安徽省淮北市实验高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：马艳 审核人：孙启圣
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．
1. 若直线l的方向向量为，则直线l的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设向量起点为原点，终点为，则直线的斜率即为直线的斜率.
【详解】取坐标平面内两点和，则，则直线斜率即为直线的斜率，而，所以直线的斜率为.
故选：D．
2. 空间一点P在xOy平面上的射影为M(1,2,0)，在xOz平面上的射影为N(1,0,3)，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为( )
A. (1,2,3)B. (0,0,3)
C. (0,2,3)D. (0,1,3)
【答案】C
【解析】
【分析】先根据射影确定点坐标，再确定它在yOz平面上的射影.
【详解】由点P在xOy平面上的射影为M(1,2,0)，知xP＝1，yP＝2；由点P在xOz平面上的射影为N(1,0,3)，知xP＝1，zP＝3.所以点P的坐标为(1,2,3)．则它在yOz平面上的射影为Q(0,2,3)．选C.
【点睛】本题考查空间直角坐标系点坐标，考查基本分析求解能力.
3. 椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意得，解得，
故选：A.
4. 对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是，，，四点共面的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间中共面定理：空间任意一点和不共线的三点，，，且,得,,,四点共面等价于，然后分充分性和必要性进行讨论即可.
【详解】解：空间任意一点和不共线的三点，，，且
则,,,四点共面等价于
若，，，则，所以,,,四点共面
若,,,四点共面，则，不能得到，，
所以，，是,,,四点共面的充分不必要条件
故选B.
【点睛】本题考查了空间中四点共面定理，充分必要性的判断，属于基础题.
5. 有4名女生2名男生参加学校组织的演讲比赛，现场抽签决定比赛顺序，已知男生甲比男生乙先出场，则两位男生相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率公式及排列数求解即得.
【详解】设男生甲比男生乙先出场为事件，则，
设两位男生相邻为事件，则男生甲比男生乙先出场且两位男生相邻为事件120，
故在已知男生甲比男生乙先出场的条件下，则两位男生相邻的概率是.
故选:B.
6. 从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得.
【详解】
由配方得：，即圆心为,半径为.
如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接.
设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：，
设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故,
则两条切线间圆的劣弧长为.
故选：B.
7. 已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（ ）
A. 4B. C. 或D. 或4
【答案】C
【解析】
【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值.
【详解】依题意，焦点，准线，设点,，
由得或，
，
当时，，即，则；

当时，，，即，则.

综上所述，的值为或.
故选：C.
8. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据球的截面圆即为正三棱柱底面三角形的内切圆，求得截面的半径，再利用球的截面性质求解.
【详解】解：设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，
则，
解得，
由球的截面性质得： ，
解得，
所以球的体积为，
故选：D
二、多选题：本题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知圆与圆，则（ ）
A. 两圆的圆心距为
B. 两圆的公切线有3条
C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为
D. 两圆相交，且公共弦的长度为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D.
【详解】对于A，圆的圆心为，半径为
与圆的圆心为，半径为，
故两圆的圆心距为，A正确；
对于B，由于，
即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，B错误；
对于C，由B可知两圆相交，
将圆与圆的方程相减，
得，即公共弦所在的直线方程为，C正确；
对于D，由B可知两圆相交，而，
到直线的距离为，
故两圆公共弦的长度为，D错误，
故选：AC
10. 已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ）
A. 可能为1B. 展开式中二项式系数之和为256
C. 展开式中第4项的二项式系数最大D. 展开式系数的绝对值的和可能为
【答案】ABD
【解析】
【分析】令求系数和，列等式求，然后根据二项式系数最值，以及二项式系数和公式判断BC，再利用转化法求展开式系数的绝对值和.
【详解】A.令，代入二项式，或，故A正确；
B.展开式中二项式系数之和为，故B正确；
C.展开式中第5项的二项式系数最大，故C错误；
D.当时， 展开式系数的绝对值和二项式的系数和相等，令，得系数和是，当时， 展开式系数的绝对值和二项式的系数和相等，令，得系数和是，故D正确.
故选：ABD
11. 已知抛物线C：的焦点为F，在C上存在四个点P，M，Q，N.若弦PQ与弦MN的交点恰好为焦点F，且，则（ ）
A. 抛物线C的准线方程是
B.
C
D. 四边形的面积的最小值是128
【答案】BCD
【解析】
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，可以判断B，C，结合三角函数性质可判断D选项.
【详解】由抛物线得，准线方程是，选项A不正确；
不妨设PQ的倾斜角为，
则由，得，，
所以，，
所以，，
所以，选项B正确；
，，
所以，选项C正确；
四边形PMON的面积，
当且仅当，即时，四边形PMQN的面积取得最小值128，选项D正确；
故选：BCD.

12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达．芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A.
B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为2
C. 点到直线的距离是
D. 异面直线与所成角的正切值为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据空间向量线性运算法则判断选项A，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标的相关公式计算，即可分别判断选项B，C，D．
【详解】对于A项，因为，
所以，故 A项错误；
对于B项，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
设点，使，，
则，故，
则，
因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故B项错误；
对于C项，因，则，
故得：，
则点到直线的距离为：，故C项正确；
对于D项，因
则，
由，
则，
故即异面直线与所成角的正切值为，故D项正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：解决此类问题的主要方法有：
（1）定义法：运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析；
（2）基底表示法：将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算；
（3）建系法：通过建立空间直角坐标系，引入相关点的坐标，利用点线距离公式、空间向量的夹角公式等公式计算即得.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 如图，开关电路中，某段时间内，开关，，开或关的概率均为，且相互独立，则这段时间内灯亮的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出灯不亮的概率，即可得出答案.
【详解】设事件分别表示，，闭合，则，同时闭合或闭合时灯亮，
则灯不亮的概率为,
则这段时间内灯亮的概率为.
故答案为：.
14. 某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有______种不同的选修方式可选．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】
【分析】先按和两种情况分成三组，再分配到三年去即可.
【详解】由题意可知三年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，
则四门学科可按和两种情况分成三组，
若按分成三组，有种分组方法，
若按分成三组，有种分组方法，
所以每位学生共有种不同的选修方式可选．
故答案为：.
15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】首先根据椭圆定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值．
【详解】如图，
由M为椭圆C上任意一点，则，
又N为圆E：上任意一点，
则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），
，
，
当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立．
由题意知，，，
则，
的最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想．
16. 已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则_____________，_____________．
【答案】 ①. 3 ②. 12
【解析】
【分析】利用内切圆性质结合双曲线定义，可推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心即为P，从而求得内切圆半径，根据三角形面积公式结合双曲线定义，即可求得的值.
【详解】设内切圆与三边的切点分别为，如图，
则，，
Q在双曲线右支上，由双曲线定义得，
则，
又，故，
即E点横坐标为a，即内切圆的圆心横坐标为a，
由，得，
即，即为的角平分线，
由于点坐标为，内切圆的圆心横坐标为，
则P即为内切圆的圆心，E为切点，则内切圆半径为；
，
故答案为：3；12
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线定义的应用以及焦点三角形内切圆半径的求解，综合了向量数量积的应用，解答的关键是利用内切圆性质结合双曲线定义，推出内切圆圆心的横坐标即为a，再结合向量数量积的运算推出P点在角平分线上，从而确定内切圆圆心.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 已知正方形的中心为直线和直线的交点，其一边所在直线方程为
(1)写出正方形中心坐标；
(2)求其它三边所在直线方程（写出一般式）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1) 由，得：即中心坐标为;(2)根据正方形中已知的边所在的直线方程，得到可设正方形与其平行的一边所在直线方程为，正方形中心到各边距离相等，根据平行线间的距离相等得到直线方程；与垂直的两边所在直线方程为，再由正方形中心到各边距离相等，根据点线距离得到直线方程.
【详解】（1）由，得：即中心坐标为
（2）∵正方形一边所在直线方程为
∴可设正方形与其平行的一边所在直线方程为
∵正方形中心到各边距离相等，
∴∴或（舍）
∴这边所在直线方程为
设与垂直的两边所在直线方程为
∵正方形中心到各边距离相等
∴∴或
∴这两边所在直线方程为
∴其它三边所在直线的方程为
【点睛】本题主要考查平行系、垂直系方程的设法求法，属于基础题．也涉及到正方形的性质的应用，即中心对称性，还考查到平行线间的距离的计算，点线距离的计算.
18. 已知点和直线，点是点关于直线的对称点．
（1）求点的坐标；
（2）为坐标原点，且点满足．若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）点与点关于直线对称，则直线直线，且线段的中点在直线上，两个方程联立可求出点的坐标；
（2）利用关系式可以得出点的轨迹方程，根据点的轨迹与直线有公共点，知圆心到直线的距离小于等于半径，解不等式即可.
【小问1详解】
设，，因为点与点关于直线的对称，则有
线段的中点在直线上，即①，
又直线直线，且直线的斜率为，则①，
联立①①式子解得，
故点的坐标
【小问2详解】
设，由，则，
故，化简得，
所以点的轨迹是圆，其方程为，圆心坐标，半径.
又因为直线与圆由公共点，
利用圆心到直线的距离小于等于半径，则，
解得.
故的取值范围为.
19. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品.
（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）甲箱的8件产品，任取2件的取法为，而2个都是次品的取法是为3件次品中取2件，取法数为，再利用古典概型的概率公式求解；
（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，所取2件产品对乙箱中的正品次品数有影响，因此需分三类，即2件都是正品，一正品一次品，2件都是次品，然后利用条件概率公式和互斥事件的概率公式求解即可．
【详解】（1）从甲箱中任取2个产品的事件为，这2个产品都是次品的事件数为.
所以这2 个产品都是次品的概率为.
（2）设事件为“从乙箱中取一个正品”，事件为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件为“从甲箱中取2个产品都是次品”，则事件、事件、事件彼此互斥.
，
，，
所以.
20. 已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【详解】（1）依题意，设椭圆方程为 ，
，
椭圆方程为
（2）设 三点共线且不在 轴上，
直线 方程为 ，并分别代入 和 ，
得 ，
，
，
所求直线为或 .
..
21. 如图，且AD＝2BC＝2，，平面平面ABCD，四边形ADGE为矩形，且CD＝2FG＝2．
（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE；
（2）若CF与平面ABCD所成角的正切值为2，求直线AD到平面EBC的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，用空间向量法证明线面平行，即证与平面的法向量的数量积为0，再由线面平行的判定定理得结论；
（2）由空间向量法求得A点到平面的距离即得．
【小问1详解】
平面平面ABCD，平面平面ABCD=，,平面，所以平面，平面，所以,
依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
可得，，，，设，
，，，，．
设为平面CDE的法向量，，
则，不妨令z＝－2，可得；
又，可得．又∵直线平面CDE，
∴平面CDE；
【小问2详解】
∵，平面EBC，平面EBC，
∵平面EBC，∴AD到平面EBC的距离即A到平面EBC的距离，
由（1）知平面ABCD，即是平面ABCD的法向量，
因CF与平面ABCD所成角的正切值为2，
则CF与平面ABCD所成角的正弦为，又，
，
解得t＝2，则点，，，
设为平面EBC的法向量，由，
不妨令，可得，而，则点D到平面EBC的距离，
所以直线AD到平面EBC的距离为．
22. 设双曲线的右焦点为，，为坐标原点，过的直线与的右支相交于两点．
（1）若，求的离心率的取值范围；
（2）若恒为锐角，求的实轴长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件代入离心率公式计算取值范围即可；
（2）设直线l的方程，与双曲线方程联立，以双曲线的实半轴长和表示，两点坐标，根据恒为锐角，转化为，代入坐标计算，由关于m的不等式恒成立，求得a的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以，，所以，
则的离心率，
又，所以的离心率的取值范围是.
【小问2详解】
因为，直线的斜率不为零，所以可设其方程为.
结合，
联立消去整理得，
设，由韦达定理得，
由于两点均在的右支上，故，即.
则
.
由恒为锐角，得对，均有，
即恒成立.
由于，因此不等号左边是关于的增函数，
所以只需时，成立即可，解得，
结合，可知的取值范围是.
综上所述，的实轴长的取值范围是.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.