2023-2024学年江苏省盐城中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省盐城中学高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知空间向量a=(1,m,−2),b=(−2,1,4)，且a⊥b，则m=( )
A. −10B. −12C. 12D. 10
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(1)=t，Δx→0limf(1+Δx)−f(1)(1+Δx)−1=5−t，则实数t=( )
A. 2B. 5C. 52D. 12
3.已知数列{an}满足an+1=11−an，a1=−1，则a2024=( )
A. −1B. 12C. 2D. 1
4.如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA，BN=NC，则MN等于( )
A. 23a+23b+12cB. 12a+12b−12c
C. −23a+12b+12cD. 12a−23b+12c
5.若点P是曲线y=x2−lnx+1上任意一点，则点P到直线y=x−2的最小距离为( )
A. 1B. 22C. 2D. 3 22
6.已知圆C：(x−1)2+(y−1)2=2，点P是直线l：2x+y+2=0上的动点，PA是圆C的切线，A为切点，则PA⋅PC的最小值为( )
A. 3B. 3C. 5D. 5
7.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，若正实数x，y满足OD=xOA+2yOB−OC，则2x+yxy的最小值为( )
A. 52B. 92C. 2D. 4
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点，直线A1P交C的一条渐近线于点M，直线A2M，A2P的斜率分别为k1，k2，若k1+3k2=0，且A2M⊥A1P，则双曲线C的离心率为( )
A. 52B. 2 33C. 2 53D. 4 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a10>0，a1+a20<0，则( )
A. a1<0B. a11<0C. S10<0D. Sn的最大值为S10
10.已知曲线M：x2csθ+y2sinθ=1(0<θ<π)，则( )
A. M可能是两条平行的直线
B. M既不可能是抛物线，也不可能是圆
C. M不可能是焦点在y轴上的双曲线
D. 当0<θ<π2时，M是一个焦点在y轴上的椭圆
11.在空间直角坐标系O−xyz中，已知点A(2,0,0)，B(1,1,−2)，C(2,3,1)，则( )
A. |AC|=2 3
B. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为 1530
C. AB⋅BC=−5
D. OB在BC上的投影向量的模为3 1111
12.已知函数f(x)=lnxx,g(x)=xex，若存在x1∈(0,+∞)，x2∈R，使得f(x1)=g(x2)=k(k<0)成立，则下列结论正确的是( )
A. x1+x2<1B. lnx1=x2
C. (x2x1)2⋅ek的最大值为1e2D. (x2x1)2⋅ek的最大值为4e2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知数列{an}的前n项和Sn=n2，则a5= ______．
14.若实数x，y满足x2+y2=1，则 (x−1)2+(y−1)2的最大值是______．
15.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1，F2，上顶点为A，且△AF1F2是面积为4 3的正三角形，若过F1且垂直于AF2的直线交椭圆M于B，C两点，则△ABC的周长为______．
16.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l的倾斜角为α,csα= 22，且这条直线经过点P(1,2)．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线a：mx−y+1− 3m=0恒过定点A，求点A到直线l的距离．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极大值2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[−3,4]上的最值．
19.(本小题12分)
已知公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，a3+b2=−1，a5+b3=−3．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若Tn为数列{1anan+1}的前n项和，求使Tn+nb3≤0成立的n的取值范围．
20.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，PA⊥面ABCD，E，F分别为PA，AB的中点，直线AC与DF相交于O点．
(1)求B到平面DEF的距离；
(2)求直线PC与平面DEF所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2，短轴上下端点分别为A、B.若四边形AF1BF2为正方形，且AF1= 2．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若C、D分别是椭圆长轴左右端点，动点M满足MD⋅MC=MD2,P点在椭圆上，且满足OP=sin2θOC+cs2θOM，求OM⋅OP的值(O为坐标原点)；
(3)在(2)的条件下，试问在x轴上是否存在异于C点的定点N，使PD⊥MN，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−a(x−1)，其中a∈R．
(1)若a=1，求函数f(x)的增区间；
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为0．
①求a的取值范围；
②若f(x)≤kx2−3ax+1恒成立，求正整数k的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵空间向量a=(1,m,−2),b=(−2,1,4)，且a⊥b，
∴a⋅b=1×(−2)+m×1+(−2)×4=0，
∴m=10．
故选：D．
由题意可知a⋅b=0，再结合空间向量的坐标运算求解．
本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：Δx→0limf(1+Δx)−f(1)(1+Δx)−1=5−t，
则f′(1)=t=5−t，解得t=52．
故选：C．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由an+1=11−an，a1=−1，
则a2=11−(−1)=12，a3=11−12=2，a4=11−2=−1，a5=11−(−1)=12，a6=11−12=2，⋯，
由此不难发现，数列{an}的项具有周期性，且最小正周期为3，
故a2024=a3×674+2=a2=12．
故选：B．
根据数列的递推公式和首项依次求出若干项，即可发现项的周期性，从而得解．
本题考查数列的递推式，求得数列的周期是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的线性表示与应用问题，属于基础题．
根据空间向量的线性表示，用OA、OB和OC表示出MN即可．
【解答】
解：由题意知，MN=MA+AC+CN
=13OA+(OC−OA)+12(OB−OC)
=−23OA+12OB+12OC
=−23a+12b+12c．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：y=x2−lnx+1的导数为y′=2x−1x，
设P(m,m2−lnm+1)，m>0，
可得曲线y=x2−lnx+1在P处的切线的斜率为k=2m−1m，
当P处的切线与直线y=x−2平行时，P到直线y=x−2的距离最小．
由k=1，解得m=1(−12舍去)，
即有切点P(1,2)，可得P到直线y=x−2的距离为d=|1−2−2| 2=3 22．
故选：D．
求得y=x2−lnx+1的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件，解方程可得切点的坐标，再由点到直线的距离公式，可得所求最小值．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：如图，连结AC，
圆C的半径为 2，则AC⊥PA，PA⋅PC=PA2=PC2−AC2=PC2−2，
圆心C(1,1)到直线l的距离d=|2+1+2| 5= 5，从而|PC|≥d= 5，
于是PC2−2≥5−2=3，当PC⊥l时，PA⋅PC取得最小值，且最小值为3．
故选：A．
把PA⋅PC化成PA2，再利用切线长性质转化为求点M到直线l的距离即可作答．
本题考查直线与圆的位置关系，考查数量积的几何意义，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：由点D在△ABC确定的平面内，且OD=xOA+2yOB−OC，
可得x+2y−1=1，即x+2y=2，
则2x+yxy=2y+1x=12(2y+1x)(x+2y)
=12(2xy+2yx+5)≥12×(2 2xy×2yx+5)=92，
当且仅当x=y=23时等号成立，
故2x+yxy的最小值为92．
故选：B．
首先根据共面向量定理的推论，得x+2y=2，再根据基本不等式求最小值即可．
本题考查共面向量定理的推论，考查基本不等式求最值，属基础题．
8.【答案】B
【解析】解：设P(m,n)，即有m2a2−n2b2=1，
即为n2m2−a2=b2a2，
由A1(−a,0)，A2(a,0)，A2M⊥PA1，
可得PA1的斜率为nm+a=−1k1，
可得PA2的斜率为nm−a=k2=−13k1，
两式相乘可得，n2m2−a2=13，
即有b2a2=13，
即有e= 1+b2a2=2 33．
故选：B．
设P(m,n)，即有m2a2−n2b2=1，即为n2m2−a2=b2a2，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，以及直线的斜率公式，化简整理，结合离心率公式计算即可得到所求值．
本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点满足双曲线的方程，以及直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：等差数列{an}的前n项和是Sn，且a10>0，a1+a20<0，
∴a1+9d>0a1+a1+19d<0，∴a1+9d>0a1+9.5d<0，
∴a1>0，d<0，故A错误；
a11=a1+10dS10=102(a1+a9)=10(a1+4d)>0，故C错误；
∵a1>0，d<0，a10>0，a11=a1+10d<0，
∴Sn的最大值为S10，故D正确．
故选：BD．
利用等差数列的性质求解．
本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：当csθ=0时，M可能是两条平行的直线，即y=±sinθ，所以A正确；
曲线M：x2csθ+y2sinθ=1(0<θ<π)，方程不可能出现抛物线方程的形式，
当csθ≠0时，方程化为x21csθ+y2sinθ=1，sinθ=1csθ>0时，方程表示圆，即sinθcsθ=1，即sin2θ=2，显然不成立，所以方程不表示圆．
所以B正确；
当sinθ>0，csθ<0时，x21csθ+y2sinθ=1，是焦点在y轴上的双曲线，所以C不正确；
当0<θ<π2时，方程化为x21csθ+y2sinθ=1，方程表示椭圆，0故选：AB．
利用sinθ和csθ的取值逐一判断即可．
本题考查曲线方程的应用，椭圆以及双曲线，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为A(2,0,0)，B(1,1,−2)，C(2,3,1)，
对于A，AC=(0,3,1)，所以|AC|= 0+9+1= 10，故A错误；
对于B，OB=(1,1,−2)，所以|OB|= 1+1+4= 6，
所以异面直线OB与AC所成角的余弦值为|cs|=|OB⋅AC||OB|⋅|AC|=0+3−2 6× 10= 1530，故B正确；
对于C，AB=(−1,1,−2)，BC=(1,2,3)，所以AB⋅BC=−1+2−6=−5，故C正确；
对于D，|BC|= 1+4+9= 14，所以OB在BC上的投影的数量为OB⋅BC|BC|=1+2−6 14=−3 1414，故D错误．
故选：BC．
直接由向量的坐标运算即可一一判定．
本题考查空间向量在求数量积，空间角，空间距离上的综合应用，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A：由f(x1)=g(x2)=k(k<0)，得lnx1x1=x2e−x2<0(*)，
所以0所以x1+x2<1，故A正确；
对于B：由(*)可得−lnx1x1=−x2e−x2>0，
两边同时取对数可得ln(−lnx1)−lnx1=ln(−x2)−x2，
因为函数y=lnx+x在(0,+∞)上为增函数，
所以−lnx1=−x2，
所以lnx1=x2，故B正确；
对于C、D：因为存在x1∈(0,+∞)，x2∈R，使得f(x1)=g(x2)=k(k<0)成立，
所以x2x1=lnx1x1=k，
所以(x2x1)2⋅k=k2⋅ek，
设h(k)=k2⋅ek(k<0)，
所以h′(k)=ek(k2+2k)，
令h′(k)>0，得k<−2，
令h′(k)<0，得−2所以在(−∞,−2)上h(k)单调递增，在(−2,0)上h(k)单调递减，
所以h(k)max=h(−2)=4e2，
所以(x2x1)2⋅ek的最大值为4e2，故D正确．
故选：ABD．
对于A：由f(x1)=g(x2)=k(k<0)，得lnx1x1=x2e−x2<0(*)，则0对于B：由(*)可得−lnx1x1=−x2e−x2>0，两边同时取对数，结合单调性，即可判断B是否正确；
对于C、D：根据题意可得x2x1=lnx1x1=k，则(x2x1)2⋅k=k2⋅ek，设h(k)=k2⋅ek(k<0)，求导分析单调性，最值，即可判断C、D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】9
【解析】解：由前n项和Sn=n2，可得a5=S5−S4=25−16=9．
故答案为：9．
由n≥2时，an=Sn−Sn−1，令n=5，计算可得所求值．
本题考查数列的通项与前n项和的关系，考查运算能力，属于基础题．
14.【答案】 2+1
【解析】解：x2+y2=1可表示以原点为圆心，以1为半径的圆，
则 (x−1)2+(y−1)2表示圆上的点到(1,1)的距离，
设A(1,1)，则|OA|= 2，
则所求式子的最大值是为 2+1．
故答案为： 2+1．
x2+y2=1可表示以原点为圆心，以1为半径的圆，则 (x−1)2+(y−1)2表示圆上的点到(1,1)的距离，结合圆的性质即可求解．
本题主要考查了圆的性质在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】16
【解析】解：根据题意可得12a2× 32=4 3，
∴a=4，b=2，c=2 3，
又根据题意可知BC是线段AF2的垂直平分线，
∴|BA|=|BF2|，|CA|=|CF2|，
∴△ABC的周长为|BA|+|CA|+|BC|
=|BF2|+|CF2|+|BC|=|BF2|+|CF2|+(|BF1|+|CF1|)
=(|BF2|+BF1|)+(|CF2|+|CF1|)=2a+2a=16．
故答案为：16．
先根据△AF1F2的面积建立方程求出a，再根据题意可知BC是线段AF2的垂直平分线，从而可得|BA|=|BF2|，|CA|=|CF2|，再根据椭圆的几何性质，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属中档题．
16.【答案】(0,+∞)
【解析】解：由f′(x)令g(x)=f(x)ex，则g′(x)=f′(x)−f(x)ex<0，所以g(x)在R上单调递减，
由f(x+3)为偶函数，得f(x+3)=f(−x+3)，
又f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)=−f(−x+1)，
所以f(x+3)=−f(−x−1)=f(−x+3)，所以f(x−1)=−f(x+3)，
所以f(x+3)=−f(x+7)=−f(x−1)，所以f(x+7)=f(x−1)，
所以f(x)为周期为8的周期函数，
由f(8)+f(9)=2，得f(0)+f(1)=2，
由f(x+1)=−f(−x+1)，得f(0+1)=−f(−0+1)，
所以f(1)=−f(1)，所以f(1)=0，
所以f(0)=2，所以g(0)=f(0)e0=f(0)=2，
由f(x)<2ex，得f(x)ex<2，所以g(x)由g(x)在R上单调递减，得x>0，
所以不等式f(x)<2ex的解集为(0,+∞)．
故答案为：(0,+∞)．
设g(x)=f(x)ex，判断g(x)的单调性，由f(x)的性质及f(8)+f(9)=2，解不等式f(x)<2ex即可．
本题考查了函数的奇偶性和周期性，利用单调性解不等式，考查了转化思想，属中档题．
17.【答案】解：(1)直线l的倾斜角为α,csα= 22，α∈[0,π)，
则α=π4，
故直线l的斜率为tanπ4=1，
这条直线经过点P(1,2)，
则直线l的方程为y−2=x−1，即x−y+1=0；
(2)直线a：mx−y+1− 3m=0，即m(x− 3)−y+1=0，
令x− 3=0−y+1=0，解得x= 3y=1，故定点A( 3,1)，
点A到直线l的距离为| 3−1+1| 12+(−1)2= 62．
【解析】(1)先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程，即可求解；
(2)先求出定点A，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由f(x)=ax3+bx，得f′(x)=3ax2+b．
因为f(x)在x=1上取得极大值2，
所以f′(1)=3a+b=0f(1)=a+b=2，解得a=−1b=3．
当a=−1b=3时，f(x)=−x3+3x，
则f′(x)=−3x2+3=−3(x+1)(x−1)，
当x<−1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当−10，f(x)单调递增；
当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
故在函数f(x)在x=1处取得极大值．
所以f(x)=−x3+3x．
(2)由(1)可知，f′(x)=−3x2+3=−3(x−1)(x+1)，
当x∈[−3,−1)，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(−1,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以函数f(x)在x=−1处取得极小值f(−1)=−2，在x=1处取得极大值f(1)=2；
又因为f(−3)=18，f(4)=−52，
所以f(x)在[−3,4]上的最大值为18，最小值为−52．
【解析】(1)由f(x)在x=1上取得极大值2，得到f′(1)=0，f(1)=2，再求出a，b的值即可；
(2)函数f(x)求导研究其在[−3,4]上的单调性，得出极值并比较与端点处的函数值即可求出最值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值和最值，利用待定系数法求函数的解析式，考查了方程思想，属中档题．
19.【答案】解：(1)∵{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1=1，a3+b2=−1，a5+b3=−3．
∴1+2d+q=−11+4d+q2=−3⇒q=2d=−2，
∴an=a1+(n−1)d=−2n+3，bn=b1qn−1=2n−1．
(2)∵1anan+1=1(−2n+3)(−2n+1)=1(2n−1)(2n−3)=12(12n−3−12n−1)
∴Tn=12(−1−1)+12(1−13)+12(13−15)+…+12(12n−3−12n−1)
=12(−1−12n−1)，
又Tn+nb3≤0，
∴12(−1−12n−1)+n4≤0，
又f(n)=12(−1−12n−1)+n4(n∈N*)是增函数，
f(1)=−34,f(2)=−16,f(3)=320，
∴使Tn+nb3≤0成立的n的取值范围为{1,2}．
【解析】(1)利用等差数列和等比数列的通项公式即可求解；
(2)利用裂项法求和即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的综合，裂项法求和，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，建系如图，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，
F(1,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，
∴FB=(1,0,0)，DE=(0,−2,1)，EF=(1,0,−1)，PC=(2,2,−2)，
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DE=−2y+z=0n⋅EF=x−z=0，取n=(2,1,2)，
∴B到平面DEF的距离为：|FB⋅n||n|=2 4+1+4=23；
(2)由(1)可得直线PC与平面DEF所成角的正弦值为：
|cs|=|PC⋅n||PC||n|=22 3×3= 39．
【解析】(1)建系，根据向量法，向量数量积的运算，即可求解；
(2)建系，根据向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查点面距的求解，线面角的求解，属中档题．
21.【答案】解：(1)依题意得：b=c且b2+c2=2，
又a2=b2+c2，∴b=c=1，a= 2，
故椭圆的离心率e=ca=1 2= 22；
(2)由(1)可得椭圆的方程为x22+y2=1，
设CM方程为y=k(x+ 2)，
联立方程组y=k(x+ 2)x22+y2=1，
可得(1+2k)2x2+4 2k2x+4k2−2=0，
解得x1=− 2，x2= 2(1−2k2)1+2k2，
∵OP=sin2θOC+cs2θOM，
∴P，C，M三点共线，
∴P( 2(1−2k2)1+2k2,2 2k1+2k2)，
又由MD⋅MC=MD2，可得：MD⋅DC=0，即MD⊥CD，
∴联立方程组x= 2y=k(x+ 2)，可得M( 2,2 2k)，
则OM⋅OP=( 2,2 2k)⋅( 2(1−2k2)1+2k2,2 2k1+2k2)
=2(1−2k2)1+2k2+8k21+2k2=4k2+21+2k2=2；
(3)设N(n,0)，
则kPD=2 2k1+2k2−0 2(1−2k2)1+2k2− 2=−12k，kMN=2 2k 2−n，
则由−12k⋅2 2k 2−n=−1，得 2= 2−n，解得n=0，
即存在一点N(0,0)满足条件．
【解析】(1)依题意可得b=c且b2+c2=2，根据a2=b2+c2，即可求解；
(2)设CM方程为y=k(x+ 2)，联立直线与椭圆方程，求出交点的横坐标，由OP=sin2θOC+cs2θOM，可得到P点坐标，由MD⋅MC=MD2，可得MD⊥DC，从而求出M点坐标，即可求证OM⋅OP定值；
(3)设N(n,0)，表示出kPD，kMN，根据斜率之积为−1，求出n即可．
本题考查椭圆方程的求法，考查向量的性质及数量积运算，考查直线与椭圆的综合应用，属难题．
22.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx−(x−1)，
其定义域为(0,+∞),f′(x)=1x−1=1−xx，
令f′(x)>0，解得0∴函数f(x)的增区间为(0,1)．
(2)①由f(x)=lnx−a(x−1)，得f′(x)=1x−a，
若a≤0，则f′(x)>0，f(x)单调递增；
若a>0,f′(x)=1x−a=a(1a−x)x，
当00，f(x)单调递增，当x>1a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当a≤0时，f(x)单调递增，x∈(0,1]时，f(x)max=f(1)=0，满足题意；
当1a≥1时，在x∈(0,1]时，f(x)max=f(1)=0，满足题意；
当0<1a<1时，即a>1，在x∈(0,1],f(x)max=f(1a)=ln1a−1+a=a−lna−1,
令g(x)=x−lnx−1，则g′(x)=1−1x=x−1x，
当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)>g(1)=0，即a−lna−1>0，不满足题意，
综上，a的取值范围是{a|a≤1}；
②由题意，k≥1，lnx−ax+a≤kx2−3ax+1，即kx2−lnx+1≥a(2x+1)，
考虑直线y=a(2x+1)的极端情况a=1，则kx2≥lnx+2x，即k≥lnx+2xx2，
令h(x)=lnx+2xx2,h′(x)=1−2x−2lnxx3，显然k(x)=1−2x−2lnx是减函数，
k(13e2)=1−23e2+43=73−23e2>0,k(14e)=32−24e<0，
∴存在唯一的x0∈(13e2,14e)使得h′(x0)=0，
当x>x0时，h′(x)<0，当x0，
则1−2x0−2lnx0=0,h(x)max=h(x0)=x0+12x02，
∴h(14e)验算3x2−lnx−2x≥0，∵lnx≤x−1，∴3x2−lnx−2x≥3x2−3x+1，Δ=32−3×4<0，
∴3x2−lnx−2x≥3x2−3x+1>0，满足题意，
综上，k的最小值是3．
【解析】(1)将a=1代入f(x)中，求导后，由f′(x)>0求出f(x)的单调递增区间；
(2)①分类讨论a的范围得出函数的单调性，根据最大值求出a的取值范围；②利用分离参数法求出k的最小值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．