人教版九年级数学上册同步精品讲义 第23课 切线长定理（原卷版+解析）

这是一份人教版九年级数学上册同步精品讲义 第23课 切线长定理（原卷版+解析），共42页。试卷主要包含了切线的判定定理，切线的判定方法，切线的性质定理，切线的性质，，，则AF的长为等内容，欢迎下载使用。

知识精讲
知识点01 切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理
经过半径的 并且 的直线是圆的切线.
2．切线的判定方法
(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆 ，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可.
3．切线的性质定理
圆的切线 .
4．切线的性质
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
知识点02 切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线， 的长，叫做这点到圆的切线长.
【注意】
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分 .
【注意】
切线长定理包含两个结论： 相等和 相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的 相等.
知识点03 三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边的圆 叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的内心.
【注意】
(1) 任何一个三角形都 内切圆，但任意一个圆都有 个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
能力拓展
考法01 切线长定理
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【即学即练】如图，的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，已知的周长为36．，，则AF的长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
【典例2】如图，P为⊙外的一点，PA，PB分别切⊙于点A，B，CD切⊙于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若，则的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【即学即练】如图，PA，PB切⊙O 于点A，B，PA＝20，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD 的周长是（ ）
A．20B．36C．40D．44
考法02 三角形的内切圆
【典例3】如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【即学即练】如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【典例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上D．点E为AC中点
【即学即练】如图，在△ABC中，
（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；
（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；
（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
①＝2；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考法03 与相切有关的计算与证明
【典例5】如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（ ）时，直线是的切线．
A．B．C．D．
【即学即练】如图，内接于，过A点作直线，当（ ）时，直线与相切．
A．∠BB．C．D．
【典例6】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线D．若是⊙O的切线，则
【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )
A．AB=4，AT=3，BT=5B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55°D．∠ATC=∠B
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A．B．C．5D．5
2．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线
3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（ ）
A．128°B．126°C．122°D．120°
4．下列命题：①平⾏四边形是中⼼对称图形，也是轴对称图形；②直径是最长的弦，半径是最短的弦；③过切点的直线是圆的切线；④三角形的外⼼是三条边垂直平分线的交点；⑤三角形的内⼼是三条内角平分线的交点；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．已知AD＝3，BC＝6，则AB＋CD的值是( )
A．3B．6C．9D．12
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．
8．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
题组B 能力提升练
1．下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．0个
2．如图，是的切线，是切点，若，则（ ）
A．B．C．D．都不对
3．如图：切于，切于，交于，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．是的中点
4．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为（ ）
A．3B．C．D．
5．如图，在中，点为的内心，点在边上，且，若，，则的度数为（ ）
A．111°B．130°C．172°D．170°
6．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．一定经过△ABC的内心D．AD一定经过△ABC的外心
7．如图，中，，它的周长为16．若与三边分别切于E，F，D点，则DF的长为____________
8．如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是 _____．
9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
10．已知，，分别与相切于，，三点，，．
（Ⅰ）如图1，求的长；
（Ⅱ）如图2，当，时，连接，，求，的长．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，AB为的直径，延长AB到点P，过点P作的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若，，则AD的长为（ ）
A．B．C．2D．
3．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8B．12C．16D．20
5．如图，若等边△ABC的内切圆的半径是2，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝DC，连接BE．对于下列结论：
①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③＝；④BE为⊙O的切线，
其中一定正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①④D．①②④
7．如图，为的直径，、为上的点，连接、、、，为延长线上一点，连接，且，．若的半径为，则点到的距离为________．
8．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．
9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
10．如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点．
(1)如果的周长为10，求PA的长；
(2)如果，
①求；
②连AE，BE，求．
课程标准
（1）了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
（2）掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)



内心(三角形内切圆的圆心)



第23课 切线长定理
目标导航
知识精讲
知识点01 切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2．切线的判定方法
(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.
3．切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
4．切线的性质
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
知识点02 切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
【注意】
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【注意】
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等.
知识点03 三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【注意】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
能力拓展
考法01 切线长定理
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】解：如图，过点作，
∵是的内心，
∴，
设，
∵BD＝10，
∴，
∴,，
∵，
∴，
解得，
∴，
故选B．
【即学即练】如图，的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，已知的周长为36．，，则AF的长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
【答案】A
【详解】解：的周长为36．，，
∴,
由切线长定理可得，
，
设，，
解得：
∴；
故选：A．
【典例2】如图，P为⊙外的一点，PA，PB分别切⊙于点A，B，CD切⊙于点E，且分别交PA，PB于点C，D，若，则的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，
故选：C．
【即学即练】如图，PA，PB切⊙O 于点A，B，PA＝20，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD 的周长是（ ）
A．20B．36C．40D．44
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=20，
∵CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，
∴CA=CE，DB=DE，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=20+20=40．
则△PCD的周长是40．
故选：C．
考法02 三角形的内切圆
【典例3】如图，△ABC中，内切圆I和边BC、AC、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝55°，∠C＝75°，则∠EDF的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】C
【详解】解：连接IE、IF，如图，
∵内切圆I和边AC、AB分别相切于点E、F，
∴IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠EIF，
∵∠EDF＝∠EIF，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∵∠B＝55°，∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣55°﹣75°＝50°，
∴∠EDF＝90°﹣×50°＝65°．
故选：C．
【即学即练】如图，在△ABC中，∠A＝50°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC＝（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【答案】C
【详解】解：如图，
∵△ABC中∠A=50°，⊙O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，
即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∠1+∠3=（180°-∠A）=（180°-50°）=65°，
∴∠BOC=180°-（∠1+∠3）
=180°-65°
=115°．
故选：C．
【典例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AD⊥BC于点D，点E是AC上一点，连接BE，交AD于点F，若AE＝BE，则下列说法正确的为（ ）
A．点F为△ABC的外心B．点F到△ABC三边的距离相等
C．点E、B、C在以F为圆心的同一个圆上D．点E为AC中点
【答案】B
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA＝36°，
∴∠EBC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴BE是∠ABC的角平分线，
∵BE、AD交于点F，
∴点F是三角形内角平分线的交点，
∴点F到△ABC三边的距离相等．
由已知条件均得不出A，C，D选项
故选：B．
【即学即练】如图，在△ABC中，
（1）作AB和BC的垂直平分线交于点O；
（2）以点O为圆心，OA长为半径作圆；
（3）⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
（4）连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：
①＝2；②AB＝2AM；③点P是△ABC的内心；④∠MON＋2∠MPN＝360°．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：作BC的垂直平分线，则ON平分，则＝，所以①正确；
作AB的垂直平分线，则OM平分，则＝，2AM＞AB，所以②错误；
∵M点为的中点，∴∠ACM=∠BCM，
∵点N为的中点，∴∠BAN=∠CAN，
故P点为△ABC的内心，所以③正确；
∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-∠BAC-∠BCA=180°-(∠BAC+∠BCA)=180°-(180°-∠B)=90°+∠B，
∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B，
又OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠MON+∠B=180°，
∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，
∴正确的结论有3个，
故选：C．
考法03 与相切有关的计算与证明
【典例5】如图，P是的直径的延长线上一点，，则当（ ）时，直线是的切线．
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：当30°时，直线是的切线．
证明：连接OA．
∵∠P＝30°，30°，
∴∠PAC＝120°；
∵OA＝OC，
∴30°，
∴，
即OA⊥PA，
∴直线是的切线．
故选：B
【即学即练】如图，内接于，过A点作直线，当（ ）时，直线与相切．
A．∠BB．C．D．
【答案】C
【详解】解：当时，直线与相切．
理由如下：
作AF交圆O于F点，连接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
∴在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．
故选：C
【典例6】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是⊙O的切线B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD=BD，
∵AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
【即学即练】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )
A．AB=4，AT=3，BT=5B．∠B=45°，AB=AT
C．∠B=55°，∠TAC=55°D．∠ATC=∠B
【答案】D
【详解】A．
∵AB=4，AT=3，BT=5，∴AB2+AT2=BT2，∴△BAT是直角三角形，∴∠BAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B．∵∠B=45°，AB=AT，∴∠T=45°，∴∠BAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
C．∵AB为直径，∴∠BAC=90°．
∵∠B=55°，∴∠BAC=35°．
∵∠TAC=55°，∴∠CAT=90°，∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D．∠ATC=∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选D．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A．B．C．5D．5
【答案】C
【详解】解：∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△APB为等边三角形，
∴AB=PA=5．
故选：C．
2．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线D．到圆心的距离小于半径的直线
【答案】B
【详解】A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线,故本选项错误;
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确;
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.
故选B.
3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（ ）
A．128°B．126°C．122°D．120°
【答案】C
【详解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
4．下列命题：①平⾏四边形是中⼼对称图形，也是轴对称图形；②直径是最长的弦，半径是最短的弦；③过切点的直线是圆的切线；④三角形的外⼼是三条边垂直平分线的交点；⑤三角形的内⼼是三条内角平分线的交点；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【详解】解：①平⾏四边形是中⼼对称图形，也是轴对称图形，错误，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；②直径是最长的弦，正确，半径是最短的弦，错误，半径不是弦；③过切点的直线是圆的切线，错误；④三角形的外⼼是三条边垂直平分线的交点，正确；⑤三角形的内⼼是三条内角平分线的交点，正确．
故选：B．
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．已知AD＝3，BC＝6，则AB＋CD的值是( )
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【详解】解：∵AB、BC、CD、DA都是的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，如图所示：
∴AE=AF，BE=BH，DF=DG，CG=CH，
∴AB+CD=AE+BE+DG+CG=AF+BH+DF+CH=AD+BC
∵AD=3，BC=6
∴AB+CD=3+6=9
故选C．
．
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．
【答案】50°
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
8．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
【答案】10cm
【详解】解：根据切线长定理得：
AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝
2PA＝20，
PA＝10．
故答案为：
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6
【详解】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
【答案】（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..
【详解】（1）连接OD，
∴OD⊥AC
∴△ODA是直角三角形
设半径为r
∴AO＝r＋2
∴
解之得：r＝3
∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝900
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD
令CB＝x
∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8
∵
∴x＝6.
∴S△ABC＝24（cm2）.
故答案为（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..
题组B 能力提升练
1．下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．0个
【答案】D
【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；
③垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线；故错误；
④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的两边OA、OB上的两点，则E、O、F三点确定一个圆；故错误；
故选：D．
2．如图，是的切线，是切点，若，则（ ）
A．B．C．D．都不对
【答案】A
【详解】解：PA，PB是⊙O的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
3．如图：切于，切于，交于，下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．是的中点
【答案】D
【详解】、是的切线，切点是、，
，，
选项A、B错误；
，，
，
选项C错误；
根据已知不能得出是的中点，
故选项D正确；
故选D．
4．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【详解】如图，设光盘的圆心为,直角三角板与的切点为，连接，
是的切线，
，，
此光盘的直径为
故选D
5．如图，在中，点为的内心，点在边上，且，若，，则的度数为（ ）
A．111°B．130°C．172°D．170°
【答案】C
【详解】解：在中，，
BAC＝180－42－58＝80
点为的内心，
CAI＝BAI＝＝40
四边形AIDC的内角和180（4－2）＝360，且
＝360－－－CAI＝360－90－40－58＝172
故选C．
6．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．一定经过△ABC的内心D．AD一定经过△ABC的外心
【答案】C
【详解】根据作图步骤得：AD是∠BAC的角平分线
A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；
B、由角平分线得，而不一定成立，选项B错误，不符合题意；
C、△ABC的内心是三条角平分线的交点，故选项C正确，符合题意；
D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，中，，它的周长为16．若与三边分别切于E，F，D点，则DF的长为____________
【答案】2
【详解】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD=，
故答案为：2．
8．如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是 _____．
【答案】8
【详解】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为矩形，
∵OE=OF
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×4＝8．
故阴影部分的周长是：8．
9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
10．已知，，分别与相切于，，三点，，．
（Ⅰ）如图1，求的长；
（Ⅱ）如图2，当，时，连接，，求，的长．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ），．
【详解】解：（Ⅰ）∵AB，BC，CD都是圆O的切线，
∴BM=BA=1，CM=CD=3，
∴BC=BM+CM=4；
（Ⅱ）如图所示，连接OD，OM，OA，
∵BC，DC都是圆O的切线，
∴∠ODC=∠OMC=∠OMB=90°，CM=CD，
又∵OC=OC，
∴Rt△OCD≌Rt△OCM（HL），
∴∠OCD=∠OCM，
同理可得∠OBA=∠OBM，
∵∠DCB=60°，AB∥CD，
∴∠OCM=30°，∠ABM=120°
∴OC=2OM，∠OBM=60°，
∴，
∴，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
如图，连接OC，
因为OB=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为，
所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在△PAO和△PCO中，
，
所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP
因为PA与相切于点A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故选：B．
2．如图，AB为的直径，延长AB到点P，过点P作的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若，，则AD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】解：连接，如图所示，
∵PC，PD是的切线，
∴
设
∵
∴
∴
设的半径为
∴
在中，，
解得，
在中，
∵是的切线，
∴
在中，
∵
∵
∴
整理得，
∴
解得，或（舍去）
∴
∴
在中，，故A正确．
故选：A．
3．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【详解】解： 如下图，过点D分别作DE⊥AB于E，DF ⊥BC于F， DH⊥AC于H， 连接AD， CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC= 90°，
∵BC＝5，AC＝3，
∴ ，
∵点D是△ABC的内心，
∴ DE= DF= DH，AE= АН，BE= BF，CF= CH，
设BE= x，则BF= x，AE=4- x，CF=5-x，CH=5-x，AН=4-x，
∵AC=3，
∴4-x+5-x=3，
解得：x=3
∴BE=3，
设DE= r，
∵S△ABC = S△ABD + S△BDC + S△ADC，
∴ ，
解得：r= 1，
∴ DE= 1，
在Rt△BDE中， ，
故选：C．
4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
5．如图，若等边△ABC的内切圆的半径是2，则△ABC的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接，，并延长交于点，
是等边的内切圆，
，，
，
由勾股定理得：，
同理，
，
是等边三角形，，，三点共线，
，
．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝DC，连接BE．对于下列结论：
①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③＝；④BE为⊙O的切线，
其中一定正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①④D．①②④
【答案】D
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
而AB＝CA，
∴BD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，
而CD＝ED，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵CF∥AB，
∴∠ABC＝∠DCE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DCE＝∠DEC，
∴△CBA∽△CED，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠ABC不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③不一定正确；
∵DB＝DC＝DE，
∴点E在以BC为直径的圆上，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BE，
而CF∥AB，
∴AB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线，所以④正确；
综上所述①②④正确，
故选： D．
7．如图，为的直径，、为上的点，连接、、、，为延长线上一点，连接，且，．若的半径为，则点到的距离为________．
【答案】##
【详解】解：连接OC，
∵AB是圆的直径，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，即OC⊥CD
∵的半径为
∴

在Rt△OCD中，
∴
∴
过点A作AF⊥DC，交DC延长线于点F，过点C作CG⊥AD于点G，
∵
∴，解得，
同理：
∴
∴
故答案为：
8．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．
【答案】
【详解】解：如图，连接OA，OB，OP，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，OA，OB是半径，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB，
∴PO是∠APB的平分线，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝4，
在Rt△APO中，由勾股定理得AP＝，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，
∴PA＝PB＝，
∵CD切⊙O于点E，
∴AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝，
故答案为：．
9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【详解】（1）证明：，
，
，，，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为3．
（3）延长、相交于点，
与都为的切线，
平分，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，
．
10．如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点．
(1)如果的周长为10，求PA的长；
(2)如果，
①求；
②连AE，BE，求．
【答案】(1)5
(2)①70°；②110°
【详解】(1)∵分别切于点
∴
∴△的周长
∴
(2)①
∵分别切于点
②连接OA，OB
∵PA，PB是切线,
∴
∵
∴
∴
课程标准
（1）了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
（2）掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)
三角形三边中垂线的交点
(1)OA=OB=OC；
(2)外心不一定在三角形内部
内心(三角形内切圆的圆心)
三角形三条角平分线的交点
(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分
∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部.