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黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案）
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这是一份黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
活动时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.的绝对值是（ ）.
A.3B.C.D.
2.下列运算中，计算正确的是（ ）.
A.B.
C.D.
3.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）.
A.B.
C.D.
4.如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）.
A.B.
C.D.
5.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）.
A.B.C.D.
6.分式方程的解是（ ）.
A.B.C.D.
7.如图，线段是的直径，、是上两点，，过点作的切线交的延长线于点，则等于（ ）.
A.30°B.40°C.50°D.60°
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数（，）的图象同时经过顶点，.若点的横坐标为5，，则的值为（ ）.
A.B.C.D.
9.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上.若线段，则线段的长是（ ）.
A.B.1C.D.2
10.一辆汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地.汽车行驶的时间（单位：）与行驶的路程（单位：）之间的关系如图所示.请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）.
A.汽车在高速路上行驶了B.汽车在高速路上行驶的路程是
C.汽车在高速路上的平均速度是D.汽车在乡村道路上的平均速度是
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11.中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二，将数据14.14万用科学记数法表示为______.
12.函数中，自变量的取值范围是______.
13.把多项式分解因式的结果是______.
14.不等式组的解集是______.
15.二次函数的最大值是______.
16.二次函数图像与轴交于点，则图像轴的另一个交点的坐标为______.
17.若扇形的弧长为，半径为，则它的圆心角为______度.
18.有三辆车按1、2、3编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车，则两人同坐3号车的概率为______.
19.如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径的，与交于点，过点作交于点，点是边上的点，则的最小值为______.
20.已知：如图，点在正方形的对角线上，点在的延长线上，连接、、，且.若，，则的长为______.
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21.（本题7分）
先化简，再求值：，其中.
22.（本题7分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出面积为4的等腰，且点在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，，连接，请直接写出的面积.
23.（本题8分）
某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程.为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）求本次调查共抽取了多少名学生；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数.
24.（本题8分）
如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，.
（1）求证：；
（2）若，，求和的长.
25.（本题10分）
超市用1500元购进了甲、乙两种文具，已知甲种文具进价为每个15元，乙种文具进价为每个18元，超市在销售时甲种文具售价为每个20元，乙种文具售价为每个26元，全部售完后共获利600元.
（1）求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个；
（2）若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具，且购进甲种文具的数量不变，而购进乙种文具的数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价销售，而甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕时，要使再次购进的文具获利不少于920元，则甲种文具的最低售价每个应为多少元？
26.（本题10分）
在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点，重合），连接，线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点.
（1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值.
27.（本题10分）综合与实践
问题提出：
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的而积为，探究与的关系.
图1 图2
初步感知：
（1）如图1，当点由点运动到点时.
①当时，______；
②关于的函数解析式为______.
（2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长.
延伸探究：
（3）若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等.
①______；
②当时，求正方形的面积.
参考答案
一、ADDCB CBACD
二、11. 12. 13. 14.
15.4 16. 17.120 18. 19. 20. 10
三、21.原式
22.
23.（1）300 （2）80 （3）200
24.解：（1）略 （2）
25.解：（1）设这个超市购进甲种文具个，乙种文具个，
根据题意得：，
解得：.
答：这个超市购进甲种文具40个，乙种文具50个；
（2）设甲种文具的售价为每个元，
根据题意得：，
解得：，∴的最小值为18.
答：甲种文具的最低售价每个应为18元.
26.（1）解：.
理由如下：如图，连接.
根据图形旋转的性质可知.由题意可知，
为等腰直角三角形，
∵为等腰直角三角形斜边上的中线，
∴，.
又，∴.
在和中，，
∴
∴，.
∴.
∴.
∴.
（2）解：∵为等腰直角三角形斜边上的中线，
∴，
∵
∴.
∵，，∴
∴，.
∴，.
在和中，.
∴.∴
∴.
（3）解：如图，过点作垂直于，交于点；
过点作垂直于，交于点.
设，则.
根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形.
∴，.由（2）证明可知，
∴.∴.
∴.根据勾股定理可知
，
的面积与的面积之比
.
27.（1）解：①∵动点以每秒1个单位的速度从点出发，
在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点在上，且，
∵，，
∴，∴，故答案为：3；
②∵动点以每秒1个单位的速度从点出发，在匀速运动，
∴，∵，，
∴，∴；
（2）解：由图2可知当点运动到点时，，
∴，解得，∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设关于的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴关于的函数解析式为（），
在中，当时，解得或，∴；
（3）解：①∵点在上运动时，，点在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设，（）是函数上的两点，
则，是函数上的两点，
∴，，∴，
∵存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等.
∴可以看作，，，∴，故答案为：4；
②由（3）①可得，∵，∴，
∴，∴.
活动时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1.的绝对值是（ ）.
A.3B.C.D.
2.下列运算中，计算正确的是（ ）.
A.B.
C.D.
3.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）.
A.B.
C.D.
4.如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（ ）.
A.B.
C.D.
5.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）.
A.B.C.D.
6.分式方程的解是（ ）.
A.B.C.D.
7.如图，线段是的直径，、是上两点，，过点作的切线交的延长线于点，则等于（ ）.
A.30°B.40°C.50°D.60°
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，垂足为，顶点在第二象限，顶点在轴正半轴上，反比例函数（，）的图象同时经过顶点，.若点的横坐标为5，，则的值为（ ）.
A.B.C.D.
9.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上.若线段，则线段的长是（ ）.
A.B.1C.D.2
10.一辆汽车行驶后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶到达目的地.汽车行驶的时间（单位：）与行驶的路程（单位：）之间的关系如图所示.请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）.
A.汽车在高速路上行驶了B.汽车在高速路上行驶的路程是
C.汽车在高速路上的平均速度是D.汽车在乡村道路上的平均速度是
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11.中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二，将数据14.14万用科学记数法表示为______.
12.函数中，自变量的取值范围是______.
13.把多项式分解因式的结果是______.
14.不等式组的解集是______.
15.二次函数的最大值是______.
16.二次函数图像与轴交于点，则图像轴的另一个交点的坐标为______.
17.若扇形的弧长为，半径为，则它的圆心角为______度.
18.有三辆车按1、2、3编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车，则两人同坐3号车的概率为______.
19.如图，在中，，，，以点为圆心，3为半径的，与交于点，过点作交于点，点是边上的点，则的最小值为______.
20.已知：如图，点在正方形的对角线上，点在的延长线上，连接、、，且.若，，则的长为______.
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21.（本题7分）
先化简，再求值：，其中.
22.（本题7分）
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上.
（1）在图中画出面积为4的等腰，且点在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，，连接，请直接写出的面积.
23.（本题8分）
某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程.为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
（1）求本次调查共抽取了多少名学生；
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数.
24.（本题8分）
如图，以的边为直径作，交边于点，过点作交于点，连接，，.
（1）求证：；
（2）若，，求和的长.
25.（本题10分）
超市用1500元购进了甲、乙两种文具，已知甲种文具进价为每个15元，乙种文具进价为每个18元，超市在销售时甲种文具售价为每个20元，乙种文具售价为每个26元，全部售完后共获利600元.
（1）求这个超市购进甲、乙两种文具各多少个；
（2）若该超市以原价再次购进甲、乙两种文具，且购进甲种文具的数量不变，而购进乙种文具的数量是第一次的2倍，乙种文具按原售价销售，而甲种文具降价销售，当两种文具销售完毕时，要使再次购进的文具获利不少于920元，则甲种文具的最低售价每个应为多少元？
26.（本题10分）
在中，，，点为的中点，点在直线上（不与点，重合），连接，线段绕点逆时针旋转90°，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点.
（1）如图，当点与点重合时，请直接写出线段与线段的数量关系；
（2）如图，当点在线段上时，求证：；
（3）连接，的面积记为，的面积记为，当时，请直接写出的值.
27.（本题10分）综合与实践
问题提出：
某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形设点的运动时间为，正方形的而积为，探究与的关系.
图1 图2
初步感知：
（1）如图1，当点由点运动到点时.
①当时，______；
②关于的函数解析式为______.
（2）当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长.
延伸探究：
（3）若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等.
①______；
②当时，求正方形的面积.
参考答案
一、ADDCB CBACD
二、11. 12. 13. 14.
15.4 16. 17.120 18. 19. 20. 10
三、21.原式
22.
23.（1）300 （2）80 （3）200
24.解：（1）略 （2）
25.解：（1）设这个超市购进甲种文具个，乙种文具个，
根据题意得：，
解得：.
答：这个超市购进甲种文具40个，乙种文具50个；
（2）设甲种文具的售价为每个元，
根据题意得：，
解得：，∴的最小值为18.
答：甲种文具的最低售价每个应为18元.
26.（1）解：.
理由如下：如图，连接.
根据图形旋转的性质可知.由题意可知，
为等腰直角三角形，
∵为等腰直角三角形斜边上的中线，
∴，.
又，∴.
在和中，，
∴
∴，.
∴.
∴.
∴.
（2）解：∵为等腰直角三角形斜边上的中线，
∴，
∵
∴.
∵，，∴
∴，.
∴，.
在和中，.
∴.∴
∴.
（3）解：如图，过点作垂直于，交于点；
过点作垂直于，交于点.
设，则.
根据题意可知，四边形和为矩形，为等腰直角三角形.
∴，.由（2）证明可知，
∴.∴.
∴.根据勾股定理可知
，
的面积与的面积之比
.
27.（1）解：①∵动点以每秒1个单位的速度从点出发，
在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点在上，且，
∵，，
∴，∴，故答案为：3；
②∵动点以每秒1个单位的速度从点出发，在匀速运动，
∴，∵，，
∴，∴；
（2）解：由图2可知当点运动到点时，，
∴，解得，∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设关于的函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴关于的函数解析式为（），
在中，当时，解得或，∴；
（3）解：①∵点在上运动时，，点在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设，（）是函数上的两点，
则，是函数上的两点，
∴，，∴，
∵存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等.
∴可以看作，，，∴，故答案为：4；
②由（3）①可得，∵，∴，
∴，∴.
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