统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业13直线与圆文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业13直线与圆文，共7页。

A．2ax＋by－1＝0
B．2ax＋by－3＝0
C．2ax＋2by－1＝0
D．2ax＋2by－3＝0
2．[2023·安徽省合肥市高三二模]在平面直角坐标系xOy中，对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x2－x1＝y2－y1，则称点A和点B互为等差点．已知点Q是圆x2＋y2＝4上一点，若直线x＝2eq \r(2)上存在点Q的等差点P，则|OP|的取值范围为( )
A．[2eq \r(2)，4eq \r(2)] B．[eq \r(10)，2eq \r(10)]
C．[2eq \r(2)，2eq \r(10)] D．[2eq \r(2)，8]
3．[2023·宁夏银川一中、昆明一中高三联考]已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹( )
A.是圆B．是椭圆
C．是抛物线D．不是平面图形
4．[2023·宁夏回族自治区银川一中高三二模]直线kx＋y－1＋4k＝0(k∈R)与圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的位置关系为( )
A．相离B．相切
C．相交D．不能确定
5．[2023·江西省鹰潭市高三二模]已知直线l：y＝kx－k＋2和圆M：x2＋y2－2x＝0满足对直线l上任意一点P，在圆M上存在点Q，使得eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝0，则实数k的取值范围是( )
A．{k|k≥eq \r(3)}
B．{k|－eq \r(3)≤k≤eq \r(3)}
C．{k|k≥2eq \r(3)}
D．{k|－2eq \r(3)≤k≤2eq \r(3)}
6．[2023·甘肃省高三二模]已知A1，A2是双曲线x2－y2＝2的左、右顶点，P为双曲线上除A1，A2以外的任意一点，若坐标原点O到直线PA1，PA2的距离分别为d1，d2，则d1·d2的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，1]
C．(0，eq \r(2)) D．(0，eq \r(2)]
7．[2023·广东江门]已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))的取值范围是( )
A．[eq \r(3)－1，2eq \r(3)＋1]
B．[eq \r(2)－1，3eq \r(2)＋1]
C．[eq \r(2)－1，2eq \r(2)＋1]
D．[eq \r(2)－1，3eq \r(3)＋1]
8．[2023·江西省重点中学协作体高三联考]费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，则F(x，y)＝eq \r(（x－2\r(3)）2＋y2)＋eq \r(（x＋1－\r(3)）2＋（y－1＋\r(3)）2)＋eq \r(x2＋（y－2）2)的最小值为( )
A．4B．2＋2eq \r(3)
C．3＋2eq \r(3)D．4＋2eq \r(3)
9．[2023·黑龙江省齐齐哈尔市高三二模]在平面直角坐标系xOy中，角α，β的终边与单位圆的交点分别为A，B，若直线AB的倾斜角为eq \f(π,6)，则cs (α＋β)＝________．
10．[2023·江西省赣州市高三二模]曲线f(x)＝ex＋sinx在点(0，1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
11．[2023·安徽省九师联盟二模]已知函数f(x)＝lgax＋x2－1(a>0且a≠1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，则a＝________．
12．[2023·江西省九江十校高三联考]已知⊙O：x2＋y2＝4，⊙C与一条坐标轴相切，圆心在直线x－y＋7＝0上．若⊙C与⊙O相切，则⊙C的一个方程为________________．
13.[2023·安徽省合肥市高三检测]已知AB为圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝3的一条弦，M为线段AB的中点．若|CM|2＋|OM|2＝3(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是________．
14．[2023·东北三省四市高三一模]在平面直角坐标系中，P为圆x2＋y2＝16上的动点，定点A(－3，2).现将y轴左侧半圆所在坐标平面沿y轴翻折，与y轴右侧半圆所在平面成eq \f(2π,3)的二面角，使点A翻折至A′，P仍在右侧半圆和折起的左侧半圆上运动，则A′，P两点间距离的取值范围是( )
A．[eq \r(13)，3eq \r(5)] B．[4－eq \r(13)，7]
C．[4－eq \r(13)，3eq \r(5)] D．[eq \r(13)，7]
课时作业13 直线与圆
1．解析：将两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即2ax＋2by－a2－b2＝0，因为圆C1的圆心为（0，0），半径为1，且公共弦AB的长为1，则C1（0，0）到直线2ax＋2by－a2－b2＝0的距离为eq \f(\r(3),2)，所以eq \f(|a2＋b2|,\r(4（a2＋b2）))＝eq \f(\r(3),2)，解得a2＋b2＝3，所以直线AB的方程为2ax＋2by－3＝0，故选D.
答案：D
2．解析：由题意设P（2eq \r(2)，t），Q（x，y），
由题意知y－t＝x－2eq \r(2)，则t＝y－x＋2eq \r(2)，
由于点Q是圆x2＋y2＝4上一点，
故令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2csθ,y＝2sinθ))，θ∈[0，2π），
则t＝2sinθ－2csθ＋2eq \r(2)＝2eq \r(2)sin（θ－eq \f(π,4)）＋2eq \r(2)，
由于θ－eq \f(π,4)∈[－eq \f(π,4)，eq \f(7π,4)），故t∈[0，4eq \r(2)]，则t2∈[0，32]，
故|OP|＝eq \r(（2\r(2)）2＋t2)＝eq \r(8＋t2)∈[2eq \r(2)，2eq \r(10)]，故选C.
答案：C
3．解析：
设定圆圆心为O，半径为r，连接OH，设直径为BD，连接AD，CD，∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵BD为直径，∴BC⊥CD，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又BH⊂平面ABC，∴CD⊥BH，又BH⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD⊂平面ACD，∴BH⊥平面ACD，DH⊂平面ACD，∴BH⊥DH，在Rt△BDH中，OH＝OB＝OD＝r，则点H的轨迹是以O为圆心，r为半径的圆．故选A.
答案：A
4．解析：由直线kx＋y－1＋4k＝0得k（x＋4）＋y－1＝0，令x＋4＝0，y－1＝0，得x＝－4，y＝1，故直线kx＋y－1＋4k＝0（k∈R）恒过点（－4，1），又（－4＋1）2＋（1＋2）2＝18<25，即点（－4，1）在圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25内，故直线kx＋y－1＋4k＝0（k∈R）与圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝25的位置关系为相交．故选C.
答案：C
5．解析：圆M的标准方程为（x－1）2＋y2＝1，圆心为M（1，0），半径为1，因为对直线l上任意一点P，在圆M上存在点Q，使得eq \(PQ,\s\up6(→))·eq \(MQ,\s\up6(→))＝0，所以直线l与圆M相切或相离，则eq \f(|k－k＋2|,\r(1＋k2))≥1，解得－eq \r(3)≤k≤eq \r(3).故选B.
答案：B
6．解析：由题意可知A1（－eq \r(2)，0），A2（eq \r(2)，0），设P（x，y），则kPA1·kPA2＝eq \f(y,x＋\r(2))·eq \f(y,x－\r(2))＝eq \f(y2,x2－2)＝1，设kPA1＝k（k≠0，且k≠±1），则kPA2＝eq \f(1,k)，故直线PA1的方程为kx－y＋eq \r(2)k＝0，直线PA2的方程为x－ky－eq \r(2)＝0，原点到两直线的距离分别为d1＝eq \f(\r(2)|k|,\r(1＋k2))，d2＝eq \f(\r(2),\r(1＋k2))，所以d1·d2＝eq \f(2|k|,1＋k2)≤eq \f(2|k|,2|k|)＝1，当且仅当k＝±1时，“＝”成立，但此时两直线平行，这是不可能的，等号不能成立，所以0答案：A
7．解析：依题意，直线l1：m（x－3）－n（y－1）＝0恒过定点A（3，1），直线l2：n（x－1）＋m（y－3）＝0恒过定点B（1，3），
显然直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2的交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为（x－2）2＋（y－2）2＝2，圆心N（2，2），半径r2＝eq \r(2)，而圆C的圆心C（0，0），半径r1＝1，如图：
|NC|＝2eq \r(2)>r1＋r2，两圆外离，由圆的几何性质得：
|PM|min＝|NC|－r1－r2＝eq \r(2)－1，|PM|max＝|NC|＋r1＋r2＝3eq \r(2)＋1，
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PM))的取值范围是[eq \r(2)－1，3eq \r(2)＋1].故选B.
答案：B
8．解析：由题意得：F（x，y）的几何意义为点E到点A（2eq \r(3)，0），B（eq \r(3)－1，1－eq \r(3)），C（0，2）的距离之和的最小值，
因为|AB|＝eq \r(（\r(3)＋1）2＋（\r(3)－1）2)＝2eq \r(2)，
|CB|＝eq \r(（\r(3)－1）2＋（－\r(3)－1）2)＝2eq \r(2)，
|AC|＝eq \r(4＋12)＝4，
所以|AB|2＋|CB|2＝|AC|2，故△ABC为等腰直角三角形，
取AC的中点D，连接BD，与AO交于点E，连接CE，
故|BD|＝eq \f(1,2)|AC|＝2，|AE|＝|CE|，
因为eq \f(|CO|,|AO|)＝eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，所以∠CAO＝30°，故∠AEC＝120°，则∠BEC＝∠AEB＝120°，
故点E到三角形三个顶点距离之和最小，即F（x，y）取得最小值，
因为|AD|＝|CD|＝eq \f(1,2)|AC|＝2，所以|AE|＝eq \f(|AD|,cs30°)＝eq \f(4\r(3),3)，
同理得：|CE|＝eq \f(4\r(3),3)，|DE|＝eq \f(2\r(3),3)，
|BE|＝|BD|－|DE|＝2－eq \f(2\r(3),3)，
故F（x，y）的最小值为|AE|＋|CE|＋|BE|＝eq \f(4\r(3),3)＋eq \f(4\r(3),3)＋2－eq \f(2\r(3),3)＝2＋2eq \r(3).故选B.
答案：B
9．解析：由题意得，点A（csα，sinα），B（csβ，sinβ），
所以直线AB的斜率kAB＝eq \f(sinα－sinβ,csα－csβ)＝taneq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，
所以eq \r(3)sinα－csα＝eq \r(3)sinβ－csβ，
即sin（α－eq \f(π,6)）＝sin（β－eq \f(π,6)），
所以α－eq \f(π,6)＝β－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z或者α－eq \f(π,6)＋β－eq \f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z，
当α－eq \f(π,6)＝β－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z时，可得α＝β＋2kπ，k∈Z，此时A，B点重合，不合题意，
当α－eq \f(π,6)＋β－eq \f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z时，
即α＋β＝eq \f(4π,3)＋2kπ，k∈Z，
可得cs（α＋β）＝cseq \f(4π,3)＝－eq \f(1,2).
答案：－eq \f(1,2)
10．解析：f′（x）＝ex＋csx，故f′（0）＝e0＋cs0＝2，故f（x）＝ex＋sinx在点（0，1）处的切线方程为y－1＝2x，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝－eq \f(1,2)，所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
11．解析：因为f（x）＝lgax＋x2－1（a>0且a≠1），则f′（x）＝eq \f(1,xlna)＋2x，因为直线x＋3y－2＝0的斜率为－eq \f(1,3)，又因为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，所以f′（1）＝eq \f(1,lna)＋2＝3，解得a＝e.
答案：e
12．解析：由已知可得，⊙O：x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径R＝2，
所以点O（0，0）到直线x－y＋7＝0的距离d＝eq \f(7,\r(2))＝eq \f(7\r(2),2)>2，
所以，直线与圆相离，所以⊙C的圆心在⊙O的外面．
当⊙C与x轴相切时，设⊙C的圆心C（a，a＋7），则⊙C的半径r1＝|a＋7|.
因为⊙C与⊙O相切，且C在⊙O的外面，所以两圆外切．
所以|OC|＝R＋r1，即eq \r(a2＋（a＋7）2)＝2＋|a＋7|，
整理可得，a2＝4＋4|a＋7|.
若a≤－7，整理可得a2＋4a＋24＝0无解，所以a>－7，
所以a2－4a－32＝0，解得a＝－4或a＝8，
所以⊙C方程为（x＋4）2＋（y－3）2＝9或（x－8）2＋（y－15）2＝225；
当⊙C与y轴相切时，设圆心C（a，a＋7），则⊙C的半径r2＝|a|.
由两圆外切可得，|OC|＝R＋r2，
即eq \r(a2＋（a＋7）2)＝2＋|a|，
整理可得a2＋14a＋49＝4＋4|a|，则a<0，
所以有a2＋18a＋45＝0，
解得a＝－3或a＝－15，
所以⊙C方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝9或（x＋15）2＋（y＋8）2＝225.
答案：（x＋4）2＋（y－3）2＝9（答案不唯一）
13．解析：设M（x，y），因为圆C的圆心为C（2，m），
所以|CM|2＝（x－2）2＋（y－m）2，|OM|2＝x2＋y2，
所以CM2＋OM2＝（x－2）2＋（y－m）2＋x2＋y2＝2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2，
又因为CM2＋OM2＝3，
则2x2－4x＋4＋2y2－2my＋m2＝3，
所以x2－2x＋2＋y2－my＋eq \f(m2,2)＝eq \f(3,2)，
即x2－2x＋y2－my＝eq \f(3,2)－2－eq \f(m2,2)，
即（x－1）2＋（y－eq \f(m,2)）2＝eq \f(2－m2,4)≥0，2－m2≥0⇒－eq \r(2)≤m≤eq \r(2)，
当m＝eq \r(2)时，M表示点（1，eq \f(\r(2),2)），圆C：（x－2）2＋（y－eq \r(2)）2＝3，
因为M为线段AB的中点，所以M在圆内，即（1－2）2＋（eq \f(\r(2),2)－eq \r(2)）2＝eq \f(3,2)<3，满足题意；
当m＝－eq \r(2)时，M表示点（1，－eq \f(\r(2),2)），圆C：（x－2）2＋（y＋eq \r(2)）2＝3，
则（1－2）2＋（－eq \f(\r(2),2)＋eq \r(2)）2＝eq \f(3,2)<3，满足题意；
当－eq \r(2)且（1－2）2＋（eq \f(m,2)－m）2＝1＋eq \f(m2,4)<1＋eq \f(2,4)＝eq \f(3,2)<3，
所以圆T的圆心在圆C的内部，且圆T的半径eq \f(\r(2－m2),2)≤eq \f(\r(2),2)所以实数m的取值范围是[－eq \r(2)，eq \r(2)].
答案：[－eq \r(2)，eq \r(2)]
14．解析：设A所在平面为α，圆的另一半所在平面为β，
若P∈α，则P，A，O三点共线时，|PA|有最小值|P1A′|＝R－|OA′|＝4－eq \r(13)；当P在圆的下端点时，取到最大值|P2A′|＝eq \r(（－3－0）2＋（2＋4）2)＝eq \r(32＋62)＝3eq \r(5)，即|PA′|∈[4－eq \r(13)，3eq \r(5)]；
若P∈β，设P（4csα，4sinα），A′在β上的投影为A1，则A′到β面距离为|AA1|＝|－3|sineq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2)，
又A′到y轴的距离为3，∴A1到y轴的距离为eq \r(9－\f(27,4))＝eq \f(3,2)，
而A1到x轴的距离为2，
则|PA′|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)＋4csα))\s\up12(2)＋（2－4sinα）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \r(29＋20\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)csα－\f(4,5)sinα)))＝eq \r(29＋20sin（φ－α）)，
其中α∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，sinφ＝eq \f(3,5)，csφ＝eq \f(4,5)，
故|PA′|min＝eq \r(13)，当且仅当α＝－eq \f(π,2)时成立；
|PA′|max＝7，当且仅当α＝φ－eq \f(π,2)时成立；
即|PA′|∈[eq \r(13)，7]；
综上可得，|PA′|∈[4－eq \r(13)，7]，故选B.
答案：B
A基础达标
B素养提升