专题06 立体几何之位置的存在性问题-备战高考数学大题保分专练(全国通用)

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专题06 立体几何之位置的存在性问题
一、解答题
1．在三棱柱中，侧面是正方形，，AB⊥BC．

（1）求证：平面平面ABC；
（2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角为？
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在，且E为B1C的中点
【分析】
（1）取AC中点O，连接，BO，根据勾股定理逆定理得到，证明平面ABC，得到答案.
（2）如图所示建立空间直角坐标系，得到各点坐标，设，平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
（1）
取AC中点O，连接，BO，，，故BO⊥，，
，四边形是正方形，故，
，，，故，
，平面ABC，Ì平面，故平面平面ABC。
（2）
以为轴建立空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(1，0，0)，，由，得到，

设，，，
则平面的一个法向量，
，
即(2λ－1)(λ＋1)＝0，所以λ＝，即E为B1C的中点.
2．已知三棱柱中，.

（1）求证: 平面平面.
（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为 若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.
【分析】
(1)连接，根据给定条件证明平面得即可推理作答.
(2)在平面内过C作，再以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断作答.
（1）
在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，则是菱形，连接，如图，

则有，因，，平面，于是得平面，
而平面，则，由得，，平面，
从而得平面，又平面，
所以平面平面.
（2）
在平面内过C作，由(1)知平面平面，平面平面，
则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，，则，
假设在线段上存在符合要求的点P，设其坐标为，
则有，设平面的一个法向量，
则有，令得，而平面的一个法向量，
依题意， ，化简整理得：
而，解得，
所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，使平面和平面所成角的余弦值为.
3．如图，在三棱柱中，面，，，为的中点.

（1）求证：平面；
（2）棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）存在，，理由见解析.
【分析】
（1）连接交于点，连接，进而根据中位线定理得，再根据线面平行的判定定理即可证明；
（2）根据题意两两垂直，故以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
（1）
解：如图，连接交于点，连接，
因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，
所以是的中点，
因为为的中点，
所以在中，，
因为平面，平面，
所以平面
（2）
解：因为在三棱柱中，面，，
所以两两垂直，故以点为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，
因为，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
假设棱上存在一点，使得平面平面，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
所以，解得，此时，
所以棱上存在一点，使得平面平面，此时

4．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD=2AB=2BC，E是CD的中点．将△ADE沿AE折起到△AD'E的位置．

（1）若M为棱BD'上动点，问在棱AE上是否存在定点N，使BC⊥MN？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
（2）若平面AD'E⊥平面ABCE，求二面角A﹣BD'﹣C的余弦值．
【答案】
（1）存在，.
（2）.
【分析】
（1）取AE的中点N，连结D'N，BN，MN，根据线面垂直的判定可证得AE⊥平面D'NB， 再由线面垂直的性质可证得BC⊥MN，从而得出结论；
（2）以N为坐标原点，NA，NB，ND'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB=2，运用面面角的向量求解方法可求得答案.
（1）
解：当N为AE中点时，BC⊥MN，证明如下：
取AE的中点N，连结D'N，BN，MN，如图所示，

因为AB∥CD，且CD=2AB=2BC，所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形，
因为D'A=D'E，N为AE的中点，所以D'N⊥AE，
因为AB=EB，N为AE的中点，所以BN⊥AE，又D'N∩BN=N，所以AE⊥平面D'NB，
又因为AE∥BC，所以BC⊥平面D'NB，
因为MN⊂平面D'NB，所以BC⊥MN，此时，
故存在定点N，使BC⊥MN，且；
（2）
解：因为平面AD'E⊥平面ABCE，平面AD'E∩平面ABCE=AE，D'N⊥AE，所以D'N⊥平面ABCE，
以N为坐标原点，NA，NB，ND'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB=2，

则，
所以，
设平面ABD'的法向量为，则有，所以，
设平面BD'C的法向量为，则有，所以，
设二面角A﹣BD'﹣C的平面角为θ，
则，
又因为θ为钝角，所以，
故二面角A﹣BD'﹣C的余弦值为．
5．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，，，．

（1）求证：平面CDEF；
（2）在线段BD上是否存在一点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°？若存在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在，点G满足时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30°
【分析】
（1）要证线面垂直，只要证这条直线和该平面垂直即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得个面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解.
（1）
（1）证明：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴．
在中，，即，，
∴，即．
在梯形ABFE中，过点E作，交AB于点P．
∵，∴，，
∴．
在中，可求．
∵，，
∴，∴．∴．
又，∴平面CDEF．
（2）
（2）解：存在点G．
由（1）可得，，又．∴平面AED．
又平面ABCD，∴平面平面AED．
如图，过D作平面ABCD的垂线DH，以点D为坐标原点，DA，DC，DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．
设，，则．设平面FAG的一个法向量为，则，，∴即
令，得．
易知平面EAD的一个法向量为．
假设存在点G，使得平面EAD与平面FAG所成的角为30°，
则，
化简得，∴．
∴当点G满足时，平面EAD与平面FAG所成角的大小为30°．
6．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，平面PAB⊥底面ABCD，E为AD的中点.

（1）求证：CE⊥PD；
（2）在线段BD（不包括端点）上是否存在点F，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为，若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在，点为靠近点的三等分点，即；
【分析】
（1）取的中点，连结，取的中点，连结，利用面面垂直的性质定理证明，，两两垂直，然后建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线的方向向量的坐标，由向量垂直的坐标表示进行分析证明即可；
（2）设，则，即可得到的坐标，表示出平面的法向量，利用空间向量方程得到方程，解得即可；
（1）
证明：取的中点，连结，
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以底面，
取的中点，连结，则，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，
所以，
则，故，
所以；
（2）
解：由（1）可知，，
所以，，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
所以，
整理可得，解得，
所以在上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等分点，即．

7．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
（3）存在，，理由见解析.
【分析】
（1）由线面垂直的判定定理证明面，面，可得、，再由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量、平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式即可求解；
（3）设，，可得，平面的一个法向量为，利用空间向量夹角公式列方程，解方程求出的值即可求解.
（1）
在正方形中，，又因为，，
所以面，因为面，所以，
因为，，，所以面，
因为面，所以，
因为，所以平面；
（2）
由已知可得，，两两垂直，以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，连接，可得，
因为，所以，
所以，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
由，令，则，，所以，
设平面的一个法向量，
由，则，令，则，所以，
所以，
因为二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
（3）
存在，理由如下：
假设在棱上是否存在一点满足条件，设，，
则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
所以，
解得：，，
所以在棱上是否存在一点，使直线与平面所成的角是且
的长为.

8．如图，在直三棱柱中，，，分别是，BC的中点，点在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）在线段上不存在点，使得平面与平面所成的二面角为．
【分析】
（1）取的中点，连结，利用中位线定理证明四边形为平行四边形，从而得到，由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设，其中，，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式列出等式，求解即可得到答案．
（1）
证明：取的中点，连结，
因为为的中点，且，
又为的中点，为的中点，所以且，
故且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

设，其中，，则，
故，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，故，
平面的一个法向量为，
因为平面与平面所成的二面角为，
所以，
解得，，
故在线段上不存在点，使得平面与平面所成的二面角为．
9．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，且侧面为等边三角形．为线段的中点．

（1）求证：直线；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为．
【答案】
（1）证明见解析
（2）存在；证明见解析
【分析】
（1）连接，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得．
（2）以E为原点，直线EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PAC的法向量为，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）
证明：连接，因为为正三角形，可得，
又因为四边形为菱形，且，所以也是正三角形，
由点为的中点，所以，
又由， 平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以．
（2）
解：由平面PMB⊥平面ABCD，及PE⊥BC可得，PE⊥平面ABC．
以E为原点，直线EA，EB，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
菱形ABCD边长为2，所以可求得，

设平面PAC的法向量为，
则，取，可得，即
因为F是线段PA上的点，所以存在实数使得

设直线EF与平面PAC所成的角为，
则
解得或，
所以线段PA上存在点F满足题意，且F为线段PA的两个三等分点．

10．如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）
（3）存在，.
【分析】
（1）根据面面平行的判定及性质定理，即可得证.
（2）根据面面垂直的性质定理，可证平面，，即可求得BN长，根据勾股定理，可证，如图建系，求得各点坐标，即可坐标，进而可求得平面CDM的法向量，根据线面角的向量求法，即可得答案.
（3）设点，即可求得E点坐标，进而可求得平面的法向量，由（1）可得平面，所以即为平面的法向量，根据二面角的向量求法，列出方程，即可求得值，即可得答案.
（1）
因为为正方形，
所以，
因为，且，平面AND，平面BMC，
所以平面平面BMC，
又平面AND，
所以平面.
（2）
因为平面平面，且平面平面，，
所以平面，又平面，
所以，
在中，，
所以在中，，
所以，又，
所以，
所以两两垂直，以B为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示：

所以，
则，
设平面CDM的法向量，
则，令，可得，
所以一条法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
（3）
假设存在点E，设点，
所以，
所以点，则，
设平面的法向量，
则，令，可得，
所以一条法向量，
因为平面，
所以即为平面的法向量，
所以，
即，解得或-1（舍），
所以，则，
所以存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时
11．在如图所示的几何体中，平面平面，四边形是菱形，四边形是矩形，，，，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）存在，.
【分析】
（1）由题可得，，进而平面，即证.
（2）以为原点，为轴建立如图所示的坐标系，求出平面的一个法向量、平面的法向量．利用向量的夹角公式，建立方程，即可得出结论．
（1）
连结BD，由四边形是菱形，，是的中点.
所以，

因为四边形是矩形，
平面⊥平面且交线为
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面,
（2）
由，，故，
因为四边形是矩形，平面⊥平面且交线为，
，所以平面，

以为原点，为轴建立如图所示的坐标系，则，，，，设（）则
，，
平面，平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，即，
取，，
假设在线段上存在点，使二面角的大小为．
则，
解得，
所以点在线段上，符合题意的点存在，此时．
12．如图，将等腰直角△ABC沿斜边AC旋转，使得B到达B′的位置，且BB′=AB．

（1）证明：平面AB′C⊥平面ABC；
（2）求二面角B-AB′-C的余弦值；
（3）若在棱CB′上存在点M，使得，在棱BB′上存在点N，使得，且BM⊥AN，求λ的取值范围．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质证明∠B'OC=90°，再利用三角形全等证明∠B'OB=∠B'OC=90°，由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ABB'的法向量，由向量的夹角公式求解即可；
（3）利用向量的坐标运算求出的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示，得到λ，μ的函数关系，利用单调性求解取值范围即可．
（1）
证明：设AC的中点为O，连接OB，OB'，
由题意可得，BB'=AB=AB'=BC=B'C，
在△AB'C中，因为O为AC的中点，则OB'⊥AC，即∠B'OC=90°，
则△OBB'≌△OCB'，
所以∠B'OB=∠B'OC=90°，即OB'⊥OB，
因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC，
故OB'⊥平面ABC，
又OB'⊂平面AB'C，
所以平面AB′C⊥平面ABC；
（2）
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，不妨设OA=1，
则O（0，0，0），A（-1，0，0），B（0，1，0），B'（0，0，1），C（1，0，0），
所以，
设平面ABB'的法向量为，
则，即，
令x=1，则y=z=-1，
故，
因为OB⊥平面AB'C，
所以平面AB'C的一个法向量为，
则，
又二面角B-AB′-C为锐二面角，
所以二面角B-AB′-C的余弦值为；
（3）
结合（2）可得，
则，
，
因为BM⊥AN，
则，即，
所以，
故λ是关于μ的单调递增函数，
当时，，
故λ的取值范围为．

13．如图，在四棱锥 中，底面，底面 为平行四边形，，且 ，， 是棱的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线 与平面所成角的正弦值；
（3）在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得二面角 的余弦值为 ?若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
（3）存在，在的两个三等分点处
【分析】
（1）连接交于，连接，则为中点，，得到证明.
（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，根据向量的夹角公式得到答案.
（3）假设存在，，计算平面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.
（1）
如图所示：连接交于，连接，则为中点，是棱的中点，
故，，，故平面.
（2）
以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
设平面的法向量为，则，
取，得到，，
直线 与平面所成角的正弦值为.
（3）
假设存在，，设，即，
故，
设平面的法向量为，则，
取，得到，
，化简得到，解得或.
故在的两个三等分点处.

14．等边三角形的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将 沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使？若存在，请指出P点的位置，若存在，请说明理由
【答案】
（1）平行，理由见解析
（2）
（3）存在，靠近B的三等分点
【分析】
（1）证得，利用线面平行判定定理即可得出结论；
（2）建立空间坐标系，再分别计算平面CDF及平面EDF的法向量，利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角得结论；
（3）求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直：可设，再转化条件为，解得，即可确定P位置．
（1）
如图，在中，由E、F分别是AC、BC中点，得，
又平面DEF，平面DEF，∴平面．
（2）
由题知，，平面平面，且交线为，
∴平面，∴，又已知，
∴两两垂直，以点D为坐标原点，直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，
平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，即，取，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
（3）
设，则，∴，
又，
∵，∴，∴，
把代入上式得，∴，
∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使．
设，则，∴，
又，
∵，∴，∴，
把代入上式得，∴，
∴在线段上存在点，即靠近B的三等分点，使．
15．在四棱锥 中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足 ．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【分析】
（1）证法一：取的中点，连接，，可证，且，所以四边形为平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证.
证法二：如图建系，求得各点坐标，进而求得平面的法向量为和，因为，结合线面平行的判定定理，即可得证.
（2）如图建系，设点，根据题意，求得t值，可得F点坐标，进而可求得平面的法向量，根据二面角的向量求法，即可得答案.
（3）设，即可求得坐标，根据线面角的向量求法，代入公式，即可求得值，进而可得，根据求模公式，即可得答案.
（1）
证法一：取的中点，连接，，如图所示

因为，分别为，的中点，
所以，且，
又，且，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
证法二：由题意得，，两两垂直，以为原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
又，
所以，即，
又平面，
所以平面；
（2）
因为点在线段上，设点，
则，，
因为，
所以，解得，
所以，则，，
设平面的法向量，
由，得，取，得，
又平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，
又由图可知，该二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为；
（3）
设，，
所以，
设与平面所成角为，
则，
因为与平面所成角的余弦值是，
所以其正弦值为，
所以，整理得：，解得，（舍），
所以存在点，使得与平面所成角的余弦值是，
此时，所以
16．如图，在四棱锥中，，，， ，平面平面.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【分析】
（1）由结合线面平行的判定定理即可求证；
（2）证明四边形为矩形，可得，求出，的长由勾股定理逆定理可证明，再由面面垂直的性质定理即可求证；
（3）如图建立空间直角坐标系，求出所需各点坐标，取平面的一个法向量为，假设 ，求出的坐标，求平面的一个法向量，由求出的值即可求解.
（1）
因为，平面，平面，所以 平面
（2）
取的中点，连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
因为，所以四边形为矩形，可得，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得，
在中，，所以，
因为平面平面，平面平面，面，
所以平面.
（3）
存在，取的中点，连接，，易得，
因为平面，所以平面，
因为，所以，
如图：分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
易知平面的一个法向量为，
假设在棱上存在一点，使得平面与平面的夹角为，
不妨令 ，则，
所以，
设为平面的一个法向量，
则，
可得：，令，则，所以，
所以，
整理可得：，即，
解得：或，
因为，所以，
所以在上存在一点，使得平面与平面的夹角为，此时.

17．如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，与交点为，且，．

（1）证明：平面；
（2）若且，，则在线段上是否存在一点﹐使得二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点；为线段上靠近点的三等分点．
【分析】
（1）取的中点，由等腰三角形三线合一性质和线面垂直的判定可证得平面，由此可得，结合，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，假设存在点，，可利用表示出点坐标，根据二面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结论.
【详解】
（1）四边形为等腰梯形，，
取的中点，连接，则，

，，
又平面，，平面，
又平面，，
，，平面，平面．
（2）平面，，
以为坐标原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
设点，由得：，
解得：，，
设平面的法向量为，
，令，解得：，，
，
若满足题意的点存在，则，
解得：，，
在线段上，，即，
存在符合题意的点，为线段上靠近点的三等分点.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．

（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）存在，理由见解析；（2）．
【分析】
（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点，然后取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，再利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值．
【详解】
（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连接、，
、分别为、的中点，则且，
因为四边形为菱形，则且，
为的中点，则且，
故且．所以，四边形为平行四边形．所以，，
又平面，平面，所以，平面；
（2）连接，因为，，故为等边三角形，
因为为的中点，则，亦即，
又，所以，
且平面平面，平面平面，平面，所以平面，
故以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则由题意知、、、，
，，设平面的法向量为，
则由，令，则，，则，
易知平面的一个法向量，
二面角的余弦值为，，解得．
所以，，则，
易知平面的一个法向量为，所以，，
设直线与平面所成角为，则.
19．如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形.DE=2BF=2.平面BFED⊥平面ABCD.

（1）求证：AD⊥平面BFED；
（2）在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且是线段上靠近点的三等分点.
【分析】
（1）通过证明来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面所成锐二面角的余弦值列方程，由此求得的位置.
【详解】
（1）在梯形中，，，
过作，因为，所以四边形是平行四边形.
由于，所以四边形是菱形，，
则三角形是等边三角形，所以，所以四边形是菱形.
则，则.
由于平面平面，交线为，而，
所以平面，则，
由于，所以平面.

（2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，，
设，
.
设平面的法向量为，
则，故可设.
由于，所以平面.
平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
注意到，所以上式解得.
所以是上靠近点的三等分点.

20．如图，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，点在线段上.

（1）若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线平面；
（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；证明见解析；（2）存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为.
【分析】
（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；
（2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】
（1）分别为中点，，又为中点，为中点，
；
连接，交于点，连接，

四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，
又平面，平面，平面；
（2），，，
又平面，平面，即为二面角的平面角，
；
取中点，连接，
，，，，
，
，，，又平面，，
平面，
则以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系如下图所示，

则，，，，
设，则，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，
，
直线与平面所成的角为，
，
解得：或，
存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为；
设平面的法向量，又，，
，令，则，，；
当时，，；
当时，，；
综上所述：二面角的余弦值为.
21．如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点．

（1）证明：，，三线共点；
（2）线段CD上是否存在一点G，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请指出点G的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为的中点，．
【分析】
（1）由，共面且不平行，可得，再由点在面与面的公共直线上，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，设，2，，由直线与平面所成角的正弦值为，利用线面角的向量公式，可得，再利用二面角的向量公式，即可求解二面角的平面角的余弦值大小.
【详解】
（1）证明：且，，共面．
设，
则，而面，面；
同理可得面，点在面与面的公共直线上，
即，，三线共点．
（2）根据题意可知，，，两两垂直，
以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

，0，，，0，，，2，，，1，，
故，．
假设满足条件的点存在，设，2，，，则，
设平面的法向量为，
则由，
得，
不妨取，则，．
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面的平面角为，
则，
得设平面的法向量为，
则，令
因此平面的一个法向量为，

由图得，两平面的夹角为锐角
故二面角的平面角的余弦值．
22．如图，在直三棱柱中、．，是中点．

（1）求证：平面；
（2）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）连接交于，连接，可证明，利用线线平行推线面平行的判定定理，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，由可得，分别计算两个平面的法向量，由二面角的向量公式，即得解
【详解】
（1）证明：连接交于，连接

四边形是平行四边形，
是的中点，又是的中点，
，又平面，平面，
平面．
（2）以为原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，0，，，2，，，1，，
，0，，，，，
，，即，，故，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，即，
令可得，，，
又，1，为平面的一个法向量，
，，由图得两平面的夹角为锐角
平面与平面夹角的余弦值为．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD＝DC，F，G分别是PB，AD的中点．

（1）求证：GF⊥平面PCB；
（2）求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）在AP上是否存在一点M，使得DM与PC所成角为60°？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）M为AP中点.
【分析】
（1）以点D为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，建立平面PBC的法向量，证得，即GF⊥平面PCB;
（2）建立平面PAC的法向量，根据空间向量数量积公式，求得平面PAB与平面PCB夹角的余弦值；
（3）设＝λ，求得点M坐标表示，使用空间向量数量积公式，求得的值，即得到点M的坐标.
【详解】
（1）证明：因为ABCD是边长为2的正方形，故，
又PD⊥底面ABCD，故以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则G（1，0，0），P（0，0，2），A （2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
F（1，1，1），
故＝（0，1，1），＝（2，2，﹣2），＝（0，2，﹣2），
设平面PCB的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴＝（0，1，1），
∴∥，故GF⊥平面PCB．
（2）解：由（1）知，平面PCB的法向量为＝（0，1，1），＝（2，0，﹣2），
设平面PAB的法向量，
则，即，
令＝1，则＝0，＝1，故，
故cos＜，＞＝＝＝，.
由平面与平面的夹角为锐角，
因此平面PAB与平面PCB夹角的余弦值为．
（3）解：设＝λ，则M（2﹣2λ，0，2λ），则＝（2﹣2λ，0，2λ），
∵DM与PC所成角为60°，＝（0，2，﹣2），.
∴cos60°＝|cos＜，＞|＝||＝||，
解得λ＝，故在AP上存在一点M，使得DM与PC所成角为60°，
点M的坐标为（1，0，1）
M为AP中点．
24．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.

（1）求证：平面.
（2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
【分析】
（1）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，可求得平面的法向量，由与平面的法向量垂直可得结论；
（2）假设存在满足题意的点，利用二面角的向量求法可构造方程求得，由此可得结果.
【详解】
（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，，
又，，即，
又平面，平面.
（2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.
设，则，.
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，，
又平面的一个法向量为，
，即，解得：或(舍去)，此时，
在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为，此时.
25．如图，在三棱柱中，平面，，.

（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）点在线段上，且，试问在线段上是否存在一点，满足平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由？
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【分析】
（1）推导出，，，从而平面，进而，由此可得证．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．
（3）求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值．
【详解】
（1）证明：在三棱柱中，平面，，．
，，，
，平面，
平面，，
，平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，，，
设异面直线与所成角为，
则，又，．
异面直线与所成角的大小为．
（3）解：，，，，，，
，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
点在线段上，且，点在线段上，
设，，，，，，，则，，，
即，
解得，
平面，，
解得．
的值为．

26．如图所示， 已知几何体EFG－ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上.

（1）求证：BM⊥EF；
（2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点M位于DG上，且.
【分析】
（1）由题意可得两两垂直，所以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，由于点M在边DG上，所以可设M(0,0，t)(0≤t≤1)，表示出和，只要计算出·＝0，即可得结论，
（2）假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°，利用空间向量求出点M的坐标即可
【详解】
(1)证明　因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，

所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD，
又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.
以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1).
因为点M在边DG上，故可设M(0,0，t)(0≤t≤1).
可得＝(1,1，－t)，＝(－1,1,0)，
所以·＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0，
所以BM⊥EF.
(2)解：假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.
设平面BEF的法向量为，
因为＝(0，－1,1)，＝(－1,0,1)，
所以
所以
令z＝1，得x＝y＝1，所以为平面BEF的一个法向量，
所以，
因为直线MB与平面BEF所成的角为45°，
所以，
所以，解得t＝－4±3.
又0≤t≤1，所以t＝3－4.
所以存在点M(0,0,3－4).
当点M位于DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°.
27．在四棱锥中，平面，，，，，，M是棱的中点．

（1）求与平面所成的角的大小；
（2）在棱上是否存在点Q，使得平面与平面所成的锐二面角的大小为60°？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【分析】
（1）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设与平面所成的角为，平面的法向量为，根据即可计算出与平面所成的角.
（2）首先假设存在点Q，根据面与平面所成的锐二面角为60°即可计算出点Q的坐标，从而计算出的长.
【详解】
如图，以所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，

（1），，
设平面的法向量，则
所以可取，设与平面所成的角为
则，所以与平面所成的角为；
（2）平面的法向量可取
设，则
所以，
设平面的法向量为，则
可取
因为平面与平面所成的锐二面角的大小为60°.
所以，所以
解得或（舍）
所以，所以
28．在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）假设在线段上存在一点，使，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先证明，，可以得到平面，利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）以B为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】
（1）证明：因为平面，平面，所以.
又，，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以△为等腰直角三角形，G为斜边中点，所以.
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）以B为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则,.
设点，由，得：，即，
所以，则.
此时，.
又，，
设平面PBN的一个法向量，
由，不妨取y=-2.得：.
设线与平面所成角为，则
,
即线与平面所成角的正弦值为
29．已知在六面体PABCDE中，PA⊥平面ABCD，ED⊥平面ABCD，且PA＝2ED，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°.

（1）求证：平面PAC⊥平面PBD；
（2）若直线PC与平面ABCD所成角为45°，试问：在线段PE上是否存在点M，使二面角P﹣AC﹣M为60°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点M与点E重合.
【分析】
（1）连接BD，由已知可得BD⊥AC，再由PA⊥平面ABCD，得到BD⊥PA，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面PAC，从而得到平面PBD⊥平面PAC；
（2）由PA⊥平面ABCD，可得AC为PC在平面ABCD上的射影，求解三角形证明AH⊥AD，以A为原点，分别以AH，AD，AP所在直线为x，y，z，建立空间直角坐标系，设M（x，y，z），，可得M（0，2﹣2λ，1+λ），分别求出平面PAC的法向量与平面ACM的法向量，由二面角P﹣AC﹣M为60°,求得λ＝0，可得点M与点E重合，得到存在点M与点E重合时，二面角P﹣AC﹣M为60°.
【详解】

（1）证明：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，
又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD上的射影，
∴∠PCA为直线PC与平面ABCD所成角，则∠PCA＝45°，得PA＝AC，
令DE＝1，则PA＝AC＝2，
又四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，得AB＝2，
取BC的中点H，连接AH，可得，且AH⊥BC，∴AH⊥AD，
以A为原点，分别以AH，AD，AP所在直线为x，y，z，建立空间直角坐标系，
如图所示，

则E（0，2，1），P（0，0，2），，，D（0，2，0），
∴，设M（x，y，z），
∵M，P，E三点共线，∴，则（x，y﹣2，z﹣1）＝λ（0，﹣2，1），
解得x＝0，y＝2﹣2λ，z＝1+λ，∴M（0，2﹣2λ，1+λ），
∴，，
由（1）知BD⊥平面PAC，∴平面PAC的法向量，取，
令平面ACM的法向量为，
则，令，则，
∵二面角P﹣AC﹣M为60°，∴，
∴，解得λ＝0，
∵0≤λ≤1，∴当λ＝0时，点M与点E重合，
∴存在点M为点E时，二面角P﹣AC﹣M为60°.
30．如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，．

（1）证明：；
（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；位置在靠近点的三等分点处．
【分析】
（1）根据几何关系得，进而得以平面，故；
（2）根据几何关系得，进而得平面，故以为原点，，，分别为，轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】
解：（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且
所以为等腰直角三角形
因为，
所以，
因为，，
所以
所以
又因为平面，平面，
所以平面
因为平面
所以
（2）因为，，
所以，即
因为，平面，平面，
所以平面
如图，以为原点，，，分别为，轴建立空间直角坐标系，
由（1）知，
故，，，，，
，，

假设在棱上存在一点满足题意，设，．
所以
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，解得，故
易得平面的一个法向量为
设二面角为，可知二面角为锐二面角
解得，
所以存在满足题意的点，位置在靠近点的三等分点处