2024年中考数学压轴题专项练习—手拉手模型

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（1）如图1，当点在线段的延长线上时，请你判断线段与线段之间的关系，并证明你判断的结论．
（2）如图2，当点在线段上，且时，直接写出四边形的面积．
（3）点绕点逆时针转得到点，连接，，，当时，直接写出线段的长．
2．（2023•海淀区校级四模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点，的“中旋点”．
（1）如图1，已知点，点为点关于点，的“中旋点”．
①若点，在图中画出点，并直接写出的长度为 ；
②当点在上运动时，直线上存在点关于点，的“中旋点” ，求的取值范围；
（2）点，当点在上运动时，若上存在点关于点，的“中旋点” ，直接写出的取值范围．
3．（2023•黑龙江模拟）在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
4．（2023•霍邱县一模）如图1，等边中，点、分别在、上，且，连接、交于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，判断与的位置关系并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，的延长线交于，当时，请直接写出线段的长．
5．（2023春•莲池区校级期末）图中和是两个等边三角形，其中，，如图①，
（1）将两三角形按图1放置（点，，在同一条直线上），连接线段，，求线段的长；
（2）将绕点逆时针旋转，如图2所示，直线，相交于点，连接．求证：；
（3）以图1的位置为起点，将绕点逆时针旋转，当点，，恰好在一条直线上时，直接写出线段的长度．
6．（2023春•和平县期末）【问题提出】（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，、分别是底边，求证：；
【类比延伸】（2）如图2，与均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．填空：的度数为 ；线段与之间的数量关系为 ．
【拓展研究】（3）如图3，与均为等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，于点，连接．请求出的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由．
7．（2023•泰州）已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，、位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，若为圆内一点，且，，．求证：为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
8．（2023春•金牛区期末）在中，，点为直线上一动点，，．
（1）如图1，连接交于，，为中点，若，，求的长；
（2）如图2，延长至点使得，连接，．求证：．
（3）如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．
9．（2023•和平区三模）已知抛物线，，，是常数）的顶点为，与轴相交于点和点，与轴相交于点．
若，点坐标为，对称轴为直线，
①求点的坐标；
②将直线沿轴向下平移个单位长度，并且与抛物线总有公共点，求的取值范围；
若，点坐标为，对称轴为直线，在平面内有一个动点，当为何值时，的最小值是？
10．（2023春•鼓楼区校级期末）已知和都是等腰直角三角形，，连接，，点为中点．
（1）如图1，求证：；
（2）将绕点旋转到如图2所示的位置，连接，，过点作于点．
①探究和的关系，并说明理由；
②连接，求证：，，三点共线．
11．（2023春•天桥区期末）（1）如图1，是等边三角形，点为边上的一动点（点不与，重合），以为边在右侧作等边，连接，线段与的数量关系是 ， ．
（2）如图2，在中，，，点为上的一动点（点不与，重合），以为边作等腰直角三角形，，连接，请求解下列问题并说明理由：
①的度数；
②线段，，之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰直角，，连接，，若，，请直接写出的值．
12．（2023春•平遥县期中）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则．
初步把握如图2，与都是等腰三角形，，，且，则有 ．
深入研究如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，并连接，，求证：．
拓展延伸如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
13．（2023春•佛山期末）在等边中，，点是射线上一点，连接．
（1）如图1，当点在线段上时，在线段上取一点，使得，求证：；
（2）如图2，当点在延长线上时，将线段绕点逆时针旋转角度得到线段，连接，．
①当位于内部，且恰好被平分时，若，求的长度；
②如图3，当时，记线段与线段的交点为，猜想与的数量关系，并说明理由．
14．（2022秋•天山区校级期末）（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点、、在同一条直线上，连接．
①的度数为 ；
②线段、之间的数量关系为 ；
（2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点、、在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点、，在同一条直线上，请直接写出的度数．
15．（2023春•巴南区期中）在矩形中，是边上一点．
（1）若，平分，且，求的面积；
（2）若是中点且，于点，求证：；
（3）若，于点，连接并反向延长至点使得．点在直线上方，连接、，，，请探究并请直接写出与的数量关系．
16．（2023春•锦江区校级期中）在中，，，，将绕着点顺时针旋转，得到．
（1）如图①，当点落在边上时，连接，求的长；
（2）如图②，连接，直线与交于点，求证：点是的中点；
（3）在（2）的条件下，点为中点，连接，在旋转的过程中，当时，则的值为多少？请直接写出答案．
17．（2023春•靖江市校级月考）如图，，，，、、满足．点是轴上的一个动点，点是的中点，在中，，．
（1）则、、三点的坐标分别为： ， ， ；
（2）如图①，当点在线段上或其延长线上时，若，求点的坐标；
（3）如图②，当点在线段的反向延长线上运动，连接．若，的值在变化，求点运动路径的长度．
18．（2023•天宁区校级模拟）在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内．
（1）如图1，．
①若是以为斜边的直角三角形，且．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点的坐标： ；
②若是等边三角形．求点的坐标；
（2）如图2，是等边三角形，点在以，为圆心，半径为的圆上．若存在两个满足条件，求的取值范围．
19．（2023春•将乐县校级期中）如图，等腰三角形和等腰三角形，其中，．
（1）如图1，若，当、、共线时，的延长线交于点，则 ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若点是的中点，，证明：；
（3）如图3，延长到点，连接，使得，延长、交于点，连接，若，请写出、之间的数量关系，并写出证明过程．
20．（2023•酒泉一模）（1）感知：如图①，四边形和均为正方形，与的数量关系为 ；
（2）拓展：如图②，四边形和均为菱形，且，请判断与的数量关系，并说明理由；
（3）应用：如图③，四边形和均为菱形，点在边上，点在延长线上．若，，的面积为8，求菱形的面积．