2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 4.2 利用导数求单调性（精讲）（提升版）（原卷版+解析版）

这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 4.2 利用导数求单调性（精讲）（提升版）（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了单调区间，已知单调性求参数，单调性的应用之解不等式，单调性应用之比较大小，含参函数的单调性讨论等内容，欢迎下载使用。


考点呈现
例题剖析
考点一 单调区间（无参）
【例1-1】 (2023·新疆）函数的减区间是____________.
【例1-2】 (2023·广东·顺德一中）设曲线在上的单调递减区间是______.
【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-∞,0)B．(1,+∞)C．(-∞,1)D．(0,+∞)
【一隅三反】
1．函数f(x)＝x＋2eq \r(1－x)的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
2．（皖豫名校联盟体2022届）函数的单调递减区间为__________．
3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为 ．
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022安徽省“皖东县中联盟）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2022.广东）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022福建省）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·宁夏吴忠）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三 单调性的应用之解不等式
【例3】（湖南省多所学校2022届）已知，则的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【一隅三反】
1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
2．（湖北省2022届）已知函数，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ．
4．已知函数f(x)＝xsin x＋cs x＋x2，则不等式f(ln x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,x)))<2f(1)的解集为 ．
考点四 单调性应用之比较大小
【例4-1】（华大新高考联盟名校2022届）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【例4-2】（湖南师范大学附中2022届）下列两数的大小关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【一隅三反】
1． (2023年全国新高考I卷数学试题）设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（山东省青州市2022届）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（江西省萍乡市2022届）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（湖北省二十一所重点中学2022届）已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
考点五 含参函数的单调性讨论
【例5-1】（2022广西节选）已知函数，讨论的单调性；
【例5-2】（2022安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性；
【例5-3】（安徽省江淮名校2022届）已知函数，讨论的单调性；
【例5-4】（2022辽宁省沈阳市第二中学）已知函数，讨论的单调性；
【一隅三反】
1．（2022贵州省贵阳市五校）已知，函数，讨论的单调性；
2．（2022陕西省）已知函数．讨论函数的单调性；
3．（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）已知，讨论的单调性；
4．（2022江苏省）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；
4.2 利用导数求单调性（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 单调区间（无参）
【例1-1】 (2023·新疆）函数的减区间是____________.
【答案】
【解析】由可得所以由可得所以函数的减区间是故答案为：
【例1-2】 (2023·广东·顺德一中）设曲线在上的单调递减区间是______.
【答案】
【解析】因为，所以，
令，则，解得或.
当时，所以函数的单调递减区间为.故答案为： .
【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）
A．(-∞,0)B．(1,+∞)C．(-∞,1)D．(0,+∞)
【答案】A
【解析】由题设，则，可得，
而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A
【一隅三反】
1．函数f(x)＝x＋2eq \r(1－x)的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【答案】 C
【解析】f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－eq \f(1,\r(1－x))，令f′(x)＝0，得x＝0.
当00.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
2．（皖豫名校联盟体2022届）函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】当时，，则其在上递减，
当时，，则，
当时，，所以在上递减，
综上，的单调递减区间为，故答案为：
3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cs x，则f(x)的单调递增区间为 ．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
【解析】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝eq \f(π,6)或x＝eq \f(5π,6)，当00，
当eq \f(π,6)0，∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6)))上单调递减．
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022安徽省“皖东县中联盟）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于函数，导数.
要使函数在区间上单调递减，只需恒成立.
因为，只需，只需恒成立.
记，只需.
.
因为，所以.
由在上单减，在上单增，且时，，时，.
所以在上的最大值为，所以在的最大值为1.
所以.故选：B
【例2-2】（2022.广东）已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴
∵函数在区间上不是单调函数
∴在区间上有根
∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当时，∵，∴，∴.故选：D．
【一隅三反】
1．（2022福建省）已知函数在上为单调递增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
因为在上为单调递增函数，所以在上恒成立，
令，要满足①，或②，
由①得：，由②得：，综上：实数m的取值范围是.故选：D
2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若是R上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，
因为是R上的减函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由于，所以．故选：B.
3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
因为在区间上存在单调递减区间，所以存在，使得，
即，令，，则恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以.故选：A
4． (2023·宁夏吴忠）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，可得，
因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根，
则满足，解得或，即实数的取值范围是.故选：C.
考点三 单调性的应用之解不等式
【例3】（湖南省多所学校2022届）已知，则的解集是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】当时，，在恒成立，
∴在单调递增，且，∴当时，，
，是偶函数，∴的解集是或，
故选：B.
【一隅三反】
1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】的定义域为，
因为，所以在上单调递减，
所以不等式等价于，解得或，
所以不等式的解集为.故选：D
2．（湖北省2022届）已知函数，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以在上单调递减，
则等价于，解得，即原不等式的解集为.故选：B.
3．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ．
【答案】 (1,2]
【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋ex－cs x.
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x－1)≤f(1)，∴04．已知函数f(x)＝xsin x＋cs x＋x2，则不等式f(ln x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,x)))<2f(1)的解集为 ．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))
【解析】f(x)＝xsin x＋cs x＋x2是偶函数，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,x)))＝f(－ln x)＝f(ln x)．
则原不等式可变形为f(ln x)由2＋cs x>0，得当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴|ln x|<1⇔－1考点四 单调性应用之比较大小
【例4-1】（华大新高考联盟名校2022届）已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，，得，，，
构造函数，求导得，令，得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
因为，所以，所以，
又因为，在上单调递减，所以.故选：A．
【例4-2】（湖南师范大学附中2022届）下列两数的大小关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于A，设，则，
则当时，，在上单调递减，，
即，即，，则，A错误；
对于B，，，，则，B正确；
对于C，，，，，C错误；
对于D，，D错误.故选：B.
【一隅三反】
1． (2023年全国新高考I卷数学试题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以故选：C.
2．（山东省青州市2022届）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设,则,
当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,
故当时,函数取得最大值,
因为,,
,当时,,函数单调递减,可得,即.故选:C
3．（江西省萍乡市2022届）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，，
，可以判断在上单调递增，
所以，，
所以，又因为，，
所以，即，所以，故选：D.
4．（湖北省二十一所重点中学2022届）已知是自然对数的底数，设，，，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，设，易知当时，递减；
，即为；，即为，所以，即；
，即，故A错，故D错；
，即，故B错；
构造函数，所以恒成立，
所以在单调递增，所以，即，所以；
故选：C.
考点五 含参函数的单调性讨论
【例5-1】（2022广西节选）已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为
当时，在上恒成立，故在上单调递减
当时，，且时，，时，
即在上单调递增，在上单调递减
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【例5-2】（2022安徽）已知函数，讨论f（x）的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当时，，∴在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，令，解得：
∴当时，；当时，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减.
【例5-3】（安徽省江淮名校2022届）已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】函数的定义域为．
．
当时，若，则；若，则在区间单调递增，在单调递减．
当时在单调递增．
当时，，若或，则；若，则．
所以在区间单调递增，在区间单调递减．
当时，，若或，则；若，则．
所以在单调递增，在单调递减．
综上所述，时，在单调递增，在单调递减．时，在单调递增．
时，在单调递增，在单调递减．时，在，单调递增，在单调递减．
【例5-4】（2022辽宁省沈阳市第二中学）已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数的减区间为；
当时，方程在时的解为，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为，增区间为.
【一隅三反】
1．（2022贵州省贵阳市五校）已知，函数，讨论的单调性；
【答案】时， 在递增；时，的增区间是，减区间是．
【解析】的定义域是，，
时，恒成立，在递增，
时，时，，时，，
的增区间是，减区间是．
综上：时，在递增；
时，的增区间是，减区间是．
2．（2022陕西省）已知函数．讨论函数的单调性；
【答案】答案解析
【解析】因为，所以．
①当时，恒成立，在上单调递增；
②当时，时，；时，；
故在和上单调递增，在上单调递减．
3．（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）已知，讨论的单调性；
【答案】见解析
【解析】，
①当时，，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减；
当时，令，则或，
②当，即时，，
所以函数在上递增；
③当，即时，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减；
④当，即时，
当或时，，当时，，
所以函数在和上递增，在上递减，
综上所述，当时，函数在上递增，在上递减；
当时，函数在上递增；
当时，函数在和上递增，在上递减；
当时，函数在和上递增，在上递减；
4．（2022江苏省）已知函数，函数的导函数为．讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由得，函数的定义域为，
且，令，即，
①当，即时，恒成立，在单调递增；
②当，即时，令，
当时，，的解或，
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．