90，浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份90，浙江省宁波市镇海区镇海蛟川书院2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1. 若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不等式的两边都减去2023可得，原变形正确，故本选项不符合题意；
B、不等式的两边都乘以可得，原变形正确，故本选项不符合题意；
C、不等式的两边都除以c，只有才可得，所以，不等式不一定成立，故本选项符合题意；
D、不等式两边都加上c可得，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
2. 某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天．根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18．从而列方程即可．
【详解】解：设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，根据题意得：
．
故选B．
3. 若，则可化简为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题中的代数式涉及到了二次根式和分式．关键是正确进行二次根式的开方，正确进行分式的通分、约分化简．
【详解】解：∵0＜a＜1，∴a−＜0，
∴原式=
=
=
=
=-
=．
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的开方，分式运算的知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．注意本题要将除法转变为乘法进行约分化简．
4. 四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，，这样一直下去，第2024次交换位置后，小鼠所在的座号是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律．依次求出每次交换后小鼠所在的位置，发现规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
第1次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
第2次交换位置后，小鼠所在位置是：4；
第3次交换位置后，小鼠所在位置是：2；
第4次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
第5次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
，
以此可见，每次交换后小鼠所在位置的序号按：3，4，2，1循环出现，
又因为，
所以第2024次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
故选：A．
5. 小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（ ）
A. 15B. 20C. 25D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，然后根据题目数量和三人解答的题目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．
【详解】解：设容易题有x道，中档题有y道，难题有z道，
由题意得，，
①×2﹣②得，z﹣x=20，
所以，难题比容易题多20道．
故选B．
【点睛】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．
6. 已知为正整数，且整除，则（ ）
A. 所有的和为14.5B. 所有的和为15.5C. 可能4组取值D. 可能5组取值
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了整式的除法，数的整除．根据已知条件得到，为整数，表示出，分类讨论确定出的取值组数，并求出和即可．
【详解】解：，为正整数，且整除，
，为整数，
整理得：，
，
∵为正整数，
当时，此时；
当时，此时；
当时，此时，
则所有的和为，只有3组取值．
故选：B．
7. 若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1·x2，则k的值是()．
A. －1或B. －1C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及x1+x2=x1x2，得出关于k的方程，解方程并用根的判别式检验得出k的值即可．
【详解】解：由根与系数的关系，得x1+x2=-k，
因为x1x2=4k2-3，又x1+x2=x1x2，
所以-k=4k2-3，即4k2+k-3=0，
解得k=或-1，
因为△≥0时，所以k2-4（4k2-3）≥0，
解得：−≤k≤，故k=-1舍去，
∴k=．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系的应用，属于基础题，关键不要忘记利用根的判别式进行检验．
8. 如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H,下列结论：
①△AED≌△DFB；②S四边形 BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF
,其中正确的结论
A. 只有①②.B. 只有①③.C. 只有②③.D. ①②③.
【答案】D
【解析】
【详解】解：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD．
∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB；
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
则△CBM≌△CDN，（HL）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN．
S四边形CMGN=2S△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=CG，CM=CG，
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=CG2．
③过点F作FP∥AE于P点．
∵AF=2FD，
∴FP：AE=DF：DA=1：3，
∵AE=DF，AB=AD，
∴BE=2AE，
∴FP：BE=1：6=FG：BG，
即 BG=6GF．
故选D．
9. 如图，在中，C、D分别是上任意一点，连接分别是的中点，若，则（ ）
A. B. 506C. D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形即可得答案．
【详解】解：如图，连接，，
是的中点，
，，
，
是的中点，
，
是的中点，
，，
，
．
故选：B．
10. 表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，值是；④其中判断正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．依据题意，首先根据，其对应的函数值是先增大后减小，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得；最后根据，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，所以，据此判断即可．
【详解】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题7分，共42分．
11. 函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件．
【详解】要使在实数范围内有意义，
必须且．
故答案为x≥-1且x≠2
【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件．
12. 已知函数的图象与轴只有一个交点，则______．
【答案】2或
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题．分和两种情况讨论即可．
【详解】解：当时，函数变为，
与轴只有一个交点，
当时，
函数的图象与轴只有一个交点，
△，
解得，
当时，函数的图象与轴只有一个交点，
故答案为：2或．
13. 已知是互不相等实数，是任意实数，化简：
______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值．先计算前两项的和，再求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：1．
14. 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．已知，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质和三角形的全等判定和勾股定理．先根据三角形角和边的数量关系证明，再求出中两直角边的数值，最后用勾股定理求出的长度．
【详解】解：如图，作垂直于，交的延长线于点．
，
，
．
，
即，
．
．
故答案为：．
15. 如图，菱形中，，点为延长线上的一个动点，连接交于点，若为直角三角形，则的长为______．
【答案】或15
【解析】
【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识．连接交于点，由菱形的性质得，，，，则，求得，则，所以，再分两种情况讨论，一是，则，所以，则，求得，，再证明，得，所以；二是，则，求得，，则，所以；而，且，所以不存在的情况，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接交于点，
四边形是菱形，，
，，，，
，，
，
，
，
，
如图1，为直角三角形，且，则，
，
，
，
，
∵，
，
，
；
如图2，为直角三角形，且，则，
，，
∵，，
，
，
；
，且，
，
不存在为直角三角形，且的情况，
综个所述，的长为或15，
故答案为：或15．
16. 设实数满足以下三个条件：（1），（2），（3），则的最大值为______．
【答案】##10000
【解析】
【分析】本题考查数字变化的规律．将要求的代数式进行变形，再对其进行讨论即可解决问题．
【详解】解：因为，
所以，
又因为，
记，
则
．
因为，，
所以，
即，
所以
，
当，或者，时，等号成立．
故答案为：10000．
三、解答题：第17题16分，第18题12分，第19题16分，第20题14分，共58分．
17. 黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？
（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：
请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．
（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；（2）y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．（3）当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【解析】
【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】解：（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．
（2）设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，将（11，18），（19，2）代入得：
，解得：．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由题意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴当x＝15时，w取得最大值50．
∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
18. 解方程：．
【答案】或．
【解析】
【分析】本题考查了解三元二次方程组，因式分解分组分解法．先利用因式分解分组分解法可得：①，②，③，然后进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
①，
，
，
，
②，
，
，
，
③，
①②得：，
④，
把④代入③得：，
解得：或，
当时，
把代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：；
当时，
把代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
解得：；
原方程组的解为：或．
19. 如图，已知点、，点P为线段AB上的一个动点，反比例函数的图像经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”
（1）当时．
①求线段AB所在直线的函数表达式．
②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．
（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．
【答案】（1）①；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当时，有最大值；当时，有最小值；（2）；
【解析】
【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；
②由①得直线AB为，则，利用二次函数的性质，即可求出答案；
（2）根据题意，求出直线AB的直线为，设点P为（x，），则得到，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴，即可求出n的取值范围．
【详解】解：（1）当时，点B为（5，1），
①设直线AB为，则
，解得：，
∴；
②不完全同意小明的说法；理由如下：
由①得，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
∴；
∵，
∴当时，有最大值；
当时，有最小值；
∴点P从点A运动至点B过程中，k值先增大后减小，当点P在点A位置时k值最小，在的位置时k值最大．
（2）∵、，
设直线AB为，则
，解得：，
∴，
设点P为（x，），由点P在线段AB上则
，
当，即n=2时，，则k随x的增大而增大，如何题意；
当n≠2时，则对称轴为：；
∵点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．
即k在中，k随x的增大而增大；
当时，有
∴，解得：，
∴不等式组的解集为：；
当时，有
∴，解得：，
∴综合上述，n的取值范围为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．
20. 如图1，⊙O是△ABC外接圆，点D是上一动点(不与点A、C重合)，且∠ADB＝∠BAC＝45°.
(1)求证：AC是⊙O的直径；
(2)当点D在运动到使AD＋CD＝5时，则线段BD的长为 ；(直接写出结果)
(3)如图2，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在运动时，探究线段AE、BD、CD之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）5；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理，可得，可求出根据圆周角定理的推论可得结论；
（2）作于M,CN⊥BD于N，由等腰直角三角形的性质得AD=DM，CE=DN，证△ABM≌△BCN，可得BN=AM=DM，即可得出BD=BN+DN，从而求得BD的长；
（3）延长DA到点F，使得AF=CD,连接BF，由（2）得BD=（AD+CD）=DF，可得△BDF为等腰直角三角形，则BF=BD，，连接CF，证，可得AE=CF，在中，，即.
【详解】（1）证明：∵∠BDC、∠BAC都是 所对的圆周角，∠BAC＝45°
∴∠BDC=∠BAC=45°
∵∠ADB＝45°
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°
∴AC是⊙O的直径；
（2）作AM⊥BD于M,CN⊥BD于N
∵∠BDC=∠ADB =45°
∴△ADM，△CDN为等腰直角三角形
∴DM=AM=AD， DN=CN=CD
∵AC是直径，∠BAC＝45°
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC =∠ABM+∠NBC=90°，AB=BC
∵AM⊥BD，CN⊥BD
∴
∴∠ABM=∠BCN
△ABM≌△BCN
∴BN=AM=DM=AD
∵AD＋CD＝5
∴BD=BN+DN=AD+CD=×5=5；
（3）延长DA到点F，使得AF=CD,连接BF
由（2）得BD=（AD+CD）=DF，
∵∠ADB =45°
∴△BDF为等腰直角三角形
∴BF=BD，
连接CF，
在△AFB和△CDB中

∴
∴∠ABF=∠CBD
又∵把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC
∴∠CBE=∠CBD，BD=BE
∴，即
∵AB=CB
∴
∴AE=CF
∴在中，
即
【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解题的关键就是构造等腰直角三角形．7
14
14
7
销售单价x（元/件）
11
19
日销售量y（件）
18
2