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    安徽省六安市霍山中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题(原卷版+解析版)

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    一、单选题
    1. 若复数z在复平面内对应的点是,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】由复数的几何意义可得,进而利用复数的除法可求得结果.
    【详解】由复数的几何意义可得,因此,.
    故选:A.
    2. 如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形,则原平面图形的周长为( )
    A. 4aB. 8aC. 6aD.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由直观图还原可得原图形,结合斜二测画法求边长,再求其周长即可.
    【详解】由直观图可得原图形,
    所以,,,
    所以,原图形的周长为.
    故选:B.
    3. 已知非零向量与同向,则-( )
    A. 必定与同向
    B. 必定与同向
    C. 必定与是平行向量
    D. 与不可能是平行向量
    【答案】C
    【解析】
    【分析】设,,则,可判断结果.
    【详解】因为非零向量与同向,设,
    所以
    则必定与是平行向量.
    故选:C
    4. 设为两个平面,为两条直线,且.下述四个命题:
    ①若,则或 ②若,则或
    ③若且,则 ④若与,所成的角相等,则
    其中所有真命题的编号是( )
    A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①;举反例即可判断②④;根据线面平行的性质即可判断③.
    【详解】对①,当,因为,,则,
    当,因为,,则,
    当既不在也不在内,因为,,则且,故①正确;
    对②,若,则与不一定垂直,故②错误;
    对③,过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线,
    因为,过直线的平面与平面的交线为直线,则根据线面平行的性质定理知,
    同理可得,则,因为平面,平面,则平面,
    因为平面,,则,又因为,则,故③正确;
    对④,若与和所成角相等,如果,则,故④错误;
    综上只有①③正确,
    故选:A.
    5. 抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件 “第一枚硬币正面朝上”,事件 “第二枚硬币反面朝上”,则下列说法正确的是( )
    A. 与互为对立事件B.
    C. 与相等D. 与互斥
    【答案】B
    【解析】
    【分析】AD选项,根据互斥事件和对立事件的概念进行判断;B选项,求出两事件的概率;C选项,两事件不是同一事件,C错误.
    【详解】AD选项,事件与能同时发生,不是互斥事件,不是对立事件,故AD均错误;
    B选项,,故B正确;
    C选项,事件与事件不是同一个事件,故C错误.
    故选:B.
    6. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和,体积为,则它的表面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先利用圆台的体积公式求得高,再利用圆台的表面积公式即可得解.
    【详解】依题意,设圆台的高为,则,解得,
    所以圆台的母线长为,
    则圆台的表面积为.
    故选:B.
    7. 如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔的高度,在塔的同一侧选择两个观测点,且在两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得,两地相距500m,则电视塔的高度是( )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】
    设,将用表示,在中,由余弦定理得出关于的方程,求解,即可得到结论.
    【详解】设,在中,,
    所以.
    在中,,所以.
    在中,,,
    由余弦定理得,
    解得(舍去).
    故选:D.
    本题考查解三角形的实际应用,考查余弦定理,以及计算求解能力,属于中档题.
    8. 在立体几何中,用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图,在棱长为1的正方体中,点分别是棱的中点,点是棱的中点,则过线段且平行于平面的截面的面积为
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】取BC的中点H,连接,证明平面AHGD1∥平面A1EF,得截面图形,求面积即可
    【详解】取BC的中点H,连接,
    因为面AHGD1,面AHGD1,面AHGD1,
    同理,面AHGD1,又,则平面AHGD1∥平面A1EF,
    等腰梯形AHGD1的上下底分别为,,
    腰长为,故梯形的高为,则梯形面积为,
    故选B.
    此题考查了几何体截面问题,灵活运用面面平行的判定是关键,考查空间想象与推理能力,是中档题.
    二、多选题
    9. 有一组样本数据:1,1,2,4,1,4,1,2,则( )
    A. 这组数据的众数为4B. 这组数据的极差为3
    C. 这组数据的平均数为2D. 这组数据的分位数为1
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】根据众数、极差的定义可得众数为1,极差为3;经计算可得平均数为2,根据百分位数的定义可知第分位数为,即可得出结果.
    【详解】对A,该组数据众数为1,故A错误;
    对B,极差为,故B正确;
    对C,平均数为,故C正确;
    对D,数据从小到大排列为1,1,1,1,2,2,4,4,因为,所以这组数据的分位数为,故D错误.
    故选:BC.
    10. 设的内角,,所对的边分别为,,,则下列结论正确的是( )
    A. 若,则
    B. 若,则
    C. 若,则为钝角三角形
    D. 若,则为等腰三角形或者直角三角形
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】由正弦定理可判断A,结合在上单调递减判断B,由余弦定理判断C,利用正弦定理将边化角,再由二倍角公式判断D正确.
    【详解】对于A,若,则,所以,所以A正确;
    对于B,由且,
    根据函数在上单调递减,可得,所以B错误;
    对于C,由余弦定理,可知为钝角,即为钝角三角形,所以C正确;
    对于D,因为,所以,即,
    又,所以,所以或,
    即或,即为等腰三角形或直角三角形,所以D正确.
    故选:ACD
    11. 已知梯形,,,,,是线段的中点.将沿着所在的直线翻折成四面体,翻折的过程中下列选项正确的是( )

    A. 与始终垂直
    B. 当直线与平面所成角为时,
    C. 四面体体积的最大值为
    D. 四面体的外接球的表面积的最小值为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面,进而可判断A选项;由直线与平面所成角为得,取的中点,由可判断B选项;当平面时,四面体体积最大,进而可判断C选项;由题意确定球心,进而求半径的最小值,可判断D选项.
    【详解】对于A:连接,,如图所示:

    易知四边形正方形,所以,
    于是在四面体中,


    又且平面,
    平面,
    又因为平面,所以,故A正确;
    对于B:取的中点,连接,

    因为,所以.
    当直线与平面所成角为时,,
    所以,故B正确;
    对于C:由题意可知,当平面时,四面体体积最大,
    于是,故C错误;
    对于D:因为,所以外接圆的圆心为,
    又因为,所以外接圆的圆心为.
    分别过点作平面和的垂线,交于点,
    则是四面体的外接球的球心.

    ,当与重合时取等号,
    所以四面体的外接球的表面积的最小值为,故D正确.
    故选:ABD
    方法点睛:解决与球相关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思维流程如下:
    (1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;
    (2)作截面:选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;
    (3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.
    三、填空题
    12. 设是不共线的两个向量,.若三点共线,则k的值为__________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据三点共线可得向量共线,由此利用向量共线定理可列出向量等式,即可求得答案.
    【详解】因为三点共线,故,
    则,使得,
    又,
    故,则,解得,
    故答案为:
    13. 如图,正方体,棱长为是中点,则二面角的正弦值为________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角,然后求正弦值即可.
    【详解】
    如图,取中点,连接,
    因为为正方体,所以,,
    因为为中点,所以,,
    因为平面平面,平面,平面,
    所以是二面角的平面角,
    ,,,
    ,所以二面角的正弦值为.
    故答案为:.
    14. 粽子,古时北方也称“角黍”,是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品,是中国汉族传统节庆食物之一,端午食粽的风俗,千百年来在中国盛行不衰,粽子形状多样,馅料种类繁多,南北方风味各有不同,某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体,蛋黄近似看成一个球体,且每个粽子里仅包裹一个蛋黄,若粽子的棱长为6 cm,则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______.

    【答案】
    【解析】
    【分析】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球,设正面体的内切球的球心为,球的半径为,正四面体的表面积为,体积为,则由可求出,从而可求出蛋黄的体积.
    【详解】蛋黄近似看成一个棱长为6 cm的正四面体的内切球,
    设正面体的内切球的球心为,球的半径为,正四面体的表面积为,体积为,
    因为正四面体的棱长为6,
    所以正四面体的高,
    正四面体的表面积为,
    因为,
    所以,解得,
    所以蛋黄的体积为,
    故答案为:

    四、解答题
    15. 复数
    (1)若是虚数,求实数的取值范围:
    (2)若所对应的点在第四象限,求实数的取值范围:
    【答案】(1)且
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根据复数类型为虚数得到不等式,从而求解;
    (2)根据复数对应的点在第四象限得到不等式组,求出实数的取值范围.
    【小问1详解】
    由题意可知:是虚数,则,解得:且,
    所以实数的取值范围且.
    【小问2详解】
    因为所对应的点在第四象限,则,解得:,
    所以实数的取值范围是.
    16. 在中,内角,,所对的边分别为,,,.
    (1)求;
    (2)若,求面积的最大值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)利用余弦定理直接求解即可;
    (2)利用余弦定理及基本不等式得,利用三角形面积公式求解最值即可.
    【小问1详解】
    由题意得,又,所以.
    【小问2详解】
    当时,由余弦定理得,
    则,所以,
    当时取等号,所以的面积,
    即面积的最大值.
    17. 甲、乙两个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为和,求:
    (1)两个人都译出密码的概率;
    (2)恰有1个人译出密码的概率.
    【答案】(1);
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)根题意,结合相互独立事件的概率乘法公式,即可求解;
    (2)由题意,甲译出乙未译出或甲未译出乙译出,结合相互独立事件的概率乘法公式,即可求解.
    【小问1详解】
    解:记“甲独立地译出密码”为事件,“乙独立地译出密码”为事件,
    可得事件,为相互独立事件,且,,
    两个人都译出密码的概率为.
    【小问2详解】
    解:恰有1个人译出密码可以分为两类:甲译出乙未译出或甲未译出乙译出,
    且两个事件为互斥事件,所以恰有1个人译出密码的概率为:
    .
    18. 如图,是的直径,垂直于所在的平面,是圆周上不同于的任意一点.求证:平面平面.
    【答案】证明见解析
    【解析】
    【分析】先利用线面垂直的判定定理证明平面,再利用面面垂直的判定定理证明即可.
    【详解】证明:因为平面,
    平面,
    所以.
    又因为,,平面,
    所以平面,
    又因为平面,
    所以平面平面.
    19. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:,,…,得到如图所示的频率分布直方图.
    (1)求频率分布直方图中的值;
    (2)求样本成绩的第75百分位数;
    (3)已知落在的平均成绩是57,方差是7,落在的平均成绩为69,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差.
    【答案】(1)
    (2)84 (3)总平均数为;总方差为
    【解析】
    【分析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1即可求解;
    (2)由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解;
    (3)利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解.
    【小问1详解】
    因为每组小矩形的面积之和为1,
    所以,则.
    【小问2详解】
    成绩落在内的频率为,
    落在内的频率为,
    设第75百分位数为m,
    由,得,故第75百分位数为84.
    【小问3详解】
    由图可知,成绩在的市民人数为,
    成绩在的市民人数为,
    故这两组成绩的总平均数为,
    由样本方差计算总体方差公式可得总方差为:
    .
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