湘教版七年级下册第3章 因式分解综合与测试学案
展开理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算;
2.掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法;
3. 了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式,另一个因式是,即,而正好是除以所得的商,提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积,即:
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(差)的平方.
即,.
形如,的式子叫做完全平方式.
要点诠释:(1)平方差公式的特点:左边是两个数(整式)的平方,且符号相反,右边是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积.
(2)完全平方公式的特点:左边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍. 右边是两数的和(或差)的平方.
(3)套用公式时要注意字母和的广泛意义,、可以是字母,也可以是单项式或多项式.
要点四、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式,若存在 ,则
分组分解法
对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式.
要点五、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解步骤
(1)如果多项式的各项有公因式,先提取公因式;
(2)如果各项没有公因式那就尝试用公式法;
(3)如用上述方法也不能分解,那么就得选择分组或其它方法来分解.
(4)结果要彻底,即分解到不能再分解为止.
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、 分解因式:
(1);
(2).
【答案与解析】
解:(1).
(2)
.
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母,指数的变化,另外分解要彻底,特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分,分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否.
2、利用分解因式证明:能被120整除.
【思路点拨】25=,进而把整理成底数为5的幂的形式,然后提取公因式并整理为含有120的因数即可.
【答案与解析】
证明:=
=
=
=
=
=
∴能被120整除.
【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式.
类型二、公式法分解因式
3、放学时,王老师布置了一道分解因式题:,小明思考了半天,没有答案,就打电话给小华,小华在电话里讲了一句,小明就恍然大悟了,你知道小华说了句什么话吗?小明是怎样分解因式的.
【思路点拨】把分别看做一个整体,再运用完全平方公式解答.
【答案与解析】
解:把看作完全平方式里的;
原式=
=
=.
【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式,注意把看作完全平方式里的是解题的关键.
举一反三:
【变式】下面是某同学对多项式进行因式分解的过程.
解:设
原式=(第一步)
=(第二步)
=(第三步)
=(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( ).
A、提取公因式 B.平方差公式
C、两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底________.(填“彻底”或“不彻底”)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解.
【答案】
解:(1)运用了C,两数和的完全平方公式;
(2)还可以分解,分解不彻底;结果为.
(3)设.
=,
=,
=2,
=,
=.
4、(2014春•高密市期末)把下列各式进行因式分解
(1)4(x﹣2)2﹣1;
(2)(x+y)2+4(x+y+1).
【思路点拨】(1)直接利用平方差公式分解因式即可;(2)经过变形,利用完全平方公式分解因式即可.
【答案与解析】
解:(1)4(x﹣2)2﹣1
=[2(x﹣2)+1][2(x﹣2)﹣1]
=(2x﹣3)(2x﹣5);
(2)(x+y)2+4(x+y+1)
=(x+y)2+4(x+y)+4
=(x+y+2)2.
【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式,熟练掌握乘法公式是解题关键.
举一反三:
【变式】设,,…,(为大于0的自然数).(1)探究是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”.试找出,,…,,…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当满足什么条件时,为完全平方数(不必说明理由).
【答案】
解:(1)∵,
又为非零的自然数,
∴是8的倍数.
这个结论用文字语言表述为:两个连续奇数的平方差是8的倍数
(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.
为一个完全平方数的2倍时,为完全平方数
类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式
5、分解因式:(1)
(2)
(3)
【答案与解析】
解:(1)原式
(2)原式=
(3)原式=
【总结升华】做题之前要仔细观察,注意从整体的角度看待问题.
举一反三:
【变式】(2014秋•浦东新区校级期末)(x﹣y)2+5(x﹣y)﹣50.
【答案】解:将(x-y)看成一个整体,原式=(x﹣y+10)(x﹣y﹣5).
6、已知长方形周长为300厘米,两邻边分别为厘米、厘米,
且=0,求长方形的面积.
【思路点拨】把=0化简成,可得,由题意可得,解方程组即可.
【答案与解析】
解:∵=0
∴=0
∵=0
∴,,(不合题意,舍去)
又由题意可得
解方程组
解之得,=100,=50
∴长方形的面积=100×50=5000平方厘米.
【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用,主要考查了分组分解法,提取公因式法和运用平方差公式法.
举一反三:
【变式】因式分解:,正确的分组是( )
A. B.
C. D.
【答案】D;
当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题中正好符合完全平方公式,应考虑2,3,4项为一组.
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一.选择题
1. 下列式子变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
2. 已知:△ABC的三边长分别为,那么代数式的值( )
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D不能确定
3.已知有一个因式是,把它分解因式后应当是( )
A. B.
C. D.
4.若,且,,那么必须满足条件( ).
A.都是正数B. 异号,且正数的绝对值较大
C.都是负数D. 异号,且负数的绝对值较大
5.(2015•贺州)把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是( )
A.4xy(x﹣y)﹣x3B.﹣x(x﹣2y)2
C.x(4xy﹣4y2﹣x2)D.﹣x(﹣4xy+4y2+x2)
6.将下述多项式分解后,有相同因式的多项式有 ( )
①; ②; ③; ④;
⑤; ⑥
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
7. 已知可因式分解成,其中均为整数,则( )
A.-12 B.-32 C.38 D.72
8. 将分组分解,下列的分组方法不恰当的是( )
A. B.
C. D.
二.填空题
9.(2015春•滨江区期末)因式分解:16m4﹣8m2n2+n4= .
10. 分解因式:=_____________.
11.已知,则= .
12.分解因式:=__________.
13.若有一个因式为,则的值应当是_________.
14.把多项式分解因式的结果是__________.
15.已知,则= .
16.分解因式:(1)=________;(2)=________.
三.解答题
17.求证:能被45整除.
18.(2015春•焦作校级期中)已知x2+x=1,求x4+x3﹣2x2﹣x+2015的值.
19.(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示,用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②由此,你可以得出的一个等式为:________.
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图;
②请你用拼图等方法推出因式分解的结果,画出你的拼图.
20.下面是某同学对多项式+4进行因式分解的过程:
解:设
原式= (第一步)
= (第二步)
= (第三步)
= (第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的( )
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?______________(填彻底或不彻底)
若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_______________.
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】B;
【解析】
A.右边不是整式积的形式,故不是分解因式,故本选项错误;
B.是整式积的形式,故是分解因式,故本选项正确;
C.是整式的乘法,故不是分解因式,故本选项错误;
D.,故本选项错误.
2. 【答案】C;
【解析】,因为为三角形三边长,所以,所以原式小于零.
3. 【答案】A
【解析】代入答案检验.
4. 【答案】B;
【解析】由题意,所以选B.
5. 【答案】B;
【解析】解:4x2y﹣4xy2﹣x3
=﹣x(x2﹣4xy+4y2)
=﹣x(x﹣2y)2,
故选:B.
6. 【答案】C;
【解析】①,③,⑤,⑥分解后有因式.
7.【答案】A;
【解析】原式=,∵可以分解成,∴∴-12.
8. 【答案】D;
【解析】A、B各组提公因式后,又有公因式可提取分解,所以分组合理,C第一组运用立方和公式,第二组提取公因式后,有公因式,所以分组合理,D第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式,所以分解不恰当.
二.填空题
9. 【答案】(2m﹣n)2(2m+n)2;
【解析】解:16m4﹣8m2n2+n4
=(4m2﹣n2)2
=(2m﹣n)2(2m+n)2.
故答案为:(2m﹣n)2(2m+n)2.
10.【答案】;
【解析】
==.
11.【答案】-3;
【解析】.
12.【答案】;
【解析】==.
13.【答案】-6;
【解析】由题意,当时,,解得=-6.
14.【答案】;
【解析】==.
15.【答案】39;
【解析】原式=.
16.【答案】;;
【解析】;
.
三.解答题
17.【解析】
证明:原式=
==.
所以能被45整除.
18.【解析】
解:∵x2+x=1,
∴x2=1﹣x,x2﹣1=﹣x,
∴x4+x3﹣2x2﹣x+2015
=x2(x2﹣1)+x3﹣x2﹣x+2015
=x2(﹣x)+x3﹣x2﹣x+2015
=﹣(x2+x)+2015
=﹣1+2015
=2014.
即x4+x3﹣2x2﹣x+2015=2014.
19.【解析】
解:(1)①长方形的面积=;长方形的面积=;
②;
(2)①如图,可推导出;
②.
20.【解析】
解:(1)C;
(2)不彻底;;
(3)设,原式=
.
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