即可求解；
（3）设，则，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
∴．
（3）解：如图所示，
设，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的度数为．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的性质的综合运用，掌握平行线的性质和判定，角平分线性质，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键．
12．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考期中）如图，直线、被所截，直线分别交、于、两点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，、分别为夹在、中的两条直线，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，为上一点，连接，为上一点，连接，，平分交于点，，，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）只需要证明即可证明；
（2）先由平行线的性质得到，进而证明，即可证明；
（3）如图所示，过点N作直线，则，设，先证明，再由平行线的性质得到，，由，得到，则，，进而求出，则，根据平行线的性质求出，从而求出，再由平分，得到，最后根据，即可得到 ．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点N作直线，则，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
考点4：利用图形的平移解决问题
典例：(2023秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
(1)把△ABC进行平移得到△A′B′C′，使点B与B′对应，请在网格中画出；
(2)线段AA′与线段CC′的关系是______________；
(3)平移过程中，线段BC扫过的面积是________．
【答案】(1)见详解
(2)平行且相等
(3)12
【分析】（1）根据图形可得，点B向右平移5个单位，向上平移2个单位，得到，分别将A、C按照点B平移的路径进行平移，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）连结、、，过C点作，BC扫过的图形看成两个三角形，利用网格图即可求解．
（1）
作图如下，
即为所求；
（2）
线段与线段相互平行且相等，
故答案为：平行且相等，
（3）
连接、、，过C点作，如图，
由图可知BC扫过的图形为四边形，
根据网格图可知：，，
∵，
∴面积为，
同理可以求出面积为6，
∵平行四边形的面积是和的面积之和，
∴平行四边形面积为6+6=12，
即BC扫过的图形的面积为12．
方法或规律点拨
本题考查了平移变换作图以及平移的性质，解答本题的关键是根据网格结构找到对应点的位置，然后顺次连接．
巩固练习1．(2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图是2022年北京冬奥会的吉样祥物冰墩墩，在下面的四个图形中，能由该图经过平移得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】平移的两个要素是方向、距离，平移后图像大小不变，平移图像与原图像对应点的连线相互平行，由此即可求解．
【详解】解：根据平移的要素，性质得，
选项，大小发生变化，不符合题意；
选项，图像发生旋转，不符合题意；
选项，图像是由平移得到，符合题意；
选项，图像发生旋转，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查平移的定义，要素，性质，掌握平移后原图像与平移后图像对应点的连线相互平行，图像大小不变是解题的关键．
2．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，有一块长为a米，宽为3米的长方形地．中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移米能得到它的右边线，若草地的面积为12米，则a的值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】根据小路的左边线向右平移米能得到它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据面积公式，可得答案．
【详解】解：依题意有，
解得．
故答案为：C
【点睛】本题考查了生活中的平移现象，难度不大，属于常考题型．
3．(2023秋·江苏南通·七年级期中）如图，将直角沿边向右平移得到，交于点G．，，，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【分析】是直角，是梯形的高，根据的长度求出的长度，利用梯形的面积公式求出．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵是梯形的高，
阴影部分的面积为：．
故答案是：．
【点睛】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，确定的长度，利用直角三角形的性质，确定为高，是解题的关键．
4．(2023秋·广东东莞·七年级东莞市中堂中学校考期中）如图，中，，，将平移至的位置，若四边形的面积为20，且，则__．
【答案】4
【分析】根据平移的性质可知：，，，根据题中图形关系得到，设，则，即，解方程求得的值即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：
由平移至得，，，
，，
，
，四边形的面积为20，
，
设，则，即，解得，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查平移的性质、有关图形的面积关系，求出各个相关图形面积的表示是解决问题的关键．
5．(2023春·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，这个图形的周长为多少____ ．
【答案】
【分析】根据平移的性质，再根据图形的周长等于长是宽是的矩形的周长，然后列式计算即可解答．
【详解】解：如图：图形的周长．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，把图形的周长转化为矩形的周长是解答本题的关键．
6．(2023春·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校期末）如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，若小路的宽为2m，则绿化面积为___________？
【答案】560
【分析】将小路平移后绿化部分即是长，宽的长方形，根据长方形的面积求解即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：560．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列式求出答案．．
7．(2023秋·北京西城·七年级期中）如图，将沿BC方向平移得到，若的周长为16，则四边形的周长为__________．
【答案】
【分析】根据平移的性质得到线段相等及，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，，，，
∵的周长为16，
∴四边形的周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查平移的性质：图形平移大小形状不改变，只是位置发生改变，对应点连线等于平移距离．
8．(2023秋·重庆云阳·七年级校考阶段练习）如图，在宽为13米、长为24米的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪. 则草坪的面积为__________.
【答案】242平方米
【分析】通过平移可得，草坪可以看作长为米，宽为米的长方形，再根据长方形的面积计算即可．
【详解】解：草坪的面积为：（平方米）．
故答案为：242平方米．
【点睛】本题主要考查了平移现象，理清题意，把草坪可看作长为米，宽为米的长方形是解答本题的关键．
9．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点、、均在小正方形的顶点，把三角形平移得到三角形，使点的对应点为．
(1)请在图中画出三角形．
(2)连接、，直接写出三角形的面积为___________．
【答案】(1)作图见详解
(2)
【分析】（1）连接，确定移动距离，过点，作的平行线，并在平行线上分别取，，连接点，，所成图形即为所求图形；
（2）根据图示（见详解），每个小正方形的边长均为1，由此可知的长，的高，由此即可求解．
【详解】（1）解：根据平移的性质，作图如下，
所在位置即为所求图形的位置．
（2）解：如图所示，连接、，
∵网格中每个小正方形的边长均为1，
∴的长，过点作延长线于，
则的高，
∴三角形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查网格中三角形的变换，平移的性质，掌握平移的性质，三角形面积的计算方法是解题的关键．
10．(2023春·江苏·八年级统考期中）在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，内角均为直角，的三个顶点均在“格点”处．
(1)将平移，使得点B移到点的位置，画出平移后的；
(2)利用正方形网格画出的高；
(3)连接、，利用全等三角形的知识证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可；
（2）根据三角形的高的定义画出图形即可；
（3）证明，可得结论．
【详解】（1）过点作，且，再沿着向右移动两个单位，再向上移动五个单位，就可得到点，连接，，即可得到
（2）设从点的位置向右两个单位的点为，连接，则就是所求的高
（3）设交于点J．
在和中，
，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图平移变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，正确寻找全等三角形解决问题．
11．(2023·全国·七年级专题练习）在如图所示的网格图每个小网格都是边长为个单位长度的小正方形中，，分别是的边，上的两点．
(1)将线段向右平移，使点与点重合，画出线段平移后的线段，连接，并写出相等的线段；
(2)在（1）的条件下，直接写出与相等的角；
(3)请在射线上找出一点，使点与点的距离最短，并写出依据．
【答案】(1)图见解析，相等的线段有：
(2)
(3)图见解析，点即为所求．依据是：垂线段最短
【分析】（1）根据要求画出图形，然后根据平移的性质找到相等的线段即可；
（2）利用平移和平行线的性质求解即可；
（3）根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段，线段即为所求；由平移的性质可知：
（2）解：由平移的性质可知，
∴，
∴，即，
∴与∠BOC相等的角有；
（3）解：如图所示，点D即为所求，依据是：垂线段最短．
【点睛】本题考查作图—平移作图，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
12．(2023秋·河北承德·七年级校考期中）作图并回答问题：
(1)上图中的网格是边长为1个单位长度的正方形构成的，画出网格内四边形ABCD向右平移8个单位长度后的四边形．
(2)若∠DCB=95°，∠=65°，则∠=_______，∠BAD=_______；
(3)若AD=3.2，=5.2，则=_______，AB=_______；
(4)线段、、、之间的关系是_________________________．
【答案】(1)见解析
(2) 95° 65°
(3) 3.2 5.2
(4)===；
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点，，，即可；
（2）利用平移变换的性质知对应角相等即可求解；
（3）利用平移变换的性质知对应边相等即可求解；
（4）根据平移变换的性质即可求解．
（1）
解：如图，四边形即为所求；
；
（2）
解：若∠DCB=95°，∠=65°，则∠=95°，∠BAD=65°；
故答案为：95°，65°；
（3）
解：若AD=3.2，=5.2，则=3.2，AB=5.2；
故答案为：3.2，5.2；
（4）
解：线段、、、之间的关系是：===；
．
【点睛】本题考查了平移变换的性质．平移的性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等．平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）．
13．(2023秋·福建厦门·七年级校考阶段练习）按要求作图
(1)在图1中过A点画直线l的垂线段，垂足为点D．
(2)在图2中画出△ABC平移后的图形△，使点A运动到点A'．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂线段的定义画出图形即可．
（2）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′即可．
（1）
解：如图1，线段AD即为所求作．
（2）
解：如图2，△A′B′C′即为所求作．
【点睛】本题考查作图﹣平移变换、垂线段的定义等知识，解题的关键是理解并灵活应用相关概念．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．(2023春·陕西汉中·八年级统考期中）可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】找到一对满足，但不满足的、的值即可．
【详解】解：，满足，但不满足,
故当，时符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，解题的关键是了解相等或互为相反数的两数的平方相等．
2．(2023·全国·七年级专题练习）如图，若图形A经过平移与下方图形阴影部分拼成一个长方形，则平移方式可以是（ ）
A．向右平移4个格，再向下平移4个格
B．向右平移6个格，再向下平移5个格
C．向右平移4个格，再向下平移3个格
D．向右平移5个格，再向下平移4个格
【答案】A
【分析】根据平移的性质、结合图形解答即可．
【详解】解：图形A向右平移个格，再向下平移个格可以与下方图形阴影部分拼成一个长方形，
故选：．
【点睛】本题考查的是平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．
3．(2023·河南安阳·模拟预测）如图，生活中，将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果，那么的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质进行求解即可；
【详解】如图，
将一个宽度相等的纸条按右图所示折叠，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确结合已知条件进行计算是解题的关键．
4．(2023春·八年级单元测试）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由平分，求得的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．
5．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点B作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出，再解答即可．
【详解】解：过点B作，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴的度数为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此题的关键是加辅助线，然后利用平行线的性质求解即可．
6．(2023秋·河北邢台·七年级校考期末）如图，点，分别在直线，上，点，在两直线之间，线段与相交于点，且有，．三人说法如下：甲：；乙：；丙：．下列判断正确的是（ ）
A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲对，丙对D．乙对，丙错
【答案】D
【分析】根据平行线的性质和判断即可求解答案．
【详解】解：∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴甲说的对；
∵，
∴ （两直线平行，内错角相等），
又∵，
∴（等量代换），
∴ （内错角相等，两直线平行），
∴乙说的对；
∵不能确定 与， 与的关系，
∴条件不足，无法证明，
∴丙说的错误．
即甲对、乙对、丙错，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判断，熟练掌握平行线的性质和判断是解题的关键．
二、填空题（每题3分）
7．(2023春·八年级单元测试）在同一平面内，直线、、中，若，，则、的位置关系是__．
【答案】##
【分析】根据平行线的性质进行解答即可．
【详解】解：如图所示：
同一平面内，已知直线a、b、c，且，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线．
8．(2023秋·陕西渭南·七年级统考阶段练习）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……，那么……”的形式为__________________________________________．
【答案】如果在同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】解：命题可以改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
故答案为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
【点睛】本题考查命题的题设和结论，解题的关键是掌握任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别写在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
9．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，，把三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数为_________
【答案】35
【分析】先由直角三角板得，再由直线根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为35．
【点睛】题考查了学生对平行线性质的应用，关键是求出．
10．(2023·四川宜宾·模拟预测）有下列说法：对顶角相等；同位角相等；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；点到直线的距离即为垂线段；同旁内角互补，两直线平行其中正确的有___________ ．
【答案】
【分析】分别利用平行线的性质、对顶角的性质及平行公理对四个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：对顶角相等，故正确；
只有在两直线平行的条件下，同位角一定相等，故错误；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；
点到直线的距离即为垂线段的长度，故错误；
同旁内角互补，两直线平行，正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质及平行公理的知识，属于基础定理及定义，难度不大．
11．(2023春·吉林长春·七年级长春市第四十五中学校考期中）如图，将沿着方向平移得到，若，，，则四边形的面积为_____________．
【答案】40
【分析】先根据平移的性质得到，则，，所以，然后根据梯形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵沿方向平移得到，
∴，
∴，（cm），
∵，
∴．
故答案为：40．
【点睛】本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
12．(2023秋·湖北武汉·七年级统考期中）当光线从水中射向空气中时，要发生折射．在水中平行的光线在空气中也是平行的．如图，一组平行光线从水中射向空气中，已知∠5＝2∠3，2∠2﹣90°＝∠7，则∠4＝_____．
【答案】120°##120度
【分析】根据平行线的性质得到∠4＝∠2，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∠4+∠6＝180°，∠3+∠8＝180°，等量代换即可得到结论．
【详解】∵EFABCD，在水中平行的光线在空气中也是平行的．
∴∠4＝∠2，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∠4+∠6＝180°，∠3+∠8＝180°，
∴∠4+∠5＝180°，∠8＝180°﹣∠3，
∵∠5＝2∠3，2∠4﹣90°＝∠8，
∴2∠4﹣90°＝180°﹣∠3，∠4+2∠3＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠4，
∴2∠4﹣90°＝180°﹣（90°﹣∠4），
∴∠4＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学阶段练习）填空完成推理过程：
如图，，，求证：．
证明：∵（已知），
（ ），
∴（ ），
∴ （ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【分析】先根据已知条件，判定，进而得出，再判定，最后根据平行线的性质，即可得出．
【详解】证明：∵（已知），
（对顶角相等）
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知），
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
故答案为：对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
14．(2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，在方格纸内将平移后得到，图中点为点的对应点．
(1)画出的边上的中线；
(2)画出的边上的高；
(3)画出；
(4)的面积为_____．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
(4)8．
【分析】（1）利用格线的特点，取的中点，利用中线的定义得出答案；
（2）直接利用高线的作法，结合格线的特点得出答案；
（3）直接利用得出平移后对应点位置进而得出答案；
（4）直接利用三角形面积求法得出答案．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
（3）如图所示：即为所求；
（4）的面积为：．
【点睛】此题考查了平移作图，三角形面积求法，以及三角形中线、高线的作法，正确把握相关定义是解题关键．
15．(2023春·吉林长春·七年级期末）【感知】如图①，，，，的度数为______．
【探究】如图②，，点P在射线上运动，，，
（1）当点P在线段上运动时，试探究，，之间的数量关系．
（2）当点P在线段C，D两点外侧运动时（点P与点C，D，O三点不重合），直接写出，，之间的数量关系为______．
【答案】感知：；探究：（1）；（2）或．
【分析】感知：过点P作直线，根据平行线性质知两直线平行同旁内角互补可以求出，和即可；
探究：（1）如图，过点P作直线，而，可得，可得，，从而可得答案；
（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，可得，可得，，当在的右边时，如图，过点P作直线，而，，，，再利用角的和差可得答案．
【详解】解：感知：过点P作直线，
∵，
∴．
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
∴的度数为．
故答案为：105°；
探究：（1）如图，当点P在线段上运动时，
过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
（2）当在的左侧时，如图，过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
当在的右边时，如图，过点P作直线，而，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出辅助线构建平行线探究角与角之间的联系是解本题的关键．第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A