河北省保定市第十六中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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满分：120分 时间：120分钟
一、单选题（共42分）
1. 下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是( )
A. sin B＝B. cs B＝C. tan B＝D. tan B＝
【答案】C
【解析】
【详解】∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB= ，
∴sinB= ，csB=，tanB=，
故选C.
3. 已知点A（，1）与点A′（5，）关于坐标原点对称，则实数、的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数可得a＝－5，b＝－1，故答案选D．
考点：关于原点对称的点的坐标．
4. 对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 点在它的图象上B. 它的图象在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故不符合题意；
、由可知，它的图象在第一、三象限，故不符合题意；
、当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意；
、当时，随的增大而减小，故不符合题意；
故选：．
5. 如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数上，且，，则k的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
作轴于点，作轴于点，易证，则面积的比等于相似比的平方，即的平方，然后根据反比例函数中比例系数的几何意义即可求解．
【详解】解：作轴于点，作轴于点．
则，
则，
∵，
设则，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故选：C．
6. 如图，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及正弦，根据勾股定理得，在中，利用正弦即可求解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：如图：
根据勾股定理得：，
在中，
，
故选B．
7. 设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
，
∴．
故选：A．
8. 如图，在中，是直径，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B
9. 把抛物线向右平移1个单位长度，然后向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式求解更简便．求出抛物线平移后的顶点坐标，然后利用顶点式写出即可．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，顶点坐标为，由顶点式得,平移后抛物线解析式为：，
故本题答案为：
10. 如图所示，在中，，那么（ ）
A. B. C. D. 无法比较
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：如图，
在圆上截取，
∵，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系知，，
∴，
故选：．
11. 随着互联网购物急速增加，快递业逐渐成为我国发展最快的行业之一，某快递店十月份揽件5000件、十月、十一月、十二月合计揽件20000件，如果该快递店十一月、十二月月揽件量的增长率都是x，那么由题意可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，关系式为：三个月总揽件数＝十月揽件数十一月揽件数十月揽件数（1揽件平均增长率）2，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
【详解】设该快递店十一月、十二月揽件量的增长率都是x，由题意可得方程：
．
故选：B．
12. 关于反比例函数y＝﹣，下列叙述正确的是（ ）
A. 函数图象经过点（﹣2，﹣3）
B. 函数图象在第一、三象限
C. 当x＞﹣2时，y＞3
D. 当x＜0时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象和性质求解即可．
【详解】解：画出反比例函数y＝﹣的图象如图所示，
A、将点（﹣2，﹣3）代入表达式y＝﹣，得：，等式不成立，选项错误，不符合题意；
B、由图象可得，函数图象在第二、四象限，选项错误，不符合题意；
C、由图象可得，当时，y＞3，选项错误，不符合题意；
D、由图象可得，当x＜0时，y随x的增大而增大，选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质．
13. 如图，一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为（ ）

A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，
∴与是对应边，
∴旋转角．
故选：D．
14. 如图，点是内一点，连接，，，点，，分别是，，的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据点，，分别是，，的中点，利用三角形的相似比可依次判断各个结论的正误.
【详解】解：∵点是内一点，连接，，，点，，分别是，，的中点，
∴，且，，且，，且，
∴，故①正确；
∴，故②错误；
∵，，
∴，故③正确；
∵，且，
∴，故④正确；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了三角形的判定与性质、三角形的中位线性质，利用相似三角形性质解决问题是解答的关键.
15. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）

A. cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的应用．证明，则，设正方形零件的边长为x，则，根据相似三角形的性质得到，解方程即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为x，则，
∴，
解得：，
即这个正方形零件的边长为．
故选：A．
16. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（ ）个.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．分别判断的符号，即可判断①；根据函数对称轴可得，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④；
【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在轴右侧，图象与轴相交于正半轴，
∴，，，
∴，故①正确；
②，
，
，故②正确；
③∵该函数图象经过点，对称轴为直线，
∴该函数与轴另一个交点坐标为，
∴当时，，故③正确；
④∵对称轴为直线，函数开口向下，
∴当时，有最大值，
把代入得：，
把代入得：，
∵为任意实数，
∴，则，故④不正确；
综上：正确的有①②③．
故选：C．
二、填空题（共9分）
17. 已知与轴的两个交点分别为、，则对称轴为直线_________．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称性，根据题意得到点、关于对称轴对称，进而求解即可．熟练掌握二次函数的对称性是关键．
【详解】∵与轴的两个交点分别为、，
∴抛物线的对称轴为．
故答案为：1．
18. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为点E，，，则______．
【答案】##2厘米
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，根据垂径定理求出，再用勾股定理解求出，进而求出．
【详解】解：，
，
是的直径，是的弦，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故答案为：．
19. 如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定及性质、正方形的性质、勾股定理．
连接，，再根据已知条件可得四边形是矩形，从而可得当点P是正方形对角线和的交点时，此时最小，进而可得的最小值．本题考查了正方形的性质、三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是能够明确四边形是矩形．
【详解】解：连接，，
∵正方形的边长为，，，
∴ ，，四边形是矩形，
∴
∵，
∴当点P是正方形对角线和的交点时，此时最小，且，
∴的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题（共69分）
20．
20. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先移项，然后利用因式分解法求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再计算乘方和负整数指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：（1）
，
方程左边分解因式，得，
∴或，
解得，；
（2）原式
．
21. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字的四个小球，除数字不同外，小球没 有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）从中任取一球， 求抽取的数字为正数的概率；
（2）从中任取一球， 将球上的数字作为点的横坐标， 记为 x (不放回)；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，试用画树状图(或列表法)表示出点所有可能出现的结果，并求点落 在第二象限内的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键．
（1）直接根据概率公式进行求解即可；
（2）根据列表法可知共有12种等可能的情况，进而问题可求解．
【小问1详解】
解：从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率为；
【小问2详解】
解：由题意可列表如下：
由表格可知共有12种等可能的情况，其中点落在第二象限内的有2种可能，所以概率为．
22. 如图，在正三角形中，是边上任意一点，且．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据，，得出，证明，得出，即，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
，
又，
，
，
；
【小问2详解】
解：是等边三角形，，，
，，
由（1）知，
，
即，
，
．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，两个角对应相等的两个三角形相似．
23. 如图，直线（）与双曲线（）交于点和点两点．
（1）求这两个函数的表达式
（2）直接写出不等式的解集是______
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数的解析式，比较函数值的大小，正确掌握待定系数法及理解函数图象是解题的关键．
（1）利用点A求出m，得到双曲线解析式，再求出点B的坐标，即可求出直线的解析式；
（2）不等式即为双曲线图象在直线的图象的上方，根据图象即可解答．
【小问1详解】
解：∵双曲线经过点，
∴；
∴双曲线的表达式为．
∵点双曲线上，
∴，
∴点B的坐标为．
∵直线经过点和点，
∴，
解得，
∴直线表达式为；
【小问2详解】
∵
∴由图象可知，关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，且∠A=∠D．
（1）求∠ACD的度数；
（2）若CD=3，求图中阴影部分面积．
【答案】(1) ∠ACD=120°;(2)
【解析】
【分析】（1）连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出OC⊥CD，推出∠OCD=90°，即∠D+∠COD=90°，由AO=CO，推出∠A=∠ACO，推出∠COD=2∠A，可得3∠D=90°，推出∠D=30°，即可解决问题
（2）先求△OCD和扇形OCB的面积，进而可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：（1）连接OC，
∵过点C的切线交AB的延长线于点D，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
即∠D+∠COD=90°，
∵AO=CO，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=2∠A，
∵∠A=∠D，
∴∠COD=2∠D，
∴3∠D=90°，
∴∠D=30°，
∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠D=180°﹣30°﹣30°=120°．
（2）由（1）可知∠COD=60°
在Rt△COD中，∵CD=3，
∴OC=3×
= ，
∴阴影部分的面积=
【点睛】本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，学会用分割法求阴影部分面积．
25. 如图，在中，，，．点从点出发沿向点运动，速度为每秒，同时点从点出发沿向点运动，速度为每秒，当点到达顶点时，、同时停止运动，设点运动时间为秒．
（1）当为何值时，是以为顶角的等腰三角形？
（2）当为何值时，的面积为？
（3）当为何值时，与相似？
【答案】（1）
（2）
（3）或时，与相似
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）勾股定理求得，由题意，，，，根据是以为顶角的等腰三角形，则，列出方程，解方程，即可求解；
（2）过点作于点，证明得出，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解；
（3）分类讨论，当时，，当时，，分别列出比例式，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
由题意，，，
∵是以为顶角的等腰三角形，
∴，
∴，
解得．
【小问2详解】
过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【小问3详解】
当时，，
∴，
解得：．
当时，，
∴，
解得：．
综上所述或时，与相似．

26. 如图，一名男生推铅球（铅球行进路线呈抛物线形状），测得铅球出手点距地面，铅球行进路线距出手点水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是铅球行进路线的水平距离，是铅球行进路线距地面的高度．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求铅球推出的距离是多少米．
【答案】（1）或；
（2）铅球推出的距离是10米．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）根据题意得到抛物线顶点，则抛物线的表达式为，用待定系数法将点代入可得抛物线的表达式；
（2）直接求抛物线与x轴交点即可．
【小问1详解】
解：根据题意可知：抛物线的顶点，
则抛物线的表达式为，
将代入抛物线的表达式中，
，
解得，
抛物线的表达式为或；
【小问2详解】
解：抛物线表达式为，
令，则，
解得或（不符合题意，舍去），
铅球推出的距离是10米．
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