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2023-2024学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（含解析）
展开这是一份2023-2024学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线 3x−3y−2=0的倾斜角是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°
2.椭圆x26+y2k=1的焦点在x轴上，离心率为 22，则实数k的值是( )
A. 2B. 3C. 4D. 12
3.已知等比数列{an}的各项均为正数，若a2=2，a3+a4=12，则a1=( )
A. 1B. 2C. 12D. 14
4.设a>0，若圆(x−a)2+y2=1与圆x2+y2=25有公共点，则a的取值范围为( )
A. (0,4)B. {4}C. (4,6)D. [4,6]
5.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个错的间距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均为4m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|、|BiBi+1|(i=1,2,3,…,9)均为16m，最短拉索P1A1满足|OP1|=60m，|OA1|=96m，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索P10B10所在直线的斜率为( )
A. 15B. 516C. 2564D. 25
6.已知函数f(x)=aex+bx在x=0处取得极小值1，则f′(2)=( )
A. e2−2B. 2−e2C. e2−1D. e2
7.不等式(x−2)(x+1)
C. (−2,1)D. [0,2)
8.已知直线y=x+b与抛物线y2=2px(p>0)相交于M，N两点，线段MN的中点的横坐标为4，点T为y轴上的动点.若MT+NT的最小值为4 7，则实数b的值为( )
A. −2或2B. −3或3C. −4或2D. −2或6
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 椭圆x216+y27=1上任意一点到两个焦点的距离之和为8
B. 椭圆x216+y27=1上一点到右焦点的距离的最大值为6
C. 双曲线x264−y216=1上一点M到一个焦点的距离为1，则点M到另一个焦点的距离为17
D. 双曲线x264−y216=1上一点M到一个焦点的距离为17，则点M到另一个焦点的距离为1
10.已知点P在圆C：(x−4)2+(y−4)2=9上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A. 直线AB与圆C相切B. 点P到直线AB的距离小于7
C. 当∠PBA最大时，|PB|= 11D. ∠PBA的最小值小于15°
11.若数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}的通项bn=3n−1，则( )
A. an=2n−1
B. 数列{bn}的前n项和Tn=3n−1+12
C. 若cn=1anan+1，则数列{cn}的前n项和Cn<12
D. 若dn=anbn，数列{dn}的前n项和为Dn，则不存在正整数m，使得Dm=259
12.已知函数f(x)=e2x−2a(x−2)ex−a2x2(a>0)，则( )
A. 当a=e时，函数f(x)恰有1个零点
B. 当a>e时，函数f(x)恰有2个极值点
C. 当a=e2时，函数f(x)恰有2个零点
D. 当函数f(x)恰有2个零点时，必有一个零点为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.直线x− 3y+2 3=0被圆x2+y2=7截得的弦长为______．
14.双曲线y2−x24=1的一条渐近线是曲线y=lnx+a的切线，则a的值为______．
15.设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{Snn}的前n项和为Tn.若S4=12，S8=40，则T11= ______．
16.如图1所示，套娃是一种木制玩具，一般由多个相同结构的空心木娃一个套一个组成，套娃的截面可近似看成由圆和椭圆的一部分组成.建立如图2所示的平面直角坐标系，圆A：x2+(y−4)2=4的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，则椭圆的离心率为______；若动直线x=t与圆的上半部分和椭圆的下半部分分别交于B，C两点，则当△ABC的面积最大时，t2的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知直线l1：2x+3y−2=0，l2：mx+(2m−1)y+1=0，其中m为实数．
(1)当l1//l2时，求直线l1，l2之间的距离；
(2)当m=1时，求过直线l1，l2的交点，且垂直于直线x−2y+4=0的直线方程．
18.(本小题12分)
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A为抛物线上一点，延长AF交抛物线于点B，抛物线的准线与x轴的交点为K，A(p3,m)(m>0)，|AF|=53．
(1)求抛物线的方程；
(2)求△ABK的面积．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−ax2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为1，其中a∈R．
(1)求a的值和l的方程；
(2)证明：当x∈(0,+∞)时，f(x)≥xlnx．
20.(本小题12分)
已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是公比大于1的等比数列，{bn}的前n项和为Tn.条件①a1=2；条件②b2=2a1；条件③a2=2b1；条件④an+Tn=2bn.从上面四个条件中选择两个作为已知，使数列{an}、{bn}存在且唯一确定．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)求数列{(−1)n(nan+bn)}的前2n项和S2n．
21.(本小题12分)
已知双曲线：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)过点P(2,2 3)，离心率为 5．
(1)求C的方程；
(2)过点P且斜率为k1(k1≠0)的直线l交双曲线左支于点Q，平行于l的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线AP的斜率为k2.若四边形ABQP为平行四边形，证明：k1k2为定值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex，g(x)=csx，x∈[0,π2]，
(1)若函数F(x)=f(x)−kg(x)在[0,π2]上单调递增，求k的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)⋅g(x)=m有两个实根x1，x2(x1
(ii)求证：x1+1≥m．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：直线 3x−3y−2=0的斜率为 33，
设直线 3x−3y−2=0的倾斜角为α(0°≤α<180°)，
则tanα= 33，则α=30°．
∴直线的倾斜角为30°，
故选：A．
由已知直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于直线倾斜角的正切值求解．
本题考查直线的倾斜角，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由椭圆x26+y2k=1的焦点在x轴上，可得a2=6，b2=k∈(0,6)，
由离心率为 22，可得c2a2=12，∴a2−b2a2=12，∴b2a2=12，
所以k6=12，解得k=3．
故选：B．
由已知可得b2a2=12，进而可得k6=12，求解即可．
本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
由于等比数列{an}的各项均为正数，则q>0，
若a2=2，a3+a4=12，则有2q+2q2=12，解可得q=2或−3(舍)，
故a1=a2q=1．
故选：A．
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得2q+2q2=12，解可得q的值，进而计算可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：圆(x−a)2+y2=1与圆x2+y2=25有公共点，
故圆心距和两圆的半径的关系满足：4≤a≤6．
故选：D．
直接利用圆心距和两圆的半径的关系判断结果．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：|OA10|=|OA1|+|A1A10|=96+9×16=240m，
|OP10|=|OP1+|P1P10|=60+9×4=96m，
故B 10(−240,0)，P10(0,96)，
则kP10B10=0−96−240−0=25．
故选：D．
根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由f(x)=aex+bx，得f′(x)=aex+b，
因为函数f(x)=aex+bx在x=0处取得极小值1，
所以f′(0)=0f(0)=1，所以a+b=0a=1，解得a=1b=−1，
所以f′(x)=ex−1，所以f′(2)=e2−1．
故选：C．
对f(x)求导，根据条件，得到f′(0)=0f(0)=1，求出a，b的值，再求出f′(2)的值即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了方程思想，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：根据题意，(x−2)(x+1)
必有f′(x)≤0，故f(x)在R上为减函数，
故sin(2−x)−(2−x)
变形可得：x2−x−2<0，解可得−1
根据题意，原不等式等价于sin(2−x)−(2−x)
本题考查函数单调性的判断以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立y=x+b与y2=2px，
消去y得x2+(2b−2p)x+b2=0，则x1+x2=2p−2b,x1x2=b2．
因为线段MN的中点的横坐标为4，所以x1+x2=2p−2b=8，即p=b+4．
设点M关于y轴的对称点为M′，则M′(−x1,y1)，
所以MT+NT=M′T+NT≥M′N= (x2+x1)2+(y2−y1)2= 64+(x2−x1)2
= 64+(x1+x2)2−4x1x2= 128−4b2=4 7，解得b=−2或b=2．
故选：A．
设点M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与抛物线方程可得x1+x2=2p−2b,x1x2=b2.进而设点M关于y轴的对称点为M′，可得MT+NT=M′T+NT≥M′N，进而计算可求得实数b的值．
本题考查直线与抛物线位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：选项A，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为2a，
这里a=4，所以距离之和为8，所以选项A正确．
选项B，根据椭圆的性质，椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为a+c，
这里a=4，c=3，所以最大值为7，所以选项B错误．
选项C，根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a，
这里a=8，所以点M到另一个焦点的距离为17，所以选项C正确．
选项D，根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a，
这里a=8，所以点M到另一个焦点的距离为1或33，所以选项D错误．
故选：AC．
利用椭圆的定义与双曲线的定义，逐项计算判断可得结论．
本题考查椭圆与双曲线的性质，考查运算求解能力，属基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，圆C：(x−4)2+(y−4)2=9的圆心为C(4,4)，半径r=3，
直线AB的方程为x4+y2=1，即x+2y−4=0，
圆心C到直线AB的距离d=|4+8−4| 1+4=8 55>3，可知直线AB与圆C相离，故A不正确；
对于B，因为圆心C到直线AB的距离d=8 55，
所以圆C上的点P到直线AB的距离的最大值为8 55+3<7，故B正确；
对于C，当直线BP与圆C相切(图中P1位置)时，∠PBA最大，
此时|PB|= BC2−r2= 16+4−9= 11，故C正确；
对于D，当直线PB与圆C相切(图中P2位置)时，∠PBA最小，
由kBC=4−24−0=12，kAB=2−00−4=−12，得tan∠ABC=12+121+12×(−12)=43，
结合tan∠CBP=3 11=3 1111，
可得tan∠PBA=43−3 11111+43×3 1111=5 113−163<2− 3=tan15°，所以∠PBA<15°，可知D正确．
故选：BCD．
求出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式判断出A项的正误；根据圆C上的点到直线AB距离的最值，判断出B、D两项的正误；根据直线与圆相切时∠PBA最大，判断出C项的正误．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、两角和与差的三角函数公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：∵数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}的通项bn=3n−1，
∴an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2=1,n=12n−1,n≥2=2n−1，故A正确；
Tn=b1+b2+b3+…+bn=1⋅(1−3n)1−3=3n−12，故B错误；
∵cn=1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
∴Cn=c1+c2+c3+…+cn=12(12×1−1−12n+1)
=12(1−12n+1)<12，故C正确；
∵dn=anbn=2n−13n−1=n3n−2−n+13n−1，
∴Dn=d1+d2+d3+…+dn=131−2−n+13n−1=3−n+13n−1，
∴Dm=259⇒3−m+13m−1=259⇒m+13m−1=29，
此方程无正整数解，故D正确．
故选：ACD．
利用数列的通项公式及前n项和公式的关系，可判断A；利用等比数列的前n项和公式，可判断B；利用裂项法求和，可判断CD．
本题考查了数列的通项公式及前n项和公式的关系，等比数列的前n项和公式，裂项法求和，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∵f(x)=e2x−2a(x−2)ex−a2x2(a>0)，
f′(x)=2(ex+a)(ex−ax)，
令g(x)=ex−ax，则g′(x)=ex−a>0⇒x>lna，
g(x)在(−∞,lna)上是减函数，在(lna,+∞)上是增函数，
g(x)min=g(lna)=a(1−lna)，
∴当a=e时，g(x)min=0，f′(x)≥0恒成立，
f(x)在(−∞,+∞)上是增函数，
又当x→−∞时，f(x)→−∞；当x→+∞时，f(x)→+∞，
∴f(x)有且仅有一个零点，故A正确；
∴当a>e时，g(x)min<0，g(x)=0有两个实根x1，x2(x1
当x1
当x>x2时，g(x)>0即f′(x)>0，
∴f(x)在(−∞,x1)上是增函数，在(x1,x2)上是减函数，在(x2,+∞)上是增函数，
∴f(x)有两个极值点，故B正确；
当f(x)有两个零点时，f(x1)=0或f(x2)=0，
即e2x1−2a(x1−2)ex1−a2x12=0或e2x2−2a(x2−2)ex2−a2x22=0，
将ex1=ax1或ex2=ax2代入得，x1=2a=e22或x2=2a=e22，
故C错误，D正确．
故选：ABD．
求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定函数的极值点的个数和零点个数，判断A，B，C，D．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
13.【答案】4
【解析】解：圆的圆心为(0,0)，半径r=2，
圆心到直线的距离d=2 32= 3，所以弦长为2 7−( 3)2=4．
故答案为：4．
利用点到直线的距离公式，勾股定理即可得．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
14.【答案】1−ln2
【解析】解：已知双曲线y2−x24=1的渐近线方程为y=±12x，
设切点坐标为(x0,lnx0+a)，
又y′=1x，
则1x0=12，
即x0=2，
由直线的斜率公式可得ln2+a2=12，
即a=1−ln2．
故答案为：1−ln2．
由双曲线的性质，结合导数的几何意义求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了导数的应用，属中档题．
15.【答案】44
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
则S4=4a1+6d=12，S8=8a1+28d=40，
解得，a1=32，d=1，
所以Sn=3n2+n(n−1)2=n(n+2)2，
则Snn=n+22，
所以T11=12(3+4+…+13)=12×88=44．
故答案为：44．
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
16.【答案】 32 4
【解析】解：根据题意，我们知道圆A：x2+(y−4)2=4的圆心是椭圆的上顶点，半径是椭圆的短半轴长，
所以椭圆的短半轴长b=2，长半轴长a=4，所以椭圆的离心率为e=ca= 1−(ba)2= 32．
所以椭圆的方程为y216+x24=1，
将x=t代入圆的方程与椭圆方程，可得B(t,4+ 4−t2)，C(t,2 4−t2)．
则S△ABC=12×(4− 4−t2)×t，由t和4− 4−t2在[0,2]区间均单调增加，
则当t=2时，△ABC的面积最大，即t2=4．
故答案为： 32；4．
由题意可求得a，b，进而可求离心率，求得B，C的坐标，进而可得S△ABC=12×(4− 4−t2)×t，可求三角形的面积的最大值，进而可t2的值．
本题主要考查了椭圆的性质和三角形面积的计算，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为直线l1：2x+3y−2=0，l2：mx+(2m−1)y+1=0，l1//l2时，
则m2=2m−13≠1−2，解得m=2，
此时直线l2的方程为2x+3y+1=0，
所以两条直线间的距离d=|−2−1| 22+32=3 1313；
(2)当m=1时，则直线l2的方程为：x+y+1=0，
联立2x+3y−2=0x+y+1=0，解得x=−5，y=4，
即两条直线的交点P的坐标为(−5,4)，
又因为所求的直线垂直于x−2y+4=0，设所求的直线方程为2x+y+a=0，
将P点的坐标代入可得2×(−5)+4+a=0，
解得a=6．
所以直线的方程为2x+y+6=0．
【解析】(1)写出两条直线平行的充要条件，进而可得m的值，再求出两条直线之间的距离d的大小；
(2)由m=1，可得两条直线的交点坐标，由题意设所求的直线方程，将交点坐标代入可得所求的直线方程．
本题考查两条直线平行，垂直的性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由抛物线的定义可得点A到焦点F的距离为点A到准线的距离，
即|AF|=53，则p3+p2=53，
所以p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x．
(2)由(1)知F(1,0)，A(23,m)，m>0，
代入抛物线的方程m2=4×23，
解得m=2 63，
所以A(23,2 63)，
直线AB的方程为y=2 6323−1(x−1)，即y=−2 6(x−1)，
联立y=−2 6(x−1)y2=4x，得6x2−13x+6=0，
解得x1=32，x2=23，
当x2=23时，y2=− 6，
所以S△ABK=12|KF|(|yA|+|yB|)=12×2×(2 63+ 6)=5 63．
【解析】(1)由抛物线的定义可得点A到焦点F的距离为点A到准线的距离，由|AF|=53，得p3+p2=53，解得p，即可得出答案．
(2)由(1)知F(1,0)，A(23,m)，m>0，代入抛物线的方程m2=4×23，解得m，联立直线AB与抛物线的方程，解得B点坐标，S△ABK=12|KF|(|yA|+|yB|)，即可得出答案．
本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)=x3−ax2,f′(x)=3x2−2ax，
y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l的斜率为1，
∴f′(1)=3−2a=1⇒a=1，f(1)=1−a=0，
∴切线l的方程为y=x−1，即x−y−1=0．
证明：(2)令g(x)=x2−x−lnx(x>0)，则g′(x)=(2x+1)(x−1)x>0⇒x>1，
∴g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，
∴g(x)≥g(1)⇒x2−x−lnx≥0⇒x2−x≥lnx，
∴x3−x2≥xlnx⇒f(x)≥xlnx．
【解析】(1)先求函数f(x)的导数，再根据导数的几何意义列式求出a值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可．
(2)对函数求导，讨论函数的单调性，即可得到f(x)的极小值．
本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若选①②，选①③，选②③，{an}、{bn}不唯一确定；故必须选④，
若选①④，可得n=1时，a1+T1=a1+b1=2b1，解得b1=a1=2．
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，q>1，
由an+Tn=2bn，可得n≥2时，an−1+Tn−1=2bn−1，相减可得an−an−1+bn=2bn−2bn−1，化为d=bn−2bn−1，可得d=0，即an=2，
则bn=2n；
若选②④，an=a1，bn=a1⋅2n−1，{an}、{bn}不唯一确定；
若选③④，a1=b1，a2=2b1，可得d=b1=0，则an=bn=0，等比数列{bn}不存在．
综上，可得an=2，bn=2n；
(2)(−1)n(nan+bn)=(−1)n(2n+2n)=(−1)n(2n)+(−2)n，
前2n项和S2n=[(−2+4)+(−6+8)+(−10+12)+...+(−2n+2+2n)]+[−2+4+...+(−2)2n−1+(−2)2n]
=2n+−2[1−(−2)2n]1−(−2)=2n−23+22n+13．
【解析】(1)考虑选①②，①③，②③，可得{an}、{bn}不唯一确定；故必须选④，考虑选①④，②④，③④，结合等比数列的定义和通项公式，可得结论；
(2)由数列的分组求和与等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的递推式与数列的分组求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意可得4a2−12b2=1e=ca= 5c2=a2+b2，
解得a2=1，b2=4，c2=5，
所以双曲线的方程为x2−y24=1．
(2)证明：设直线l的方程为y=k1x+m，直线AB的方程为y=k1x+n，(m≠n)，
将P(2,2 3)代入直线l得2 3=2k1+m，
即m=2 3−2k1，
联立y=k1x+mx2−y24=1，得(4−k12)x2−2k1mx−(m2+4)=0，
得4−k12≠0(−2k1m)2−4(4−k12)[−(m2+4)]>0xP+x1=2k1m4−k12，即m2+4>k12，
因为A在第一象限，双曲线渐近线方程为y=±2x，
联立y=2xy=k1x+n，得x=n2−k1，y=2n2−k1，
即A(n2−k1,2n2−k1)，
联立y=−2xy=k1x+n，得x=n−2−k1，y=−2n−2−k1，
即B(n2−k1,2n2−k1)，
所以AB=(−4n4−k12,−4nk14−k12)，
因为l//AB，|AB|=|PQ|，
所以AB=PQ，
所以x1−xP=−4n4−k12②，
又xP+x1=2k1m4−k12①，
②−①得，−2xP=−4n4−k12−2k1n4−k12=−4，
所以−4n−2k1m+4(4−k12)=0，
所以2n=8−2k12−k1m=8−2k12−k1(2 3−2k1)=8−2 3k1，
因为k2=yA−yPxA−xP=2n2−k1−2 3n2−k1−2=2n−2 3(2−k1)n−2(2−k1)=2n−4 3+2 3k1n−4+2k1
=8−2 3k1−4 3+2 3k14− 3k1−4+2k1=8−4 3(2− 3)k1，
所以k1k2=4，为定值．
【解析】(1)根据题意可得4a2−12b2=1e=ca= 5c2=a2+b2，解得a2，b2，c2，即可得出答案．
(2)设直线l的方程为y=k1x+m，直线AB的方程为y=k1x+n，(m≠n)，将P(2,2 3)代入直线l得m=2 3−2k1，联立直线l与双曲线的方程得(4−k12)x2−2k1mx−(m2+4)=0，得4−k12≠0(−2k1m)2−4(4−k12)[−(m2+4)]>0xP+x1=2k1m4−k12，联立y=2xy=k1x+n，得A点坐标，联立y=−2xy=k1x+n，得B点坐标系，进而可得AB的坐标，由l//AB，|AB|=|PQ|，得AB=PQ，
则x1−xP=−4n4−k12②，又xP+x1=2k1m4−k12①，可得2n=8−2 3k1，计算k2，即可得出答案．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵F(x)=ex−kcsx在[0,π2]上单调递增，
∴F′(x)=ex+ksinx≥0对∀x∈[0,π2]成立，
当x=0时，F′(x)=0，
∴k≥−exsinx对∀x∈(0,π2]成立，
令h(x)=−exsinx(0
∴k≥h(π4)=− 2eπ4，
∴k的取值范围为[− 2eπ4,+∞)．
(2)(i)∵令H(x)=f(x)g(x)=excsx(0
H(0)=1,H(π4)= 22eπ4,H(π2)=0，
又关于x的方程f(x)⋅g(x)=m有两个实根x1，x2(x1
证明：(ii)∵由(i)知，0≤x1<π4
令t(x)=x−excsx+1(0≤x<π4)，
k(x)=t′(x)=1−excsx+exsinx，
则k′(x)=2exsinx≥0对∀x∈[0,π4)成立，
∴t′(x)在[0,π4)上是增函数，t′(x)≥t′(0)=0，
∴t(x)在[0,π4)上是增函数，
∴t(x)≥t(0)⇒t(x1)≥0⇒x1−ex1csx1+1≥0，
故x1+1≥m．
【解析】(1)F′(x)=ex+ksinx≥0对∀x∈[0,π2]成立，则k≥−exsinx对∀x∈(0,π2]成立，令h(x)=−exsinx(0
本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明函数不等式，考查运算求解能力，属于难题．
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