人教版七年级数学上册同步精品讲义第13讲专题4.1几何图形-【学生版+解析】

这是一份人教版七年级数学上册同步精品讲义第13讲专题4.1几何图形-【学生版+解析】，共154页。试卷主要包含了立体图形与平面图形等内容，欢迎下载使用。

1.立体图形与平面图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
考点精讲
1、生活中的立体图形
考点1：几何体的识别
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图，请在每个几何体右边写出它们的名称：
（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）_______；
（5）_______；（6）_______；（7）_______；（8）_______．
方法或规律点拨
本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥．
巩固练习
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）下列立体图形中属于棱柱的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（2022·全国·七年级专题练习）在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（ ）
A．①②④⑥B．②③④C．②④⑤⑥D．①②③⑥
3．（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的不锈钢漏斗的形状类似于（ ）
A．圆B．球C．圆柱D．圆锥
4．（2022·全国·七年级专题练习）在下列几何体中，四棱锥是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·七年级课时练习）图中的蛋糕的形状类似于（ ）
A．圆B．球体C．圆锥体D．圆柱体
6．（2022·河南周口·七年级期末）下列哪个几何体是棱锥( )
A．B．
C．D．
7．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·七年级课时练习）下列几何体中，是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·湖南永州·七年级期末）体育课上，蒋老师给同学们分发了篮球、足球、乒乓球和羽毛球，这些球类中的“球”不属于球体的是（ ）
A．篮球B．足球C．乒乓球D．羽毛球
10．（2022·广东佛山·七年级期末）对于如图所示几何体的说法正确的是（ ）
A．几何体是四棱柱B．几何体的底面是长方形
C．几何体有3条侧棱D．几何体有4个侧面
考点2：几何体的点、棱和面
典例：（2022·宁夏·银川北塔中学七年级期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
方法或规律点拨
本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
巩固练习
1．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．圆柱、圆锥的底面都是圆
B．八棱柱有8条侧棱，10个面
C．由六个同样的正方形所组成的图形一定是正方体的展开图
D．直棱柱的侧面一定是长方形(包括正方形)
2．（2022·全国·七年级专题练习）用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
3．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校阶段练习）五棱锥的底面是______形，侧面是______形；圆锥的底面是_________ 形，侧面是________面．
4．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）如图，将一个正方体截去一个角变成一个多面体，这个多面体有___________棱．
5．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图是一个三棱柱，若这个三棱柱的底面是一个周长为的等边三角形，侧面是一个正方形，则这个三棱柱的所有棱的长的和是____．
6．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）一个正n棱柱，它有18条棱，则该棱柱有______个面，______个顶点．
7．（2022·广东·揭阳市实验中学七年级阶段练习）如果一个棱柱一共有11个面，那么它一共有________个顶点、________条棱．
8．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图,它是八棱柱的表面展开图,展开前这个几何体共有_____条棱，_____个顶点，_____个面.
9．（2022·全国·七年级专题练习）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是4cm．
(1)它是几棱柱？它有多少个顶点？多少条棱？
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
10．（2022·广东·七年级单元测试）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
考点3：点、线、面、体的关系
典例：（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是____________，这能说明的事实是_____________（选择正确的一项填入）．
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
方法或规律点拨
本题主要考查几何体，熟练掌握圆柱体的特征及体积公式是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ）
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上都不对
2．（2022·全国·七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．长方体的截面形状一定是长方形；B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形；
C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线”；D．圆柱的截面一定是长方形．
3．（2022·全国·七年级专题练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
4．（2022·全国·七年级课时练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空B．打开折扇C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．以上答案都正确
6．（2022·山东·聊城市水城慧德学校七年级阶段练习）钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这说明了 _____．
7．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）夜晚时，我们看到的流星划过，用数学知识解释，这属于：___________
形之间的变化关系是正确判断的前提．
8．（2022·陕西·西安高新第三中学七年级阶段练习）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是__________．
2、展开与折叠
考点1：正方体与长方体的展开图
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个食品包装盒的表面展开图．
(1)请写出这个包装盒的形状的名称；
(2)根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
方法或规律点拨
此题考查了几何体的展开图，用到的知识点是长方体的表面积公式和体积公式，解题的关键是找出长方体的长、宽和高．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形中，是长方体的平面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·模拟预测）如图，是一个几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图长方体的展开图，不可能是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图所示的长方体牛奶包装盒的展开图可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为_______cm．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相等，求的值．
8．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图所示是一个多面体的展开图形，每个面（外表面）都标注了字母，请你根据要求回答问题：
(1)这个多面体是什么常见几何体；
(2)如果在前面，在左面，那么哪一面在上面．
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图
典例：（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有______种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
(3)在你帮忙设计成功的图中，请把－6，8，10，－10，－8，6这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数互为相反数．（直接在图中填上）
方法或规律点拨
此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）从如图所示的纸板上7个小正方形中选择1个剪去，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，则不同的选法有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
2．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六B．中C．学D．强
3．（2022·全国·七年级单元测试）如下图的正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·七年级课时练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．（2022·陕西·西安高新一中实验中学三模）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是（ ）
A．了B．我C．的D．国
6．（2022·全国·七年级专题练习）在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则应剪去的小正方形上的字是（ ）
A．美或贵B．丽或贵C．欢或您D．美或丽或迎
8．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法___________．
9．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体，则需要再剪掉的小正方形可能是 _____．（请填写所有可能的小正方形的编号）
10．（2022·山东济南·七年级期末）“创出一条路，蝶变一座城”，济南市一直努力建设更高水平的全国文明城市，我校也积极开展了文明校园创建活动．为此七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，你有______种添加方式．
11．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个边长为10 cm的无盖正方体可以展开成下面的平面图形．
(1)这个表面展开图的面积是 cm2；
(2)你还能在下面小方格中画出无盖正方体的其他不同形状的表面展开图吗？请画出所有可能的情形（把需要的小正方形涂上阴影）；
(3)将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开 条棱．
A．3 B．4 C．5 D．不确定
12．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）综合实践
【问题情景】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】
(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的字是______．
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方形纸盒．
①请你在如图3中画出示意图，用实线表示剪切纸，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的高为______，底面积为______；
③当四角剪去的小正方形的边长为时，求纸盒的容积．
考点3：侧面有图案的正方体侧面展开图
典例：（2022·全国·七年级）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A．B．
C．D．
方法或规律点拨
此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图的图形是（ ）正方体的展开图．
A．B．C．D．
【点睛】解答此题的关键弄清该正方体展开图折成正方体后，各图案的位置关系．
2．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）如图所示的立方体，如果把它的展开图是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）如图所示，该正方体的展开图为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·浙江嘉兴·一模）如图所示的正方体的展开图为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·河北邯郸·一模）若图1所示的正方体表面展开图是图2，则正方体上面的几何图形是（ ）．
A．B．C．D．
8．（2022·广东·七年级单元测试）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学七年级期中）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·广东·湖景中学一模）如图，有一个正方体的纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·山西·太原市第三实验中学校七年级阶段练习）有一个正大面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是________．
12．（2022·山东·单县湖西学校七年级期中）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）
考点4：由展开图计算几何体相关数据
典例：（2022·辽宁·灯塔市实验中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
方法或规律点拨
本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）如图所示是小芳要用硬纸片做成的一个文具盒的展开图，则这个文具盒的表面积等于________．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体的表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的积是_______．
3．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm．
(1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
(2)若1平方厘米硬纸板价格为0.5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？不考虑边角损耗
4．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）一张长宽的长方形纸片，围成一个圆柱，用石膏铸成模具，求这个模具的表面积．
5．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图，是一个几何体的表面展开图．
(1)该几何体是______．
(2)依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题．
(1)请用含a和的式子表示这个小纸盒的展开图的面积；
(2)当a=6厘米时，小纸盒面积为72平方厘米，求x的值；
(3)在（2）的条件下，将10个小纸盒包装成一个长方体，这个长方体的表面积的最小值为 cm2．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：
(1)做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为___，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为___；（直接写出答案）
(2)做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一张铁片．（单位：米）
(1)计算这张铁片的面积；
(2)这张铁片能否做成一个无盖长方体盒子？若能，请计算它的体积；若不能请说明理由．
9．（2022·全国·七年级专题练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：
包装盒的展开图：如图①是一个同学们熟悉的包装盒如图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的的网格中．
(1)在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是（ ）
A.字母B；B．字母A；C．字母R；D．字母T
(2)若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
11．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
12．（2022·广东·七年级单元测试）顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
13．（2022·江苏常州·七年级期末）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．

(1)这个纸盒的底面积是______，高是______（用含、的代数式表示）．
(2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：
①请通过表格中的数据计算：_____，______；
②猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：_______．
(3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．
①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，_____（用含、的代数式表示）：
②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值．
14．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图是一个无盖长方体的展开图．
(1)若①②④⑤四个面上分别标有x、－2、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，则___________；
(2)若将展开图折叠成长方体，请根据图中所给数据分别求出该无盖长方体的容积和表面积．
考点5：一般几何体的侧面展开图
典例：（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：____________、____________．
方法或规律点拨
本题考查立体图形的表面展开图，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·胶州市瑞华实验初级中学七年级阶段练习）下列图形沿虚线经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）下列图形中经过折叠，可以围成圆锥的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·河南·汝州市有道实验学校七年级阶段练习）如图为几何体的平面展开图，则从左到右其对应的几何体名称分别为（ ）
A．正方体，三棱锥，圆锥，圆柱B．正方体，四棱锥，圆锥，圆柱
C．正方体，四棱柱，圆锥，圆柱D．正方体，三棱柱，圆锥，圆柱
4．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
7．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·黑龙江大庆·期中）如图，个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．四棱锥D．三棱柱
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·广东·七年级单元测试）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱
11．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图是一个立体图形的平面展开图，这个立体图形是___________．
3、截一个几何体
考点1：截几何体判断截面
典例： （2022·全国·七年级课时练习）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，得到的截面可以三角形的是_______（填写正确的几何体前的序号）
方法或规律点拨
本题主要考查的是截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关．
巩固练习
1．（2022·四川·成都市第四十三中学校七年级阶段练习）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·辽宁铁岭·七年级阶段练习）一个长方体的截面不可能是（ ）
A．三角形B．梯形C．五边形D．七边形
3．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，用个平面去截一个长方体，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形B．梯形C．长方形D．圆
4．（2022·福建省尤溪县梅仙中学七年级阶段练习）用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图，用一个水平的平面去截长方体，则截面的形状为选项中的（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·七年级期中）用一个平面去截下列几何体，不能得到圆形截面的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）六棱柱的截面不可能是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
8．（2022·山东威海·期末）用一个平面去截一个三棱柱，不能得到的截面形状是（ ）
A．等边三角形B．长方形C．梯形D．六边形
9．（2022·黑龙江大庆·期中）下列几何体的截面不可能是圆的是（ ）
A．圆柱B．圆台C．棱柱D．圆锥
10．（2022·云南·文山市第三中学七年级阶段练习）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
11．（2022·全国·七年级专题练习）用一个平面截下列几何体，截面可能是圆的是（ ）
①正方体
②球
③圆柱
④五棱柱
A．①②B．①③C．②③D．①④
12．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）用一个平面截长方体、五棱柱、圆柱和圆锥，不能截出三角形的是（ ）
A．长方体B．五棱柱C．圆柱D．圆锥
13．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，一个正方体截去一个角后，截面的形状是_______．
4、从三个方向看几何体
考点1：已知几何体判定三视图
典例：（2022·全国·七年级期中）如图，是由一些棱长为1的相同的小正方体组合成的简单几何体．请分别画出该几何体从正面看和从左面看所得到的图形．
方法或规律点拨
本题考查了画从不同面看立体图形，熟知其的定义和画图的规则是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·广东·佛山六中七年级阶段练习）如图所示，该形状的物体从上面看的形状图是（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·福建·测试·编辑教研五七年级期中）如图是由若于个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时，所看到的几何图形是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从上面看是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期末）如图，这是一个机械零部件，箭头指的方向是正面，该零部件的从左面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·七年级课时练习）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图是“牟合方盖”的一种模型，从正面看，所看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·七年级专题练习）下面是用八个完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看该几何体得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·全国·七年级专题练习）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，从左面看该几何体得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成．
(1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
(2)求这个几何体的表面积为 ．
10．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）由6个完全相同的小正方块搭成的几何体如图所示，请按要求在方格内画出从三个不同方向看到的图形．
11．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）由8个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请画出它从正面、左面、上面观察得到的图形．
12．（2022·全国·七年级课时练习）将棱长为a的小正方体摆成如图所示的形状．
(1)求该物体的表面积；
(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了20层，求该物体的表面积．
考点2：已知俯视图判断其它视图
典例：（2022·全国·七年级课时练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．
方法或规律点拨
本题考查简单几何体的三视图，关键是看到的是几列几层，同时还需注意“长对正，宽相等、高平齐”．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成从上面看到的几何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数能表示该几何体从左面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图所示是由几个大小相同的立方块所搭几何体从上面看所看到的平面图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请画出相应的几何体从正面看和从左面看所看到的平面图形．
3．（2022·山东·滕州市东郭镇东郭中学七年级期中）如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．
4．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
5．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学阶段练习）如图是由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请分别画出从正面和从左面看到的形状图．
6．（2022·陕西·西安一中七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数请在网格中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体从上面看到的图形，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，请在下面的方格纸中分别画出从正面和从左面看到的该几何体的形状图．
8．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．
从正面看 从左面看
(1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；
(2)若每个小正方体棱长为，请直接写出该几何体的表面积（包含底面）为______．
10．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字是该位置上的小立方块的数量，请画出从正面和从左面看到的图形．
从正面看 从左面看
考点3：已知视图计算几何体相关数据
典例：（2022·全国·七年级）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
方法或规律点拨
此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）如图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则（ ）.
A．B．20C．D．9
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．
(1)该几何体名称是 ；
(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
这个长方体的表面积＝2×（10×5+5×6+10×6）＝280（cm2）．
3．（2022·广东深圳·七年级期末）如图是由5个边长为1的小正方体组成的几何体．
（1）在网格中画出这个几何体从上面和从左面看到的形状；
（2）求这个几何体的表面积．
4．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）如图，在平整的地面上，用个棱长都为的小正方体搭成一个几何体．
（1）请利用图中的网格画出从正面、左面和上面看到的几何体的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）
（2）图中7个小正方体搭成的几何体的表面积（不包括与地面接触的部分）是 ．
5．（2022·山东·青岛市市南区琴岛学校七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的立方块搭成，从上面看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数．
（1）在所给的方框中分别画出该几何体从正面、左面看到的形状图；
（2）若允许从该几何体中拿掉部分立方块，使剩下的几何体从正面看到的形状图和原几体从上面看到的形状图相同，最多可拿掉几个立方块？
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有 个小正方体；
（2）求这个几何体的表面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形状图．
（1）请你观察它是由 个立方体小木块组成的；
（2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数；
（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．
8．（2022·山东淄博·九年级期末）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
9．（2022·全国·七年级课时练习）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，在这个几何体上最多可以添加多少个小正方体？
（3）若给该几何体露在外面的面喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是多少cm2？
10．（2022·全国·七年级专题练习）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．
（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）用一个平面去截四棱柱，截面形状不可能是（ ）
A．三角形B．四边形C．六边形D．七边形
2．（2022·河南洛阳·七年级期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）．
A．点动成线，线动成面B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体D．点动成面，面动成线
3．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是( )
A．立体图形的各个面都是平面；
B．平面图形都能围成立体图形；
C．立体图形都能展开为平面图形；
D．平面图形是立体图形的组成部分；
4．（2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期末）如图①，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相对，若在图②中的①、②、③、④中的某一处画一个“·”，然后去掉其余3处后，则能围成正方体骰子的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
5．（2022·山东·济南外国语学校七年级阶段练习）如图，白纸上放有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体使其各面染料都能印在白纸上，且各面仅能接触白纸一次．则在纸上可以形成的图形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个柱形盒子里，盒子里三个球之外的空间占整个盒子容积的球的体积公式为 ，其中为球的体积，为球的半径（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022·全国·七年级课时练习）若一个直棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为36cm，则每条侧棱长为____________cm．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的图形能围成的立体图形是______．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是_______平方米．
10．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则3x+2y的值为__________．
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知五角星的面积为5，正方形的面积为4，图中对应阴影部分的面积分别是S1，S2，则S1-S2的值为_____．
12．（2022·山东省青岛第四十四中学七年级阶段练习）如图是一个长为5cm，宽为3cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周，会得到两个几何体，它们的体积分别是___________（结果保留）．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·福建·宁德市博雅培文学校七年级阶段练习）如图，是由9个大小相同的小立方块搭成的一个几何体．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、上面看到的形状图；
（2）在不改变几何体中小立方块个数的前提下，从中移动一个小立方块，使所得新几何体与原几何体相比，从正面、上面看到的形状图保持不变，但从左面看到的形状图改变了．请在指定位置画出一种新几何体从左面看到的形状图．
14．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1)根据要求填写表格：
(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
15．（2022·河南·郑州外国语中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明总共剪开了 条棱．
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）
(3)小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纸盒容积
72
碟子的个数
碟子的高度（单位：cm）
1
2
2
2+1.5
3
2+3
4
2+4.5
…
…
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1



图2



图3



专题4.1 几何图形
目标导航
1.立体图形与平面图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形
4、棱柱及其有关概念：
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。
棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多边形，直棱柱的侧面是长方形。棱柱的侧面有可能是长方形，也有可能是平行四边形。
5、正方体的平面展开图：11种
6、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
7、三视图
物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
主视图：从正面看到的图，叫做主视图。
左视图：从左面看到的图，叫做左视图。
俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。
考点精讲
1、生活中的立体图形
考点1：几何体的识别
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图，请在每个几何体右边写出它们的名称：
（1）_______；（2）_______；（3）_______；（4）_______；
（5）_______；（6）_______；（7）_______；（8）_______．
【答案】 正方体 长方体 圆柱 三棱柱 圆锥 球 四棱锥 五棱柱
【分析】根据图形特点写出名称即可．
【详解】解：（1）是正方体；
（2）是长方体；
（3）是圆柱；
（4）是三棱柱；
（5）是圆锥；
（6）是球；
（7）是四棱锥；
（8）是五棱柱.
故答案为：（1）正方体；（2）长方体；（3）圆柱；（4）三棱柱；（5）圆锥；（6）球；（7）四棱锥；（8）五棱柱.
方法或规律点拨
本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥．
巩固练习
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）下列立体图形中属于棱柱的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据棱柱的定义判断即可．
【详解】根据题意,得
是棱柱，
是圆柱，
是圆锥，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的认识，熟练掌握几何体的基本概念是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是（ ）
A．①②④⑥B．②③④C．②④⑤⑥D．①②③⑥
【答案】A
【分析】根据每一个几何体的特征判断即可．
【详解】解：在下面的几何体中：①长方体；②圆柱；③球；④五棱柱；⑤圆锥；⑥正方体，可以看成有两个底面的几何体是：长方体，圆柱，五棱柱，正方体，
故选：A．
【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握每一个几何体的特征．
3．（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图所示的不锈钢漏斗的形状类似于（ ）
A．圆B．球C．圆柱D．圆锥
【答案】D
【分析】根据图形直接得到答案．
【详解】解：如图所示的不锈钢漏斗的形状类似于圆锥．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．
4．（2022·全国·七年级专题练习）在下列几何体中，四棱锥是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据常见几何体进行判断即可求解．
【详解】解：A.是三棱柱，不符合题意
B.是四棱锥，符合题意，
C.是三棱锥，不符合题意，
D.是长方形，不符合题意
故选B
【点睛】本题考查了简单几何体的识别，牢记简单几何体的名称是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级课时练习）图中的蛋糕的形状类似于（ ）
A．圆B．球体C．圆锥体D．圆柱体
【答案】D
【分析】根据几何体的特征可知蛋糕跟圆柱的形状类似，由此即可得到答案．
【详解】解：由蛋糕的形状可知图中的蛋糕的形状类似于圆柱，
故选D
【点睛】本题主要考查了简单几何体形状，熟知圆柱的特点是解题的关键．
6．（2022·河南周口·七年级期末）下列哪个几何体是棱锥( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据棱锥的概念求解即可．
【详解】解：A、是四棱锥，符合题意；
B、是圆柱，不符合题意；
C、是三棱柱，不符合题意；
D、是长方体，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了棱锥的概念，解题的关键是熟练掌握棱锥的概念．
7．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）下列几何体中，是圆锥的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的特征进行判断即可．
【详解】解：圆锥是由一个圆形的底面，和一个弯曲的侧面围成的，
因此选项B中的几何体符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握几种常见几何体的形体特征是正确判断的前提．
8．（2022·全国·七年级课时练习）下列几何体中，是圆锥的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体为圆锥，圆锥的底面是圆，侧面是曲面．
【详解】解：A.是圆锥，符合题意；
B.是四棱锥，不符合题意；
C.是三棱柱，不符合题意；
D.是圆柱，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，椎体又分为圆锥和棱锥．
9．（2022·湖南永州·七年级期末）体育课上，蒋老师给同学们分发了篮球、足球、乒乓球和羽毛球，这些球类中的“球”不属于球体的是（ ）
A．篮球B．足球C．乒乓球D．羽毛球
【答案】D
【分析】根据球体的特征判断即可得到答案．
【详解】半圆面以它的直径为旋转轴，旋转所成的空间物体就是球，球体的三视图都是圆，篮球、足球、乒乓球和羽毛球中，只有羽毛球不是球体，
故选：D．
【点睛】本题考查了空间立体图形的识别，结合实际生活中球体的特征判断是解决问题的关键．
10．（2022·广东佛山·七年级期末）对于如图所示几何体的说法正确的是（ ）
A．几何体是四棱柱B．几何体的底面是长方形
C．几何体有3条侧棱D．几何体有4个侧面
【答案】C
【分析】根据三棱柱的特征判断即可．
【详解】解：由图可知：
A．该几何体是三棱柱，故A不符合题意；
B．三棱柱的底面是三角形，故B不符合题意；
C．三棱柱有3条侧棱，故C符合题意；
D．三棱柱有3个侧面，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．
考点2：几何体的点、棱和面
典例：（2022·宁夏·银川北塔中学七年级期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【答案】(1)6；6；V+F-E=2(2)12(3)a+b=14．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为a+b的值．
（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：V+F-E=2；
故答案为：6；6；V+F-E=2；
（2）解：∵一个多面体的面数比顶点数小8，
∴V=F+8，
∵V+F-E=2，且E=30，
∴F+8+F-30=2，
解得F=12；
故答案为：12；
（3）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，
解得F=14，
∴a+b=14．
方法或规律点拨
本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
巩固练习
1．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）下列说法中，错误的是（ ）
A．圆柱、圆锥的底面都是圆
B．八棱柱有8条侧棱，10个面
C．由六个同样的正方形所组成的图形一定是正方体的展开图
D．直棱柱的侧面一定是长方形(包括正方形)
【答案】C
【分析】根据圆柱、圆锥、棱柱、正方体展开图的特征进行解答．
【详解】解：A、圆柱、圆锥的底面都是圆，正确，不合题意；
B、八棱柱有8条侧棱，8个侧面、上下2个底面共10个面，正确，不合题意；
C、由六个同样的正方形所组成的图形不一定是正方体的展开图，错误，符合题意；
D、直棱柱的侧面一定是长方形(包括正方形)，正确，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查基本几何图形的应用，熟练掌握圆柱、圆锥、棱柱、正方体展开图的特征是解题关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）用一个底面为20cm×20cm的长方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是16cm，10cm和5cm的长方体空铁盒内倒水，当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【分析】先求出长方体空铁盒的体积，再根据长方体容器倒出水的体积等于长方体空铁盒的体积，得到倒出水的体积，继而求得长方体容器中水下降的高度．
【详解】解：∵，
∴倒出水的体积，
则长方体容器中水下降的高度．
故选B．
【点睛】本题是利用长方体的体积公式解决实际问题，分析出长方体容器倒出水的体积，等于长方体空铁盒的体积是本题的关键．
3．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校阶段练习）五棱锥的底面是______形，侧面是______形；圆锥的底面是_________ 形，侧面是________面．
【答案】 五边 三角 圆 曲
【分析】根据棱锥和圆锥的特征，即可进行解答．
【详解】解：五棱锥的底面是五边形，侧面是三角形；
圆锥的底面是圆形，侧面是曲面．
故答案为：五边，三角，圆，曲．
【点睛】此题考查了对棱锥和圆锥的认识，正确记忆重点图形的形状是解题关键．
4．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）如图，将一个正方体截去一个角变成一个多面体，这个多面体有___________棱．
【答案】15
【分析】根据立体图形的性质，结合题意，即可得到答案．
【详解】解：∵一个正方体有12条棱，
又∵将一个正方体截去一个角，
如图，截去角的位置，即多出3条棱，
∴这个多面体的棱数为12+3=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了立体图形的知识；解题的关键是熟练掌握立体图形中的棱的性质．
5．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图是一个三棱柱，若这个三棱柱的底面是一个周长为的等边三角形，侧面是一个正方形，则这个三棱柱的所有棱的长的和是____．
【答案】18
【分析】等边三角形的三边相等，正方形的四条边相等，根据题意可知，三棱柱的棱长都相等，计算棱长的和即可．
【详解】解：等边三角形的三边相等，正方形的四条边相等，
三棱柱的棱长都相等，
三棱柱的底面周长为，
三棱柱的棱长为，
三棱柱的所有棱的长的和是．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了简单的几何图形，正方形的性质以及等边三角形的性质，熟知三棱柱有条棱是解本题的关键．
6．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）一个正n棱柱，它有18条棱，则该棱柱有______个面，______个顶点．
【答案】 8 12
【分析】先根据直棱柱的定义可得n=6，再画出图形即可得出结果．
【详解】解：∵这个直n棱柱共有18条棱，
∴，
画出图形如下所示：
则它共8个面，12个顶点，
故答案为：①8，②12．
【点睛】本题考查了直棱柱，熟练掌握直棱柱的概念是解题关键．
7．（2022·广东·揭阳市实验中学七年级阶段练习）如果一个棱柱一共有11个面，那么它一共有________个顶点、________条棱．
【答案】 18 27
【分析】根据棱柱有11个面得到它有9个侧面，再根据棱柱的性质填空．
【详解】解：一个棱柱有11个面，除上下两个底面后还有9个侧面，所以这个棱柱为9棱柱，它有18个顶点，27条棱．
故答案为：18；27．
【点睛】此题主要考查了认识立体图形，掌握棱柱点、面、棱之间的关系是解题的关键．
8．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图,它是八棱柱的表面展开图,展开前这个几何体共有_____条棱，_____个顶点，_____个面.
【答案】 24 16 10
【分析】由展开图得这个几何体为棱柱，底面为八边形，则为八棱柱，再根据棱柱的特性：n棱柱有3n条棱，2n个顶点，(n+2)个面，点即可得出答案．
【详解】解：由图得，这个几何体为八棱柱，
八棱柱有24条棱，16顶点，10个面．
故答案为：24，16，10．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，有两个底面的为柱体，有一个底面的为锥体，还考查n棱柱的构造特点： 3n条棱，2n个顶点，（n+2）个面．
9．（2022·全国·七年级专题练习）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是5cm，侧棱长都是4cm．
(1)它是几棱柱？它有多少个顶点？多少条棱？
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
【答案】(1)它是六棱柱，它有12个顶点，18条棱；
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是120
【分析】（1）根据棱柱面、顶点、棱之间的关系得出答案；
（2）计算侧面面积即可．
（1）
解：因为一个直棱柱有8个面，所以它是六棱柱，
所以有12个顶点，18条棱，
答：它是六棱柱，它有12个顶点，18条棱；
（2）
因为六棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长都是4cm，
所以侧面展开后是长为5×6＝30cm，宽为4cm的长方形，
因此侧面积为30×4＝120（cm2），
答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是120．
【点睛】此题考查了棱柱的面、顶点、棱之间的关系，计算侧面展开图的面积，正确掌握直棱柱的特点是解题的关键．
10．（2022·广东·七年级单元测试）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数、面数、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值．
【答案】(1)6；6；；(2)12；(3)14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-楼数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值．
（1）解：完成表格，如下：
根据表格得：顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
解得；
故答案为：12
（3）解：有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
共有条棱，
那么，解得，
．
【点睛】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
考点3：点、线、面、体的关系
典例：（2022·陕西·子洲县张家港希望中学七年级阶段练习）如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成．
(1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是____________，这能说明的事实是_____________（选择正确的一项填入）．
A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体
(2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留）
【答案】(1)圆柱；C(2)
【分析】（1）根据圆柱体的特征可直接进行求解；
（2）根据圆柱体的体积公式：底面积乘以高，进行求解即可．
（1）由题意可得：将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱体.
故答案为圆柱体；
这能说明的事实是面动成体；
故选C；
（2）由题意得：
该旋转门旋转一周形成的几何体的体积：
．
故形成的几何体的体积是．
方法或规律点拨
本题主要考查几何体，熟练掌握圆柱体的特征及体积公式是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是（ ）
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上都不对
【答案】A
【分析】流星是点，光线是线，所以说明点动成线．
【详解】解：流星滑过天空留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是:点动成线．
故选：A
【点睛】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．
2．（2022·全国·七年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．长方体的截面形状一定是长方形；B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形；
C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线”；D．圆柱的截面一定是长方形．
【答案】C
【分析】根据用平面截一个几何体，从不同的位置截取，得到的截面形状不一定相同，通过分析如何做截面即可得到答案.
【详解】解：A. 长方体的截面形状也可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是三角形，故该选项不正确，不符合题意；
C. “天空划过一道流星”能说明“点动成线”，故该选项正确，符合题意；
D. 圆柱的截面不一定是长方形，也可能圆形，故该选项不正确，不符合题意；．
故选:C.
【点睛】本题考查了平面截一个几何体，点、线、面之间的关系，掌握好空间想象能力是解决本题的关键.
3．（2022·全国·七年级专题练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“线动成面”的是（ ）
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
【答案】D
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定．
【详解】解：A．笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；
C．流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
D．汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，面动成体是解决本题的关键．
4．（2022·全国·七年级课时练习）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空B．打开折扇C．汽车雨刷的转动D．旋转门的旋转
【答案】A
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；
B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；
C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；
D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）汽车的雨刷把玻璃上的雨雪刷干净属于以下哪项几何知识的实际应用（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．以上答案都正确
【答案】B
【分析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
【详解】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
故选：B．
【点睛】本题考查了点、线、面、体，正确理解点线面体的概念是解题的关键．
6．（2022·山东·聊城市水城慧德学校七年级阶段练习）钟表上的时针转动一周形成一个圆面，这说明了 _____．
【答案】线动成面
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体填空即可．
【详解】解：钟表上的时针转动一周形成一个圆面，说明线动成面．
故答案为：线动成面．
【点睛】此题考查了点线面体，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体，是解题的关键．
7．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）夜晚时，我们看到的流星划过，用数学知识解释，这属于：___________
【答案】点动成线
【分析】流星可以看作一个点，流星划过可以理解为“点动成线”得出答案．
【详解】解：流星可以看作一个点，
流星划过可以理解为“点动成线”，
故答案为：点动成线．
【点睛】本题考查点、线、面、体，理解“点动成线”、“线动成面”、“面动成体”以及图形之间的变化关系是正确判断的前提．
8．（2022·陕西·西安高新第三中学七年级阶段练习）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是__________．
【答案】点动成线
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答．
【详解】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线，
故答案为：点动成线．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的关系，熟练掌握点动成线，线动成面，面动成体是解题的关键．
2、展开与折叠
考点1：正方体与长方体的展开图
典例：（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个食品包装盒的表面展开图．
(1)请写出这个包装盒的形状的名称；
(2)根据图中所标的尺寸，计算此包装盒的表面积和体积．
【答案】(1)此包装盒是一个长方体
(2)此包装盒的表面积为：，体积为：．
【分析】（1）根据图示可知有四个长方形和2个正方形组成，故可知是长方体；
（2）根据长方体的表面积公式和体积公式分别进行计算即可．
（1）由展开图可以得出：此包装盒是一个长方体．
（2）此包装盒的表面积为：2×b2+4×ab=2b2+4ab；
体积为b2×a=ab2．
方法或规律点拨
此题考查了几何体的展开图，用到的知识点是长方体的表面积公式和体积公式，解题的关键是找出长方体的长、宽和高．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形中，是长方体的平面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据长方体有六个面，展开后长方体相对的两个面不可能相邻进行判断．
【详解】A.中间两个细长方形相邻，错误；
B.各个相对的面没有相邻，正确；
C.中间两个大长方形相邻，错误；
D.图中有七个面，错误；
故选 B．
【点睛】本题考查几何体的展开，关键在于理解长方体有六个面，展开后长方体相对的两个面不可能相邻．
2．（2022·陕西·模拟预测）如图，是一个几何体的平面展开图，则该几何体是（ ）
A．正方体B．长方体C．三棱柱D．四棱锥
【答案】B
【分析】根据常见的几何体的展开图，即可得出结果．
【详解】解：根据几何体的平面展开图，该几何体是长方体；
故选：B．
【点睛】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱
【答案】A
【分析】根据长方体的展开图解答．
【详解】解：由图可知，这个几何体是长方体．
故选：A．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记长方体的展开图的形状是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级专题练习）如图长方体的展开图，不可能是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合长方体的面与面之间的连接判断即可；
【详解】解：A．选项正确，不符合题意；
B．选项正确，不符合题意；
C．选项正确，不符合题意；
D．组合后缺少上表面，选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了长方体的展开图，掌握长方体的立体特征是解题关键．
5．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图所示的长方体牛奶包装盒的展开图可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】把每一个平面展开图经过折叠，看能否围成长方体，即可判断．
【详解】把每一个平面展开图经过折叠后，A，C，D都不能围成长方体，B可以围成长方体，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握长方体的平面展开图的特征是解题的关键．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体形状的纸质包装盒，它的长、宽、高分别为25cm、15cm、20cm．将该纸袋沿一些棱剪开得到它的平面展开图，则平面展开图的最大周长为_______cm．
【答案】310
【分析】根据边长最长的多剪，边长最短的剪的最少，可得答案．
【详解】解：根据题意，沿边长最长的棱多剪，边长最短的剪的最少，得到下图：
这个平面图形的最大周长是25×8＋20×4＋15×2＝310（cm）．
故答案为：310．
【点睛】此题主要考查了长方体的展开图的性质，根据展开图要周长最长应从面积最大、周长最长的棱剪是解题关键．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相等，求的值．
【答案】16
【分析】分别找到x与y相对的数字即可求解．
【详解】因为这是长方体纸盒的展开图，
所以“4”与“10”相对，“”与“2”相对，“6”与“”相对，
所以，
所以，，
所以．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，正确找出相对面是解题的关键．
8．（2022·江西萍乡·七年级阶段练习）如图所示是一个多面体的展开图形，每个面（外表面）都标注了字母，请你根据要求回答问题：
(1)这个多面体是什么常见几何体；
(2)如果在前面，在左面，那么哪一面在上面．
【答案】(1)长方体
(2)在上面
【分析】（1）根据多面体的展开图形可知，多面体是长方体；
（2）根据长方体及其表面展开图的特点可知，其中面“”与面“”相对，面“”与面“”相对，面“”与面“”相对．
（1）解：根据多面体的展开图形可知，多面体是长方体；
（2）解：根据长方体及其表面展开图的特点可知，
面“”与面“”相对，
面“”与面“”相对，
面“”与面“”相对，
如果在前面，在左面，
则在下面，在上面．
【点睛】本题主要考查了长方体的展开图，根据展开图形分析出面“”与面“”相对，面“”与面“”相对，面“”与面“”相对，是解题的关键．
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题．
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为2cm，长方形的长为3cm，宽为2cm，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】(1)拼图存在问题，多了，图见解析(2)12cm3
【分析】（1）根据长方体展开图判断．
（2）求出长方体的长，宽，高即可．
（1）解：拼图存在问题，多了，如图：
（2）解：由题意得，围成的长方体长，宽，高分别为2cm，2cm，3cm，
∴体积为：2×2×3＝12（cm3）．
【点睛】本题考查几何体的展开图，掌握几何体特征，利用平面图形的长和宽或边长得到立体图形的长宽高是求解本题的关键．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】(1)有多余块，图见解析(2)
【分析】（1）长方体有6个面，依据长方体的特征进行判断即可；
（2）依据长方体的棱长，运用公式即可得到表面积以及体积．
（1）解：根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块，多余部分如图所示：
（2）
解：体积=．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何题，利用长方体展开图中每个面都有一个全等的对面是解题关键．
考点2：侧面有文字或数字的正方体展开图
典例：（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．
(1)共有______种弥补方法；
(2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；
(3)在你帮忙设计成功的图中，请把－6，8，10，－10，－8，6这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数互为相反数．（直接在图中填上）
【答案】(1)4；(2)画图见解析；(3)填图见解析
【分析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；
（2）利用（1）的分析画出图形即可；
（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．
（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，
故答案为：4；
（2）如图所示：
；
（3）如图所示：
．
方法或规律点拨
此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2022·陕西·千渭初中七年级阶段练习）从如图所示的纸板上7个小正方形中选择1个剪去，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，则不同的选法有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征即可得到由3种选法．
【详解】根据正方体展开图的特征即可得到由3种选法，
选择剪去“数”可折成一个正方体
选择剪去“学”可折成一个正方体
选择剪去“生”可折成一个正方体
故选：B．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图的特征是解题关键．
2．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图（1）是一个小正方体的表面展开图，小正方体从图（2）所示位置依次翻转到第①格、第②格，第③格，第④格，这时小正方体朝上一面的字是（ ）
A．六B．中C．学D．强
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，再由翻转即可得出结果．
【详解】解：根据正方体的展开图可得，“一”的对面为“中”，“二”的对面为“强”，“六”的对面为“学”，
翻转第①格时，“二”在下，
翻转第②格时，“六”在下，
翻转第③格时，“一”在下，
翻转第④格时，“二”在下，这时小正方体朝上一面的字是“强”，
故选：D．
【点睛】题目主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题关键．
3．（2022·全国·七年级单元测试）如下图的正方体纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：观察图形可知，正方体纸巾盒的平面展开图是：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
4．（2022·全国·七年级课时练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉的一个小正方形不可以是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解．
【详解】解：把图中的①或②或④剪掉，剩下的图形即为正方体的11种展开图中的模型，
把图中的③剪掉，剩下的图形不符合正方体的11种展开图中的模型，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的11种展开图的模型是解决本题的关键．
5．（2022·陕西·西安高新一中实验中学三模）如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是（ ）
A．了B．我C．的D．国
【答案】D
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，
其中有“我”字的一面相对面上的字是“国”，
“历”字的一面相对面上的字是“了”，
“害”字的一面相对面上的字是“的”．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
6．（2022·全国·七年级专题练习）在图中剪去1个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则要剪去的正方形对应的数字是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】结合正方体的平面展开图的特征（141型、132型、222型、33型），只要折叠后能围成正方体即可．
【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形对应的数字是2．
故选：B．
【点睛】此题考查了正方体的展开与折叠，解题的关键是掌握正方体的11种展开图．应灵活掌握，不能死记硬背．
7．（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则应剪去的小正方形上的字是（ ）
A．美或贵B．丽或贵C．欢或您D．美或丽或迎
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图的特点解答即可.
【详解】解：根据正方体的展开图可得：要使剩余的个小正方形折叠后能围成一个正方体，应剪去标记为美或丽或迎的小正方形.
故选：D.
【点睛】本题考查了正方体的展开图，属于常考题型，解题的关键是掌握正方体展开图的特点.
8．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，若添上一个正方形，使它能折叠成一个正方体，且使相对面上的数字之和相等，则共有几种不同的添法___________．
【答案】两种
【分析】根据正方体的展开图，田七和凹字要放弃，故只能是一四一型，根据同行隔一个和Z 字型找相对面，只剩下第二行2的左边和4的右边两个位置可以添加．
【详解】解：由题意得：1和5是相对面，2和4是相对面，只剩下3和3成相对面，故正方形的位置可以在2的左边或4的右边两种添法；
故答案为：两种．
【点睛】本题考查正方体的展开图．熟练掌握正方体的11种展开图，以及找相对面的方法是解题的关键．
9．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图，每个小正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体，则需要再剪掉的小正方形可能是 _____．（请填写所有可能的小正方形的编号）
【答案】①②③
【分析】根据正方体的11种展开图的模型即可求解．
【详解】解：把图中的①或②或③剪掉，剩下的图形能折成一个棱长为1的无盖正方体，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体的11种展开图的模型是解决本题的关键．
10．（2022·山东济南·七年级期末）“创出一条路，蝶变一座城”，济南市一直努力建设更高水平的全国文明城市，我校也积极开展了文明校园创建活动．为此七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，你有______种添加方式．
【答案】4
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：“收”字分别放在“垃”、“圾”、“分”、“类”下方均可成完整的正方体展开图，
所以有4种添加方式．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．
11．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个边长为10 cm的无盖正方体可以展开成下面的平面图形．
(1)这个表面展开图的面积是 cm2；
(2)你还能在下面小方格中画出无盖正方体的其他不同形状的表面展开图吗？请画出所有可能的情形（把需要的小正方形涂上阴影）；
(3)将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开 条棱．
A．3 B．4 C．5 D．不确定
【答案】(1)500(2)见解析(3)B
【分析】（1）根据正方形的面积求解即可；
（2）根据正方体的展开图画出表面展开图即可；
（3）根据题意可得，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开4条棱
（1）
故答案为：
（2）如图所示，
（3）根据题意可得，将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开4条棱
故答案为：B
【点睛】本题考查了正方体展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．注意题干是无盖的正方体，所以展开图只有5个面．
12．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
【答案】(1)C(2)环(3)①见解析，②
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
（3）①画出相应的图形即可；②根据折叠得出高，表示底面的长和宽即可得这个纸盒的底面积；底面积乘以高求容积即可．
（1）解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，再根据正方体的展开图的特征，故A选项、B选项中图形不符合题意，选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，故选项D不符合题意；
故选项C中的图形能够折叠成一个无盖的正方体纸盒；
故选：C
（2）解：解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，
∴与“小”字相对的字是“环”，
答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是“环”；
故答案为：环
（3）解：①所画出的图形如图所示：
②纸盒的容积为
答：纸盒的容积为．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，正方形相对两面上的字，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．
13．（2022·河南南阳·七年级期末）综合实践
【问题情景】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】
(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的字是______．
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方形纸盒．
①请你在如图3中画出示意图，用实线表示剪切纸，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的高为______，底面积为______；
③当四角剪去的小正方形的边长为时，求纸盒的容积．
【答案】(1)如图1的C图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒(2)卫(3)①见解析；②，；③纸盒的容积为576．
【分析】（1）由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题；
（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，据此作答；
（3）①根据题意，画出图形即可；②根据正方体底面积，即可解答；③根据正方体体积，即可解答．
（1）A．有田字，故A不能折叠成无盖正方体；
B．只有4个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体；
C．可以折叠成无盖正方体；
D．有6个小正方形，无盖的应该有5个小正方形，不能折叠成无盖正方体．
故选C．
（2）正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，所以与“保”字相对的字是“卫”．
故答案为：卫；
（3）①如图，
②设剪去的小正方形的边长为xcm，用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm，底面积为(20-2x)2cm2．
故答案为：，；
③当小正方形边长为4cm时，
纸盒的容积为=x(20-2x)2=4×(20-2×4)2=576cm3．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，每一个面都有唯一的一个对面的展开图才能折叠成正方体．还考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意．
考点3：侧面有图案的正方体侧面展开图
典例：（2022·全国·七年级）如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形展开图的特征，判断各个面的对面、邻面的特征即可．
【详解】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符，
只有B折叠后符合，
故选：B．
方法或规律点拨
此题考查的是正方体的展开图，掌握利用正方形展开图的特征判断各个面的对面、邻面的特征是解决此题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图的图形是（ ）正方体的展开图．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此图形为正方体展开图的“1−4−1”型，折成正方体，有空白圆与涂色圆的面相对，有两个涂色三角形的面相邻，且一个公共锐角顶点，有涂色圆的面与有两个涂色三角形的非涂色点为公共顶点，有空白圆的面与涂色三角形的两涂色点为公共顶点．据此解答即可．
【详解】解：如图：
是 的正方体展开图．
故选：B．
【点睛】解答此题的关键弄清该正方体展开图折成正方体后，各图案的位置关系．
2．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）如图所示的立方体，如果把它的展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方体的表面展开图的特点和图中阴影的位置关系解题．
【详解】解：选项A、C中折叠后带图案的三个面不能相交于同一个点，与原立方体不符；
选项B中折叠后阴影是正方形的面和阴影是三角形的面的位置与原立方体不符；
选项D中折叠后与原立方体相符符合，所以正确的是D．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．
3．（2022·全国·七年级课时练习）如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据展开图，可得空心圆与一个实心圆的面是相对的，只与一个实心圆面相邻，判断即可．
【详解】根据展开图，可得空心圆与一个实心圆的面是相对的，只与一个实心圆面相邻，
A、B、C都不符合题意，只有D符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的特点是解题的关键．
4．（2022·山东·华东师范大学青岛实验中学七年级阶段练习）如图所示，该正方体的展开图为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
选项B中面“v”与“＝”是对面，因此选项B不符合题意；
再根据上面“v”符号开口，可以判断选项D符合题意；选项A、C不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
5．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示的正方体的展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正方体的展开和折叠，对正方体展开图的形状进行逐个判断即可．
【详解】A：将其还原成正方体， 与 是对立面，不符合原几何体；
B：将其还原成正方体，则 在几何体右手边，不符合原几何体；
C：将其还原成正方体， 与是对立面，不符合原几何体；
D：将其还原成正方体，各特点均符合原几何体；
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是解题的关键．
6．（2022·浙江嘉兴·一模）如图所示的正方体的展开图为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据正方体的展开与折叠，正方体展开图的形状进行判断即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“相对的面”的判断方法可知，
选项C中面“△”与“＝”是对面，因此选项C不符合题意；
选项D中面“△”与“＝”是对面，因此选项D不符合题意；
再根据上面“=”符号折叠后的横竖方向，可以判断选项B符合题意；选项A不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查几何体的展开图，掌握正方体展开图的特征是正确判断的前提．
7．（2022·河北邯郸·一模）若图1所示的正方体表面展开图是图2，则正方体上面的几何图形是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方体的表面展开图是一四一型，其中，带二点和四点图案的正方形是相对的面，带一点和三角形图案的正方形是相对的面，在还原展开图时，可以让四点图案的正方形固定为底面，把其他各面翻折回来，即可得到结论．
【详解】解：由正方体的表面展开图情况，让四点图案的正方形固定为底面，把其他各面翻折回来，可知正方体上面的图案为：
故选：A．
【点睛】本题考查几何体的展开，熟练掌握正方体表面展开图的11种情况是解题的关键．
8．（2022·广东·七年级单元测试）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图中三角形，圆，正方形所处的位置关系即可直接选出答案．
【详解】三角形图案所在的面应与正方形的图案所在的面相邻，而选项A与此不符，所以错误；
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项C与此也不符；
三角形图案所在的面应与圆形的图案所在的面相邻，而选项D与此也不符，正确的是B．
故选B．
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，可以动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
9．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学七年级期中）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．
【详解】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．易错易混点：学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．
10．（2022·广东·湖景中学一模）如图，有一个正方体的纸巾盒，它的平面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图即可解答．
【详解】观察图形可知，一个正方体纸巾盒 ，它的平面展开图是
故选：B．
【点睛】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
11．（2022·山西·太原市第三实验中学校七年级阶段练习）有一个正大面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是________．
【答案】2
【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．
【详解】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，
∵，
∴滚动第2021次后与第1次相同，
∴朝下的数字是5的对面2，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规律．
12．（2022·山东·单县湖西学校七年级期中）如图，正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，下列不是由它展开得到的表面展开图的是_________．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据正方体展开图的特点找出下底面和上底面，再根据涂有黑色漆的部分作出选择即可．
【详解】解：正方体纸盒的底面和侧面的下半部分涂有黑色漆，将它展开得到的表面展开图如下：
则不是由正方体纸盒展开得到的表面展开图的是②③④，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握正方体展开图的特点是解题关键．
考点4：由展开图计算几何体相关数据
典例：（2022·辽宁·灯塔市实验中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）小明总共剪开了 条棱．
（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．
（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．
【答案】（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米
【分析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；
（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；
（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．
【详解】解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴可设底面边长acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，
∴4×20+8a＝880，
解得a＝100，
∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．
方法或规律点拨
本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）如图所示是小芳要用硬纸片做成的一个文具盒的展开图，则这个文具盒的表面积等于________．
【答案】488
【分析】根据长方体展开图的特征得到x，y的值，再由长方形的表面积计算公式解答．
【详解】解：由题意可得：，，
则这个长方体的表面积是：，
故答案为：488．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，利用了几何体展开图组成几何体时面与面之间的关系．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个长方体的表面展开图，其中四边形ABCD是正方形，根据图中标注的数据可求得原长方体的积是_______．
【答案】##16立方厘米
【分析】根据题意可得原长方体的宽的4倍等于8cm，原长方体的高与长的和为6cm，再由四边形ABCD是正方形，可求出原长方体的长，从而得到原长方体的高，即可求解．
【详解】解：根据题意得：原长方体的宽的4倍等于8cm，原长方体的高与长的和为6cm，
∴原长方体的宽为，
∵四边形ABCD是正方形，
∴原长方体的长等于2×2=4cm，
∴原长方体的高等于6-4=2cm，
∴原长方体的积是．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，利用已知图形得出各边长是解题关键，用到的知识点是几何体的展开图和长方体的体积公式．
3．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm．
(1)制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？
(2)若1平方厘米硬纸板价格为0.5元，则制作10个这的包装盒需花费多少钱？不考虑边角损耗
【答案】(1)制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；
(2)制作10个这样的包装盒需花费1800元钱．
【分析】（1）依据底面形状是边长为6cm正方形，高为12cm，即可得到制作这样的包装盒需要多少硬纸板；
（2）依据所需硬纸板的面积以及单价和数量，即可得到制作10个这的包装盒需花费多少钱．
（1）解：由题意得，6×12×4+6×6×2=360（）．
答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；
（2）解：由题意得，360×0.5×10=1800（元）．
答：制作10个这样的包装盒需花费1800元钱．
【点睛】本题主要考查了几何体的表面积，几何体的表面积=侧面积+底面积（上、下底的面积和）．
4．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）一张长宽的长方形纸片，围成一个圆柱，用石膏铸成模具，求这个模具的表面积．
【答案】（64+）或（64+）
【分析】根据圆柱体的表面积=底面积+侧面积，侧面积为长方形的面积，底面积先根据地面周长求出底面半径，再求出底面积；注意进行分类讨论．
【详解】解：侧面积=16×4=64（）
当底面周长为16cm时，底面半径r==（cm），
底面积=，
∴表面积=（64+）
当底面周长为4cm时，底面半径r==（cm），
底面积=，
∴表面积=（64+）
综上：这个模具的表面积为（64+）或（64+）．
【点睛】本题主要考查了求圆柱体的表面积，熟练掌握圆柱体的表面积公式是解题的关键．解题过程中注意根据底面周长的不同情况进行分类讨论．
5．（2022·陕西·泾阳中学七年级阶段练习）如图，是一个几何体的表面展开图．
(1)该几何体是______．
(2)依据图中数据求该几何体的表面积和体积．
【答案】(1)长方体
(2)该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米
【分析】（1）由展开图得这个几何体为长方体；
（2）根据长方体的体积=长×宽×高，计算即可．
（1）
解：由展开图得这个几何体为长方体，
故答案为：长方体．
（2）
解：表面积：3×1×2+3×2×2+2×1×2＝22（平方米），
体积：3×2×1＝6（立方米），
答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟知长方体的表面展开图．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题．
(1)请用含a和的式子表示这个小纸盒的展开图的面积；
(2)当a=6厘米时，小纸盒面积为72平方厘米，求x的值；
(3)在（2）的条件下，将10个小纸盒包装成一个长方体，这个长方体的表面积的最小值为 cm2．
【答案】(1)4x +2ax+4a）cm2.
(2)x=3
(3)312 cm2.
【分析】（1）先用代数式表示六个面的面积，然后再求和即可；
（2）把a=6代入2ax+4a+4x=72，然后解方程求解即可；
（3）先画出表面积最小的长方体，再根据长方体的表面积公式计算即可求解．
（1）
解：（1）2×2x+2·ax+2×2a=（4x +2ax+4a）cm2.
答：这个纸盒展开图的面积为（4x +2ax+4a）cm2．
（2）
解：把a=6代入4x +2ax+4a=72得4x+12x+24=72，解得x=3．
（3）
解：如图，长方体的表面积最小，
3×2=6（cm），
2×5=10（cm），
（6×6+6×10×2）×2=312（cm2）
故这个长方体的表面积的最小值为312cm2．
故答案为：312．
【点睛】本题主要考查了列代数式、几何体的表面积、几何体的展开图等知识点，根据图形正确列出代数式是解答本题的关键．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图1是墨水瓶包装盒实物图，图2是粉笔包装盒实物图，图3是墨水瓶包装盒展开图，图4是粉笔包装盒展开图，尺寸数据如下（单位：cm．以下问题结果用含a，b，c的式子表示，其中阴影部分为内部粘贴角料，计算纸片面积时内部粘贴角料忽略不计）：
(1)做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为___，做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为___；（直接写出答案）
(2)做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片多少平方厘米？
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用多少平方厘米纸片？
【答案】(1)（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2
(2)（8ab+8ac+10bc）平方厘米
(3)做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
【分析】（1）将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm；将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm；再根据长方体的表面积公式计算即可；
（2）利用（1）的结论列式计算解答即可；
（3）利用（1）的结论列式计算解答即可．
（1）
解：将墨水瓶包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为a cm、b cm、c cm，
故做一个墨水瓶包装盒需要纸片的面积为：（2ab+2ac+2bc）cm2；
将粉笔包装盒展开图折叠，可得长、宽、高分别为1.5a cm、2b cm、2c cm，
故做一个粉笔包装盒需要纸片的面积为：2×1.5a×2b+2×1.5a×2c+2×2b×2c=（6ab+6ac+8bc）cm2；
故答案为：（2ab+2ac+2bc）cm2；（6ab+6ac+8bc）cm2；
（2）
解：做一个墨水瓶包装盒和一个粉笔包装盒共用纸片：
（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
=（8ab+8ac+10bc）cm2；
（3）
解：3（6ab+6ac+8bc）-2（2ab+2ac+2bc）
=18ab+18ac+24bc-4ab-4ac-4bc
=14ab+14ac+20bc（cm2），
即做三个粉笔包装盒比做两个墨水瓶包装盒多用（14ab+14ac+20bc）平方厘米纸片．
【点睛】本题考查了长方体的平面展开图，长方体的表面积公式以及整式的混合运算，解题关键是掌握立体图形与平面展开图之间的关系，从图中得到长方体的长、宽、高．
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一张铁片．（单位：米）
(1)计算这张铁片的面积；
(2)这张铁片能否做成一个无盖长方体盒子？若能，请计算它的体积；若不能请说明理由．
【答案】(1)16m2；
(2)能，6m3．
【分析】（1）把图形分为两个长方形，一个正方形求解即可；
（2）折叠图形，利用体积公式求解即可．
（1）
解：由题意可得
S＝1×2+3×3+1×5＝16（m2）；
答：这张铁片的面积是16 m2．
（2）
解：能，如图：
盒子的体积V＝3×2×1＝6（m3）．
答：这张铁片能做成一个无盖长方体盒子，体积是6m3．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算及展开图折叠成几何体，解题的关键是正确的列出算式求解．
9．（2022·全国·七年级专题练习）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：
包装盒的展开图：如图①是一个同学们熟悉的包装盒如图②是它的一种表面展开图，小明将图②画在如图③所示的的网格中．
(1)在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是（ ）
A.字母B；B．字母A；C．字母R；D．字母T
(2)若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．
【答案】(1)A
(2)22
【分析】（1）先确定长方体展开图的对面，然后根据字母Q在上表面，即可确定下表面；
（2）利用展开图上下面与宽面组成长方形面积+两个长面面积计算即可．
（1）
解：根据长方体展开图的对面间隔一个小长方形，
B与Q是对面，
A与T是对面，
P与R是对面，
∵字母Q表示包装盒的上表面，
∴下表面为B，
故选择A；
（2）
解：包装盒的表面积为：2×8+2×1×3=16+6=22．
【点睛】本题考查长方体平面展开图，表面面积，掌握长方体平面展开图的特征，表面面积求法是解题关键．
10．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题，
(1)请你帮小华分析一下拼图是否存在问题，若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少则直接在原图中补全；
(2)若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，求出修正后所折叠而成的长方体的体积．
【答案】(1)有多余块，图见解析
(2)
【分析】（1）长方体有6个面，依据长方体的特征进行判断即可；
（2）依据长方体的棱长，运用公式即可得到表面积以及体积．
（1）
解：根据长方体有6个面，可得拼图中有多余块，多余部分如图所示：
（2）
解：体积=．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何题，利用长方体展开图中每个面都有一个全等的对面是解题关键．
11．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
操作探究：
(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的___________图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．
(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的是___________
(3)如图3，有一张边长为的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为的小正方形，这个纸盒的容积．
【答案】(1)C
(2)环
(3)①见解析，②
【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；
（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；
（3）①画出相应的图形即可；②根据折叠得出高，表示底面的长和宽即可得这个纸盒的底面积；底面积乘以高求容积即可．
（1）
解：∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，
∴展开图有5个面，再根据正方体的展开图的特征，故A选项、B选项中图形不符合题意，选项C的图形符合题意，
选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，故选项D不符合题意；
故选项C中的图形能够折叠成一个无盖的正方体纸盒；
故选：C
（2）
解：解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形，
∴与“小”字相对的字是“环”，
答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是“环”；
故答案为：环
（3）
解：①所画出的图形如图所示：
②纸盒的容积为
答：纸盒的容积为．
【点睛】本题考查正方体的表面展开图，正方形相对两面上的字，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．
12．（2022·广东·七年级单元测试）顾琪在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形.于是她在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)顾琪总共剪开了 条棱.
(2)现在顾琪想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助她在①上补全.
(3)已知顾琪剪下的长方体的长、宽、高分别是、、，求这个长方体纸盒的体积.
【答案】(1)8
(2)补全图形见解析
(3)长方体纸盒的体积是
【分析】(1)根据平面图形得出剪开棱的条数即可；
(2)根据长方体的展开图的情况可知有四种情况；
(3)根据长方体纸盒的体积=长×高×宽即可求解．
（1）
解：由图可知：小明共剪了8条棱，
故答案为：8；
（2）
解：如图，四种情况.
（3）
解：，
故这个长方体纸盒的体积是．
【点睛】本题主要考查了几何体展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是解决此类问题的关键．
13．（2022·江苏常州·七年级期末）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为．

(1)这个纸盒的底面积是______，高是______（用含、的代数式表示）．
(2)的部分取值及相应的纸盒容积如表所示：
①请通过表格中的数据计算：_____，______；
②猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：_______．
(3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．
①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是______，_____（用含、的代数式表示）：
②已知，，，四个面上分别标有整式，，，6，且该纸盒的相对两个面上的整式的和相等，求的值．
【答案】(1)，；
(2)①16，；②先随着的增大而增大，后随着的增大而减小；
(3)①，，②5．
【分析】（1）根据长方形的面积公式结合图形进行计算即可；
（2）①利用纸盒的容积的公式求出的值，然后把，代入进行计算即可，
②通过计算，2，3，4，5，6，7，8，9时，纸盒的容积即可解答；
（3）①结合图形进行计算即可解答，
②结合图形可知与相对，与相对，然后进行即可解答．
(1)
解：这个纸盒的底面积是，高是，
故答案为：，；
(2)
解：①由题意得：
当时，纸盒的容积为，
，
，
，
当时，，
当时，，
故答案为：16，；
②当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
猜想：当逐渐增大时，纸盒容积的变化情况：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小，
故答案为：先随着的增大而增大，后随着的增大而减小；
(3)
解：①若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，，
故答案为：，，
②由图可知：与相对，与相对，
由题意得：
，
，
，
的值为5．
【点睛】本题考查了长方体展开图，列代数式，整式的加减，解一元一次方程，掌握长方体展开图、准确熟练地进行计算是解题的关键．
14．（2022·江苏泰州·七年级期末）如图是一个无盖长方体的展开图．
(1)若①②④⑤四个面上分别标有x、－2、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，则___________；
(2)若将展开图折叠成长方体，请根据图中所给数据分别求出该无盖长方体的容积和表面积．
【答案】(1)
(2)容积24，表面积46
【分析】（1）由长方体的展开图的特点可得：①⑤为相对面，②④为相对面，再结合题意可得的值，从而可得答案；
（2）由展开图可得：该长方体的底面是边长为2，3的长方形，高为4，再按照容积公式与表面积公式进行计算即可.
(1)
解：由长方体的展开图的特点可得：①⑤为相对面，②④为相对面，
①②④⑤四个面上分别标有x、－2、y、5，且相对面上的两个数互为相反数，


故答案为：
(2)
解：由展开图可得：该长方体的底面是边长为2，3的长方形，高为4，
所以无盖长方体的容积为：2×3×4=24.
表面积为：3×4×2+2×4×2+2×3=46.
【点睛】本题考查的是长方体的展开图，掌握“长方体的展开图”是解本题的关键.
考点5：一般几何体的侧面展开图
典例：（2022·山东·东平县佛山中学阶段练习）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：____________、____________．
【答案】 圆锥 四棱锥
【分析】根据表面展开图的形状判断即可．
【详解】圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，
故答案为：圆锥，四棱锥．
方法或规律点拨
本题考查立体图形的表面展开图，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．
巩固练习
1．（2022·山东·胶州市瑞华实验初级中学七年级阶段练习）下列图形沿虚线经过折叠可以围成一个棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据棱柱的特点：有两个平行的底面，侧面数与底面多边形的边数相等，再逐一进行分析即可．
【详解】解：A、不能围成棱柱，侧面和底面的边数不相等，故此选项不符合题意；
B、能围成四棱柱，侧面有4个，底面是四边形，故此选项符合题意；
C、不能围成四棱柱，侧面有4个，但底面应该在两侧，故此选项不符合题意；
D、不能围成棱柱，侧面和底面的边数不相等，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了棱柱展开图的特点，展开图折叠成几何体，解题的关键是通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开．
2．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）下列图形中经过折叠，可以围成圆锥的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据圆锥的特点：圆锥的底面是一个圆；圆锥的侧面是一个扇形；从侧面水平看是一个等腰三角形，再逐一进行分析即可．
【详解】解：A、能围成圆锥，符合圆锥展开图的特征，故此选项符合题意；
B、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
C、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
D、不能围成圆锥，无底面圆形和侧面扇形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了圆锥展开图的特点，展开图折叠成几何体，解题的关键是通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开．
3．（2022·河南·汝州市有道实验学校七年级阶段练习）如图为几何体的平面展开图，则从左到右其对应的几何体名称分别为（ ）
A．正方体，三棱锥，圆锥，圆柱B．正方体，四棱锥，圆锥，圆柱
C．正方体，四棱柱，圆锥，圆柱D．正方体，三棱柱，圆锥，圆柱
【答案】D
【分析】把每一个几何体的平面展开图经过折叠，再判断能围成什么几何体．
【详解】解：经过折叠后，这些几何体的平面展开图围成的几何体分别是：正方体，三棱柱，圆锥，圆柱，
故选：D．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握每一个几何体的平面展开图的特征是解题的关键．
4．（2022·山西·太原市第十八中学校七年级阶段练习）下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形即可得出答案．
【详解】解：由图形可知作为一个三棱柱的展开图有B、C、D；
故不能作为一个三棱柱的展开图的是：A；
故选：A．
【点睛】此题考查了三棱柱的展开图,掌握三棱柱的展开图是解题的关键．
5．（2022·全国·七年级专题练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据棱柱展开图的特点直接判断．
【详解】解：A可以围成四棱柱，
B可以围成五棱柱，
C选项侧面上少了1个长方形，故不能围成一个四棱柱．
D可以围成三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题考查立体图形的展开图，理解棱柱展开图的特点是解题的关键．
6．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
【答案】D
【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．
【详解】解：根据几何体的平面展开图，
从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱．
故选：D．
【点睛】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
7．（2022·山东省淄博第五中学阶段练习）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面图形的折叠及棱柱的展开图的特点排除即可．
【详解】解：A选项侧面上多出1个长方形，故不能围成一个三棱柱，故本选项符合题意；
B选项可以围成五棱柱，故本选项不符合题意；
C选项可以围成三棱柱，故本选项不符合题意；
D选项可以围成四棱柱，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【点睛】本题考查了立体图形的展开与折叠，掌握常见立体图形的表面展开图的特征是解这类题的关键．
8．（2022·黑龙江大庆·期中）如图，个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是（ ）
A．三棱锥B．圆锥C．四棱锥D．三棱柱
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点解题即可．
【详解】解：个三角形均为等边三角形，将图形沿中间三角形的三边折叠，得到的立体图形是三棱锥，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面图形的折叠和立体图形的表面展开图，从所给图出发，发现它与多面体面之间的关系是解题的关键．
9．（2022·全国·七年级专题练习）如图是一个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据侧面为n个长方形，底边为n边形，原几何体为n棱柱，依此即可求解．
【详解】解：侧面为3个长方形，底边为三角形，故原几何体为三棱柱．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，n棱柱的展开图侧面为n个长方形，底边为n边形．
10．（2022·广东·七年级单元测试）如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是（ ）
A．圆锥B．圆柱C．棱锥D．棱柱
【答案】A
【分析】由图可知展开侧面为扇形，则该几何体为圆锥．
【详解】该几何体的侧面展开图是扇形，所以这个几何体可能是圆锥,
故选：A．
【点睛】此题主要考查几何体的展开图，熟记几何体的侧面展开图是解题的关键．
11．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图是一个立体图形的平面展开图，这个立体图形是___________．
【答案】圆柱
【分析】根据立体图形的平面展开图为两个圆形和一个长方形，即可得出答案．
【详解】∵三棱柱的平面展开图为两个圆形和一个长方形，
∴这个立体图形是圆柱．
故答案为：圆柱．
【点睛】本题主要考查立体图形的平面展开图，掌握常见的立体图形的平面展开图是解题的关键．
3、截一个几何体
考点1：截几何体判断截面
典例： （2022·全国·七年级课时练习）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④圆锥；⑤球，得到的截面可以三角形的是_______（填写正确的几何体前的序号）
【答案】①②③④
【分析】当截面的角度和方向不同时，球的截面无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
【详解】①用平面截三棱柱时，可以得到三角形截面.
②当平面平行于三棱锥的任意面时，得到的截面都是三角形.
③当平面经过正方体的三个顶点时，所得到的截面为三角形.
④当平面沿着母线截圆锥时，可以得到三角形截面.
⑤用平面球时，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形．
故答案为:①②③④．
方法或规律点拨
本题主要考查的是截面的相关知识，截面的形状既与被截的几何体有关系，又与截面的角度和方向有关．
巩固练习
1．（2022·四川·成都市第四十三中学校七年级阶段练习）用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一个几何体有几个面，则截面最多为几边形，由于棱柱没有曲边，所以用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆即可解答．
【详解】解：用一个平面去截圆锥或圆柱，截面可能是圆；用一个平面去截球，截面是圆；但用一个平面去截棱柱，截面不可能是圆．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了截一个几何体，用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是多边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
2．（2022·辽宁铁岭·七年级阶段练习）一个长方体的截面不可能是（ ）
A．三角形B．梯形C．五边形D．七边形
【答案】D
【分析】长方体有六个面，用平面去截长方体时，最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，即可得出答案．
【详解】解：用一个平面去截长方体，截面可能是六边形、五边形、四边形（包括梯形）、三角形，不可能是七边形．
故选：D．
【点睛】本题考查长方体得截面，解题的关键是明确长方体有六个面，截面与其六个面相交，最多得六边形，不可能是七边形或多于七条边的图形．
3．（2022·陕西西安·七年级阶段练习）如图，用个平面去截一个长方体，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形B．梯形C．长方形D．圆
【答案】D
【分析】长方体有六个面都是平面，由此可以作出判断．
【详解】解：长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，故此截面可以是三角形、四边形、五边形、六边形，不可能是圆形，
故选：D．
【点睛】本题考查长方体的截面．长方体有六个面，明确截面与其六个面相交不可能是圆是解题的关键．
4．（2022·福建省尤溪县梅仙中学七年级阶段练习）用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】根据截面与几何体的三个面相交，可得截面是三角形．
【详解】解：用一个平面去截一个几何体，如图：
可以得到三角形的截面的几何体有：圆锥，正方体，三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
5．（2022·山西·太原市风帆中学校七年级阶段练习）如图，用一个水平的平面去截长方体，则截面的形状为选项中的（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，平面是水平着截取的长方体，所以切面应该是一个矩形，据此解答．
【详解】解：由图示可知，截面应该为长方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了立方体的切拼问题，本题关键培养学生的空间想象能力．
6．（2022·全国·七年级期中）用一个平面去截下列几何体，不能得到圆形截面的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正方体、长方体、圆锥、圆柱的特点判断即可．
【详解】解：用一个平面去截长方形的截面无法得到圆；用一个平行于地面的平面去截圆柱，圆锥的截面是圆；用一个平面去截球的截面是圆，
故选C．
【点睛】本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．
7．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）六棱柱的截面不可能是（ ）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
【答案】D
【分析】六棱柱有八个面，截面与其八个面相交最多得八边形，不可能是九边形或多于九边的图形．
【详解】解：用平面去截六棱柱，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形、七边形、八边形，不可能为九边形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查六棱柱的截面，六棱柱的截面的几种情况应熟记．
8．（2022·山东威海·期末）用一个平面去截一个三棱柱，不能得到的截面形状是（ ）
A．等边三角形B．长方形C．梯形D．六边形
【答案】D
【详解】解：用平面去截一个三棱柱，其截面的形状有四种：长方形，梯形，三角形，五边形，不可能是六边形，
故选D．
【点睛】本题主要考查了用平面截一个几何体，本题的关键是理解截面经过三棱柱的几个面，得到的截面形状就是几边形．
9．（2022·黑龙江大庆·期中）下列几何体的截面不可能是圆的是（ ）
A．圆柱B．圆台C．棱柱D．圆锥
【答案】C
【分析】根据圆柱、圆台、圆锥、棱柱的形状特点判断即可．
【详解】解：从水平方向去截圆柱、圆台和圆锥都可以得到圆，
棱柱无论怎么截，截面都不可能有弧度，自然不可能是圆，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的截面，关键要熟知常见几何体的形状特点．
10．（2022·云南·文山市第三中学七年级阶段练习）如图，用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状不可能是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】D
【分析】根据三棱柱的截面形状判断即可．
【详解】解：用一个平面去截一个三棱柱，截面的形状可能是：三角形，四边形，五边形，不可能是六边形，
故选：D．
【点睛】本题考查了截一个几何体，熟练掌握三棱柱的截面形状是解题的关键．
11．（2022·全国·七年级专题练习）用一个平面截下列几何体，截面可能是圆的是（ ）
①正方体
②球
③圆柱
④五棱柱
A．①②B．①③C．②③D．①④
【答案】C
【分析】当截面的角度和方向不同时，球和圆柱可以截出圆形，正方体和五棱柱的截面无论什么方向截取都不会截得圆形．
【详解】解：①正方体不能截出圆形；
②球体能截出圆形；
③圆柱能截出圆形；
④五棱柱不能截出圆形．
故截面可能是圆形的有②③．
故选：C．
【点睛】本题考查了用平面截几何体，要考查截面的角度和方向．解题的关键是同时要掌握几何体的结构特征．
12．（2022·山东·济南市天桥区泺口实验学校七年级阶段练习）用一个平面截长方体、五棱柱、圆柱和圆锥，不能截出三角形的是（ ）
A．长方体B．五棱柱C．圆柱D．圆锥
【答案】C
【分析】用一个平面截一个几何体，首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线，再判断截面的形状，依次分析各个选项即可得到答案．
【详解】解：
如下图所示，长方体可以截出三角形，故选项A不符合题意；
如下图所示，五棱柱可以截出三角形，故选项B不符合题意；
圆柱不能截出三角形，故选项C符合题意；
用平面过圆锥的顶点垂直圆锥的底面截圆锥，可截出三角形，故选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查常见立体图形，解题的关键是掌握截几何体所得截面的形状的判断方法．
13．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，一个正方体截去一个角后，截面的形状是_______．
【答案】三角形
【分析】观察图形，正方体截去一个角后，多了一个面，判断其形状即可．
【详解】正方体截去一个角后，截面由三条线段构成，判断截面是三角形．
故答案为：三角形．
【点睛】本题考查同学们的空间想象能力和实际操作能力，通过实践找规律是解答此类问题的关键．
4、从三个方向看几何体
考点1：已知几何体判定三视图
典例：（2022·全国·七年级期中）如图，是由一些棱长为1的相同的小正方体组合成的简单几何体．请分别画出该几何体从正面看和从左面看所得到的图形．
【答案】见解析
【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从上面看，每列小正方形数目分别为3，2，1；据此可画出图形．.
【详解】如图所示：
方法或规律点拨
本题考查了画从不同面看立体图形，熟知其的定义和画图的规则是解题的关键．
巩固练习
1．（2022·广东·佛山六中七年级阶段练习）如图所示，该形状的物体从上面看的形状图是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】从上面看有两列，分别为、个正方体，据此即可解答．
【详解】解：从上面看有两列，分别为、个正方体，
故选：C．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，解决本题时应具有一定的空间想象能力．
2．（2022·福建·测试·编辑教研五七年级期中）如图是由若于个小正方形所搭成的几何体及从上面看这个几何体所看到的图形，那么从左边看这个几何体时，所看到的几何图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在图中．
【详解】解：从左面看会看到左侧有3个正方形，右面有1个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是根据从上面看到的图形得出小正方体的个数，然后判断从左边看到的图形即可．
3．（2022·山东·枣庄市第四十中学七年级阶段练习）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从上面看是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得：从上面看几何体，得到的图形有三行，第一行在第二列处有一个正方形，第二行有三个正方形，第三行在第一列处有一个正方形，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：从上面看几何体，得到的图形有三行，第一行在第二列处有一个正方形，第二行有三个正方形，第三行在第一列处有一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据题意得到从上面观察几何体所得到的的平面图形是解题的关键．
4．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期末）如图，这是一个机械零部件，箭头指的方向是正面，该零部件的从左面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆柱平放从左面看的形状图是圆，圆柱正立从正面看的形状图是长方形，结合放置位置判断即可．
【详解】解：因为圆柱平放从左面看的形状图是圆，圆柱正立从正面看的形状图是长方形，
所以从左面看到的形状图是．
故选：C．
【点睛】此题考查了三视图，解题的关键是掌握从左面看的含义，注意能看到的立体图形中的线条都要画成实线，看不到的画成虚线．
5．（2022·全国·七年级课时练习）我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图是“牟合方盖”的一种模型，从正面看，所看到的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可．
【详解】解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
6．（2022·全国·七年级专题练习）下面是用八个完全相同的小正方体搭成的几何体，从正面看该几何体得到的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】画出从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在图中．
【详解】解：从正面看，有3列正方形，每列分别有2个，2个，2个，如图：
故选：A．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，明确从物体的正面看得到的图形，从物体的左面看到的图形，从物体的上面看到的图形是解题的关键．
7．（2022·全国·七年级专题练习）作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据左视图定义从左向右看得到的图形，从左面看看到壶嘴，画的全身，看不见弧把手，对各选项进行分析判断即可．
【详解】A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故选项A不合题意；
B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故选项B符合题意；
C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故选项C不合题意；
D. 是从前往后看得到的图形是主视图，故选项D不合题意．
故选择B．
【点睛】本题考查物体的三视图，掌握三视图的定义是解题关键．
8．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示，从左面看该几何体得到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，从左面看图形即可判定．
【详解】解：从左面看，是一列两个小正方形．
故选：D．
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，解题关键是掌握空间想象力．
9．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成．
(1)从正面、左面、上面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
(2)求这个几何体的表面积为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据从不同方向看的形状图的要求画图即可．
（2）分前后，左右，上下面计算求和即可．
【详解】（1）几何体的形状图如下：
．
（2）根据题意，得
每个小正方形的面积为1，
所以几何体的表面积为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了从不用方向看，熟练掌握图的画法，掌握计算表面积的方法，特别是对称思想是解题的关键．
10．（2022·辽宁·阜新市第四中学七年级阶段练习）由6个完全相同的小正方块搭成的几何体如图所示，请按要求在方格内画出从三个不同方向看到的图形．
【答案】见解析
【分析】根据三视图的画法，分别画出从正面、左面、上面看到的图形即可．
【详解】解：如图所示
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，注意“长对正，宽相等，高平齐”，掌握三视图的画法是解题的关键．
11．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）由8个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，请画出它从正面、左面、上面观察得到的图形．
【答案】见解析
【分析】从正面看，得到从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看得到从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1，依此画出图形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题考查从不同方向看几何体，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
12．（2022·全国·七年级课时练习）将棱长为a的小正方体摆成如图所示的形状．
(1)求该物体的表面积；
(2)依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了20层，求该物体的表面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题中图示可知从上、下、左、右、前、后六个方向直视的平面图相同，每个方向上均有6个等面积的小正方形，且均有(1＋2＋3)个等面积的小正方形，据此求解即可；
（2）同理可知此时每个方向上均有6个等面积的小正方形，且均有(1＋2＋3＋…＋20)个等面积的小正方形，据此求解即可．
【详解】（1）．
故该物体的表面积为；
（2）解：，
故如果该物体摆放了20层，则该物体的表面积为．
【点睛】本题考查了平面图形的有关知识，解题关键是要注意立体图形的各个面，及每个面的正方形的个数．
考点2：已知俯视图判断其它视图
典例：（2022·全国·七年级课时练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．
【答案】详见解析
【分析】从正面看到的是三列，第一列是两层，第二列是三层，第三列是2层；从左面看到也是三列，每一列上分别是1层、三层、两层．
【详解】解：从正面看、左面看的图形如图所示：
方法或规律点拨
本题考查简单几何体的三视图，关键是看到的是几列几层，同时还需注意“长对正，宽相等、高平齐”．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级专题练习）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成从上面看到的几何体形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数能表示该几何体从左面看到的形状图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】左视图有3列，每列小正方形最大数目数目分别为2，4，3．据此可画出图形.
【详解】解：左视图有3列，每列小正方形最大数目分别为2，4，3
如图所示：
故答案选：B
【点睛】本题主要考查几何体的三视图画法的知识点，由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.
2．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）如图所示是由几个大小相同的立方块所搭几何体从上面看所看到的平面图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数．请画出相应的几何体从正面看和从左面看所看到的平面图形．
【答案】见解析
【分析】由已知条件可知，从正面看有2列，每列小正方形的数目分别为2，3；从左面看有2列，每列小正方形的数目分别为3，1，据此可画出图形．
【详解】解：如图所示．
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，利用上面看到的平面图得出几何体的形状是解题的关键．
3．（2022·山东·滕州市东郭镇东郭中学七年级期中）如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请你画出它从正面和从左面看到的形状图．
【答案】见解析
【分析】根据从正面和从左面看到的形状图的意义画图即可．
【详解】根据从正面和从左面看到的形状图的意义画图如下：
【点睛】本题考查了从正面和从左面看到的形状图的画法，正确理解形状图的意义是解题的关键．
4．（2022·陕西·测试·编辑教研五七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
【答案】见详解
【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，3，据此画出图形即可．
【详解】解：由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3；从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，3，图形如下图所示，
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，由几何体的从上面看到的图形以及小正方形内的数字，可知从正面看的图形的列数与上面看到的图形的列数相同，且每列小正方形数目为从上面看到的图形中该列小正方形数字中的最大数字．从左面看到的图形的列数与从上面看到的图形的行数相同，且每列小正方形数目为从上面看到的图形中相应行中正方形数字中的最大数字．
5．（2022·山东·济南市莱芜区雪野中心中学阶段练习）如图是由若干个小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，其中小正方形内的数字是该位置小正方体的个数，请分别画出从正面和从左面看到的形状图．
【答案】作图见解析．
【分析】由已知条件可知，从前面看到的图有3列，每列小正方数形数目分别为1，2，1；从左面看到的图有2列，每列小正方形数目分别为2， 2．据此可画出图形．
【详解】解：如图，

【点睛】此题主要考查了从不同方向看到的图，根据题意确定不同方向上小正方形的列数和个数是解题的关键．
6．（2022·陕西·西安一中七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数请在网格中画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
【答案】作图见解析
【分析】由题意根据正面看，左面看的图形，根据各行、各列对应的立方体的个数从左向右进行画图即可．
【详解】解：从正面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示：

【点睛】本题考查了三视图的画法，注意把握“长对正，宽相等，高平齐”是画图的关键．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图是由一些大小相同的小正方体组合成的简单几何体从上面看到的图形，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，请在下面的方格纸中分别画出从正面和从左面看到的该几何体的形状图．
【答案】见解析．
【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2，从左面看有2列，每列小正方数形数目分别为2，3．据此可画出图形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体．由小正方形内的数字，可知从正面看的列数与从左面看的列数相同，且每列小正方形数目为从上面看该列小正方形数字中的最大数字．从左面看的列数与从上面看的行数相同，且每列小正方形数目为从上面看相应行中正方形数字中的最大数字．
8．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图．
【答案】画图见解析
【分析】由题意根据正面看，左面看到的图形，结合各行、各列对应的立方体的个数从左向右进行画图即可．
【详解】从正面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示：
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，根据从上面看到的图形结合题意可以抽象出原几何体的形状是解答本题的关键．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，是由几个大小相同的小正方体所搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示在这个位置小正方体的个数．
从正面看 从左面看
(1)请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图；
(2)若每个小正方体棱长为，请直接写出该几何体的表面积（包含底面）为______．
【答案】(1)见解析(2)36
【分析】（1）从正面看有3列，每列小正方形的数目分别为1,4,2；从左面看有2列，每列小正方形的数目分别为4,3
（2）根据上面和下面4个正方体，左边和右边7个正方体，正面和后面7个正方体，进而求得表面积
（1）从正面、左面看到的这个几何体的形状图，如图
（2）根据从不同方向看的形状图，这个几何体的表面积为
故答案为：36
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体及几何体的表面积，掌握相关知识是解题的关键．
10．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体从上面看到的形状图，正方形中的数字是该位置上的小立方块的数量，请画出从正面和从左面看到的图形．
从正面看 从左面看
【答案】见解析.
【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，4，从左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，4．据此可画出图形．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查从不同方向看几何体，由从上面看到的图形及小正方形内的数字，可知从正面看的列数与从上面看的列数相同，且每列小正方形数目为从上面看的图中该列小正方形数字中的最大数字．从左面看到的列数与从上面看到的图的行数相同，且每列小正方形数目为从上面看到的图中相应行中正方形数字中的最大数字．
考点3：已知视图计算几何体相关数据
典例：（2022·全国·七年级）如图，是一个几何体从三个方向看所得到的形状图.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出它的一种表面展开图；
（3）若从正面看长方形的高为，从上面看三角形的边长为，求这个几何体的侧面积.
【答案】（1）正三棱柱；（2）图见解析；（3）．
【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可以得到此几何体为正三棱柱；
（2）表面展开图应会出现三个长方形，两个三角形；
（3）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为3cm和2cm，求出一个长方形的面积，再乘以3即可解答．
【详解】解：（1）这个几何体的名称是正三棱柱；
（2）表面展开图为：（答案不唯一，画出其中正确的一种即可）
（3）（），
∴这个几何体的侧面积为．
方法或规律点拨
此题主要考查从三个方向看几何体和利用展开图求几何体侧面积等的相关知识，考查学生的空间想象能力；注意棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
巩固练习
1．（2022·全国·七年级课时练习）如图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则（ ）.
A．B．20C．D．9
【答案】B
【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵S主＝5x，S左＝4x，且主视图和左视图的宽为x，
∴俯视图的长为5，宽为4，
则俯视图的面积S俯＝5×4＝20，
故选：B．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，是一个几何体分别从正面、左面、上面看的形状图．
(1)该几何体名称是 ；
(2)根据图中给的信息，求该几何体的表面积和体积．
【答案】(1)长方体
(2)表面积280cm2，体积300cm3
【分析】（1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可；
（2）根据长方体的表面积公式及体积公式进行求解即可．
（1）解：这个几何体是长方体，
故答案为：长方体；
（2）这个长方体的表面积＝2×（10×5+5×6+10×6）＝280（cm2）．
体积＝10×5×6＝300（cm3）．
【点睛】本题考查根据从不同方向看到的图形判定几何体，几何体的表面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
3．（2022·广东深圳·七年级期末）如图是由5个边长为1的小正方体组成的几何体．
（1）在网格中画出这个几何体从上面和从左面看到的形状；
（2）求这个几何体的表面积．
【答案】（1）见解析，（2）22
【分析】（1）根据从上面和从左面看到的形状画出图形即可；
（2）用5个小正方体的表面积减去重合小正方形的面积即可．
【详解】解：（1）这个几何体从上面和从左面看到的形状如图所示：
（2）5个小正方体的表面积为5×6=30，
该几何体一个有四个小正方形是重合的，故表面积为30-4×2=22；
这个几何体的表面积为22．
【点睛】本题考查了立体图形，解题关键是树立空间观念，准确识图，正确计算．
4．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）如图，在平整的地面上，用个棱长都为的小正方体搭成一个几何体．
（1）请利用图中的网格画出从正面、左面和上面看到的几何体的形状图．（一个网格为小立方体的一个面）
（2）图中7个小正方体搭成的几何体的表面积（不包括与地面接触的部分）是 ．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据正面、左面和上面三个方向看几何体的形状，画图即可；
（2）求得每个块正方体的表面积，求和即可．
【详解】解：（1）根据正面、左面和上面三个方向看几何体的形状，画图如下：
（2）棱长为的小正方体的每一个面的面积为
几何体的表面积
【点睛】此题考查了不同方向看几何体所得的形状图，解题的关键是确定几何体在不同方向上的形状图．
5．（2022·山东·青岛市市南区琴岛学校七年级阶段练习）一个几何体由大小相同的立方块搭成，从上面看到的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数．
（1）在所给的方框中分别画出该几何体从正面、左面看到的形状图；
（2）若允许从该几何体中拿掉部分立方块，使剩下的几何体从正面看到的形状图和原几体从上面看到的形状图相同，最多可拿掉几个立方块？
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可；
（2）根据从正面看、从上面看得出拿去的小正方体的个数即可．
【详解】解：（1）该几何体从正面，从左面看到的图形如图所示：

（2）根据题意可得，拿掉后剩下的几何体从上面看到的图形可以如下图所示（拿法不唯一，其中小正方形中的数字表示在该位置的立方块个数）：
∴拿掉后，剩下的几何体从正面看到的形状图和原几何体从上面看到的形状图相同，则最多可拿掉5个．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”．
6．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为2cm的小正方体堆成一个几何体．
（1）共有 个小正方体；
（2）求这个几何体的表面积；
（3）如果现在你还有一些棱长都为2cm的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加 个小正方体．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）画出从上面看到的图形，然后根据图形标出相应小正方体的数量即可得出答案；
（2）根据题意画出几何体的不同方向看到的图形，然后根据图形即可得出答案；
（3）可在第二层第二行第二列和第四列各添加一个，第三层第二行第二、三、四列各添加一个，相加即可．
【详解】解：（1）该几何体从上面看到的图形如下：
，
则小正方体的个数为：个，
故答案为：；
（2）该几何体的三视图如下：
该几何体的一个面的面积为：，
；
（3）在第二层第二行第二列和第四列各添加一个，
第三层第二行第二、三、四列各添加一个，
则个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了从不同方向看几何体，由立体图形，可知正面看到的图形、左面看到的图形、上面看到的图形，并能得出由几列即每列上的数字．
7．（2022·全国·七年级专题练习）如图所示是由棱为1cm的立方体小木块搭建成的几何体从3个方向看到的形状图．
（1）请你观察它是由 个立方体小木块组成的；
（2）在从上面看到的形状图中标出相应位置上立方体小木块的个数；
（3）求出该几何体的表面积（包含底面）．
【答案】（1）10；（2）见解析；（3）40cm2
【分析】（1）由从上面看的图可得该组合几何体最底层的小木块的个数，由从正面看的图和从左面看的图可得第二层和第三层小木块的个数，相加即可；
（2）根据上题得到的正方体的个数在从上面看到的形状图中标出来即可；
（3）将几何体的暴露面（包括底面）的面积相加即可得到其表面积．
【详解】解：（1）∵从上面看的图中有6个正方形，
∴最底层有6个正方体小木块，
由从正面看的图和从左面看的图可得第二层有3个正方体小木块，第三层有1个正方体小木块，
∴共有10个正方体小木块组成，
故答案为：10；
（2）根据（1）得：
（3）表面积为(6+6+6)×2+2×2＝40cm2．
【点睛】此题考查了从不同的方向观察物体和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力．
8．（2022·山东淄博·九年级期末）学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子的个数与碟子的高度的关系如表：
（1）当桌子上放有x个碟子时，请写出此时碟子的高度（用含x的式子表示）；
（2）分别从三个方向上看若干碟子，得到的三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度．
【答案】（1）1.5x+0.5；（2）叠成一摞后的高度为23cm．
【分析】（1）由表中数据可得出碟子个数与碟子高度的规律，可得碟子数为x时，碟子的高度为2+1.5（x﹣1）；
（2）根据三视图得出碟子的总数，代入（1）即可得出答案．
【详解】（1）∵（1-1）×1.5=0，（2-1）×1.5=1.5，（3-1）×1.5=3，……，
∴当桌子上放有x个碟子时，碟子的高度为2+1.5（x﹣1）＝1.5x+0.5．
（2）由三视图可知共有15个碟子，
∴叠成一摞的高度＝1.5×15+0.5＝23（cm），
答：叠成一摞后的高度为23cm．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题及由三视图判断几何体的知识，解题的关键是具有获取信息（读表）、分析问题解决问题的能力．找出碟子个数与碟子高度的之间的关系式是此题的关键．
9．（2022·全国·七年级课时练习）在水平的桌面上，由若干个完全相同棱长为10cm的小正方体堆成一个几何体，如图所示．
（1）请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的左视图和俯视图不变，在这个几何体上最多可以添加多少个小正方体？
（3）若给该几何体露在外面的面喷上红漆（不含几何体的底面），则需要喷漆的面积是多少cm2？
【答案】（1）答案见解析；（2）3个；（3）3200cm2
【分析】（1）根据物体形状即可画出主视图、左视图和俯视图；
（2）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放2个小正方体，后面的几何体上放1个小正方体；
（3）利用几何体的形状求出其表面积即可，注意不含底面.
【详解】解：（1）这个几何体的主视图和左视图如图：
（2）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放2个小正方体，后面的几何体上放1个小正方体，故最多可再添加3个正方体，
故答案为：3；
（3）10[（6+6）+6+2]=3200cm2
答：需要喷漆的面积是3200cm2.
【点睛】本题考查了三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积．
10．（2022·全国·七年级专题练习）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长为1的小正方体堆成一个几何图所示．
（1）请画出这个几何体的三视图．
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体．
（3）如果需要给原来这个几何体表面喷上红漆，则喷漆面积是多少？
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）32
【分析】（1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可；
（2）俯视图和左视图不变，构成图形即可解决问题；
（3）求出这个几何体的表面积即可解决问题．
【详解】解：（1）这个几何体有10个立方体构成，三视图如图所示；
（2）在第二层第二列第二行和第三行各加一个；第三层第二列第三行加一个，第三列第三行加1个，
2+1+1=4（个），
故最多可再添加4个小正方体．
故答案为：4；
（3）这个几何体的表面有38个正方形，去了地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆，
∴表面积为32，
故喷漆面积为32．
【点睛】本题考查了三视图的画法．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·山东·东营市实验中学阶段练习）用一个平面去截四棱柱，截面形状不可能是（ ）
A．三角形B．四边形C．六边形D．七边形
【答案】D
【分析】根据四棱柱有六个面，即可求解．
【详解】解：四棱柱有六个面，用平面去截四棱柱时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此不可能是七边形．
故选：D．
【点睛】本题考查四棱柱的截面，解题的关键是四棱柱有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或多于七边的图形．
2．（2022·河南洛阳·七年级期末）“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（ ）．
A．点动成线，线动成面B．线动成面，面动成体
C．点动成线，面动成体D．点动成面，面动成线
【答案】A
【分析】根据从运动的观点来看点动成线，线动成面进行解答即可．
【详解】“枪挑”是用枪尖挑，枪尖可看作点，棍可看作线，故这句话从数学的角度解释为点动成线，线动成面．
故选A．
【点睛】本题考查了点、线、面得关系，难度不大，注意将生活中的实物抽象为数学上的模型．
3．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是( )
A．立体图形的各个面都是平面；
B．平面图形都能围成立体图形；
C．立体图形都能展开为平面图形；
D．平面图形是立体图形的组成部分；
【答案】D
【分析】根据平面图形、立体图形的特征逐项分析即可．
【详解】A．圆柱的侧面不是平面，所以立体图形的各个面都是平面错误，故不符合题意；
B．某些不规则的平面图形不能围成立体图形，所以平面图形都能围成立体图形错误，故不符合题意；
C球不能展开为平面图形，所以立体图形都能展开为平面图形错误，故不符合题意；
D．平面图形是立体图形的组成部分，正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了对几何体的认识，体是由面围成的，面有平面，有曲面，例如长方体是由六个平面围成的；球是由一个曲面围成的；圆柱是由一个曲面和两个平面围成的．
4．（2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期末）如图①，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相对，若在图②中的①、②、③、④中的某一处画一个“·”，然后去掉其余3处后，则能围成正方体骰子的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【分析】根据正方体的展开图的特征即可求解．
【详解】解：∵1与6相对，在①、②、③、④中由展开图的知识可得①的位置是6的相对面，
则能围成正方体骰子的是①．
故选A.
【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．
5．（2022·山东·济南外国语学校七年级阶段练习）如图，白纸上放有一个表面涂满染料的小正方体．在不脱离白纸的情况下，转动正方体使其各面染料都能印在白纸上，且各面仅能接触白纸一次．则在纸上可以形成的图形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据图形能否折叠成正方体及各面仅能接触白纸一次逐一分析即可.
【详解】解：①能折叠成正方体且各面仅能接触白纸一次，符合题意；
②不能折叠成正方体，不合题意；
③能折叠成正方体且各面仅能接触白纸一次，符合题意；
符合题意的有2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，利用正方体及其展开图的特点解题．
6．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个柱形盒子里，盒子里三个球之外的空间占整个盒子容积的球的体积公式为 ，其中为球的体积，为球的半径（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别计算出三个球的体积、圆柱体的体积以及盒子里三个球之外的空间的体积即可
【详解】三个球的总体积为
圆柱体的体积为： ，
盒子里三个球之外的空间的体积为
所以盒子里三个球之外的空间占整个盒子容积的
故选：B
【点睛】本题考查认识立体图形，掌握球体积、圆柱体体积的计算方法是正确解答的前提
二、填空题（每题3分）
7．（2022·全国·七年级课时练习）若一个直棱柱有8个顶点，且所有侧棱长的和为36cm，则每条侧棱长为____________cm．
【答案】9
【分析】一个直棱柱有8个顶点，该棱柱是四棱柱共有4条侧棱，且都相等，所以它的每条侧棱长=所有侧棱长度之和÷4．
【详解】解：∵一个直棱柱有8个顶点，
∴上下两平面各有4个点，
∴该棱柱是四棱柱，它由四条侧棱，
∴它的每条侧棱长=36÷4=9cm．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了棱柱的特征．熟记直棱柱的特征，是解决此类问题的关键，本题属于基础题型．
8．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示的图形能围成的立体图形是______．
【答案】四棱锥
【分析】根据平面图形的特征作答．
【详解】解：一个正方形和四个三角形折叠后能围成四棱锥．
故答案为：四棱锥．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体．熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．
9．（2022·全国·七年级单元测试）如图，一个正方体形状的木块，棱长为2米，若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，得到若干个大大小小的长方体木块，则所有这些长方体木块的表面积和是_______平方米．
【答案】96
【分析】根据题干分析可得：每切一刀，就增加2个正方体的面的面积，由此只要求出一共切了几刀，即可求出一共增加了几个正方体的面的面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60块长方体的表面积之和．沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，所以表面积一共增加了9×2=18个正方体的面，由此即可解答问题．
【详解】解：沿水平方向将它锯成3片，是切割了2刀，同理，每片又锯成4长条，是切了3刀，每条又锯成5小块，是切了4刀，所以一共切了2+3+4=9刀，
所以这60个小长方体的表面积之和是：2×2×6+9×2×2×2=24+72=96（平方米）
故答案是96．
【点睛】此题考查了规则立体图形的表面积，解答此题的关键是明确沿纵向或横向每切一次，都会增加2个原正方体的面的面积．
10．（2022·福建龙岩·七年级期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则3x+2y的值为__________．
【答案】-1
【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴“5”与“”是相对面，“y”与“x”是相对面，“-2”与“2”是相对面，
∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图及相反数的性质，求代数式的值，熟练掌握小正方体的展开图模型是解题关键．
11．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知五角星的面积为5，正方形的面积为4，图中对应阴影部分的面积分别是S1，S2，则S1-S2的值为_____．
【答案】1
【分析】根据S1﹣S2=五角星面积-正方形面积，即可解题．
【详解】设空白部分面积为S
则：S1﹣S2==五角星面积-正方形面积
∵正五角星的面积为 5，正方形的为4
∴S1﹣S2=5-4=1
故答案为1．
【点睛】本题考查了不规则图形面积之间的关系，属于简单题，运用割补法将不规则图形补充为规则图形是解题关键．
12．（2022·山东省青岛第四十四中学七年级阶段练习）如图是一个长为5cm，宽为3cm的长方形纸片，该长方形纸片分别绕长、宽所在直线旋转一周，会得到两个几何体，它们的体积分别是___________（结果保留）．
【答案】或
【分析】根据圆柱体的体积底面积高求解，注意底面半径和高互换得圆柱体的两种情况．
【详解】解：分两种情况：
①绕长所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：；
②绕宽所在的直线旋转一周得到圆柱体积为：．
故它们的体积分别为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查点、线、面、体——圆柱体的体积的求法，注意分情况讨论，难度适中．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022·福建·宁德市博雅培文学校七年级阶段练习）如图，是由9个大小相同的小立方块搭成的一个几何体．
（1）请在指定位置画出该几何体从正面、上面看到的形状图；
（2）在不改变几何体中小立方块个数的前提下，从中移动一个小立方块，使所得新几何体与原几何体相比，从正面、上面看到的形状图保持不变，但从左面看到的形状图改变了．请在指定位置画出一种新几何体从左面看到的形状图．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】根据从不同方向看几何体的定义画出图形即可．
【详解】解：（1）从正面、上面看到的形状图如图所示；
（2）新几何体从左面看到的形状图如图所示；
【点睛】本题考查从不同方向看几何体-，掌握分别是从物体的正面，左面，上面看几何体得到的相应的平面图形是解题关键．
14．（2022·江苏·七年级专题练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体.
(1)根据要求填写表格：
(2)猜想f、v、e三个数量间有何关系；
(3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数.
【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15；
(2)；
(3)它的面数是2012
【分析】（1）根据图形数出即可；
（2）根据（1）中结果得出；
（3）代入求出即可；
【详解】（1）图1，面数，顶点数，棱数，
图2，面数，顶点数，棱数，
图3，面数，顶点数，棱数，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）由表格数据可得：．
（3）∵
∴，
，
即它的面数是2012．
【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律
15．（2022·河南·郑州外国语中学七年级阶段练习）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：
(1)小明总共剪开了 条棱．
(2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（画出一种情况即可）
(3)小明说：他剪的所有棱中，最短的一条棱长为a，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．已知纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是88cm，求a的值及长方体纸盒的体积．
【答案】(1)8(2)见解析(3)2，200cm
【分析】（1）根据长方体共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得到剪开的棱条数；
（2）根据长方体的展开图可知有四种情况；
（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是88cm，列出方程可求出地面边长，进而得到长方体纸盒的体积．
【详解】（1）小明共剪了8条棱，
故答案为：8．
（2）如图，四种情况．
（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，
∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，
∵长方体纸盒所有棱长的和是88cm，
∴4(a+5a+5a)＝88，
解得a＝2，
∴这个长方体纸盒的体积为2×10×10＝200(cm)．
【点睛】本题考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决本题的关键．
多面体
顶点数（V）
面数（F）
棱数（E）
四面体
4
4
长方体
8
6
12
正八面体
8
12
正十二面体
20
12
30
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
长方体
正八面体
正十二面体
多面体
顶点数
面数
棱数（E）
四面体
4
4
6
长方体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纸盒容积
72
碟子的个数
碟子的高度（单位：cm）
1
2
2
2+1.5
3
2+3
4
2+4.5
…
…
面数（f）
顶点数（v）
棱数（e）
图1



图2



图3