上海市静安区市北初级中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、单项选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可．
【详解】A 、方程左边不是整式，故此选项错误；
B、是一元二次方程，此选项正确；
C、含有两个未知数，故此选项错误；
D、方程左边不是整式，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程的定义，特别是一元二次方程属于整式方程是解决本题的关键．
2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将方程常数项移到右边，未知项移到左边，然后两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】，
整理得：x2−4x＝3，
配方得：x2−4x＋4＝4+3，即．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解．
3. 函数中自变量的取值范围是（ ）.
A B. C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】由题意得，x﹣2≥0且x≠0， ∴x≥2．
故选B
4. 若正比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质结合题意即可知，所以．
【详解】根据题意图象经过第二、四象限，可知，即．
故选：D．
【点睛】本题考查正比例函数的性质．掌握“正比例函数，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”．
5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行B. 若，则
C 对顶角相等D. 若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握判断命题的真假的方法是关键．先写出各个命题的逆命题，再判断即可．
【详解】解： A、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题；
B、若，则逆命题是若，则，
∵，
∴，
∴逆命题是假命题；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题；
D、若，，则的逆命题是若，则，，
∵，
∴不一定大于0，且，也可以，
∴逆命题是假命题；
故选：A．
6. 如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的面积得出DE的长，进而利用角平分线的性质解答即可．
【详解】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB=6，
∴DE=＝3，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DE=3，
∴DP≥3，
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，共24分）
7. 计算：（）2+1=___．
【答案】4
【解析】
【分析】先乘方，再加法．
【详解】解：原式=3+1=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握()2=a（a0）是解决本题的关键．
8. 一元二次方程有两个_______实根（填“相等”或“不等”）．
【答案】不等
【解析】
【分析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用根的判别式进得判断即可．
【详解】解：∵，
∴
该方程有两个不相等的实数根．
故答案为：不等
9. 方程的根为______．
【答案】
【解析】
【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是本题的关键．
【详解】解：，
，
或,
解得，
故答案为： ．
10. 如果函数是正比例函数，那么的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据自变量的次数为1，系数不等于0求解即可；
【详解】解：∵函数是正比例函数，
∴m2-1=1，且，
解得
m=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，其中k叫做比例系数．
11. 如果反比例函数的图象经过点，那么在这个函数图象所在的每个象限内，的值随的值增大而__________．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】先求出k的值，再根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k=5×(-2)=-10<0，
∴函数图象分布在二、四象限，在每个象限内，的值随的值增大而增大．
故答案为：增大．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，k≠0)的图象是双曲线，当k＞0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 k＜0，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
12. 某商店今年7月份的销售额是50万元，9月份的销售额是72万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是__________．
【答案】20％
【解析】
【分析】设该店销售额平均每月的增长率为，则月销售额是万元，月份的销售额是万元，从而可得方程：，解方程可得答案．
【详解】解：设该店销售额平均每月的增长率为，则


或
或
经检验：不合题意，舍去，取
所以该店销售额平均每月的增长率是
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．
13. 到点的距离等于8厘米的点的轨迹是__．
【答案】以点为圆心，8厘米长为半径的圆
【解析】
【分析】由题意直接根据圆的定义进行分析即可解答．
【详解】到点距离等于8厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆．
故答案为：以点为圆心，8厘米长为半径的圆．
【点睛】本题主要考查了圆定义，正确理解定义是关键，注意掌握圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合．
14. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：斜边长，
∴斜边上中线的长是，
故答案为：5．
15. 已知一个三角形三边的长分别为，则这个三角形的面积是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断这是一个直角三角形，再结合面积公式求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，
∴其面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及二次根式的乘法法则，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
16. 如图，垂直平分垂直平分，若∠，则_______度．
【答案】40
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，进而得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
故答案为：40．
17. 如图，在中，，，，平分，，垂足为，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理可得，再根据角平分线的性质可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得，设，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】在中，，，，
，
平分，，
，
在和中，，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
18. 如图，点P（a，a）是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边△PAB，使A、B落在x轴上(点A在点B左侧)，则△POA的面积是___________.
【答案】.
【解析】
【详解】如图，过点P作PH⊥OA于点H，
∵点P（a，a）是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，
∴16=a2，且a＞0，解得，a=4. ∴PH=OH=4.
∵△PAB是等边三角形，∴∠PAH=60°.
∴根据锐角三角函数，得AH=. ∴OA=4﹣AD=.
∴S△POA=OA•PH=××4=.
考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数定义；1.特殊角的三角函数值.
三、简答题（本大题共4小题，每题4分，共16分）
19. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用二次根式的乘除法则，再化为最简式并合并同类二次根式即可．
【详解】原式，
，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的乘除法则是解答本题的关键．
20. 用公式法解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可．
【详解】解：，
，
，
则，
∴原方程的根为.
21. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法解方程即可
【详解】解：
∴
∴
∴或
∴
【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22. 已知：如图，，点在上．
（1）求作线段的垂直平分线，交于点；
（2）连结，求作的角平分线．（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
（1）根据作已知线段垂直平分线的作法，即可求解；
（2）根据作已知角的平分线的作法，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，就是所求作的直线，
【小问2详解】
解：如图，就是所求作的射线，
四、解答题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
23. 已知：如图，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD=BC
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD进而得出答案．
详解】证明：如图，连接CD，
∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，
在Rt△ADC和Rt△BCD中
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴AD=BC．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
24. 小明同学骑自行车从家里出发依次去甲、乙两个景点游玩，他离家的距离与所用的时间之间的函数图像如图所示：
（1）甲景点与乙景点相距___________千米，乙景点与小明家距离是___________千米；
（2）当时，y与x的函数关系式是___________；
（3）小明在游玩途中，停留所用时间为___________小时，在6小时内共骑行___________千米．
【答案】（1）6，12；（2）y=6x；（3）3，24
【解析】
【分析】（1）根据函数图像，直接得到答案即可；
（2）根据待定系数法，即可求解；
（3）根据函数图像，直接得到答案即可．
【详解】（1）由图像可知：当3≤x≤4时，小明从甲景点到乙景点，所以甲景点与乙景点相距6千米，当5≤x≤6时，小明从乙景点到家，所以乙景点与小明家距离是12千米，
故答案是：6，12；
（2）当时，y是x的正比例函数，设y=kx，
把A（1，6）代入y=kx，得6=k，所以y与x的函数关系式是y=6x，
故答案是：y=6x；
（3）由图像得，当1≤x≤3时，小明在甲景点玩，当4≤x≤5时，小明在乙景点玩，所以小明在游玩途中，停留所用时间为3小时；小明从家到甲景点6千米，小明从甲景点到乙景点6千米，乙景点与小明家距离是12千米，所以在6小时内共骑行24千米，
故答案是：3，24
【点睛】本题主要考查函数图像，理解函数图象上点得坐标的实际意义，是解题的关键．
25. 如图，点A，B在反比例函数的图像上，A点坐标，B点坐标．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点B作轴，垂足为点C，联结AC，当时，求点B的坐标．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）把A点坐标代入函数解析式即可求出反比例函数解析式；
（2）△ABC中，BC=m，根据三角形的面积即可求得m的值，代入反比例函数解析式即可求得B点坐标．
【详解】解：（1）把点A(1，6)代入反比例函数中得：
，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）∵，
∴，
∵反比例函数的图像经过点;
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴B点坐标为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在坐标系中，求线段的长度可以转化为求点的坐标．
26. 某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过人，那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过人，则这个团队除了需交200元入园费外，超过部分游客还要按每人元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：
根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的人是多少？
【答案】50
【解析】
【分析】先根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费＋超出的部分的费用列出方程，解得，，再根据旅游团队2的数据可知a≥45，由此可求得a的值．
【详解】解：由题意可得：
，
解得，，
由旅游团队2的数据可知a≥45，
∴a=50，
答：某旅游园区对团队入园购票规定的人是50人．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据旅游团队1的入园费用等于200元入园费＋超出的部分的费用列出方程是解决本题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，第27题10分，第28题12分，共22分）
27. 如下图，在平面直角坐标系内，函数和交于两点，已知.
（1）求这两个函数的解析式，并直接写出点的坐标；
（2）点在轴上，且时，求点的坐标.
【答案】（1）, ，点的坐标是；（2）或
【解析】
【分析】（1）将点A的坐标分别代入两个解析式中，即可求得解析式，由反比例函数的对称性即可得到点B的坐标；
（2）设点的坐标为，由得到三边的关系，由此用勾股定理求出c的值即可得到点C的坐标.
【详解】（1）由题意得，得，
∴这两个函数解析式分别为, ，
∵与 交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称，
∴点的坐标是
（2）设点的坐标为，作AE⊥x轴，BF⊥y轴，BG⊥AE交AE的延长线于G，
∵，
∴
∵
∴,
,
,
∴，
解得
∴点的坐标是或
【点睛】此题是一次函数与反比例函数结合题，考查待定系数法求解析式，勾股定理在函数图形中的运用，（2）用勾股定理解决问题是难点.
28. 已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．
（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
【答案】（1）①见详解；②；（2）BE=8或12-4．
【解析】
【分析】（1）①先证明∆AGF≅∆AGE，从而得AD垂直平分FE，根据中垂线的性质，即可得到结论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上时，（b）当点F在AC的延长线上时，分别求出y与x之间的函数解析式，即可；
（2）分三种情况：①当∠AFD是顶角，即FA=FD时，②当∠FAD是顶角，即FA=DA时，③当∠ADF是顶角，即DF=DA时，分别求解，即可．
【详解】（1）①∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分，
∴∠FAG=∠EAG，
∵，
∴∠AGF=∠AGE=90°，
又∵AG=AG，
∴∆AGF≅∆AGE，
∴FG=EG，
∴AD垂直平分FE，
∴DE=DF；
②∵在中，，，，
∴AB=2AC=12，
（a）当点F在线段AC上时，如图，
∵，，
∴AE=12-x，
∵∆AGF≅∆AGE，
∴AF=AE=12-x，
∴y=6-(12-x)=x-6，
∵0＜AF≤6，
∴0＜12-x≤6，
∴6≤x＜12；
（b）当点F在AC的延长线上时，如图，
∵，，
∴AF=AE=12-x，
∴y=12-x-6=6-x，
∵6＜AF，
∴6＜12-x，
∴0＜x＜6；
综上所述：y与x之间的函数解析式为：；
（2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图
∵，
∴AF=FD=6-y，
∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，
∴∠FDG=∠FAG=30°，
∵∠C=90°，∠ADC=90°-30°=60°，
∴∠CDF=30°，
∴DF=2CF，
∴6-y=2y，解得：y=2，
∴AF=6-2=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4=8；
②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图，
∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，
∴AD=2CD=2×（6÷）=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4；
③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图，
∵DC⊥AF，
∴CF=CA=6，
∴AF=12，
∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去，
综上所述：BE=8或12-4．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，中垂线的性质以及函数解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论思想，是解题的关键．旅游团队名称
团队人数（人）
入园费用（元）
旅游团队1
80
350
旅游团队2
45
200