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湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.8 因式分解-十字相乘法（专项练习）
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这是一份湘教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.8 因式分解-十字相乘法（专项练习），共22页。
专题3.8 因式分解-十字相乘法（专项练习）一、单选题1．（2011·福建泉州市·八年级期末）把多项式分解因式，下列结果正确的是（ ）．A． B．C． D．2．(2023·福建福州市·泉州七中八年级期末）把多项式分解因式，下列结果正确的是 （ ）A．（x-1）（x+3） B．（x-1）（x-3） C．（x+1）（x+3） D．（x+1）（x-3）3．(2023·河北九年级其他模拟）下列分解因式正确的是( )A．m3-m=m(m-1)(m+1) B．x2-x-6=x(x-1)-6 C．2a2+ab+a=a(2a+b) D．x2-y2=(x-y)24．(2023·深圳市明德外语实验学校八年级期中）若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ ）A．–6 B．6 C．–9 D．95．(2023·浙江杭州市·七年级期中）下列代数式变形正确的是（ ）A． B．C． D．6．(2023·广西贵港市·七年级期末）已知多项式2x2-bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b+c的值为（ ）A．-10 B．-4 C．-2 D．27．(2023·全国八年级课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（ ）A． B． C． D．8．(2023·山东滨州市·八年级期末）如果多项式分解因式的结果是，那么的值分别是（ ）A． B． C． D．9．(2023·北京朝阳区·八年级期末）下列因式分解变形正确的是（ ）A． B．C． D．10．(2023·全国八年级）多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）11．(2023·上海市静安区实验中学七年级课时练习）已知，则，的值是（ ）A．， B．，C．， D．，12．(2023·上海市七宝实验中学七年级期中）若是的因式，则的值是（ ）A．4 B．6 C．－4 D．－6二、填空题13．(2023·福建省莆田市中山中学）因式分解：＝_________．14．(2023·泰兴市马甸初级中学七年级期中）若多项式x2+11x﹣12可因式分解成(x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，则a+c之值为_____．15．(2023·浙江七年级课时练习）若，则a=_______，b=______．16．(2023·四川内江市·中考真题）分解因式：_____________17．(2023·湖南株洲市·七年级期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．18．(2023·清华附中上庄学校七年级期中）若二次三项式x2 +ax- 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积， 则符合条件的整数a的个数是________________．19．(2023·上海浦东新区·七年级期末）分解因式：_____．20．(2023·同心县韦州中学八年级期末）已知分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m=__，n=__21．(2023·湖北省直辖县级行政单位·八年级期末）将代数式分解因式的结果是______．22．(2023·山东滨州市·八年级期末）把多项式进行分解因式，结果为________________．23．(2023·浙江七年级课时练习）如果二次三项式(a为整数)在整数范围内可以分解因式，则a为___．24．(2023·浙江杭州市·九年级）可因式分解为__________．25．(2023·上海嘉定区·七年级期末）分解因式：a2﹣a﹣6=________________．26．(2023·内蒙古包头市·九年级二模）因式分解：__________．27．(2023·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________；（____）（____）；28．(2023·四川成都市·石室中学八年级期中）分解因式：4x2﹣16＝_____；x2+x﹣2＝_____．29．(2023·无锡市大桥实验学校八年级期中）在实数范围内分解因式：___________．三、解答题30．(2023·湖南永州市·七年级期中）整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x c1）（a2x c2） a1a2x2 a1c2x a2c1xc1c2a1ax2（a1c2a2c1）xc1c2．反过来，就得到：．我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为（a1x c1）（a2 x c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×（－3）；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（－3）+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为（x+2）（x-3） 请仿照上面的方法,解答下列问题： （1）分解因式：x2+6x-27＝________；= ；（2）若x2+px+8分解为两个一次因式的积,则整数的所有可能值是_____；（探究与拓展）对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图③，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b，pk qj e，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并挑战下列问题：（3）分解因式= ．31．(2023·重庆市育才中学八年级期中）阅读下列村料：由整式的乘法运算知：．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可知可把中的看作是未知数，，，，看作常数的二次三项式；通过观察，可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项”，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．则．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法因式分解：；（2）用十字相乘法因式分解：；（3）已知，若、均为整数，则满足条件的整数有几个？并说明理由．32．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．（4）知识延伸：解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“，则或”．解方程．33．(2023·信阳市商城思源实验学校八年级月考）分解因式（1）y2-8y+16 （2）b2（a-b）-4（a-b）（3）x2-y2-z2-2yz （4）5x2+17x-12 参考答案1．D【解析】试题分析：利用公式即可得答案．故答案选D．考点：利用公式进行因式分解．2．D【解析】x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-22=（x-3）（x+1）.故选D.点拨：本题先将x2-2x配方成完全平方式，再用公式法因式分解；本题也可以直接利用十字相乘法解答.3．A【解析】m3－m=m（m2－1）=m（m+1）（m－1），所以A选项正确；x2－x－6=（x－3）（x+2）所以B选项错误；2a2+ab+a=a（2a+b+1），所以C选项错误；x2－y2=（x+y）（x－y），所以D选项错误.故选A.点拨：因式分解的时候优先提取公因式，提取公因式以后若括号里面还能因式分解，则要继续因式分解，直到不能因式分解为止.4．A【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，即可得答案．【详解】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n∴8+n=5,m=2n∴n=-3,m=-6故选A．【点拨】本题考查因式分解的意义，解题的关键是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值．5．C【分析】根据十字相乘法分解因式、分式的运算逐项判断即可．【详解】A、，此项错误B、，此项错误C、，此项正确D、，此项错误故选：C．【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式、分式的运算，掌握各运算法则是解题关键．6．C【解析】【分析】因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，确定出b与c的值，即可求出所求．【详解】解：根据题意得：2x2-bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6，可得b=4，c=-6，则b+c=4+（-6）=-2，故选：C．【点拨】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．A【分析】首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得，的值．【详解】解：利用十字交乘法将因式分解，可得：．，，．故选：A．【点拨】本题考查十字相乘法分解因式的知识．注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：．8．D【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知： ，．【详解】∵多项式分解因式的结果是， ∴，， ∴，． 故选：D．【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式，型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：．9．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误．【详解】A、，故此选项错误；B、，故此选项正确；C、，故此选项错误；D、，故此选项错误．故选：B【点拨】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．10．D【分析】将原式利用十字相乘法分解即可．【详解】用十字相乘法可得x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9），故选：D．【点拨】此题考察了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．11．C【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答．【详解】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n），得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m 所以n=-1，m=5． 故选：C．【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．12．D【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可．【详解】∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴设另一个因式是，即＝＝， 则，解得：， 故答案为：D．【点拨】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．【分析】根据公式法分解因式即可.【详解】解：原式=，故答案为：.【点拨】本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的公式法是解决本题的关键.14．11【分析】首先利用十字相乘法将x2+11x﹣12因式分解，继而求得a，c的值．【详解】解：利用十字相乘法将x2+11x﹣12因式分解， 可得：x2+11x﹣12=(x+12)( x−1), ∴a=12，c=−1， ∴a+c=11． 故答案为11．【点拨】此题考查了十字相乘法分解因式的知识，正确的用十字相乘法进行因式分解是解决问题的关键.15．7； 12 【分析】将右式展开，与左式对应项相等，即可求得a、b的值．【详解】∵=+7x+12，∴=+7x+12，∴a=7，b=12，故答案为：7；12．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法并能灵活运用．16．【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．【详解】故答案为：．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．17．（2x+1）（x﹣2）【分析】根据题中的方法将原式分解即可．【详解】解：原式＝（2x+1）（x﹣2），故答案为（2x+1）（x﹣2）【点拨】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．6．【分析】利用常数项分解为异号两数相乘的积，这两数的和就是a，求a出的不同的值，查出a个数即可【详解】解：∵-12=-1×12=1×（-12）=-2×6=6×（-2）=-3×4=3×（-4），显然a即为分解的两个数的和，即a的值为±11，±4，±1共6个．故答案为：6．【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，把常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和等于一次项系数是解题关键．19．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【详解】原式=（x-2）（x+5），故答案为：（x-2）（x+5）【点拨】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．20．1 ﹣2 【分析】先根据多项式的乘法法则计算(3x+2)(x－1)，合并后再与已知的多项式比较即得答案．【详解】解：(3x+2)(x－1)=3x2－3x+2x－2=3x2－x－2，因为=3x2－x－2，所以m=1，n=﹣2，故答案为：1，﹣2．【点拨】本题考查了多项式的乘法和因式分解，属于常考题型，明确题意、掌握求解的方法是解题的关键．21．【分析】先利用平方差公式将式子展开，再利用十字相乘法进行因式分解．【详解】解：原式==．故答案为．【点拨】本题考查了因式分解及多项式乘以多项式．熟练掌握十字相乘法是解题的关键．22．2（2x+1）(3x-7)【分析】先提取公因式2，再利用十字相乘法进行因式分解．【详解】12x2-22x-14＝2（6x2-11x-7）＝2（2x+1）（3x-7）．故答案为：2（2x+1）（3x-7）．【点拨】考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底．23．7或2【分析】根据二次三项式的因式分解形式为，可知把-8分解为两个数的积，且使得这两个数的和等于-a，由此可以求出所有可能的a的值即可．【详解】根据二次三项式的因式分解形式为，∵(a为整数)在整数范围内可以分解因式，∴-8=-1×8=-8×1=-2×4=-4×2，∴-a=-1+8=7，或-a=-8+1=-7，或-a=-2+4=2，或-a=-4+2=-2，∴a=7或a=2，故答案为：7或2【点拨】本题考查了二次三项式的因式分解的形式，掌握二次三项式的因式分解的形式是解题的关键．24．【分析】利用十字相乘法即可对多项式进行因式分解．【详解】解：故答案为：．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法．25．（a+2）（a﹣3）【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：原式=（a+2）（a-3）． 故答案是：（a+2）（a-3）．【点拨】此题考查了利用十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．26．【分析】把和看成整体，利用十字相乘分解因式，再进行合并同类项即可求出答案．【详解】 ，故答案为：．【点拨】本题考查了多项式的因式分解中的十字相乘法，把和看成整体，利用十字相乘分解因式是解决本题的关键．27． 7 3 【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：，，故答案为：；7，3．【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，解答的关键是要注意观察、尝试，准确找到a、b进而解决问题，必要时可利用多项式的进行乘法验证．28．4（x+2）（x﹣2） （x﹣1）（x+2） 【分析】根据提公因式法及平方差公式和因式分解法分解因式即可.【详解】解：4x2﹣16＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2）；x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．故答案为：4（x+2）（x﹣2）；（x﹣1）（x+2）.【点拨】此题考查因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键.29．【分析】先把当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式.【详解】故答案为【点拨】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用把一个整数写成平方形式再进行分解因式.30．（1）（x+9）（x-3），（x-1）（2x+7）；（2）±9，±6；（3）（x+2y-1）（3x-y+4）．【分析】（1）根据题述中的方法因式分解即可；（2）将8写成两个整数乘积的形式，据此可得整数的所有可能值；（3）根据题述中方法因式分解即可．【详解】（1）如下图， 因为1×（－3）+1×9= 6所以x2+6x-27═（x+9）（x-3），如下图因为1×7+2×（-1）= 5，所以2x2+5x-7 = （x-1）(2x+7)故答案为：（x+9）（x-3），（x-1）(2x+7)；（2）∵8=1×8；-8=-8×（-1）；-8=-2×（-4）；-8=-4×（-2），则p的可能值为-1+（-8）=-9；8+1=9；-2+（-4）=-6；4+2=6．∴整数p的所有可能值是±9，±6，故答案为±9，±6；（探究与拓展）（3）如下图因为1×（-1）+3×2=5, 2×4+(-1)×(-1)=9, 1×4+3×(-1)=1,所以3x2 5xy 2y2 x 9y 4 (x+2y-1)(3x-y+4)．【点拨】本题考查利用十字相乘法因式分解．能读懂题意，模仿题述方法因式分解是解题关键．31．（1）；（2）；（3），8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195，共13个．理由见解析．【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；（2）原式先利用十字相乘法分解因式，再提公因式和平方差公式分解因式即可；（3）先把右边的两个因式相乘，根据左右各对应项的系数相等即可求得n的值．【详解】（1）（2）（3）∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵、均为整数，∴为整数，∴，8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195，共13个．【点拨】本题主要考查了因式分解-十字相乘法、提公因式和平方差公式分解因式，理解十字相乘的方法是解答的关键．32．（1）；（2）；（3）；（4）或或或【分析】（1）由 运用的是两数和的完全平方公式，从而可得答案；（2）由 从而可得最后的答案；（3）设设 可得 ，再利用完全平方公式分解，再把代入可得答案；（4）由可得：利用，则或，从而可得答案．【详解】解：（1）由 运用的是两数和的完全平方公式，故答案为： （2）故答案为： （3）设 （4） ， 或或或，或或或【点拨】本题考查的是换元法分解因式，因式分解法解高次方程，掌握换元法分解因式及利用因式分解法解高次方程是解题的关键．33．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式（a-b），再运用平方差公式进行因式分解即可；（3）原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可；（4）直接运用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：（1）y2-8y+16 =；（2）b2（a-b）-4（a-b）=；= （3）x2-y2-z2-2yz； ==；= （4）5x2+17x-12=．【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．
专题3.8 因式分解-十字相乘法（专项练习）一、单选题1．（2011·福建泉州市·八年级期末）把多项式分解因式，下列结果正确的是（ ）．A． B．C． D．2．(2023·福建福州市·泉州七中八年级期末）把多项式分解因式，下列结果正确的是 （ ）A．（x-1）（x+3） B．（x-1）（x-3） C．（x+1）（x+3） D．（x+1）（x-3）3．(2023·河北九年级其他模拟）下列分解因式正确的是( )A．m3-m=m(m-1)(m+1) B．x2-x-6=x(x-1)-6 C．2a2+ab+a=a(2a+b) D．x2-y2=(x-y)24．(2023·深圳市明德外语实验学校八年级期中）若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ ）A．–6 B．6 C．–9 D．95．(2023·浙江杭州市·七年级期中）下列代数式变形正确的是（ ）A． B．C． D．6．(2023·广西贵港市·七年级期末）已知多项式2x2-bx+c分解因式为2（x-3）（x+1），则b+c的值为（ ）A．-10 B．-4 C．-2 D．27．(2023·全国八年级课时练习）若多项式可因式分解成，其中、、均为整数，则之值为何？（ ）A． B． C． D．8．(2023·山东滨州市·八年级期末）如果多项式分解因式的结果是，那么的值分别是（ ）A． B． C． D．9．(2023·北京朝阳区·八年级期末）下列因式分解变形正确的是（ ）A． B．C． D．10．(2023·全国八年级）多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18） B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6） D．（x﹣2）（x+9）11．(2023·上海市静安区实验中学七年级课时练习）已知，则，的值是（ ）A．， B．，C．， D．，12．(2023·上海市七宝实验中学七年级期中）若是的因式，则的值是（ ）A．4 B．6 C．－4 D．－6二、填空题13．(2023·福建省莆田市中山中学）因式分解：＝_________．14．(2023·泰兴市马甸初级中学七年级期中）若多项式x2+11x﹣12可因式分解成(x+a)(bx+c)，其中a、b、c均为整数，则a+c之值为_____．15．(2023·浙江七年级课时练习）若，则a=_______，b=______．16．(2023·四川内江市·中考真题）分解因式：_____________17．(2023·湖南株洲市·七年级期末）分解因式x2+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）．这样，我们可以得到x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请利用这种方法，分解因式2x2﹣3x﹣2＝_____．18．(2023·清华附中上庄学校七年级期中）若二次三项式x2 +ax- 12能分解成两个整系数的一次因式的乘积， 则符合条件的整数a的个数是________________．19．(2023·上海浦东新区·七年级期末）分解因式：_____．20．(2023·同心县韦州中学八年级期末）已知分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m=__，n=__21．(2023·湖北省直辖县级行政单位·八年级期末）将代数式分解因式的结果是______．22．(2023·山东滨州市·八年级期末）把多项式进行分解因式，结果为________________．23．(2023·浙江七年级课时练习）如果二次三项式(a为整数)在整数范围内可以分解因式，则a为___．24．(2023·浙江杭州市·九年级）可因式分解为__________．25．(2023·上海嘉定区·七年级期末）分解因式：a2﹣a﹣6=________________．26．(2023·内蒙古包头市·九年级二模）因式分解：__________．27．(2023·上海市静安区实验中学七年级课时练习）________；（____）（____）；28．(2023·四川成都市·石室中学八年级期中）分解因式：4x2﹣16＝_____；x2+x﹣2＝_____．29．(2023·无锡市大桥实验学校八年级期中）在实数范围内分解因式：___________．三、解答题30．(2023·湖南永州市·七年级期中）整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，（a1x c1）（a2x c2） a1a2x2 a1c2x a2c1xc1c2a1ax2（a1c2a2c1）xc1c2．反过来，就得到：．我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为（a1x c1）（a2 x c2），其中a1，c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×（－3）；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×（－3）+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为（x+2）（x-3） 请仿照上面的方法,解答下列问题： （1）分解因式：x2+6x-27＝________；= ；（2）若x2+px+8分解为两个一次因式的积,则整数的所有可能值是_____；（探究与拓展）对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图③，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b，pk qj e，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并挑战下列问题：（3）分解因式= ．31．(2023·重庆市育才中学八年级期中）阅读下列村料：由整式的乘法运算知：．由于我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可知可把中的看作是未知数，，，，看作常数的二次三项式；通过观察，可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项”，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2．则．根据阅读材料解决下列问题：（1）用十字相乘法因式分解：；（2）用十字相乘法因式分解：；（3）已知，若、均为整数，则满足条件的整数有几个？并说明理由．32．(2023·浙江杭州市·七年级其他模拟）阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时，换元法是一种常用的方法，下面是某同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．解：设原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______（填代号）．A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为_______．（3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解．（4）知识延伸：解一元高次方程的常用方法是因式分解法，即若“，则或”．解方程．33．(2023·信阳市商城思源实验学校八年级月考）分解因式（1）y2-8y+16 （2）b2（a-b）-4（a-b）（3）x2-y2-z2-2yz （4）5x2+17x-12 参考答案1．D【解析】试题分析：利用公式即可得答案．故答案选D．考点：利用公式进行因式分解．2．D【解析】x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-22=（x-3）（x+1）.故选D.点拨：本题先将x2-2x配方成完全平方式，再用公式法因式分解；本题也可以直接利用十字相乘法解答.3．A【解析】m3－m=m（m2－1）=m（m+1）（m－1），所以A选项正确；x2－x－6=（x－3）（x+2）所以B选项错误；2a2+ab+a=a（2a+b+1），所以C选项错误；x2－y2=（x+y）（x－y），所以D选项错误.故选A.点拨：因式分解的时候优先提取公因式，提取公因式以后若括号里面还能因式分解，则要继续因式分解，直到不能因式分解为止.4．A【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，即可得答案．【详解】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x+n）=4x2+(8+n)x+2n∴8+n=5,m=2n∴n=-3,m=-6故选A．【点拨】本题考查因式分解的意义，解题的关键是由十字相乘法因式分解，由因式分解得出m的值．5．C【分析】根据十字相乘法分解因式、分式的运算逐项判断即可．【详解】A、，此项错误B、，此项错误C、，此项正确D、，此项错误故选：C．【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式、分式的运算，掌握各运算法则是解题关键．6．C【解析】【分析】因式分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，确定出b与c的值，即可求出所求．【详解】解：根据题意得：2x2-bx+c=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6，可得b=4，c=-6，则b+c=4+（-6）=-2，故选：C．【点拨】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．7．A【分析】首先利用十字交乘法将因式分解，继而求得，的值．【详解】解：利用十字交乘法将因式分解，可得：．，，．故选：A．【点拨】本题考查十字相乘法分解因式的知识．注意型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数分解成两个因数，的积，把常数项分解成两个因数，的积，并使正好是一次项，那么可以直接写成结果：．8．D【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知： ，．【详解】∵多项式分解因式的结果是， ∴，， ∴，． 故选：D．【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式，型的式子的因式分解．这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：．9．B【分析】根据提公因式分解因式可得出A错误；根据完全平方公式可得B正确；根据平方差公式可得C错误；根据十字相乘法可判断D错误．【详解】A、，故此选项错误；B、，故此选项正确；C、，故此选项错误；D、，故此选项错误．故选：B【点拨】本题主要考查了因式分解，要灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要提取公因式，再考虑运用公式法分解．10．D【分析】将原式利用十字相乘法分解即可．【详解】用十字相乘法可得x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9），故选：D．【点拨】此题考察了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．11．C【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点解答．【详解】解：由x2-4x-m=（x-5）（x-n），得：-5-n=-4，（-5）（-n）=-m 所以n=-1，m=5． 故选：C．【点拨】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．12．D【分析】利用因式分解与整式乘法的恒等关系计算解答即可．【详解】∵多项式因式分解后有一个因式为， ∴设另一个因式是，即＝＝， 则，解得：， 故答案为：D．【点拨】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．【分析】根据公式法分解因式即可.【详解】解：原式=，故答案为：.【点拨】本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的公式法是解决本题的关键.14．11【分析】首先利用十字相乘法将x2+11x﹣12因式分解，继而求得a，c的值．【详解】解：利用十字相乘法将x2+11x﹣12因式分解， 可得：x2+11x﹣12=(x+12)( x−1), ∴a=12，c=−1， ∴a+c=11． 故答案为11．【点拨】此题考查了十字相乘法分解因式的知识，正确的用十字相乘法进行因式分解是解决问题的关键.15．7； 12 【分析】将右式展开，与左式对应项相等，即可求得a、b的值．【详解】∵=+7x+12，∴=+7x+12，∴a=7，b=12，故答案为：7；12．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法并能灵活运用．16．【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．【详解】故答案为：．【点拨】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．17．（2x+1）（x﹣2）【分析】根据题中的方法将原式分解即可．【详解】解：原式＝（2x+1）（x﹣2），故答案为（2x+1）（x﹣2）【点拨】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．6．【分析】利用常数项分解为异号两数相乘的积，这两数的和就是a，求a出的不同的值，查出a个数即可【详解】解：∵-12=-1×12=1×（-12）=-2×6=6×（-2）=-3×4=3×（-4），显然a即为分解的两个数的和，即a的值为±11，±4，±1共6个．故答案为：6．【点拨】本题考查了十字相乘法分解因式，把常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和等于一次项系数是解题关键．19．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【详解】原式=（x-2）（x+5），故答案为：（x-2）（x+5）【点拨】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．20．1 ﹣2 【分析】先根据多项式的乘法法则计算(3x+2)(x－1)，合并后再与已知的多项式比较即得答案．【详解】解：(3x+2)(x－1)=3x2－3x+2x－2=3x2－x－2，因为=3x2－x－2，所以m=1，n=﹣2，故答案为：1，﹣2．【点拨】本题考查了多项式的乘法和因式分解，属于常考题型，明确题意、掌握求解的方法是解题的关键．21．【分析】先利用平方差公式将式子展开，再利用十字相乘法进行因式分解．【详解】解：原式==．故答案为．【点拨】本题考查了因式分解及多项式乘以多项式．熟练掌握十字相乘法是解题的关键．22．2（2x+1）(3x-7)【分析】先提取公因式2，再利用十字相乘法进行因式分解．【详解】12x2-22x-14＝2（6x2-11x-7）＝2（2x+1）（3x-7）．故答案为：2（2x+1）（3x-7）．【点拨】考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行两次因式分解，分解因式一定要彻底．23．7或2【分析】根据二次三项式的因式分解形式为，可知把-8分解为两个数的积，且使得这两个数的和等于-a，由此可以求出所有可能的a的值即可．【详解】根据二次三项式的因式分解形式为，∵(a为整数)在整数范围内可以分解因式，∴-8=-1×8=-8×1=-2×4=-4×2，∴-a=-1+8=7，或-a=-8+1=-7，或-a=-2+4=2，或-a=-4+2=-2，∴a=7或a=2，故答案为：7或2【点拨】本题考查了二次三项式的因式分解的形式，掌握二次三项式的因式分解的形式是解题的关键．24．【分析】利用十字相乘法即可对多项式进行因式分解．【详解】解：故答案为：．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法．25．（a+2）（a﹣3）【分析】利用十字相乘法分解即可．【详解】解：原式=（a+2）（a-3）． 故答案是：（a+2）（a-3）．【点拨】此题考查了利用十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．26．【分析】把和看成整体，利用十字相乘分解因式，再进行合并同类项即可求出答案．【详解】 ，故答案为：．【点拨】本题考查了多项式的因式分解中的十字相乘法，把和看成整体，利用十字相乘分解因式是解决本题的关键．27． 7 3 【分析】利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：，，故答案为：；7，3．【点拨】本题考查十字相乘法分解因式，解答的关键是要注意观察、尝试，准确找到a、b进而解决问题，必要时可利用多项式的进行乘法验证．28．4（x+2）（x﹣2） （x﹣1）（x+2） 【分析】根据提公因式法及平方差公式和因式分解法分解因式即可.【详解】解：4x2﹣16＝4（x2﹣4）＝4（x+2）（x﹣2）；x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．故答案为：4（x+2）（x﹣2）；（x﹣1）（x+2）.【点拨】此题考查因式分解的方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键.29．【分析】先把当成一个整体分解一次，再利用平方差公式继续分解因式.【详解】故答案为【点拨】本题考查实数范围内分解因式，实数范围内分解因式主要利用把一个整数写成平方形式再进行分解因式.30．（1）（x+9）（x-3），（x-1）（2x+7）；（2）±9，±6；（3）（x+2y-1）（3x-y+4）．【分析】（1）根据题述中的方法因式分解即可；（2）将8写成两个整数乘积的形式，据此可得整数的所有可能值；（3）根据题述中方法因式分解即可．【详解】（1）如下图， 因为1×（－3）+1×9= 6所以x2+6x-27═（x+9）（x-3），如下图因为1×7+2×（-1）= 5，所以2x2+5x-7 = （x-1）(2x+7)故答案为：（x+9）（x-3），（x-1）(2x+7)；（2）∵8=1×8；-8=-8×（-1）；-8=-2×（-4）；-8=-4×（-2），则p的可能值为-1+（-8）=-9；8+1=9；-2+（-4）=-6；4+2=6．∴整数p的所有可能值是±9，±6，故答案为±9，±6；（探究与拓展）（3）如下图因为1×（-1）+3×2=5, 2×4+(-1)×(-1)=9, 1×4+3×(-1)=1,所以3x2 5xy 2y2 x 9y 4 (x+2y-1)(3x-y+4)．【点拨】本题考查利用十字相乘法因式分解．能读懂题意，模仿题述方法因式分解是解题关键．31．（1）；（2）；（3），8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195，共13个．理由见解析．【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；（2）原式先利用十字相乘法分解因式，再提公因式和平方差公式分解因式即可；（3）先把右边的两个因式相乘，根据左右各对应项的系数相等即可求得n的值．【详解】（1）（2）（3）∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∵、均为整数，∴为整数，∴，8，15，24，35，48，63，80，99，120，143，168，195，共13个．【点拨】本题主要考查了因式分解-十字相乘法、提公因式和平方差公式分解因式，理解十字相乘的方法是解答的关键．32．（1）；（2）；（3）；（4）或或或【分析】（1）由 运用的是两数和的完全平方公式，从而可得答案；（2）由 从而可得最后的答案；（3）设设 可得 ，再利用完全平方公式分解，再把代入可得答案；（4）由可得：利用，则或，从而可得答案．【详解】解：（1）由 运用的是两数和的完全平方公式，故答案为： （2）故答案为： （3）设 （4） ， 或或或，或或或【点拨】本题考查的是换元法分解因式，因式分解法解高次方程，掌握换元法分解因式及利用因式分解法解高次方程是解题的关键．33．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式（a-b），再运用平方差公式进行因式分解即可；（3）原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可；（4）直接运用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：（1）y2-8y+16 =；（2）b2（a-b）-4（a-b）=；= （3）x2-y2-z2-2yz； ==；= （4）5x2+17x-12=．【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．
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