2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校高二（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线x+ 3y−2=0的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π6
2.在等差数列{an}中，a2+a6+a10=120，则a6=( )
A. 70B. 60C. 50D. 40
3.以点A(1,2)为圆心，两平行线x−y+1=0与2x−2y+7=0之间的距离为半径的圆的方程为( )
A. (x+1)²+(y+2)²=92B. (x−1)²+(y−2)²=258
C. (x+1)²+(y+2)²=258D. (x−1)²+(y−2)²=92
4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3=6，S9=15，则S12=( )
A. 16B. 18C. 20D. 22
5.两圆(x−2)2+(y+1)2=4与(x+2)2+(y−1)2=16的公切线有( )
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
6.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若f(x)=x3+3f′(1)x2+2x，则f′(2)=( )
A. 26B. 12C. 8D. 2
7.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是( )
A. OM=2OA+13OB−OCB. OM=3OA−2OB−2OC
C. OM=12OA+14OB+13OCD. OM=23OA+23OB−13OC
8.若存在k，b∈R，使得直线y=kx+b与y=lnx，y=x2+ax的图象均相切，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−1]B. (−∞,1]C. [−1,+∞)D. [1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列{an}中，a2=2，a6=32，则{an}的公比可能为( )
A. −1B. −2C. 2D. 4
10.关于双曲线x24−y26=1与双曲线x24+t−y26−t=1(−4A. 实轴长相等B. 离心率相等
C. 焦距相等D. 焦点到渐近线的距离相等
11.已知函数f(x)=lnxx，则( )
A. f(x)的极值点为(e,1e)B. f(x)的极大值为1e
C. f(x)的最大值为1eD. f(x)只有1个零点
12.已知抛物线C：x2=2py的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点( 2,12)在抛物线上．则( )
A. p=1
B. 当AB⊥y轴时，|AB|=4
C. 1|AF|+1|BF|为定值1
D. 若AF=2FB，则直线AB的斜率为± 24
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(2,1,0)，b=(−1,2,1)，且(ma+b)⊥(a+b)，则实数m= ______．
14.设两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和TTn，且SnTn=7n9n+4，则a3b3= ．
15.已知函数f(x)=ax2−xlnx，若f(x)在[e,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______．
16.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆左焦点F1的直线与椭圆C相交于P，Q两点，|QF2|=2|PF2|，cs∠PF2Q=14，则椭圆C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知点A(−2,2)，B(6,4)，H(5,2)，H是△ABC的垂心．
(1)求点C的坐标；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
18.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点(O为坐标原点)，求△OMN的面积．
19.(本小题12分)
在数列{an}中，已知a1=1，1an+1=2an+1．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn=(an+1)⋅an+1，求数列{cn}的前n项和Sn．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−3x2+ax−1．
(1)若f(x)的图像在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,0)，求x0；
(2)x1，x2为f(x)的极值点，若f(x1)+f(x2)>−2，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，一条渐近线的倾斜角为π6，点A(3,− 2)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若点M在直线x=32上，点N在双曲线C上，且焦点F在以线段MN为直径的圆上，分别记直线MN，ON的斜率为k1，k2，求k1k2的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2−x−aln(x+1)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a>0时，若m为函数f(x)的正零点，证明：m>2 a+1．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：直线x+ 3y−2=0，即为y=− 33x+2 33，
所以，tanα=− 33，α∈[0,π)，
所以α=5π6．
故选：D．
由一般式求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得直线的倾斜角．
本题考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：在等差数列{an}中，a2+a6+a10=120，
则3a6=120，解得a6=40．
故选：D．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵两平行线x−y+1=0与2x−2y+7=0之间的距离，
即两平行线2x−2y+2=0与2x−2y+7=0之间的距离为|7−2| 4+4=5 24，
∴以点A(1,2)为圆心，两平行线x−y+1=0与2x−2y+7=0之间的距离为半径的圆的方程为(x−1)2+(y−2)2=258，
故选：B．
由题意，利用两条平行直线间的距离公式，求得圆的半径，再根据圆的标准方程，得出结论．
本题主要考查两条平行直线间的距离公式，圆的标准方程，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9，⋅⋅⋅，成等差数列，
∵S3=6，S9=15，
∴2(S6−6)=6+15−S6，解得S6=11，
2(S9−S6)=8=5+S12−15=S12−10，解得S12=18．
故选：B．
根据已知条件，结合等差数列前n项和的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列前n项和的性质，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意，圆(x−2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,−1)，半径为2，
圆(x+2)2+(y−1)2=16的圆心为(−2,1)，半径为4，
圆心距d= 16+4=2 5，
由于4−2<2 5<4+2，则两圆相交，两圆的公切线只有2条．
故选：B．
根据题意，分析两圆的圆心和半径，可得两圆的位置关系，进而分析可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为f′(x)=3x2+6f′(1)x+2，所以f′(1)=3×12+6f′(1)×1+2，解得：f′(1)=−1，所以f′(2)=3×22+6×(−1)×2+2=2．
故选：D．
根据导数运算性质计算即可．
本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：当M，A，B，C共面时，不妨设AM=λAB+μAC，
变形得到OM−OA=λ(OB−OA)+μ(OC−OA)，
则OM=λOB−(λ+μ−1)OA+μOC，
设OM=xOA+yOB+zOC，若点M与点A，B，C共面，
则x+y+z=−λ−μ+1+λ+μ=1，
只有选项D中23+23+(−13)=1符合题意．
故选：D．
OM=xOA+yOB+zOC，分析出当M，A，B，C共面时，x+y+z=1，从而分析四个选项，得到正确答案．
本题考查空间向量的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：设y=lnx与y=x2+ax图象上的切点分别为(x1,lnx1)，(x2,x22+ax2)，
则过这两点处的切线方程分别为y=xx1+lnx1−1，y=(2x2+a)x−x22，
则1x1=2x2+a，lnx1−1=−x22，
∴a=ex22−1−2x2，
设f(x)=ex2−1−2x，则f′(x)=2(xex2−1−1)，
设g(x)=2(xex2−1−1)，则g′(x)=2(2x2+1)ex2−1>0，
∴g(x)=2(xex2−1−1)为单调递增函数，又g(1)=0，
可得x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∴a≥f(1)=−1，可得实数a的取值范围是[−1,+∞)．
故选：C．
设y=lnx，y=x2+ax图象上的切点分别为(x1,lnx1)，(x2,x22+ax2)，可得出过这两点处的切线方程，联立得a=ex22−1−2x2，构造函数f(x)=ex2−1−2x，利用导数判断出f(x)的单调性可得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为在等比数列{an}中，a2=2，a6=32，
设等比数列的公比为q，则q4=a1q5a1q=a6a2=16，所以q=±2．
故选：BC．
根据等比数列的通项即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：已知双曲线x24−y26=1与双曲线x24+t−y26−t=1(−4对于选项A，2a1=4，2a2=2 4+t，显然实轴长不相等，即选项A错误；
对于选项B，e1= 102，e2= 4+t+6−t 4+t= 10 4+t，显然离心率不相等，即选项B错误；
对于选项C，2c1=2 10，2c2=2 4+t+6−t=2 10，显然焦距相等，即选项C正确；
对于选项D，因为b1= 6，b2= 6−t，
由双曲线的性质可得双曲线x24−y26=1与双曲线x24+t−y26−t=1(−4又b1≠b2，
即焦点到渐近线的距离不相等，
即选项D错误，
故选：ABD．
由双曲线的性质，结合双曲线的离心率及渐近线求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的离心率及渐近线，属基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：∵函数f(x)=lnxx,x>0，∴f′(x)=1−lnxx2，
由f′(x)=1−lnxx2>0，得x∈(0,e)，由f′(x)<0，得x∈(e,+∞)，
∴函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
∴e是函数f(x)的极大值点，函数f(x)在x=e上取得极大值，f(e)=1e，
且为f(x)函数的最大值，故A错误，BC正确；
又因为f(1)=0，且当0当x>1时，f(x)=lnxx>0，故D正确．
故选：BCD．
利用导函数可得f′(x)=1−lnxx2，进而可求函数的极值，可判断ABC，利用对数函数的性质可判断D．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，最值与极值，函数的零点，属中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于A，将点( 2,12)代入抛物线方程，可得p=2，故A错误，
对于B，∵AB⊥y轴，
∴令y=1，则x=2或−2，
∴|AB|=2+2=4，故B正确，
对于C，设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+1，
联立方程x2=4yy=kx+1，化简整理可得，x2−4kx−4=0，
由韦达定理可得，x1+x2=4k，x1x2=−4，y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，y1y2=x12x2216=1，
由抛物线的定义可得，|AF|=y1+1，|BF|=y2+1，
故1|AF|+1|BF|=1y1+1+1y2+1=y1+y2+2y1y2+y1+y2+1=y1+y2+1y1+y2+1=1，故C正确，
对于D，∵AF=2FB，
∴(−x1,1−y1)=2(x2,y2−1)，即2x2=−x1，
∴x1+x2=4kx1x2=−42x2=−x1，解得k=± 24，故D正确．
故选：BCD．
对于A，将点( 2,12)代入抛物线方程，即可求解，对于B，由AB⊥y轴，令y=1，则x=2或−2，即可求解，对于C，设点A，B的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，直线AB的方程为y=kx+1，联立方程x2=4yy=kx+1，化简整理可得，x2−4kx−4=0，再结合韦达定理，以及抛物线的定义，即可求解，对于D，结合向量的坐标表示，以及韦达定理，即可求解．
本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
13.【答案】−65
【解析】解：a=(2,1,0)，b=(−1,2,1)，
则a+b=(2,1,0)+(−1,2,1)=(1,3,1)，
ma+b=m(2,1,0)+(−1,2,1)=(2m−1,m+2,1)，
因为(ma+b)⊥(a+b)，
所以(ma+b)⋅(a+b)=2m−1+3(m+2)+1=0，解得m=−65．
故答案为：−65．
根据已知条件，结合向量的坐标运算法则，以及向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，以及向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】57
【解析】解：由等差数列的性质和求和公式可得S5T5=2a32b3=7×59×5+4=57．
故答案为：57．
由等差数列的性质和求和公式可得．
本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
15.【答案】[1e,+∞)
【解析】解：由题意，f′(x)=2ax−(1+lnx)≥0在[e,+∞)上恒成立，
即2a≥1+lnxx在[e,+∞)上恒成立，令g(x)=1+lnxx(x≥e)，
g′(x)=−lnxx2<0在[e,+∞)上恒成立，所以g(x)在[e,+∞)上单调遵增，
g(x)max=g(e)=2e，所以2a≥2e，解得a≥1e，即实数a的取值范围是[1e,+∞)．
故答案为：[1e,+∞)．
由题意可得f′(x)=2ax−(1+lnx)≥0在[e,+∞)上恒成立，参变量分离可得2a≥1+lnxx在[e,+∞)上恒成立，令g(x)=1+lnxx(x≥e)，利用导数求出g(x)的最大值即可得a的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】 105
【解析】解：设|PF2|=m，由椭圆的定义及题意可得|PF1|=2a−m，|QF2|=2m，
|QF1|=2a−2m，|PQ|=|QF1|+|PF1|=4a−3m，
在△PQF2中，cs∠PF2Q=14，
由余弦定理可得：cs∠PF2Q=m2+(2m)2−(4a−3m)22⋅m⋅2m=14，
解得m=45a，
|PF1|=6a5，|PF2|=4a5，
所以|PQ|=8a5，|QF2|=8a5，则∠QPF2=∠PF2Q，
可得cs∠QPF2=cs∠PF2Q=14，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cs∠F1PF2=(45a)2+(65a)2−(2c)22⋅45a⋅65a=14，
整理可得：2a2=5c2，可得e=ca= 105．
故答案为： 105．
设|PF2|=m，由题意可得各线段的值，△PQF2中，由余弦定理可得m的值，进而可得|QP|=|QF2|，即∠QPF2=∠PF2Q，△PF1F2中，由余弦定理可得a，c的关系，进而求出该椭圆的离心率的大小．
本题考查椭圆的性质的应用及余弦定理的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵点A(−2,2)，B(6,4)，H(5,2)，H是△ABC的垂心，
∴kBH=4−26−5=2，
∴kAC=−12=−12，
∵直线AC过点A(−2,2)，
∴直线AC的方程为y−2=−12(x+2)，即x+2y−2=0，
∵kAH=0，
∴BC所在直线与x轴垂直，
∵B(6,4)，
∴直线BC的方程为x=6，
联立x=6x+2y−2=0，解得x=6，y=−2，
故点C的坐标为(6,−2)．
(2)设△ABC的外接圆的方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，
∵A(−2,2)，B(6,4)，C(6,−2)，
∴(−2−a)2+(2−b)2=r2(6−a)2+(4−b)2=r2(6−a)2+(−2−b)2=r2，解得a=52，b=1，r2=854，
故△ABC的外接圆的方程为(x−52)2+(y−1)2=854．
【解析】(1)根据已知条件，结合直线垂直的性质，依次求出直线AC，BC，通过联立方程组，即可求解．
(2)设出△ABC的外接圆的方程，将A(−2,2)，B(6,4)，C(6,−2)三点代入上式，即可求解．
本题主要考查圆的方程的求解，考查计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意得，2a=4a+c=3，
解得a=2，c=1，
所以b2=a2−c2=4−1=3，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
(2)由题意知，直线l的斜率为1，左焦点为(−1,0)，
所以直线l的方程为y=x+1，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=x+1x24+y23=1，得7x2+8x−8=0，
所以x1+x2=−87，x1x2=−87，
所以|MN|= 1+12⋅|x1−x2|= 2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 2⋅ (−87)2+4×87=247，
而O到直线MN的距离为d=1 2= 22，
故△OMN的面积S=12×247× 22=6 27．
【解析】(1)根据椭圆的几何性质，即可得解；
(2)联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理，结合弦长公式、点到直线的距离公式，求解即可．
本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握弦长公式，点到直线的距离公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为1an+1=2an+1，
所以1an+1+1=2(2an+1)，又1a1+1=2≠0，所以数列{1an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故1an=2n−1，
故：an=12n−1；
(2)由(1)可知，cn=(an+1)an+1=(12n−1+1)⋅12n+1−1=2n2n−1⋅12n+1−1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1；
所以Sn=12−1−122−1+122−1−123−1+...+12n−1−12n+1−1=1−12n+1−1．
【解析】(1)直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式；
(2)利用裂项相消法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=x3−3x2+ax−1，求导得f′(x)=3x2−6x+a，
于是函数f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)，
即y=(3x02−6x0+a)(x−x0)+x03−3x02+ax0−1，而切线过点(0,0)，
因此−2x03+3x02−1=0，整理得(x0−1)2(2x0+1)=0，解得x0=1或x0=−12，
∴x0=1或x0=−12．
(2)由(1)知，方程f′(x)=0，即3x2−6x+a=0有两个不等实根x1，x2，则Δ=36−12a>0，解得a<3，
且x1+x2=2x1x2=a3，于是f(x1)+f(x2)=(x13−3x12+ax1−1)+(x23−3x22+ax2−1)
=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)−3(x12+x22)+a(x1+x2)−2
=−(x12+x22)−2x1x2+2a−2=−(x1+x2)2+2a−2=2a−6，
由f(x1)+f(x2)>−2，得2a−6>−2，解得a>2，因此2∴实数a的取值范围是(2,3)．
【解析】(1)求出函数f(x)的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答．
(2)利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及切线方程、方程思想方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)易知双曲线C的渐近线为y=±bax，
根据题意可知ba= 339a2−2b2=1，
解之得a2=3，b2=1，
故双曲线C的标准方程为x23−y2=1；
(2)由(1)可知F(2,0)，设M(32,t),N(x0,y0)，显然x02−3y02−3=0，
由题意可知MF⊥NF，则MF⋅NF=(12,−t)⋅(2−x0,−y0)=1−12x0+ty0=0，
而k1=y0−tx0−32,k2=y0x0，
所以k1k2=y02−ty0x02−32x0=y02−12x0+13y02−32x0+3=13．
【解析】(1)利用双曲线的性质及点在双曲线上待定系数法求解即可；
(2)设M与N的坐标，利用两点斜率公式及F在以线段MN为直径的圆上，得出点坐标之间关系式结合N在双曲线上消元计算即可．
本题考查了根据双曲线过的点求标准方程，根据双曲线的渐近线求标准方程，双曲线中的定值问题，属于中档题．
22.【答案】(1)解：函数f(x)的定义域为(−1,+∞)，f′(x)=x−1−ax+1=x2−(1+a)x+1，
①当a+1≤0即a≤−1时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增，此时增区间为(−1,+∞)，没有减区间；
②当−1函数f(x)的减区间为(− a+1, a+1)，增区间为(−1,− a+1),( a+1,+∞)；
③当a≥0时，由 a+1≥1,− a+1≤−1可得：
函数f(x)的减区间为(−1, a+1)，增区间为( a+1,+∞)；
(2)证明：当a>0时，由f(0)=0及函数f(x)的减区间为(−1, a+1)，增区间为( a+1,+∞)，
可知m>2 a+1，等价于f(m)>f(2 a+1)，
又由f(m)=0，等价于证明f(2 a+1)<0，
又由f(2 a+1)=2(a+1)−2 a+1−aln(2 a+1+1)，
令t=2 a+1(t>2)，有a=t2−44，
可得f(t)=t22−t−t2−44ln(t+1)=t(t−2)2−(t+2)(t−2)4ln(t+1)
=14(t−2)[2t−(t+2)ln(t+1)]=14(t−2)(t+2)[2tt+2−ln(t+1)]，
令g(x)=2xx+2−ln(x+1)(x≥2)，
则g′(x)=4(x+2)2−1x+1=−x2(x+1)(x+2)2<0，
可得函数g(x)单调递减，则g(x)≤g(2)=1−ln3<0，
可得当t>2时，2tt+2−ln(t+1)<0，
故有f(2 a+1)<0，即m>2 a+1得证．
【解析】(1)求导，然后分a≤−1，−1(2)先由(1)中结论将不等式转化为f(m)>f(2 a+1)，然后可转化为f(2 a+1)<0，令t=2 a+1，可得f(t)=14(t−2)(t+2)[2tt+2−ln(t+1)]，构造函数g(x)=2xx+2−ln(x+1)(x≥2)，利用导数讨论单调性，由单调性可证．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的综合应用，属难题．