湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.12 《因式分解》全章复习与巩固（专项练习）

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专题3.12 《因式分解》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题1．(2023·山东淄博市·八年级期中）下列变形：①，②，③，④，其中是因式分解的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2023·全国八年级）多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（　　）A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）3．(2023·全国八年级）下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1； ③a2+ab+b2； ④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mm+m2n2，用公式法分解因式的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．(2023·山东淄博市·八年级期末）计算所得的结果是（ ）．A． B． C． D．-25．(2023·重庆綦江区·八年级期末）下列各选项中，因式分解正确的是（ ）A． B．C． D．6．(2023·河南焦作市·八年级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A． B．C． D．7．(2023·全国八年级）在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有(        )A．个 B．个 C．个 D．个8．(2023·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）下列因式分解中，正确的是 （ ）A．a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a-b) B．ax+xy+a=x(x+y)C．x2-4y2=(x-4y)(x+4y) D．4x2+9=(2x+3)29．(2023·首都师范大学附属育新学校八年级月考）下列因式不能整除（　　　）A． B． C． D．10．(2023·南通市八一中学八年级月考）我们所学的多项式因分解方法主要有：①提公因式法；②平方差公式法；③完全平方公式法．现将多项式进行因式分解，使用的方法有（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③11．(2023·武汉市卓刀泉中学八年级月考）把3x3−12xy2分解因式，结果正确的（　　　）A．3（x+2xy）（x−2xy） B．3x（x2−4y2）C．3x（x−2y）（x+2y） D．3x（x−4y2）12．(2023·甘肃定西市·八年级期末）已知，则 ＝（ ）A． B． C． D．或13．(2023·广西防城港市·八年级月考）若a+b=1，则的值为（ ）A．4 B．3 C．2 D．114．(2023·山西八年级期末）下列多项式中，能分解出因式的是（ ）A． B． C． D．15．(2023·北京顺义区·八年级期末）化简结果正确的是（ ）A． B． C． D．16．(2023·河南信阳市·八年级期末）多项式a2﹣4与a2﹣2a的公因式是（　　）A．a+2 B．a﹣2 C．a D．a﹣117．(2023·昭通市昭阳区第一中学八年级月考）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）A．我爱美丽 B．美丽昭通 C．我爱昭通 D．昭通美丽18．(2023·唐河县桐寨铺镇第一初级中学八年级月考）长和宽分别为a，b的长方形的周长为16，面积为12，则的值为（ ）A．24 B．48 C．96 D．19219．(2023·天津河西区·八年级期末）若a＝1，则的值为（ ）A．2 B． C． D．20．(2023·山东滨州市·八年级期末）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解二、填空题21．(2023·焦作市第十七中学七年级期中）计算：（﹣2）100+（﹣2）99＝_____．22．(2023·北京海淀区·人大附中八年级月考）若是正整数，则，则____________23．(2023·四川自贡市·成都实外八年级期中）若多项式有一个因式为，那么________．24．(2023·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学九年级其他模拟）把分解因式的结果是______．25．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）因式分解_________．26．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，用四个完全一样的长、宽分别为x，y的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．若，，判断以下关系式：①；②；③；④；⑤．正确的是_____________（填序号）．27．(2023·山东泰安市·泰山外国语学校八年级月考）分解因式：______．28．(2023·淮安外国语学校九年级期末）分解因式x2y－2xy＋y＝_________29．(2023·南通市通州区兴仁中学八年级月考）因式分解：__________．30．(2023·吉林长春市·八年级期末）分解因式：=__________．31．(2023·湖北黄冈市·思源实验学校八年级月考）计算：2020×512－2020×492的结果是________．32．(2023·武汉市卓刀泉中学八年级月考）因式分解：=______．33．(2023·南通市启秀中学八年级月考）若△ABC三边、、满足，则△ABC是___________三角形．34．(2023·庆云县第二中学八年级期末）分解因式：___________________________________．35．(2023·吉林四平市·八年级期末）若，，则＝_____．36．(2023·全国八年级）已知且a≠0，则＝__．37．(2023·吉林长春市·八年级期末）若，，则的值为____________．38．(2023·浙江杭州市·九年级期末）因式分解：________．39．(2023·河南周口市·八年级期末）因式分解______．40．(2023·山东滨州市·八年级期末）分解因式：________．41．(2023·河南周口市·八年级期末）已知，则代数式的值为________．三、解答题42．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）某园林公司现有A、B两个区，已知A园区为长方形，长为米，宽为米；B园区为正方形，边长为米．（1）请用代数式表示A、B两园区的面积之和并化简；（2）现根据实际需要对A园区进行整改，长增加米，宽减少米，整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．①求x，y的值；②若A园区全部种植C种花，B园区全部种植D种花，且C、D两种花投入的费用与收益如表：比较整改后A、B两园区的净收益的大小关系．（净收益=收益-投入）43．(2023·福建泉州市·八年级期末）所谓完全平方式，就是对一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，如：、，则称、是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．①；②；③； ④；⑤；⑥（2）已知、、是的三边长，满足，判定的形状．（3）证明：多项式是一个完全平方式．(2023·河南郑州市·八年级期末）（1）计算：（2）分解因式：45．(2023·河南驻马店市·八年级期末）因式分解（1）m3﹣36m （2）（m2+n2)2-4m2n2 参考答案1．A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，分别进行判断可得答案．【详解】解：①是整式的乘法，故①不是因式分解；②没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②不是因式分解；③一个多项式转化成几个整式积的形式，故③是因式分解；④原式不是多项式，故④不是因式分解；所以本题是因式分解的有：1个，故选：A．【点拨】本题考查了因式分解的定义，能准确掌握因式分解的定义所表示的含义是解题的关键．2．D【分析】将原式利用十字相乘法分解即可．【详解】用十字相乘法可得x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9），故选：D．【点拨】此题考察了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．3．B【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．【详解】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；②﹣a2b2+1＝1﹣＝（1+ab）（1﹣ab），因此②能用公式法分解因式；③a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此④能用公式法分解因式；⑤﹣mm+m2n2＝（﹣mn）2，因此⑤能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤，故选：B．【点拨】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．4．A【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】(−2)2020+(−2)2021=(−2)2020×(1−2) =−22020 ．故选：A．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．5．C【分析】分别对各式因式分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意；C、原式=（m-2）2，符合题意；D、原式=-2y（y-3），不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．C【分析】根据因式分解的定义进行判断，即，把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解，【详解】A．没有把多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；B．是整式的乘法，故不符合题意；C．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意；D．把一个单项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；故选：C．【点拨】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的意义是解答本题的关键．7．B【分析】根据平方差公式和完全平方公式分析即可．【详解】解： ＋两项符号相同，无法运用公式法进行因式分解；，能用公式法分解因式；－，两项符号相同，不能用公式法分解因式；，能用公式法分解因式；，能用公式法分解因式；，能用公式法分解因式．综上，正确的有个．故选．【点拨】本题考查了平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2-b2=(a+b) (a-b)，a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．8．A【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：、原式，符合题意；、原式不能因式分解，不符合题意；、原式，不符合题意；、原式不能在实数范围内因式分解，不符合题意．故选：．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9．C【分析】先将4x3y＋4x2y2＋xy3按照因式分解的方法进行变形，则可得出哪些整式可以整除多项式4x3y＋4x2y2＋xy3，则问题得解．【详解】解：∵4x3y＋4x2y2＋xy3　＝xy（4x2＋4xy＋y2）＝xy（2x＋y）（2x＋y）＝x（2xy＋y2）（2x＋y）∴xy、（2x＋y）、（2xy＋y2）均能整除4x3y＋4x2y2＋xy3，x2＋2xy不能整除4x3y＋4x2y2＋xy3．故选：C．【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并正确对原式变形是解题的关键．10．A【分析】直接利用提取公因式法以及平方差公式分解因式得出答案．【详解】解：==（x-y）[（x-y）2-4]=（x-y）（x-y+2）（x-y-2），故将多项式（x-y）3+4（y-x）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；②平方差公式法；故选：A．【点拨】本题考查综合运用公式法和提取公因式法因式分解．一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式．同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．11．C【分析】先提取公因式3x，然后再利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：；故选C．【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．12．B【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后将代入计算即可．【详解】解：当时，原式，故选：B．【点拨】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，代数式的求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．13．D【分析】把进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解．【详解】解：．故选：D【点拨】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b，代入求值．14．D【分析】利用完全平方公式和提公因式法进行计算并作出判断即可．【详解】A、原式=，该式不能分解出因式，本选项不符合题意；B、原式不能分解，本选项不符合题意；C、原式不能分解，本选项不符合题意；D、原式=，能分解出因式，本选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．B【分析】把分子分解因式后与分母约分即可．【详解】解：==．故选B．【点拨】本题考查了分式的约分，解题的关键是确定公因式：取各系数的最大公因数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最低次幂，本题也考查了因式分解．16．B【分析】先把两个多项式分解因式，进而求得公因式．【详解】∵a2﹣4=(a+2)(a-2)，a2﹣2a=a(a-2)，∴多项式a2﹣4与a2﹣2a的公因式是：a-2.故选B．【点拨】本题主要考查多项式的公因式，把多项式分解因式，是解题的关键．17．C【分析】将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），再结合已知即可求解．【详解】解：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），由已知可得：我爱昭通，故选：C．【点拨】本题考查了因式分解的应用；将已知式子进行因式分解，再由题意求解是解题的关键．18．C【分析】根据已知条件长方形的长与宽之和为8，长与宽之积为12，然后分解因式代入即可．【详解】∵长方形的周长为16，∴，∵面积为12，∴，∴，故选：C．【点拨】本题考查的是因式分解的应用，以及长方形周长和面积的计算，熟练掌握长方形的周长和面积的计算公式是解答本题的关键．19．B【分析】根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值．【详解】==a-3，当a=1时，原式=1-3=-2，故选：B．【点拨】此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键．20．D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①，从左到右的变形是整式的乘法；②，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D．【点拨】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．21．299【分析】原式提取公因式后，计算即可得到结果．【详解】解：原式＝．故答案为：．【点拨】本题考查因式分解提取公因式的方法，熟练掌握提取公因式方法是解题的关键．22．7【分析】先把16移到等号右边，对等号左边的多项式分解因式，再根据是正整数，进行分类讨论，即可求解．【详解】∵，∴，∵x，y是正整数，∴x+2y是正整数，∴①，解得：（舍去）；②，解得：（舍去）；③，解得：（舍去）；④，解得：（舍去）；⑤，解得：，∴x+y=6+1=7故答案是：7【点拨】本题主要考查因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．23．3【分析】设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出m和n的值．【详解】解：假设另一个因式为，则．，，解得：，故答案是：3．【点拨】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．24．【分析】原式提取ax，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：．故答案为：．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解．【详解】解：原式=．故答案为：．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．26．①②④⑤【分析】根据图形可得，，利用完全平方公式和平方差公式即可判断③和④，小长方形的面积可表示为，利用完全平方公式即可判断⑤．【详解】解：由图形可得，，故①②正确；∴，故③错误；，故④正确；∵小长方形的面积，∴，故⑤正确；故答案为：①②④⑤．【点拨】本题考查完全平方公式、因式分解的应用、整式的混合运算，利用图形得到、、是解题的关键．27．【分析】原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解．【详解】解：原式=．故答案为：．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法是关键．28．【分析】原式提取公因式y，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：x2y－2xy＋y= = 故答案为：．【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法的公式法是解本题的关键．29．y(x+6)(x-6)【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．【详解】原式＝y(x2-36)=y(x+6)(x-6)，故答案为：y(x+6)(x-6)【点拨】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．30．【分析】先提取公因式x，然后再运用完全平方公式解答即可．【详解】解：===故答案为：．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键．31．404000【分析】先提取公因式2020，再根据平方差公式分解后计算可得答案．【详解】2020×512－2020×492=2020×（512－492）=2020×（51+49）×(51-49)=2020×100×2=404000,故答案为：404000．【点拨】此题考查提公因式法，平方差公式，熟练掌握计算公式及因式分解的方法是解题的关键．32．【分析】利用十字相乘法因式分解．【详解】解：．故答案是：．【点拨】本题考查因式分解，解题的关键是掌握用十字相乘法因式分解的方法．33．等腰【分析】等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a，b，c的关系，即可作出判断．【详解】∵，∴，∴，∴或，∴或，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．【点拨】本题考察因式分解的方法-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．34．【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可．【详解】解：x3-4xy2，=x(x2-4y2)，=x(x+2y)(x-2y)，故答案为：x(x+2y)(x-2y)【点拨】本题考查了分解因式，分解因式要先提取公因式，再运用公式；注意：分解要彻底．35．【分析】先将原式因式分解得，再整体代入即可求出结果．【详解】解：，∵，，∴原式．故答案是：．【点拨】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值．36．2【分析】由可得：去分母整理可得：从而得到：于是可得答案．【详解】解： ， 故答案为：2．【知识点】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，代数式的值，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．37．．【分析】应用平方差把多项式因式分解，再整体代入即可．【详解】解：，把，代入，原式=，故答案为：．【点拨】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．38．m（m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：=m（m2-16）=m（m+4）（m-4），故答案为：m（m+4）（m-4）【点拨】此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．39．-y（x-3）2【分析】提公因式-y，再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x2y+6xy-9y=-y（x2-6x+9）=-y（x-3）2，故答案为：-y（x-3）2；【点拨】本题考查了因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．40．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=，=故答案为：.【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．41．2021．【分析】根据条件转换成x2+x=1，后一个代数式化简后将条件代入即可．【详解】解：由题意得：x2+x=1，∴x3+2x2+2020=[x(x2+x)+x2]+2020=x+x2+2020=1+2020=2021，故答案为：2021．【点拨】本题考查代数式的整体代入求解，关键在于如何将代数式转换成条件中的整体．42．（1）（x+y）（x-y）+（x+3y）2；2x2+6xy+8y2；（2）①x=30，y=10；②相等【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，最后再求和，（2）①根据整改后A区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．列方程组求解即可，②计算出A园区的净收益和B园区的净收益，再比较大小．【详解】解：（1）（x+y）（x-y）+（x+3y）2，＝x2-y2+x2+6xy+9y2，＝2x2+6xy+8y2；（2）①由题意得，，整理得，，解得：x＝30，y＝10，答：x＝30，y＝10．②A园区整改后长为12x米，宽为y米，A园区的净收益（22-12）×12xy＝36000元，B园区的净收益为（26-16）（x+3y）2＝36000元，∴B园区的净收益等于A园区的净收益．【点拨】本题考查二元一次方程组、整式的加减、多项式乘以多项式的计算方法等知识，正确的列出多项式，并化简是解决问题的关键．43．（1）②⑤⑥；（2）是等边三角形；（3）见详解【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a，b，c的关系，进而即可得到结论；（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．【详解】（1）②=；⑤=；⑥=是完全平方式，①；③； ④不是完全平方式，各式中完全平方式的编号有②⑤⑥，故答案为：②⑤⑥；（2）∵，∴，∴，∴a-c=0且b-c=0，∴a=b=c，∴是等边三角形；（3）∵原式=====，∴多项式是一个完全平方式．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．44．（1）10；（2）【分析】（1）根据整式的乘法公式及运算法则即可求解；（2）先提取x，再根据完全平方公式即可因式分解．【详解】（1）解：原式解：原式．【点拨】此题主要考查整式的运算与因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法．45．（1）m(m+6)(m-6)；（2）（m+n）2（m-n）2【分析】（1）首先提取公因式法进行因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；（2）首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）m3﹣36m= m（m2﹣36）=m(m+6)(m-6) （2）（m2+n2）2-4m2n2=（m2+n2）2-（2mn）2=（m2+n2+2mn）（m2+n2-2mn）=（m+n）2（m-n）2【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． CD投入（元/平方米）1216收益（元/平方米）2226