浙江省宁波市蛟川书院等四校2023-2024学年九年级下学期2月月考数学试题

这是一份浙江省宁波市蛟川书院等四校2023-2024学年九年级下学期2月月考数学试题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若 = ，则 的值是 ．
A. B. －C. －2D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由 = ，得到b=3a，代入即可消去a求值
【详解】 =

=
故选C
【点睛】此题考查分式求值，正确把已知条件进行变形时关键．
2. 袋子里有8个红球，m个白球，3个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则m的值不可能是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据摸到红球的可能性最大可得袋子里红球的个数最多，从而可得，由此即可得．
【详解】解：因为从中任意摸出一个球，摸到红球的可能性最大，
所以袋子里红球的个数最多，
所以，
所以在四个选项中，的值不可能是10，
故选：D．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据事件发生的可能性的大小求出的取值范围是解题关键．
3. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ）
A. 图象的开口向下B. 函数的最小值为1您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高C. 图象的对称轴为直线x=﹣2D. 图象的顶点坐标是（1，2）
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0，
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
函数的最小值是y=1，故选项B正确，
图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误，
抛物线的顶点坐标为（2，1），故选项D错误，
故选：B．
【点睛】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4. 在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，的半径为2，要使点B在内时，实数b的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】要使点B在内，则，即，求解即可．
【详解】解：要使点B在内，则，即
解得，
故选：D
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
5. 下列图象中，函数与的图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据每一选项中a的符号是否相符，逐一判断即可得出结论．
【详解】解：A．由抛物线可知，由直线可知，故本选项错误；
B．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误；
C．由抛物线可知，由直线可知，故本选项正确；
D．由抛物线可知，由直线y随x的增大而增大可得，由直线与y轴交于负半轴可得，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键．
6. 矩形相邻的两边长分别为和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A. 5B. C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】将矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解．
【详解】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故选：．
【点睛】本题主要考查线段成比例问题，掌握相似图形，对应比成比例是解题的关键．
7. 若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】依据函数的系数分类讨论：①，为一次函数，成立；②，为二次函数，根据判别式求解即可．
【详解】解：函数，
对系数分类讨论：①，为一次函数；②，为二次函数，
当时，，函数图象与x轴只有一个公共点，则满足题意；
当时，，若函数图象与x轴只有一个公共点，则，解得，
综上所述，若函数的图象与x轴只有一个公共点，则常数m为0或1，
故选：D．
【点睛】本题考查含参数的函数图象与性质，解决问题的关键是根据函数最高次项系数的不确定性分情况讨论解答．
8. 如图，是的直径，弦，垂足为点．连接，．如果，图中阴影部分的面积是，那么图中阴影部分的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，弧长公式，连接，，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，之后证明阴影部分面积等于扇形面积，继而求出圆的半径，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，，
，，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积
设扇形的半径为，则，
，
弧的长，
故选：B．
9. 如图，在中，，过点C作于点D，点M为线段的中点，连接，过点D作于点E．设，，则图中可以表示为的线段是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】证明，根据相似三角形的性质得，则，再证明，可得出，则，由点M为线段的中点，得，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理得，
∴，
∴，
∵点M为线段的中点，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，直角三角形性质等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10. 如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（ ）

A. B. C. D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，再运用同弧（等弧）所对的圆周角相等可得出，再利用同角的余角相等可推出，进而得出，利用三角函数可求得，由勾股定理可求得：，，再根据三角形的内心判定和性质可得出，运用等腰直角三角形性质即可求得答案．
【详解】解：连接，如图，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵P为下面半圆弧的中点，
∴，
∴，
∴点H是的内心，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内心，三角函数定义，等腰三角形和等腰直角三角形性质，勾股定理等，熟练掌握勾股定理、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 二次函数y=（x+4）2+1的图象向右平移2个单位长度后，再向上平移5个单位长度，平移后的图象对应的二次函数解析式为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把抛物线化为顶点坐标式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求出平移后的函数表达式．
【详解】解：∵y＝ (x+4)2＋1把其图象向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，
得抛物线y＝ (x+4-2)2+1＋5，
即为y＝ (x+2)2＋6．
故答案为：y＝ (x+2)2＋6．
【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换，，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
12. 如图，，直线、分别与这三条平行线交于点和点．已知，，，则BD的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解本题的关键．
13. 教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是________m．
【答案】9
【解析】
【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，则x的正值即为所求．
【详解】在函数式，令，则，
解得：（舍），
∴铅球推出的距离是．
故答案为：9．
【点睛】本题是二次函数的实际应用题．理解当时，x的正值代表的是铅球的落脚点离原点的距离是解题关键．
14. 如图，圆内接四边形ABCD，两组对边的延长线分别相交于点E、F，且∠E=40°，∠F=60°，则∠A=_____ °
【答案】40°
【解析】
【详解】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+40°+60°=180°，∴∠A=40°．
点睛：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的对边和相等．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
15. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作平行于轴的直线，交抛物线于点，连结，若点关于直线的对称点恰好落在线段上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，平行线的性质，轴对称的性质，等角对等边，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，令代入得，，则，，过作轴，为垂足，则，而轴，则，又点关于直线的对称点恰好落在线段上，则，即，故，即可求得，把点的坐标代入，即可求解，用勾股定理求出的长度是解题的关键．
【详解】解：令代入得，，，
∴，
∴，
过作轴，为垂足，则，
∵轴，
∴，
又点关于直线的对称点恰好落在线段上，
∴，
即，
∴，
则，
∴，
把代入得，，
解得，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，，点、分别是边，边上的点（、不与端点重合），且，将沿直线折叠，点的对应点为点，延长交于点，若以、、为顶点的三角形与相似，求的长_______．
【答案】或
【解析】
【分析】连接并延长，交于点，的延长线交于点，根据轴对称的性质得垂直平分，，，由得，所以；利用勾股定理解得，然后利用面积法解得，再分两种情况讨论：①，且，可推导出，，则有，进而可得；②，且，可推导出，则有，进而可得．
【详解】解：连接并延长，交于点，的延长线交于点，
∵将沿直线折叠，点的对应点为点，
∴垂直平分，，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
即，
∴，
分两种情况讨论，
①当，且时，如图1，
由折叠可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
②当，且时，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的性质、全等三角形的性质、三角函数的应用等知识，综合性强，难度较大，解题关键是正确作出辅助线并运用分类讨论的思想分析问题．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. 某社区组织这4个小区的居民接种加强针新冠疫苗．
（1）若将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则小区居民被分在第一批的概率为 ；
（2）若将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针，每批2个小区的居民参加．
①求小区被分在第一批的概率；
②求两个小区被分在第一批的概率．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）先将四个小区两两组合，再分批次求出所有等可能结果数，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：将这4个小区随机分成4批，每批1个小区的居民参加，则A小区居民被分在第一批的概率为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：根据题意，四个小区两两组合的可能结果为：、、、、、，由于在第一批接种和在第二批接种是不同的结果，故将这4个小区的居民随机分成两批接种加强针，每批2个小区的居民参加，一共有6种等可能的结果，其中A小区被分在第一批的有3种，两个小区被分在第一批的有2种，则
①A小区被分在第一批的概率为；
②两个小区被分在第一批的概率为．
【点睛】本题考查用列举法求概率．理解题意，正确列举出组合是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比值．
18. 如图，各顶点的坐标分别是，，．
（1）在图中画出绕原点O逆时针转后的；
（2）在（1）的条件下，边扫过的面积是_________．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据旋转的性质确定A、B、C对应的的位置，然后顺次连接即可得到答案；
（2）根据题意可知边扫过的面积可表示为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：由题意得，，，
∵边扫过的面积为闭合区域的面积，而，
∴边扫过的面积可表示为
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，画旋转图形，勾股定理，求不规则图形面积，正确画出旋转后的图形是解题的关键．
19. 如图，为了测量平静的河面的宽度，即的长，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面0.75米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？
【答案】河宽是12米．
【解析】
【详解】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，延长交的反向延长线于点H，由求得，再由求得，便可解决问题，关键是构造和证明三角形相似．
【解答】延长交的反向延长线于点H，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴，
∵米，米，
∴米，
∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴，
答：河宽是12米．
20. 如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论；
（2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：过点作于，如下图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
即的半径长为．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．
21. 在平面直角坐标系中，是抛物线上任意两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）若，比较与的大小，并说明理由；
（3）若对于，都有，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分别将代入解析式求解．
（3）求出点关于对称轴对称点为，根据抛物线开口向上及求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为．
【小问2详解】
将代入得，
将代入得，
∴．
【小问3详解】
∵抛物线对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称点为，
∵抛物线开口向上，，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
22. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）
（2）13 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【解析】
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意得：
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：（-5x+150）（x-8）=425，
整理得：，
解得：，
∵8≤x≤15，
∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
【小问3详解】
解：根据题意得：
∵8≤x≤15，且x为整数，
当x