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人教版七年级数学下册同步精品讲义第13讲专题8.1-2二元一次方程组及其解法(学生版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义第13讲专题8.1-2二元一次方程组及其解法(学生版+解析)，共85页。试卷主要包含了二元一次方程，二元一次方程的解，二元一次方程组，二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法等内容，欢迎下载使用。
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合-一个二元- -次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
考点精讲
考点1：二元一次方程得定义
典例：（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）若方程是关于x的一元二次方程，则______．
方法或规律点拨
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）若方程是二元一次方程，则表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B． C．D．
5．(2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．C．D．
6．(2023秋·湖南永州·七年级统考期中）若关于x的方程是二元一次方程，则______．
7．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为______．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．
9．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）已知 是关于x，y的二元一次方程，则 _______________．
10．(2023秋·河南郑州·八年级校联考期末）已知是二元一次方程，则a的值为______．
考点2：二元一次方程组的判定
典例：（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方程，②方程组中一共只含有两个未知数，③含未知数的项的次数是1．
巩固练习
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）下列属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023秋·湖南怀化·七年级校考阶段练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3：二元一次方程（组）的解及应用
典例：（2023春·七年级课时练习）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．3D．
方法或规律点拨
本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，将两个式子相减得到所需代数式是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．（2023春·浙江·七年级期中）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）现有5元和10元的人民币若干张，如果凑成50元人民币，有几（ ）种方法．
A．4B．5C．6D．7
4．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）若，是方程的解，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（ ）
A．和2B．和4C．2和D．2和
8．（2023秋·贵州毕节·八年级校联考期末）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．1C．D．
9．（2023春·浙江·七年级期中）若是关于，的方程的一个解，则的值为______．
10．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知是方程的一个解，那么a的值是______．
11．(2023秋·山东枣庄·八年级校考期中）若是方程组的解，则___________；___________．
考点4：二元一次方程组的解法
典例：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元法）
(2)（加减消元法）
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的思想．
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得
2．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（ ）
A．由①得代入②B．由①得代入②
C．由②得代入①D．由②得代入①
3．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，则k，b的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
6．（湖南省娄底市2023-2024学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组：
(1)
(2)
7．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组：
(1)；
(2)．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程组：
(1)；
(2)．
9．（2023春·浙江·七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元）
(2)（加减消元）
11．（2023春·浙江宁波·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
12．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）关于x、y的方程组．
(1)当时，解方程组；
(2)若方程组的解满足，求k的值．
13．(2023春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组
(1)
(2)
考点5：二元一次方程组的错解问题
典例：（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组的解及二元一次方程组的错解问题，理解方程组的解是使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，那么a和b的正确值应是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（ ）
A．，6B．2，6C．2，D．，
3．（2023·全国·九年级专题练习）甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则=___________，=___________，c= ___________．
4．（2023春·七年级单元测试）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组，中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)求当x为何值时，？
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值．
9．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求的值．
10．（2023春·七年级课时练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为.
(1)求出原方程组的正确解．
(2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？
11．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值．
12．（2023春·七年级单元测试）已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
(1)求出原题中a和b的正确值是多少？
(2)求这个方程组的正确解是多少？
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求原方程组的解．
14．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
考点6：二元一次方程组的特殊解法
典例：(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·全国·八年级单元测试）已知方程组的解是，则的解是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·无八年级期中）已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是___________．
3．(2023·全国·八年级专题练习）已知，满足方程组，则的值为______．
4．(2023·江苏·射阳县实验初级中学七年级期中）方程组的解是，请你写出方程组的解______．
5．(2023·全国·九年级专题练习）关于x、y的方程组，则x+y的值为________
6．(2023·四川·广元市利州区东城实验学校七年级期末）若方程组的解是，则方程组的解是_____．
7．(2023·山东·曲阜师范大学附属实验学校七年级期末）已知关于a，b满足方程组，则的值为_____________．
8．(2023·浙江·之江中学七年级阶段练习）关于x，y的方程组的解为，则①__________．
②关于x，y的方程组的解为__________．
9．(2023·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______．
10．(2023·江西赣州·七年级期中）三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
11．(2023·山西临汾·七年级期末）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
12．(2023·福建·漳州三中八年级期中）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
13、(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
考点7：含有字母系数的二元一次方程组
典例：典例：(2023·浙江·龙游县华岗中学七年级阶段练习）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．1B．2C．3D．4
方法或规律点拨
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·江苏·如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
2．(2023·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）已知方程组的解x、y满足方程5x﹣y＝3，求k的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
3．(2023·海南省直辖县级单位·七年级期末）若方程组的解适合，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
4．(2023·浙江·宁波外国语学校七年级期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
5．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值等于（ ）
A．1B．0C．－1D．2
6．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
7．(2023·全国·八年级单元测试）已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，该方程组的解也是方程的一个解；
②当时，则；
③无论取任何实数，的值始终不变，以上三种说法中正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
解的定义，二元一次方程组的解的定义，平方差公式，解二元一次方程组．
8．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
9．(2023·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．
10．(2023·四川省南充市高坪中学七年级期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错中的，解得，试求的值.
11．(2023·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组
(1)试用含的式子表示方程组的解．
(2)若方程组的解也是方程的解，求的值．
12．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的方程组；
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)当m每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；
(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．
13．(2023·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y=5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组再求 m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组 再求m的值．
你最欣赏上面的哪种思路?先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
能力提升
一、单选题（每题3分）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·八年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x+x+5＝8D．3x﹣x+5＝8
4．(2023·山东滨州·八年级期中）如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（ ）
A．B．4C．D．2
5．(2023·福建·漳州三中八年级期中）已知是方程的解，则m的值为（ ）
A．7B．C．1D．
6．(2023·陕西·商南县富水镇初级中学八年级期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
二、填空题（每题3分）
7．(2023·福建·仙游县蔡襄中学七年级期末）已知：，用含x的式子表示y，y=________．
8．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）若是方程组的解，则的值是______________.
9．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组，则的值为______．
的关键．
10．(2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）若方程组的解为，则的解为__________________________．
11．(2023·浙江·七年级期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为______．
12．(2023·江西·泰和水槎中学八年级期末）已知方程组和的解相同，则______．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023·山东济南·八年级期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
14．已知关于x,y的二元一次方程组,
（1）当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值；
（2）说明无论a取什么数，的值始终不变．
15．完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
专题8.1-2 二元一次方程组及其解法（103题69页）
目标导航
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合-一个二元- -次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
考点精讲
考点1：二元一次方程得定义
典例：（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）若方程是关于x的一元二次方程，则______．
【答案】1
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：1．
方法或规律点拨
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】中未知项有2次方，不是二元一次方程，故A不符合题意；
符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故B符合题意；
不是整式方程，故C不符合题意；
中未知项有2次方，不是二元一次方程，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程”是解题关键．
2．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）若方程是二元一次方程，则表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义：两个未知数，含未知数的项的次数为1次的整式方程，即可得出结果．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，
∴表示的数是0，
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．熟练掌握二元一次方程的定义，是解题的关键．
3．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1用排除法求出答案．
【详解】解：① 属于二元二次方程，故不符合题意；
②符合二元一次方程的定义，故符合题意；
③不属于整式方程，故不符合题意；
④属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤符合二元一次方程的定义，故符合题意；
⑥属于三元一次方程，故不符合题意．
故选．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程．
4．（2023春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是二元一次方程，故本选项符合题意；
B、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
5．(2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程定义：含有两个未知数，未知数最高次数为1的整式方程，逐项判定即可得到答案．
【详解】解：A、符合定义，故符合题意；
B、方程的最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
C、方程的最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
D、方程不是整式方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程定义，熟记含有两个未知数，未知数最高次数为1的整式方程叫二元一次方程是解决问题的关键．
6．(2023秋·湖南永州·七年级统考期中）若关于x的方程是二元一次方程，则______．
【答案】
【分析】直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．
【详解】解：根据题意得，且，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
7．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为______．
【答案】3
【分析】根据二元一次方程的定义可得，进一步即可求出结果．
【详解】解：根据题意，得，
解得：，
所以；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键．
9．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）已知 是关于x，y的二元一次方程，则 _______________．
【答案】
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】解：由是关于x,y的二元一次方程，得
且 ．
解得 ．
，
故答案为：．
【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
10．(2023秋·河南郑州·八年级校联考期末）已知是二元一次方程，则a的值为______．
【答案】1
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值．
【详解】解：是二元一次方程，
，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值和二元一次方程的定义，能根据题意得出和是解此题的关键．
考点2：二元一次方程组的判定
典例：（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：因为A选项中含有三个未知数，因此不是二元一次方程组，不符合题意；
因为B选项中含有分式，因此不是二元一次方程组，不符合题意；
因为C选项中含有二次项，因此不是二元一次方程组，不符合题意；
因为D选项中是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方程，②方程组中一共只含有两个未知数，③含未知数的项的次数是1．
巩固练习
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、有三个未知数，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
B、最高次数为2，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
C、是二元一次方程组，故该选项符合题意；
D、含有分式，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个一次方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
2．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据由两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组进行判断即可．
【详解】解：A.是二元一次方程组；
B.是二元一次方程组；
C.是二元一次方程组；
D.不是二元一次方程组；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组是由两个共含有两个未知数，未知数的次数是1，且都是整式的方程组成是解题的关键．
3．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）下列属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、其中一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B、有三个未知数，故不是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、是二元一次方程组，故C符合题意；
D、是二元二次方程组，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．原方程组为三元一次方程组，故A不符合题意；
B．原方程组为分式方程组，故B不符合题意；
C．原方程组为二元一次方程组，故C符合题意；
D．原方程组为二元二次方程组，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
5．(2023秋·湖南怀化·七年级校考阶段练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：A.是二元一次方程组，故A正确；
B.是三元一次方程组，故B错误；
C.是二元一次方程组，故C正确；
D.是二元一次方程组，故D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
6．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由两个方程组成，且含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可.
【详解】解：A．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B．是二元一次方程组，故B符合题意；
C．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故C不符合题意；
D．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握“根据二元一次方程组的定义识别二元一次方程组”是解本题的关键.
7．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【详解】解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
④方程组含有，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
⑤符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
考点3：二元一次方程（组）的解及应用
典例：（2023春·七年级课时练习）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】将方程组的解代入方程组，得到的两个式子相减即可得到最后代数式的结果．
【详解】解：将代入原方程组得：，
①②得：，
代数式的值是2．
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，将两个式子相减得到所需代数式是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解．
【详解】解∶，
，
当时，时，时，，
则方程的非负整数解为或或
故选∶C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
2．（2023春·浙江·七年级期中）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．理解二元一次方程解的定义是解题的关键．
3．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）现有5元和10元的人民币若干张，如果凑成50元人民币，有几（ ）种方法．
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】用二元一次方程解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．由于5元和10元的数量都是未知量，可设出5元和10元的数量．本题中等量关系为：5元的总面值10元的总面值元．
【详解】解：设5元的数量为x，10元的数量为y．
则，，
，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
共有6种换法．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．本题要找好等量关系，对于两个未知量要找到其取值范围，此外，还应注意两个未知量是整数．
4．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）若，是方程的解，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】把，代入，即可求解．
【详解】解：∵，是方程的解，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．
【详解】解：A．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
B．把代入得：，即是二元一次方程的解，故本选项符合题意；
C．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
D．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
6．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
7．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（ ）
A．和2B．和4C．2和D．2和
【答案】D
【分析】根据方程解得定义，把代入可求出x的值，进而求出的值，即可求出答案．
【详解】解：将代入方程得：，
解得：，
将代入方程中，
，
即两个数为2和．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，知道方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．
8．（2023秋·贵州毕节·八年级校联考期末）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据方程的解，将其代入方程即可求解．
【详解】解：将代入方程，
得即，
解得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解以及求参数解的问题．
9．（2023春·浙江·七年级期中）若是关于，的方程的一个解，则的值为______．
【答案】
【分析】把代入方程求出m，即可．
【详解】解：把代入方程，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，属于基本题型，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解题的关键．
10．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知是方程的一个解，那么a的值是______．
【答案】2
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：把代入得：
，
解得：．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
11．(2023秋·山东枣庄·八年级校考期中）若是方程组的解，则___________；___________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解满足方程组，把二元一次方程组的解代入，可得答案．
【详解】解：把代入方程组，
．
解得：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握方程组的解的定义：使方程组的两个方程均成立的一对未知数的值就叫做方程组的解．
考点4：二元一次方程组的解法
典例：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元法）
(2)（加减消元法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把①式代入②式，求出b的值，再将b的值代入①式，求出a的值即可；
（2）用①式加上②式，即可消去b，求出m的值，再将m的值代入①式，求出b的值即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的思想．
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得
【答案】D
【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易．
【详解】解：观察可知，由②得代入后化简比较容易，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（ ）
A．由①得代入②B．由①得代入②
C．由②得代入①D．由②得代入①
【答案】C
【分析】根据用代入法解二元一次方程组分析研究即可．
【详解】解：由于两方程中只有②中未知数的系数最小，
故可把②变形为用表示的形式，再代入①求解．
故选：C．
【点睛】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法代入法是解题的关键．
3．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把代入，再根据去括号法则去掉括号即可．
【详解】
把②代入①，得，
去括号，得．
故选：D．
【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组和去括号法则，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解题的关键．解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
4．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，则k，b的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据二元一次方程解的定义把，分别代入二元一次方程中得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得，的值，再将，的值代入代数式，计算即可得出结论．
【详解】解：∵关于，的方程和的解相同，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴的值为．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、求代数式的值，根据题意，联立二元一次方程组，并求得，的值是解题的关键．
6．（湖南省娄底市2023-2024学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，然后将的值代入，可求出的值，进一步即可确定二元一次方程组的解；
（2）由①得，根据加减消元法得，求出的值，代入③可求出的值，即可确定二元一次方程组的解．
【详解】（1）将代入，
得，
解得，
将代入，
∴方程组的解为；
（2），
由①得③，
②③得，
解得，
将代入③，得，
解得，
∴方程组的解．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元和代入消元法是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用代入法解方程组．
【详解】（1）解：，
把①代入到②中得：，
解得：，
把代入到①得：，
方程组的解为；
（2），
把②代入①得：，
解得：，
，
原方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的解法：代入法和加减法是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）用代入法求解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解是；
（2）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法求解二元一次方程组的关键．
9．（2023春·浙江·七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）利用代入消元法求解即可；
（4）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（2），
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（3），
由得：，代入中，
得：，
解得：，
代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（4）方程组整理得：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元）
(2)（加减消元）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法计算即可；
（2）利用加减消元法计算即可．
【详解】（1）解：，
由可得：，
把代入，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
整理可得：，
把得：，
由，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握加减消元法和代入消元法．
11．（2023春·浙江宁波·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）先整理，然后利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
由②得，③，
①+③得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
则方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法－代入消元法，加减消元法是解题的关键．
12．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）关于x、y的方程组．
(1)当时，解方程组；
(2)若方程组的解满足，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入方程组，解方程组即可；
（2）根据，可得，代入方程组解关于x、k的方程组即可．
【详解】（1）解：当时，可得：，
解得；
（2）解：∵方程组的解满足，
，
把代入方程组可得：，
解得，
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
13．(2023春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是；
（2）方程组整理得：，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法．
考点5：二元一次方程组的错解问题
典例：（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1；
(2)．
【分析】（1）已知甲看错了方程组中的，得解为，所以把代入，得到；乙看错了方程组中的，得解为，所以把代入，得到，即可解答；
（2）将代入，得到，将代入，得到，将与的值代入方程组，求解即可．
【详解】（1）∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，
∴把代入，得：
，
解得：，
解方程组时，由于粗心，乙看错了方程组中的，得解为，
∴把代入，得：
，
解得：，
∴甲把错看成了1，乙把错看成了1
（2）由题意得：
将代入，得：
，
解得：，
将代入，得：
解得：，
∴原方程组为：，
即，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组的解及二元一次方程组的错解问题，理解方程组的解是使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，那么a和b的正确值应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可．
【详解】解：∵两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，
∴把代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（ ）
A．，6B．2，6C．2，D．，
【答案】A
【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值.
【详解】把代入方程②中得
解得
把代入方程①中得
解得
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键.
3．（2023·全国·九年级专题练习）甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则=___________，=___________，c= ___________．
【答案】 2 0 1
【分析】先把把代入求得c，把代入可得，把代入可得，最后解关于a、b的二元一次方程组即可解答．
【详解】解：把代入，解得：
再把代入可得：
把代入可得：
联立，解得．
故答案为：2，0，1．
【点睛】本题主要考查学生对二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，理解二元一次方程组的解是解答本题的关键．
4．（2023春·七年级单元测试）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组，中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意，得：，满足；满足，
∴，
∴，
∴原方程组为：，解得：；
故选B．
【点睛】本题考查解含参的二元一次方程组．熟练掌握方程组的解满足没有看错的那个二元一次方程，是解题的关键．
5．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程组解的定义，无论c是对是错，甲和乙求出的解均为的解．将和分别代入，组成方程组，从而得出a的值．将甲的正确解代入，从而得出c的值．
【详解】解：将和分别代入，得
，
解得，
把代入，得
，
所以．
故选：A．
【点睛】本题需要对二元一次方程组的解和二元一次方程的解的定义有一个深刻的认识，知道不定方程有无数个解．
6．(2023秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程．
7．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)求当x为何值时，？
【答案】(1)k的值为，b的值为
(2)
【分析】（1）根据题意建立关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）由（1）得，再根据题意建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：依题意得，
得，解得，
把代入②得，解得，
∴k的值为，b的值为；
（2）解：由（1）得，
当时，则，
解得．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，正确理解题意建立方程和方程组是解题的关键．
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值．
【答案】
【分析】把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值．
【详解】解：将、代入得：
得：，
解得，
把代入①得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求的值．
【答案】64
【分析】把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．
【详解】由题意得方程组，解得．
∴．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
10．（2023春·七年级课时练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为.
(1)求出原方程组的正确解．
(2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？
【答案】(1)
(2)甲把看成的数是，乙把看成的数是
【分析】（1）根据题意，把代入，求出b的值，把代入，求出a的值，进而，求出原方程组的解；
（2）根据题意，把代入，求出a的值，把代入，求出b的值，即可.．
【详解】（1）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∵乙看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∴原方程组是：
，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的正确解是： ；
（2）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∵乙看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
答：甲把看成的数是，乙把看成的数是．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，掌握解的意义和解二元一次方程组的步骤，是解题的关键．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值．
【答案】；
【分析】把代入②中，把代入①中，联立方程求解可得到，的值，再代入所求的式子运算即可．
【详解】根据题意得：，
解得：，
∴，
，
，
，
【点睛】本题主要考查积的乘方，解二元一次方程组，解答本题的关键是对相应知识的掌握与运用．
12．（2023春·七年级单元测试）已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
(1)求出原题中a和b的正确值是多少？
(2)求这个方程组的正确解是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）甲同学看错了a，但是所得的方程组的解是满足方程②，乙同学看错了b，但是所得的方程组的解满足①，由此得到关于a，b的方程；
（2）根据（1）所求得到原方程组为，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴；
（2）解：由（1）得原方程组为，
用得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意得到关于a，b的方程是解题的关键．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意将x＝2，y＝代入方程②可得b的值，将x＝2，y＝﹣1代入方程①可得a的值，进而可得结果；
（2）结合（1）将a和b的值代入原方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：
将x＝2，y＝代入方程②，得
，
解得b＝4，
将x＝2，y＝﹣1代入方程①，得
2a﹣3＝1，
解得a＝2，
∴；
（2）由（1）知方程组为：
，
①×2-②，得
y＝，
把y＝代入②得，x＝，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，掌握加减消元法是解题的关键．
14．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)
【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
【详解】（1）解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
把，代入原方程组，
可得：，
由②得：③，
由①+③，可得：，
∴，
把代入①，可得：，
解得：，
∴原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
考点6：二元一次方程组的特殊解法
典例：(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
方法或规律点拨
本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·全国·八年级单元测试）已知方程组的解是，则的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴即的解满足
解得
故选D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
2．(2023·陕西·无八年级期中）已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是___________．
【答案】
【分析】观察发现和形式完全相同，故整体考虑，可得，然后解方程即可．
【详解】解：∵和形式完全相同，
∴，解的，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了整体思想在解二元一次方程组中的应用，善于观察所给两个方程组的特点，整体考虑，是解题的关键．
3．(2023·全国·八年级专题练习）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】2
【分析】利用整体思想的得出结果，之后等式两边都除以，即可得出的值．
【详解】解：，
得，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握用整体思想解决问题是解题的关键．
4．(2023·江苏·射阳县实验初级中学七年级期中）方程组的解是，请你写出方程组的解______．
【答案】
【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【详解】解：方程组变形为，
∵方程组的解为，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
5．(2023·全国·九年级专题练习）关于x、y的方程组，则x+y的值为________
【答案】
【分析】根据加减消元法求解即可.
【详解】解:，
①-②，得，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解二元一次方程，常见的解法有：代入消元法和加减消元法，运用整体思想求解是解题的关键.
6．(2023·四川·广元市利州区东城实验学校七年级期末）若方程组的解是，则方程组的解是_____．
【答案】
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5，通过换元替代的方法来解决．
【详解】解：将方程组的两个方程都乘以5得：
，
∵方程组的解是，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题是考查了解二元一次方程组，考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决，有一定的难度．
7．(2023·山东·曲阜师范大学附属实验学校七年级期末）已知关于a，b满足方程组，则的值为_____________．
【答案】1
【分析】方程组两方程相减即可求出所求．
【详解】解：，
②-①得：a-b=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
8．(2023·浙江·之江中学七年级阶段练习）关于x，y的方程组的解为，则①__________．
②关于x，y的方程组的解为__________．
【答案】
【分析】将已知解代入方程组中可得，将两式相加可得的值，将可得，与对比可得，解出即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．
9．(2023·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______．
【答案】
【分析】根据题意，整体代入即可得出结果．
【详解】解：，
设x+y=u，x−y=v，
则原方程化为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查代入消元法，理解题意是解题关键．
10．(2023·江西赣州·七年级期中）三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
【答案】
【分析】所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【详解】解：设m=x−1，n=y−2，
∵方程组，的解是，
∴ 的解是，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键．
11．(2023·山西临汾·七年级期末）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
【答案】
【分析】由题意可得 即可求方程组的解．
【详解】解：方程组 的解是
解得
故答案为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
12．(2023·福建·漳州三中八年级期中）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【答案】(1)方程组的解为
(2)（i）；（ii）原方程组的所有整数解是或
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）（i）把方程变形后，再把将①代入方程②，即可；
（ii）根据x与y是整数且计算即可．
【详解】（1），
将方程②变形：，
即③，
把方程①代入③得：，
解得，
把代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）（i）原方程组化为，
将①代入方程②得：，
∴；
（ii）由（i）得，
∵x与y是整数，
∴或或或，
由（i）可求得，
∴和符合题意，
故原方程组的所有整数解是或．
【点睛】此题主要考查了特殊方程的解法，关键是掌握读懂题目给的材料．
13、(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
考点7：含有字母系数的二元一次方程组
典例：典例：(2023·浙江·龙游县华岗中学七年级阶段练习）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】把两个方程相加，可以得出x+y=a+2，从而可得a+2=0，即可判断①；当a=1时，原方程组的解满足x+y=3，而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，即可判断②；先解方程组，然后再计算x+2y的值，即可判断③；将方程组中的字母a消去，即可判断④．
【详解】解：，
①+②得：2x+2y=4+2a,
∴x+y=2+a,
当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，即x+y=0，
∴2+a=0，
∴a=-2，
故第1个结论正确；
∵原方程组的解满足：x+y=2+a,
∴当a=1时，x+y=3，
而当a=1时，方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，
故第2个结论不正确；
，
解得，
∴x+2y=2a+1+2-2a=3，
∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
故第3个结论正确；
，
由①得：a=4-x-3y③，
把③代入②得：
x-y=3（4-x-3y），
解得：，
故第4个结论正确；
所以，上列结论中正确的有3个．
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·江苏·如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】得，得出，结合条件，即可求解．
【详解】解：
得，
∴，
又，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
2．(2023·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）已知方程组的解x、y满足方程5x﹣y＝3，求k的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
【答案】D
【分析】方程组中两方程相加表示出5x-y，代入已知方程求出k的值即可．
【详解】解：，
①+②得：5x-y=2k+11，
代入5x-y=3中，得：2k+11=3，
解得：k=-4，
故选D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
3．(2023·海南省直辖县级单位·七年级期末）若方程组的解适合，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】A
【分析】把方程①与方程②相加可得再整体代入求值即可．
【详解】解：
由①+②得：
∴
∵，
∴
解得：
故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“利用加减法构建方程，整体求解未知系数的值”是解本题的关键．
4．(2023·浙江·宁波外国语学校七年级期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【分析】用①+②，得5x+5y＝5k﹣5，等是两边都除以5，得x+y＝k﹣1，再根据x+y＝2022，从而计算出k的值．
【详解】解：，
①+②，得5x+5y＝5k﹣5，
∴x+y＝k﹣1，
∵x+y＝2022，
∴k﹣1＝2022，
∴k＝2023，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
5．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值等于（ ）
A．1B．0C．－1D．2
【答案】C
【分析】先根据方程组的解互为相反数，则x+y=0，然后化简原方程组可得，最后代入x+y=0，即可求得m的值．
【详解】解：方程组的解互为相反数，
，
，
①+②得：，
即，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据原方程组得出，是解题的关键．
6．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】利用加减消元法消去a，得：x+2y=3，故①③正确；当a=-2时，代入方程组计算得：x+y=0，故②正确；解出方程组的解，根据条件得x+y=4，把方程组的解代入得a=2，故④正确．
【详解】解：，
①×3+②得：4x+8y=12，
∴x+2y=3，
∴不论a取何值，方程组总有一组解，故①③正确；
当a=-2时，方程组为：，
①+②得：2x+2y=0，
∴x+y=0，
∴x，y的值互为相反数，故②正确；
，
解得：，
∵，
∴x+y=4，
∴2a+1+1-a=4，
∴a=2，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出x+y的值，这样比较简便．
7．(2023·全国·八年级单元测试）已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，该方程组的解也是方程的一个解；
②当时，则；
③无论取任何实数，的值始终不变，以上三种说法中正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①当时， ，解得：，代入方程成立，①符合题意；
②当时，，推出，②符合题意；
③中，消掉a，得到， ，③符合题意．
【详解】解：把代入，
得：，
解得：，
把代入方程也成立，
∴①符合题意；
把代入，
得：，
∴，
∴②符合题意；
，
①×3＋②得：，
∴，
∴③符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的定义，二元一次方程组的解的定义，平方差公式，解二元一次方程组．
8．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
【答案】11
【分析】将变形为，再将原方程组中的x换掉，得到关于y、a的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：∵，
∴，
把代入原方程组，得
，
整理，得
，
，得
，
解得．
故答案为：11．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是把原方程组转化为只含未知数y和a的方程组．
9．(2023·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．
【答案】2
【分析】先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值．
【详解】解：解方程组，得，
∵方程组的解为正整数，
∴时，，
时，，
∴满足条件的所有整数a的和为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由方程组解的情况分析得到a的值．
10．(2023·四川省南充市高坪中学七年级期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错中的，解得，试求的值.
【答案】2
【分析】把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出，再求出代数式的值即可．
【详解】解：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程(1)中的，解得，乙看错了方程(2)中的，解得，
把代入(2)，得，
解得：，
把代入(1)，得，
解得：，
∴
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和求代数式的值等知识点，解题的关键是能得出关于、的一元一次方程．
11．(2023·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组
(1)试用含的式子表示方程组的解．
(2)若方程组的解也是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)-3
【分析】（1）将m当做常数，采用加减消元法即可求解；
（2）将（1）中含m的结果代入二元一次方程中，解方程即可求解．
（1）
①+②，得3x=6m+9，解得x=2m+3，
将x=2m+3代入到②中，得y=2m-2，
即方程组的解为：；
（2）
将代入到中，
有，
解得m=-3．
即m的值为-3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及根据求解二元一次方程中参数的值的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
12．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的方程组；
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)当m每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；
(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．
【答案】(1)，；
(2)m=−；
(3)公共解为；
(4)整数m的值为-2或-4或-10或4．
【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【详解】（1）解：方程x+2y=6整理得y=3-，
∴方程x+2y=6的正整数解有：，；
（2）解：将x+2y=6记作①，x+y=0记作②，
由②，得x=-y，
将x=-y代入①，得-y+2y=6，
解得y=6，
∴x=-6，
∴2×（-6）-2×6-6m=8．
解得，m=−；
（3）解：2x-2y+mx=8变形得：（2+m）x-2y=8，
令x=0，得y=-4，
∴无论m取如何值，都是方程2x-2y+mx=8的解，
∴公共解为；
（4）解：，
①+②得，3x+mx=14，
∴x=，
由（1）得y=3-，
∵方程组有整数解，且m是整数，x是偶数，
∴3+m=±1，3+m=±7，
∴m=-2或-4；m=4或-10．
此时m=-2，-4，4，-10．
当m=-2时，x=14，y=-4，符合题意；
当m=-4时，x=-14，y=10，符合题意；
当m=-10时，x=-2，y=4，符合题意，
当m=4时，x=2，y=2，符合题意，
综上，整数m的值为-2或-4或-10或4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
13．(2023·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y=5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组再求 m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组 再求m的值．
你最欣赏上面的哪种思路?先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】丙同学的解题思路，，理由见详解
【分析】分别根据甲、乙、丙三位同学的思路分别进行分析即可．
【详解】解：∵方程组含有变量m，根据甲同学的方法，方程组的解含有变量m，
∴不推荐甲同学的方法；
∵根据乙同学的方法，由+得，无法根据结果得到m的值，
∴故不推荐乙同学的方法；
∵根据丙同学的方法：
由得，代入得，
解得，再将代入，得，
将 代入得，
解得，
∴推荐丙同学的方法，且．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
能力提升
一、单选题（每题3分）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义判断选择即可．
【详解】，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故A不符合题意；
，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故B不符合题意；
，分母中含有未知数，不是二元一次方程，故C不符合题意；
，符合二元一次方程的定义，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程是解题关键．
2．(2023·全国·八年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】解：A．，此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
B．，第2个方程未知数的最高次数是2，此选项不符合题意；
C．，此选项是二元二次方程，此选项不符合题意；
D．，此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
3．(2023·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x+x+5＝8D．3x﹣x+5＝8
【答案】A
【分析】把①代入②，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②得：.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组得解法——代入消元法，加减消元法是解题的关键．
4．(2023·山东滨州·八年级期中）如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【分析】将方程的解代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查二元一次方程，解题关键在于熟练掌握计算法则．
5．(2023·福建·漳州三中八年级期中）已知是方程的解，则m的值为（ ）
A．7B．C．1D．
【答案】A
【分析】把代入计算即可．
【详解】∵是方程的解，
∴
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解是解题的关键．
6．(2023·陕西·商南县富水镇初级中学八年级期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可进行解答．
【详解】解：∵和关于y轴对称，
∵，解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”．
二、填空题（每题3分）
7．(2023·福建·仙游县蔡襄中学七年级期末）已知：，用含x的式子表示y，y=________．
【答案】
【分析】将x看做已知数，y看做未知数，求出y即可．
【详解】解：∵，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
8．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）若是方程组的解，则的值是______________.
【答案】
【分析】将，代入方程组中，得到关于与的方程组，解出方程组即得到答案．
【详解】解:是方程组的解，
，
①②得：，
，
①②得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，方程组的解是使方程组中两方程均成立的未知数的值．
9．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组，则的值为______．
【答案】7
【分析】把两个方程相加即可得到结论．
【详解】解：
①+②得：，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“整体法求值”是解本题的关键．
10．(2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）若方程组的解为，则的解为__________________________．
【答案】
【分析】用整体思想解决此题，把4（x-1），3（y+2），分别看作一个整体，再根据第一组方程组的解，得到新的方程组，解出即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握用整体思想解决此题，把4（x-1），3（y+2），分别看作一个整体是解题关键．
11．(2023·浙江·七年级期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为______．
【答案】
【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于、的一元一次方程组求出和，再将代入第二方程得到的值．
【详解】解：设被滴上墨水的方程组为．
由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解，
则有，
解之，得．
又因方程组的解是，
所以，
．
故所求方程组为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，先设方程组，再根据给出条件求出方程组中待定的系数．
12．(2023·江西·泰和水槎中学八年级期末）已知方程组和的解相同，则______．
【答案】3
【分析】根据题意，两个方程组解相同，则可将x-2y=1和x-y=2联立，解出x和y的值，再将x和y的值代入求出m和n的值，随后即可求出2m-n的值．
【详解】∵方程组和的解相同，
∴将x-2y=1和x-y=2联立得：，解得：，
将 代入得：，
∴2m-n=2×4-5=3，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了一元二次方程得解和解一元二次方程，掌握消元得思想，熟练地掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023·山东济南·八年级期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：（1），
得：
解得：
把x＝1代入①得：
解得：
则方程组的解为；
（2）解：，
得：
解得：
把y＝5代入①得：
解得：
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．已知关于x,y的二元一次方程组,
（1）当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值；
（2）说明无论a取什么数，的值始终不变．
【答案】（1）-2；（2）见解析
【分析】（1）根据方程组的解法可以得到x+y=2+a，令x+y=0，即可求出a的值，验证即可；
（2）解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可．
【详解】解：（1），
①+②得，2x+2y=4+2a，
即：x+y=2+a，
当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y=0时，即2+a=0，
∴a=-2；
（2），
解得，
∴x+2y=2a+1+2-2a=3．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
15．完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
【答案】（1）m=9；（2）a=3，b=-2
【分析】（1）根据x、y的值相等得到x=y，结合3x+2y=1求出x和y的值，再代入中求出m值；
（2）甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的b写成了相反数，把他解得答案代入方程，求a、b的值．
【详解】解：（1）∵的解x、y的值相等，
∴x=y，代入3x+2y=1中，
∴，代入中，
则，
解得：m=9；
（2）由题意得：
把代入3x+by=5，
得：9+2b=5，
解得：b=-2，
因为乙将一个方程中的b写成了相反数，
所以把b=2代入方程组得：ax+2y=1，
把代入方程ax+2y=1得：a=3．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合-一个二元- -次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
考点精讲
考点1：二元一次方程得定义
典例：（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）若方程是关于x的一元二次方程，则______．
方法或规律点拨
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）若方程是二元一次方程，则表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
3．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2023春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B． C．D．
5．(2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．C．D．
6．(2023秋·湖南永州·七年级统考期中）若关于x的方程是二元一次方程，则______．
7．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为______．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．
9．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）已知 是关于x，y的二元一次方程，则 _______________．
10．(2023秋·河南郑州·八年级校联考期末）已知是二元一次方程，则a的值为______．
考点2：二元一次方程组的判定
典例：（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方程，②方程组中一共只含有两个未知数，③含未知数的项的次数是1．
巩固练习
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）下列属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023秋·湖南怀化·七年级校考阶段练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点3：二元一次方程（组）的解及应用
典例：（2023春·七年级课时练习）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．3D．
方法或规律点拨
本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，将两个式子相减得到所需代数式是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．（2023春·浙江·七年级期中）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）现有5元和10元的人民币若干张，如果凑成50元人民币，有几（ ）种方法．
A．4B．5C．6D．7
4．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）若，是方程的解，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（ ）
A．和2B．和4C．2和D．2和
8．（2023秋·贵州毕节·八年级校联考期末）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．1C．D．
9．（2023春·浙江·七年级期中）若是关于，的方程的一个解，则的值为______．
10．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知是方程的一个解，那么a的值是______．
11．(2023秋·山东枣庄·八年级校考期中）若是方程组的解，则___________；___________．
考点4：二元一次方程组的解法
典例：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元法）
(2)（加减消元法）
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的思想．
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得
2．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（ ）
A．由①得代入②B．由①得代入②
C．由②得代入①D．由②得代入①
3．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，则k，b的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
6．（湖南省娄底市2023-2024学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组：
(1)
(2)
7．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组：
(1)；
(2)．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程组：
(1)；
(2)．
9．（2023春·浙江·七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元）
(2)（加减消元）
11．（2023春·浙江宁波·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
12．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）关于x、y的方程组．
(1)当时，解方程组；
(2)若方程组的解满足，求k的值．
13．(2023春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组
(1)
(2)
考点5：二元一次方程组的错解问题
典例：（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组的解及二元一次方程组的错解问题，理解方程组的解是使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，那么a和b的正确值应是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（ ）
A．，6B．2，6C．2，D．，
3．（2023·全国·九年级专题练习）甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则=___________，=___________，c= ___________．
4．（2023春·七年级单元测试）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组，中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)求当x为何值时，？
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值．
9．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求的值．
10．（2023春·七年级课时练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为.
(1)求出原方程组的正确解．
(2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？
11．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值．
12．（2023春·七年级单元测试）已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
(1)求出原题中a和b的正确值是多少？
(2)求这个方程组的正确解是多少？
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求原方程组的解．
14．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
考点6：二元一次方程组的特殊解法
典例：(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
方法或规律点拨
本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·全国·八年级单元测试）已知方程组的解是，则的解是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·无八年级期中）已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是___________．
3．(2023·全国·八年级专题练习）已知，满足方程组，则的值为______．
4．(2023·江苏·射阳县实验初级中学七年级期中）方程组的解是，请你写出方程组的解______．
5．(2023·全国·九年级专题练习）关于x、y的方程组，则x+y的值为________
6．(2023·四川·广元市利州区东城实验学校七年级期末）若方程组的解是，则方程组的解是_____．
7．(2023·山东·曲阜师范大学附属实验学校七年级期末）已知关于a，b满足方程组，则的值为_____________．
8．(2023·浙江·之江中学七年级阶段练习）关于x，y的方程组的解为，则①__________．
②关于x，y的方程组的解为__________．
9．(2023·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______．
10．(2023·江西赣州·七年级期中）三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
11．(2023·山西临汾·七年级期末）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
12．(2023·福建·漳州三中八年级期中）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
13、(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
考点7：含有字母系数的二元一次方程组
典例：典例：(2023·浙江·龙游县华岗中学七年级阶段练习）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．1B．2C．3D．4
方法或规律点拨
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·江苏·如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
2．(2023·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）已知方程组的解x、y满足方程5x﹣y＝3，求k的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
3．(2023·海南省直辖县级单位·七年级期末）若方程组的解适合，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
4．(2023·浙江·宁波外国语学校七年级期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
5．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值等于（ ）
A．1B．0C．－1D．2
6．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
7．(2023·全国·八年级单元测试）已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，该方程组的解也是方程的一个解；
②当时，则；
③无论取任何实数，的值始终不变，以上三种说法中正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
解的定义，二元一次方程组的解的定义，平方差公式，解二元一次方程组．
8．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
9．(2023·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．
10．(2023·四川省南充市高坪中学七年级期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错中的，解得，试求的值.
11．(2023·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组
(1)试用含的式子表示方程组的解．
(2)若方程组的解也是方程的解，求的值．
12．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的方程组；
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)当m每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；
(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．
13．(2023·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y=5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组再求 m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组 再求m的值．
你最欣赏上面的哪种思路?先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
能力提升
一、单选题（每题3分）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·八年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x+x+5＝8D．3x﹣x+5＝8
4．(2023·山东滨州·八年级期中）如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（ ）
A．B．4C．D．2
5．(2023·福建·漳州三中八年级期中）已知是方程的解，则m的值为（ ）
A．7B．C．1D．
6．(2023·陕西·商南县富水镇初级中学八年级期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
二、填空题（每题3分）
7．(2023·福建·仙游县蔡襄中学七年级期末）已知：，用含x的式子表示y，y=________．
8．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）若是方程组的解，则的值是______________.
9．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组，则的值为______．
的关键．
10．(2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）若方程组的解为，则的解为__________________________．
11．(2023·浙江·七年级期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为______．
12．(2023·江西·泰和水槎中学八年级期末）已知方程组和的解相同，则______．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023·山东济南·八年级期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
14．已知关于x,y的二元一次方程组,
（1）当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值；
（2）说明无论a取什么数，的值始终不变．
15．完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
专题8.1-2 二元一次方程组及其解法（103题69页）
目标导航
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程的解
适合-一个二元- -次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
(1)代入(消元)法(2)加减(消元)法
考点精讲
考点1：二元一次方程得定义
典例：（2023秋·江苏无锡·九年级统考期末）若方程是关于x的一元二次方程，则______．
【答案】1
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：1．
方法或规律点拨
此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】中未知项有2次方，不是二元一次方程，故A不符合题意；
符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故B符合题意；
不是整式方程，故C不符合题意；
中未知项有2次方，不是二元一次方程，故D不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程”是解题关键．
2．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）若方程是二元一次方程，则表示的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据二元一次方程的定义：两个未知数，含未知数的项的次数为1次的整式方程，即可得出结果．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，
∴表示的数是0，
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．熟练掌握二元一次方程的定义，是解题的关键．
3．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1用排除法求出答案．
【详解】解：① 属于二元二次方程，故不符合题意；
②符合二元一次方程的定义，故符合题意；
③不属于整式方程，故不符合题意；
④属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤符合二元一次方程的定义，故符合题意；
⑥属于三元一次方程，故不符合题意．
故选．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程．
4．（2023春·浙江金华·七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是二元一次方程，故本选项符合题意；
B、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．
5．(2023春·湖南郴州·七年级校考阶段练习）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程定义：含有两个未知数，未知数最高次数为1的整式方程，逐项判定即可得到答案．
【详解】解：A、符合定义，故符合题意；
B、方程的最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
C、方程的最高次数是2，不符合定义，故不符合题意；
D、方程不是整式方程，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程定义，熟记含有两个未知数，未知数最高次数为1的整式方程叫二元一次方程是解决问题的关键．
6．(2023秋·湖南永州·七年级统考期中）若关于x的方程是二元一次方程，则______．
【答案】
【分析】直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．
【详解】解：根据题意得，且，
所以．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
7．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）方程是关于，的二元一次方程，则的值为______．
【答案】3
【分析】根据二元一次方程的定义可得，进一步即可求出结果．
【详解】解：根据题意，得，
解得：，
所以；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义可知：未知数的系数不能等于零，未知数的最高次数为，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义问题，掌握定义是解题的关键．
9．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）已知 是关于x，y的二元一次方程，则 _______________．
【答案】
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】解：由是关于x,y的二元一次方程，得
且 ．
解得 ．
，
故答案为：．
【点睛】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
10．(2023秋·河南郑州·八年级校联考期末）已知是二元一次方程，则a的值为______．
【答案】1
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值．
【详解】解：是二元一次方程，
，，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值和二元一次方程的定义，能根据题意得出和是解此题的关键．
考点2：二元一次方程组的判定
典例：（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）下列方程组中，表示二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】解：因为A选项中含有三个未知数，因此不是二元一次方程组，不符合题意；
因为B选项中含有分式，因此不是二元一次方程组，不符合题意；
因为C选项中含有二次项，因此不是二元一次方程组，不符合题意；
因为D选项中是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
方法或规律点拨
本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方程，②方程组中一共只含有两个未知数，③含未知数的项的次数是1．
巩固练习
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、有三个未知数，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
B、最高次数为2，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
C、是二元一次方程组，故该选项符合题意；
D、含有分式，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，有两个未知数，每个含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个一次方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
2．(2023秋·湖南永州·七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据由两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组进行判断即可．
【详解】解：A.是二元一次方程组；
B.是二元一次方程组；
C.是二元一次方程组；
D.不是二元一次方程组；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组是由两个共含有两个未知数，未知数的次数是1，且都是整式的方程组成是解题的关键．
3．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）下列属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、其中一个方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B、有三个未知数，故不是二元一次方程组，故B不符合题意；
C、是二元一次方程组，故C符合题意；
D、是二元二次方程组，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组是解题的关键．
4．（2023·全国·九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A．原方程组为三元一次方程组，故A不符合题意；
B．原方程组为分式方程组，故B不符合题意；
C．原方程组为二元一次方程组，故C符合题意；
D．原方程组为二元二次方程组，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
5．(2023秋·湖南怀化·七年级校考阶段练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：A.是二元一次方程组，故A正确；
B.是三元一次方程组，故B错误；
C.是二元一次方程组，故C正确；
D.是二元一次方程组，故D正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
6．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由两个方程组成，且含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可.
【详解】解：A．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B．是二元一次方程组，故B符合题意；
C．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故C不符合题意；
D．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握“根据二元一次方程组的定义识别二元一次方程组”是解本题的关键.
7．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【详解】解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
④方程组含有，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
⑤符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
考点3：二元一次方程（组）的解及应用
典例：（2023春·七年级课时练习）已知关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【分析】将方程组的解代入方程组，得到的两个式子相减即可得到最后代数式的结果．
【详解】解：将代入原方程组得：，
①②得：，
代数式的值是2．
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，将两个式子相减得到所需代数式是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】把x看作已知数求出y，即可确定出非负整数解．
【详解】解∶，
，
当时，时，时，，
则方程的非负整数解为或或
故选∶C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
2．（2023春·浙江·七年级期中）已知是方程的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
解得：，
∴的值为．
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．理解二元一次方程解的定义是解题的关键．
3．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）现有5元和10元的人民币若干张，如果凑成50元人民币，有几（ ）种方法．
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】用二元一次方程解决问题的关键是找到2个合适的等量关系．由于5元和10元的数量都是未知量，可设出5元和10元的数量．本题中等量关系为：5元的总面值10元的总面值元．
【详解】解：设5元的数量为x，10元的数量为y．
则，，
，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
共有6种换法．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．本题要找好等量关系，对于两个未知量要找到其取值范围，此外，还应注意两个未知量是整数．
4．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）若，是方程的解，则的值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】把，代入，即可求解．
【详解】解：∵，是方程的解，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将各选项代入方程的左边计算，看是否等于5，如果等于5就是方程的解，如果不等于5，就不是方程的解．
【详解】解：A．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
B．把代入得：，即是二元一次方程的解，故本选项符合题意；
C．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
D．把代入得：，即不是二元一次方程的解，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
6．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）已知是二元一次方程的解，则k的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
7．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（ ）
A．和2B．和4C．2和D．2和
【答案】D
【分析】根据方程解得定义，把代入可求出x的值，进而求出的值，即可求出答案．
【详解】解：将代入方程得：，
解得：，
将代入方程中，
，
即两个数为2和．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，知道方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．
8．（2023秋·贵州毕节·八年级校联考期末）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据方程的解，将其代入方程即可求解．
【详解】解：将代入方程，
得即，
解得，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解以及求参数解的问题．
9．（2023春·浙江·七年级期中）若是关于，的方程的一个解，则的值为______．
【答案】
【分析】把代入方程求出m，即可．
【详解】解：把代入方程，得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，属于基本题型，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解题的关键．
10．(2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）已知是方程的一个解，那么a的值是______．
【答案】2
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：把代入得：
，
解得：．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
11．(2023秋·山东枣庄·八年级校考期中）若是方程组的解，则___________；___________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的解满足方程组，把二元一次方程组的解代入，可得答案．
【详解】解：把代入方程组，
．
解得：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是熟练掌握方程组的解的定义：使方程组的两个方程均成立的一对未知数的值就叫做方程组的解．
考点4：二元一次方程组的解法
典例：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元法）
(2)（加减消元法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接把①式代入②式，求出b的值，再将b的值代入①式，求出a的值即可；
（2）用①式加上②式，即可消去b，求出m的值，再将m的值代入①式，求出b的值即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的思想．
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得
【答案】D
【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易．
【详解】解：观察可知，由②得代入后化简比较容易，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）用代入法解方程组，下列解法中最简便的是（ ）
A．由①得代入②B．由①得代入②
C．由②得代入①D．由②得代入①
【答案】C
【分析】根据用代入法解二元一次方程组分析研究即可．
【详解】解：由于两方程中只有②中未知数的系数最小，
故可把②变形为用表示的形式，再代入①求解．
故选：C．
【点睛】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法代入法是解题的关键．
3．（2023春·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）用代入法解方程组时，代入正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把代入，再根据去括号法则去掉括号即可．
【详解】
把②代入①，得，
去括号，得．
故选：D．
【点睛】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组和去括号法则，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解题的关键．解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
4．（2023春·北京通州·七年级校考阶段练习）已知，是关于x，y的二元一次方程的解，则k，b的值是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】根据二元一次方程解的定义把，分别代入二元一次方程中得到关于k、b的方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
解得，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
5．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）关于，的方程和的解相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【分析】将两个二元一次方程联立成方程组，解这个方程组求得，的值，再将，的值代入代数式，计算即可得出结论．
【详解】解：∵关于，的方程和的解相同，
∴可得：，
解得：，
∴，
∴的值为．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解二元一次方程组、求代数式的值，根据题意，联立二元一次方程组，并求得，的值是解题的关键．
6．（湖南省娄底市2023-2024学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，然后将的值代入，可求出的值，进一步即可确定二元一次方程组的解；
（2）由①得，根据加减消元法得，求出的值，代入③可求出的值，即可确定二元一次方程组的解．
【详解】（1）将代入，
得，
解得，
将代入，
∴方程组的解为；
（2），
由①得③，
②③得，
解得，
将代入③，得，
解得，
∴方程组的解．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元和代入消元法是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用代入法解方程组．
【详解】（1）解：，
把①代入到②中得：，
解得：，
把代入到①得：，
方程组的解为；
（2），
把②代入①得：，
解得：，
，
原方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的解法：代入法和加减法是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）用代入法求解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解是；
（2）解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用代入法求解二元一次方程组的关键．
9．（2023春·浙江·七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）利用代入消元法求解即可；
（4）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（2），
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（3），
由得：，代入中，
得：，
解得：，
代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为；
（4）方程组整理得：，
得：，
解得：，代入中，
解得：，
∴所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
10．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元）
(2)（加减消元）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法计算即可；
（2）利用加减消元法计算即可．
【详解】（1）解：，
由可得：，
把代入，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：，
整理可得：，
把得：，
由，可得：，
解得：，
把代入，可得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解本题的关键在熟练掌握加减消元法和代入消元法．
11．（2023春·浙江宁波·七年级校联考阶段练习）解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；
（2）先整理，然后利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
由②得，③，
①+③得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
则方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法－代入消元法，加减消元法是解题的关键．
12．(2023秋·广东佛山·八年级统考期末）关于x、y的方程组．
(1)当时，解方程组；
(2)若方程组的解满足，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入方程组，解方程组即可；
（2）根据，可得，代入方程组解关于x、k的方程组即可．
【详解】（1）解：当时，可得：，
解得；
（2）解：∵方程组的解满足，
，
把代入方程组可得：，
解得，
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
13．(2023春·黑龙江大庆·七年级大庆一中校考期末）解下列方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是；
（2）方程组整理得：，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入法和加减法．
考点5：二元一次方程组的错解问题
典例：（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1；
(2)．
【分析】（1）已知甲看错了方程组中的，得解为，所以把代入，得到；乙看错了方程组中的，得解为，所以把代入，得到，即可解答；
（2）将代入，得到，将代入，得到，将与的值代入方程组，求解即可．
【详解】（1）∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，
∴把代入，得：
，
解得：，
解方程组时，由于粗心，乙看错了方程组中的，得解为，
∴把代入，得：
，
解得：，
∴甲把错看成了1，乙把错看成了1
（2）由题意得：
将代入，得：
，
解得：，
将代入，得：
解得：，
∴原方程组为：，
即，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为：
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组的解及二元一次方程组的错解问题，理解方程组的解是使方程组中两方程成立的未知数的值是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，那么a和b的正确值应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可．
【详解】解：∵两位同学在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，
∴把代入②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，正确理解题意是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（ ）
A．，6B．2，6C．2，D．，
【答案】A
【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值.
【详解】把代入方程②中得
解得
把代入方程①中得
解得
故选：A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键.
3．（2023·全国·九年级专题练习）甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则=___________，=___________，c= ___________．
【答案】 2 0 1
【分析】先把把代入求得c，把代入可得，把代入可得，最后解关于a、b的二元一次方程组即可解答．
【详解】解：把代入，解得：
再把代入可得：
把代入可得：
联立，解得．
故答案为：2，0，1．
【点睛】本题主要考查学生对二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，理解二元一次方程组的解是解答本题的关键．
4．（2023春·七年级单元测试）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组，中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得到的解为，则原方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据方程组的解满足没有看错的二元一次方程，求出，再解二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意，得：，满足；满足，
∴，
∴，
∴原方程组为：，解得：；
故选B．
【点睛】本题考查解含参的二元一次方程组．熟练掌握方程组的解满足没有看错的那个二元一次方程，是解题的关键．
5．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两人同时解方程组时，甲正确解得，乙因抄错c而解得，则a，c的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据方程组解的定义，无论c是对是错，甲和乙求出的解均为的解．将和分别代入，组成方程组，从而得出a的值．将甲的正确解代入，从而得出c的值．
【详解】解：将和分别代入，得
，
解得，
把代入，得
，
所以．
故选：A．
【点睛】本题需要对二元一次方程组的解和二元一次方程的解的定义有一个深刻的认识，知道不定方程有无数个解．
6．(2023秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得，
故选C．
【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程．
7．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)求当x为何值时，？
【答案】(1)k的值为，b的值为
(2)
【分析】（1）根据题意建立关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）由（1）得，再根据题意建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：依题意得，
得，解得，
把代入②得，解得，
∴k的值为，b的值为；
（2）解：由（1）得，
当时，则，
解得．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，正确理解题意建立方程和方程组是解题的关键．
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，求原方程组中a的值．
【答案】
【分析】把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值．
【详解】解：将、代入得：
得：，
解得，
把代入①得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求的值．
【答案】64
【分析】把方程组的两组解分别代入原方程组，把所得到的等式联立组成三元一次方程组，求出a、b、c的数值，问题得以解决．
【详解】由题意得方程组，解得．
∴．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解的问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
10．（2023春·七年级课时练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为.
(1)求出原方程组的正确解．
(2)甲把看成数是多少？乙把看成的数是多少？
【答案】(1)
(2)甲把看成的数是，乙把看成的数是
【分析】（1）根据题意，把代入，求出b的值，把代入，求出a的值，进而，求出原方程组的解；
（2）根据题意，把代入，求出a的值，把代入，求出b的值，即可.．
【详解】（1）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∵乙看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∴原方程组是：
，得：，
解得：，
把代入①，得：，
解得：，
∴原方程组的正确解是： ；
（2）∵在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
∵乙看错了方程组中的，而得解为，
∴把代入，得：，
解得：，
答：甲把看成的数是，乙把看成的数是．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念和解二元一次方程组，掌握解的意义和解二元一次方程组的步骤，是解题的关键．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求出，的正确值，并计算的值．
【答案】；
【分析】把代入②中，把代入①中，联立方程求解可得到，的值，再代入所求的式子运算即可．
【详解】根据题意得：，
解得：，
∴，
，
，
，
【点睛】本题主要考查积的乘方，解二元一次方程组，解答本题的关键是对相应知识的掌握与运用．
12．（2023春·七年级单元测试）已知关于x，y的方程组，甲同学由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
(1)求出原题中a和b的正确值是多少？
(2)求这个方程组的正确解是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）甲同学看错了a，但是所得的方程组的解是满足方程②，乙同学看错了b，但是所得的方程组的解满足①，由此得到关于a，b的方程；
（2）根据（1）所求得到原方程组为，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
∴；
（2）解：由（1）得原方程组为，
用得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意得到关于a，b的方程是解题的关键．
13．（2023春·浙江·七年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到了方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．
(1)求的值；
(2)求原方程组的解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意将x＝2，y＝代入方程②可得b的值，将x＝2，y＝﹣1代入方程①可得a的值，进而可得结果；
（2）结合（1）将a和b的值代入原方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：
将x＝2，y＝代入方程②，得
，
解得b＝4，
将x＝2，y＝﹣1代入方程①，得
2a﹣3＝1，
解得a＝2，
∴；
（2）由（1）知方程组为：
，
①×2-②，得
y＝，
把y＝代入②得，x＝，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解，掌握加减消元法是解题的关键．
14．(2023秋·全国·八年级专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)
【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
【详解】（1）解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
把，代入原方程组，
可得：，
由②得：③，
由①+③，可得：，
∴，
把代入①，可得：，
解得：，
∴原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
考点6：二元一次方程组的特殊解法
典例：(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
方法或规律点拨
本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·全国·八年级单元测试）已知方程组的解是，则的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的解的定义即可求解．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴即的解满足
解得
故选D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解的定义是解题的关键．
2．(2023·陕西·无八年级期中）已知二元一次方程组的解是；那么方程组的解是___________．
【答案】
【分析】观察发现和形式完全相同，故整体考虑，可得，然后解方程即可．
【详解】解：∵和形式完全相同，
∴，解的，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了整体思想在解二元一次方程组中的应用，善于观察所给两个方程组的特点，整体考虑，是解题的关键．
3．(2023·全国·八年级专题练习）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】2
【分析】利用整体思想的得出结果，之后等式两边都除以，即可得出的值．
【详解】解：，
得，
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，掌握用整体思想解决问题是解题的关键．
4．(2023·江苏·射阳县实验初级中学七年级期中）方程组的解是，请你写出方程组的解______．
【答案】
【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．
【详解】解：方程组变形为，
∵方程组的解为，
∴，解得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
5．(2023·全国·九年级专题练习）关于x、y的方程组，则x+y的值为________
【答案】
【分析】根据加减消元法求解即可.
【详解】解:，
①-②，得，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了解二元一次方程，常见的解法有：代入消元法和加减消元法，运用整体思想求解是解题的关键.
6．(2023·四川·广元市利州区东城实验学校七年级期末）若方程组的解是，则方程组的解是_____．
【答案】
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5，通过换元替代的方法来解决．
【详解】解：将方程组的两个方程都乘以5得：
，
∵方程组的解是，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题是考查了解二元一次方程组，考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决，有一定的难度．
7．(2023·山东·曲阜师范大学附属实验学校七年级期末）已知关于a，b满足方程组，则的值为_____________．
【答案】1
【分析】方程组两方程相减即可求出所求．
【详解】解：，
②-①得：a-b=1，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
8．(2023·浙江·之江中学七年级阶段练习）关于x，y的方程组的解为，则①__________．
②关于x，y的方程组的解为__________．
【答案】
【分析】将已知解代入方程组中可得，将两式相加可得的值，将可得，与对比可得，解出即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
故答案为：；．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．
9．(2023·江苏·测试·编辑教研五七年级阶段练习）用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______．
【答案】
【分析】根据题意，整体代入即可得出结果．
【详解】解：，
设x+y=u，x−y=v，
则原方程化为：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查代入消元法，理解题意是解题关键．
10．(2023·江西赣州·七年级期中）三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．
【答案】
【分析】所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．
【详解】解：设m=x−1，n=y−2，
∵方程组，的解是，
∴ 的解是，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键．
11．(2023·山西临汾·七年级期末）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
【答案】
【分析】由题意可得 即可求方程组的解．
【详解】解：方程组 的解是
解得
故答案为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
12．(2023·福建·漳州三中八年级期中）阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：，即…③，把方程①代入③得：即，把代入方程①，得，所以方程组的解为．
请你解决以下问题
(1)模仿小强同学的“整体代换”法解方程组；
(2)已知x，y满足方程组
（i）求的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【答案】(1)方程组的解为
(2)（i）；（ii）原方程组的所有整数解是或
【分析】（1）根据例题的解法代入计算即可；
（2）（i）把方程变形后，再把将①代入方程②，即可；
（ii）根据x与y是整数且计算即可．
【详解】（1），
将方程②变形：，
即③，
把方程①代入③得：，
解得，
把代入方程①，得，
所以方程组的解为；
（2）（i）原方程组化为，
将①代入方程②得：，
∴；
（ii）由（i）得，
∵x与y是整数，
∴或或或，
由（i）可求得，
∴和符合题意，
故原方程组的所有整数解是或．
【点睛】此题主要考查了特殊方程的解法，关键是掌握读懂题目给的材料．
13、(2023·山东济南·八年级期中）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 令，，原方程组变形为，解得，还原方程组得，求解即可．
(2)令仿照原题的解法求解即可．
【详解】（1）令，，
方程组变形为，
解得，
所以，
解得
∴原方程组的解为．
（2）令
原方程组化为
解得，
把代入
得,
解得·
【点睛】本题考查了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键．
考点7：含有字母系数的二元一次方程组
典例：典例：(2023·浙江·龙游县华岗中学七年级阶段练习）已知关于，的方程组，下列结论中正确的有几个（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】把两个方程相加，可以得出x+y=a+2，从而可得a+2=0，即可判断①；当a=1时，原方程组的解满足x+y=3，而方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，即可判断②；先解方程组，然后再计算x+2y的值，即可判断③；将方程组中的字母a消去，即可判断④．
【详解】解：，
①+②得：2x+2y=4+2a,
∴x+y=2+a,
当这个方程组的解x、y的值互为相反数时，即x+y=0，
∴2+a=0，
∴a=-2，
故第1个结论正确；
∵原方程组的解满足：x+y=2+a,
∴当a=1时，x+y=3，
而当a=1时，方程x+y=4+2a的解满足x+y=6，
故第2个结论不正确；
，
解得，
∴x+2y=2a+1+2-2a=3，
∴无论a取什么实数，x+2y的值始终不变；
故第3个结论正确；
，
由①得：a=4-x-3y③，
把③代入②得：
x-y=3（4-x-3y），
解得：，
故第4个结论正确；
所以，上列结论中正确的有3个．
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
巩固练习
1．(2023·江苏·如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】得，得出，结合条件，即可求解．
【详解】解：
得，
∴，
又，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
2．(2023·河北·邯郸市第二十三中学七年级期中）已知方程组的解x、y满足方程5x﹣y＝3，求k的值为（ ）
A．-1B．-2C．-3D．-4
【答案】D
【分析】方程组中两方程相加表示出5x-y，代入已知方程求出k的值即可．
【详解】解：，
①+②得：5x-y=2k+11，
代入5x-y=3中，得：2k+11=3，
解得：k=-4，
故选D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
3．(2023·海南省直辖县级单位·七年级期末）若方程组的解适合，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．7
【答案】A
【分析】把方程①与方程②相加可得再整体代入求值即可．
【详解】解：
由①+②得：
∴
∵，
∴
解得：
故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“利用加减法构建方程，整体求解未知系数的值”是解本题的关键．
4．(2023·浙江·宁波外国语学校七年级期中）若关于x，y的方程组的解满足x+y=2022，则k等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【分析】用①+②，得5x+5y＝5k﹣5，等是两边都除以5，得x+y＝k﹣1，再根据x+y＝2022，从而计算出k的值．
【详解】解：，
①+②，得5x+5y＝5k﹣5，
∴x+y＝k﹣1，
∵x+y＝2022，
∴k﹣1＝2022，
∴k＝2023，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
5．(2023·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）若关于，的方程组的解互为相反数，则的值等于（ ）
A．1B．0C．－1D．2
【答案】C
【分析】先根据方程组的解互为相反数，则x+y=0，然后化简原方程组可得，最后代入x+y=0，即可求得m的值．
【详解】解：方程组的解互为相反数，
，
，
①+②得：，
即，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，根据原方程组得出，是解题的关键．
6．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x，y的方程组 ，给出下列结论：①不论a取何值，方程组总有一组解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③x+2y＝3；④当时，a＝2．其中正确的是（ ）
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】利用加减消元法消去a，得：x+2y=3，故①③正确；当a=-2时，代入方程组计算得：x+y=0，故②正确；解出方程组的解，根据条件得x+y=4，把方程组的解代入得a=2，故④正确．
【详解】解：，
①×3+②得：4x+8y=12，
∴x+2y=3，
∴不论a取何值，方程组总有一组解，故①③正确；
当a=-2时，方程组为：，
①+②得：2x+2y=0，
∴x+y=0，
∴x，y的值互为相反数，故②正确；
，
解得：，
∵，
∴x+y=4，
∴2a+1+1-a=4，
∴a=2，故④正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，②中可以不用求解方程组的解，而是直接求出x+y的值，这样比较简便．
7．(2023·全国·八年级单元测试）已知关于，的方程组，给出下列说法：
①当时，该方程组的解也是方程的一个解；
②当时，则；
③无论取任何实数，的值始终不变，以上三种说法中正确的有（ ）个
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①当时， ，解得：，代入方程成立，①符合题意；
②当时，，推出，②符合题意；
③中，消掉a，得到， ，③符合题意．
【详解】解：把代入，
得：，
解得：，
把代入方程也成立，
∴①符合题意；
把代入，
得：，
∴，
∴②符合题意；
，
①×3＋②得：，
∴，
∴③符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的定义，二元一次方程组的解的定义，平方差公式，解二元一次方程组．
8．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则的值为______．
【答案】11
【分析】将变形为，再将原方程组中的x换掉，得到关于y、a的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：∵，
∴，
把代入原方程组，得
，
整理，得
，
，得
，
解得．
故答案为：11．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，解题的关键是把原方程组转化为只含未知数y和a的方程组．
9．(2023·山东·夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为___________．
【答案】2
【分析】先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值．
【详解】解：解方程组，得，
∵方程组的解为正整数，
∴时，，
时，，
∴满足条件的所有整数a的和为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由方程组解的情况分析得到a的值．
10．(2023·四川省南充市高坪中学七年级期中）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错中的，解得，试求的值.
【答案】2
【分析】把代入(2)得出，求出，把代入(1)得出，求出，再求出代数式的值即可．
【详解】解：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程(1)中的，解得，乙看错了方程(2)中的，解得，
把代入(2)，得，
解得：，
把代入(1)，得，
解得：，
∴
．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和求代数式的值等知识点，解题的关键是能得出关于、的一元一次方程．
11．(2023·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组
(1)试用含的式子表示方程组的解．
(2)若方程组的解也是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)-3
【分析】（1）将m当做常数，采用加减消元法即可求解；
（2）将（1）中含m的结果代入二元一次方程中，解方程即可求解．
（1）
①+②，得3x=6m+9，解得x=2m+3，
将x=2m+3代入到②中，得y=2m-2，
即方程组的解为：；
（2）
将代入到中，
有，
解得m=-3．
即m的值为-3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及根据求解二元一次方程中参数的值的知识，掌握加减消元法是解答本题的关键．
12．(2023·全国·八年级专题练习）已知关于x、y的方程组；
(1)请写出方程的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足，求m的值；
(3)当m每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；
(4)如果方程组有整数解，求整数m的解．
【答案】(1)，；
(2)m=−；
(3)公共解为；
(4)整数m的值为-2或-4或-10或4．
【分析】（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【详解】（1）解：方程x+2y=6整理得y=3-，
∴方程x+2y=6的正整数解有：，；
（2）解：将x+2y=6记作①，x+y=0记作②，
由②，得x=-y，
将x=-y代入①，得-y+2y=6，
解得y=6，
∴x=-6，
∴2×（-6）-2×6-6m=8．
解得，m=−；
（3）解：2x-2y+mx=8变形得：（2+m）x-2y=8，
令x=0，得y=-4，
∴无论m取如何值，都是方程2x-2y+mx=8的解，
∴公共解为；
（4）解：，
①+②得，3x+mx=14，
∴x=，
由（1）得y=3-，
∵方程组有整数解，且m是整数，x是偶数，
∴3+m=±1，3+m=±7，
∴m=-2或-4；m=4或-10．
此时m=-2，-4，4，-10．
当m=-2时，x=14，y=-4，符合题意；
当m=-4时，x=-14，y=10，符合题意；
当m=-10时，x=-2，y=4，符合题意，
当m=4时，x=2，y=2，符合题意，
综上，整数m的值为-2或-4或-10或4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法．
13．(2023·福建·晋江市阳溪中学七年级阶段练习）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y=5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组再求 m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组 再求m的值．
你最欣赏上面的哪种思路?先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】丙同学的解题思路，，理由见详解
【分析】分别根据甲、乙、丙三位同学的思路分别进行分析即可．
【详解】解：∵方程组含有变量m，根据甲同学的方法，方程组的解含有变量m，
∴不推荐甲同学的方法；
∵根据乙同学的方法，由+得，无法根据结果得到m的值，
∴故不推荐乙同学的方法；
∵根据丙同学的方法：
由得，代入得，
解得，再将代入，得，
将 代入得，
解得，
∴推荐丙同学的方法，且．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法．
能力提升
一、单选题（每题3分）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义判断选择即可．
【详解】，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故A不符合题意；
，含未知数的项的次数是2，不是二元一次方程，故B不符合题意；
，分母中含有未知数，不是二元一次方程，故C不符合题意；
，符合二元一次方程的定义，故D符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．掌握含有两个未知数，并且含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程是解题关键．
2．(2023·全国·八年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】解：A．，此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
B．，第2个方程未知数的最高次数是2，此选项不符合题意；
C．，此选项是二元二次方程，此选项不符合题意；
D．，此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
3．(2023·吉林·长春博硕学校七年级阶段练习）关于x、y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．3x﹣x﹣5＝8B．3x+x﹣5＝8C．3x+x+5＝8D．3x﹣x+5＝8
【答案】A
【分析】把①代入②，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②得：.
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组得解法——代入消元法，加减消元法是解题的关键．
4．(2023·山东滨州·八年级期中）如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么m的值是（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】A
【分析】将方程的解代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故选A．
【点睛】本题考查二元一次方程，解题关键在于熟练掌握计算法则．
5．(2023·福建·漳州三中八年级期中）已知是方程的解，则m的值为（ ）
A．7B．C．1D．
【答案】A
【分析】把代入计算即可．
【详解】∵是方程的解，
∴
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解是解题的关键．
6．(2023·陕西·商南县富水镇初级中学八年级期中）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可进行解答．
【详解】解：∵和关于y轴对称，
∵，解得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握“关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等”．
二、填空题（每题3分）
7．(2023·福建·仙游县蔡襄中学七年级期末）已知：，用含x的式子表示y，y=________．
【答案】
【分析】将x看做已知数，y看做未知数，求出y即可．
【详解】解：∵，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
8．(2023·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期末）若是方程组的解，则的值是______________.
【答案】
【分析】将，代入方程组中，得到关于与的方程组，解出方程组即得到答案．
【详解】解:是方程组的解，
，
①②得：，
，
①②得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，方程组的解是使方程组中两方程均成立的未知数的值．
9．(2023·重庆一中八年级阶段练习）已知关于、的二元一次方程组，则的值为______．
【答案】7
【分析】把两个方程相加即可得到结论．
【详解】解：
①+②得：，
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“整体法求值”是解本题的关键．
10．(2023·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）若方程组的解为，则的解为__________________________．
【答案】
【分析】用整体思想解决此题，把4（x-1），3（y+2），分别看作一个整体，再根据第一组方程组的解，得到新的方程组，解出即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握用整体思想解决此题，把4（x-1），3（y+2），分别看作一个整体是解题关键．
11．(2023·浙江·七年级期中）一个被墨水污染的方程组如下：，小刚回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小刚的回忆，把方程组复原出来，为______．
【答案】
【分析】设方程组为，而两个解都是第一个方程的解，将两个解代入到第一个方程中得到关于、的一元一次方程组求出和，再将代入第二方程得到的值．
【详解】解：设被滴上墨水的方程组为．
由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解，
则有，
解之，得．
又因方程组的解是，
所以，
．
故所求方程组为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的应用，先设方程组，再根据给出条件求出方程组中待定的系数．
12．(2023·江西·泰和水槎中学八年级期末）已知方程组和的解相同，则______．
【答案】3
【分析】根据题意，两个方程组解相同，则可将x-2y=1和x-y=2联立，解出x和y的值，再将x和y的值代入求出m和n的值，随后即可求出2m-n的值．
【详解】∵方程组和的解相同，
∴将x-2y=1和x-y=2联立得：，解得：，
将 代入得：，
∴2m-n=2×4-5=3，
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了一元二次方程得解和解一元二次方程，掌握消元得思想，熟练地掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．(2023·山东济南·八年级期中）解下列方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】（1）解：（1），
得：
解得：
把x＝1代入①得：
解得：
则方程组的解为；
（2）解：，
得：
解得：
把y＝5代入①得：
解得：
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．已知关于x,y的二元一次方程组,
（1）当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，求a的值；
（2）说明无论a取什么数，的值始终不变．
【答案】（1）-2；（2）见解析
【分析】（1）根据方程组的解法可以得到x+y=2+a，令x+y=0，即可求出a的值，验证即可；
（2）解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可．
【详解】解：（1），
①+②得，2x+2y=4+2a，
即：x+y=2+a，
当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y=0时，即2+a=0，
∴a=-2；
（2），
解得，
∴x+2y=2a+1+2-2a=3．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
15．完成下列问题：
（1）已知方程组的解x、y的值相等，求m的值．
（2）甲、乙两位同学在解方程组时，甲看错了a，解得；乙将一个方程中的b写成了相反数，解得，求a、b的值．
【答案】（1）m=9；（2）a=3，b=-2
【分析】（1）根据x、y的值相等得到x=y，结合3x+2y=1求出x和y的值，再代入中求出m值；
（2）甲看错了第一个方程，把他解的答案代入第二个方程，乙将一个方程中的b写成了相反数，把他解得答案代入方程，求a、b的值．
【详解】解：（1）∵的解x、y的值相等，
∴x=y，代入3x+2y=1中，
∴，代入中，
则，
解得：m=9；
（2）由题意得：
把代入3x+by=5，
得：9+2b=5，
解得：b=-2，
因为乙将一个方程中的b写成了相反数，
所以把b=2代入方程组得：ax+2y=1，
把代入方程ax+2y=1得：a=3．
【点睛】此题考查的是二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解答此题先要根据题意列出方程，然后求解．
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