240，山东省聊城市聊城文轩初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份240，山东省聊城市聊城文轩初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，EH∥BC，则四边形的面积是的面积的：( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG与S△ABC的面积比，从而表示出S△AEH、S△AFG，再求出四边形EFGH的面积即可．
【详解】∵在矩形中FG∥EH，且EH∥BC，
∴FG∥EH∥BC，
∴△AEH∽△AFG∽△ABC，
∵AB被截成三等分，
∴，，
∴S△AEH：S△ABC=1：9，S△AFG：S△ABC=4：9，
∴S△AEH=S△ABC，S△AFG=S△ABC，
∴S四边形EFGH= S△AFG－S△AEH=S△ABC－S△ABC=S△ABC.
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，明确面积比等于相似比的平方是解题的关键.
2. 如图，在中，点在上，下列四个条件：①；② ；③；④，其中当和相似时满足的条件有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【详解】解：∵，
，故①正确；
∵，
∴是等腰三角形，与不一定相等，
∴与不相似，故②错误；
∵，，
，故③正确；
，即，
此两个对应边的夹角不是，
∴与不相似，故④错误；
能满足和相似的条件是①③，
故选：B．
3. 如图，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，根据锐角三角函数的定义即可得答案．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∴cs∠BAC=cs45°=
故选B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，利用勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形是解本题的关键．
4. 如图，是的直径，点D在上，若，则的度数是（ ）
A. 20°B. 30°C. 40°D. 45°
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角的性质求得的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求得的度数．
详解】解：∵
∴，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握相关定理是解本题的关键．
5. 某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A. 100（1+x）2＝392
B. 100+100（1+x）2＝392
C 100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D. 100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
【答案】D
【解析】
【分析】根据一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
【详解】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，
根据题意可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2＝392，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
6. 将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7. 抛物线过三点，则大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对二次函数，对称轴，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断、、的大小．
【详解】解：在二次函数，对称轴，
在图象上的三点，，，，点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近，
，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．
8. 如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（ ）

A. 19B. 17C. 22D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，

由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，，
∵，，，
∴，
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
故选：D．
9. 如果方程有实数根，那么m的取值范围是（ ）
A. 且；B. 且；
C. ；D. .
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程有实数根，分类讨论：当时，；当时，，分别进行求解即可．
【详解】解：∵方程有实数根，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴m的取值范围是，
故选：D．
10. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
11. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④为任意实数其中正确结论的个数是（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的对称轴公式即可对②进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断①；由图象可得：当时，，即，可判断③；由于当时，二次函数y取最小值，即（m为实数），进一步即可对④进行判断，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
∴，，故②正确；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵当时，，
∴，故③正确，
∵当时，二次函数y取最小值，
∴（m为实数），即（m为实数），故④正确．
综上，正确结论的个数有4个．
故选：D．
12. 已知：在中，边上的高，点在边上，过点作交边于点．点为上一点，连接．设点到的距离为，则的面积关于的函数图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断出△AEF和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可．
【详解】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
∴EF=•10=10-2x，
∴S=（10-2x）•x=-x2+5x=-（x-）2+，
∴S与x的关系式为S=-（x-）2+（0＜x＜5），
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选：D．
【点睛】此题考查动点问题函数图象，相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
13. 在平面直角坐标系中，抛物线y= -（x+2）2+3的顶点坐标是(m，n)．则mn的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：∵抛物线y= -（x+2）2+3的顶点坐标是(m，n)
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
14. 小明沿着坡度斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了__________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理；
根据题意画图，过点作于，由坡度得到，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，过点作于，由题意得米，
∵坡度，
∴，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴他距离地面的垂直高度升高了米，
故答案为：．
15. 如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，根据即可．
【详解】解：连接，，，

∵四边形是圆内接正四边形，，
是圆的直径，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形，利用圆内接正多边形的性质求出正方形的边长是解题的关键．
16. 已知a、b是方程的两根，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得，从而得到，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程的两根，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
17. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式和A、B点的纵坐标，分别写出A、B点的坐标，根据菱形的面积=BC×（yA-yB）=8，得出关于k的方程，解方程得出正确取值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数经过A、B两点，
∴xB=，xA=，即A（，4），B（，2），
∴，
∴，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（yA-yB）=8，
即，
整理得，
解得，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数和菱形的知识，用含有k的代数式表示出菱形的面积是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）运用配方法求解即可；
（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：（1）
，
，
∴，．
【小问2详解】
解：（2）
，
或 ，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键，解一元二次方程的一般方法有：直接开方法，因式分解法，配方法，公式法，结合题目特点选择合适的方法即可．
19. 已知：如图，梯形ABCD中，，，是对角线BD上一点，，．
（1）求证:；
（2）如果，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质可得，再由，即可证明；
（2）先由等腰梯形的性质得到，从而推出，即可证明，得到，从而求出，．再由，得到，设，，则，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）∵梯形ABCD中，，，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
设，，
∴，
解得（舍去负值），
∴，即．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
20. 如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．）
（1）如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
（2）如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由．
【答案】（1）有触礁危险
（2）没有触礁危险
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点作于，在中和在中利用解直角三角形进而可求解；
（2）过点于，在中，利用解直角三角形即可求解；
熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键．
【小问1详解】
解：过点作于，如图：
（海里），
设，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
答：渔船继续向东航行，有触礁危险．
【小问2详解】
过点于，如图：

由（2）得：（海里），
在中，，，海里，
，
答：没有触礁危险．
21. 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；小时后（包括小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
【答案】（1）；（2）第二天早上能驾车去上班．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意及图像可得需分类进行求解，即当时，符合正比例函数，进而根据点进行求解即可，当时，符合反比例函数，则根据点进行求解即可；
（2）由题意及（1）易得晚上到第二天早上，有小时，所以把x=12代入反比例函数解析式进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得：
当时，设函数关系式为：，
则，
解得：，
故，
当时，设函数关系式为：，
则，
解得：，
故，
综上所述：与之间的函数关系式为：；
（2）第二天早上能驾车去上班．
理由：∵晚上到第二天早上，有小时，
∴时，，
∴第二天早上能驾车去上班．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的实际应用是解题的关键．
22. 某商场要经营一种新上市文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由
【答案】（1）w＝－10x2＋700x－10000；（2）即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）A方案利润更高．
【解析】
【分析】（1）根据利润（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较．
【详解】解：（1）由题意得，销售量，
则
；
（2）．
，
函数图象开口向下，有最大值，
当时，，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）方案利润高．理由如下：
方案中：，
故当时，有最大值，
此时；
方案中：，
故的取值范围为：，
函数，对称轴为直线，
当时，有最大值，
此时，
，
方案利润更高．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；
（3）直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1），；（2）的最大值为， ；（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y1=x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；
（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．
【详解】（1）∵在反比例函数上
∴
∴反比例函数的解析式为
把代入可求得
∴
把代入为 解得
∴一次函数的解析式为
（2）的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离.
设直线与轴的交点为
令，则，解得 ，
∴
令，则
∴
∴，
∴的最大值为
（3）根据图象的位置和图象交点的坐标可知：
当时的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
24. 如图，点D是以为直径的上一点，过点B作的切线，交的延长线于点C，E是的中点，连接并延长与的延长线交于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径；
（3）在（2）条件下，求、、弧围成的阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）的半径为；
（3）阴影部分的面积为
【解析】
【分析】（1）连接、，证即可；
（2）根据，得出，根据三角函数求出长度即可求出半径；
（3）根据（2）中数据求出，的长度，再根据阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积计算阴影部分的面积即可．
【小问1详解】
证明：连接，，
为的直径，
，
在中，，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
为的切线；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
即的半径为；
【小问3详解】
由（2）知，，，
，
，，
，
阴影部分的面积三角形的面积三角形的面积扇形的面积，
，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题主要考查圆的综合知识，熟练掌握切线定理，特殊角三角函数，扇形面积等知识是解题的关键．
25. 如图，已知直线与抛物线相交于，两点，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，抛物线的顶点为点．
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）设点为直线下方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点的坐标；
（3）点为轴上一动点，点是抛物线上一点，当（点与点对应），求点坐标．
【答案】（1），
（2）当时，最大，最大值为，此时
（3），，
【解析】
【分析】（1）将点代入得，得到，再利用待定系数法进行求解即可；
（2）作轴交于点，交轴于点，作轴于点，连接、，设点，则，，表示出，由二次函数的性质即可得出答案；
（3）设，，分两种情况：当点在左侧时，作轴于点，轴于点，当点在右侧时，，作轴于点，利用三角形全等的判定与性质，进行求解即可得出答案．
【小问1详解】
解：将点代入得：，
解得：，
，
将点，，代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，
，
点；
【小问2详解】
解：如图，作轴交于点，交轴于点，作轴于点，连接、，
，
设点，则，
，
，
当时，，此时点
【小问3详解】
解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，，，
，且，
为等腰直角三角形，，
，
，，
设，，
如图，当点在左侧时，作轴于点，轴于点，
，
由题意可得：，，
，，
，
，
，，
，
解得：，，
，；
当点在右侧时，，作轴于点，
同理可得，，
，
解得：，，
，
综上所述，点的坐标为，，．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的应用—三角形面积问题、相似三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．