2024年新高考专用数学第一轮复习讲义一隅三反基础版 2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）（基础版）（原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac＜bcB．ca＜cb
C．lgac＞lgbcD．sinc＞sina
3． (2023·北京密云·高三期末）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
题组二 代数式的范围
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
2． (2023·四川省广安代市中学校）设、满足，则的最大值为______.
3． (2023·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．
4． (2023·全国·高三专题练习（文））已知，，则的取值范围是___________.
5． (2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
题组三 比较大小
1． (2023·全国·模拟预测）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·重庆·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
4． (2023·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·重庆·高三阶段练习）已知 ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．
6． (2023·湖南·高三阶段练习）（多选）已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7． (2023·重庆市育才中学）（多选）若a＞b＞0＞c，则( )
A．B．C．D．
题组四 已知一元二次不等式的解求参
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．B．
C．D．
6． (2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则______.
7． (2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
题组五 一元二次不等式的恒成立问题
1． (2023·浙江·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·江苏南通·高三阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·北京·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A．B．，或
C．D．，或
4． (2023·浙江·高三专题练习）已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
题组六 解含参的一元二次不等式
1． (2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或B．{x|x>a}
C．或D．
2． (2023·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·全国·高三专题练习）若00的解集是________．
5． (2023·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
6． (2023·浙江·高三专题练习）若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
7． (2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式
8． (2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）（基础版）
题组一 不等式的性质
1． (2023·广东肇庆·模拟预测）(多选）若，则下列不等式中正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】对于A选项，因为，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数在R上单调递增，所以，故B正确；
对于C选项，当时，不成立，故C不正确；
对于D选项，当，时，，故D不正确,故选:AB.
2． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知0＜a＜b＜1＜c，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．ac＜bcB．ca＜cb
C．lgac＞lgbcD．sinc＞sina
【答案】ABC
【解析】选项A，幂函数在上是增函数，因为0＜a＜b＜1＜c，所以，故该选项正确；
选项B，，指数函数在上是增函数，因为0＜a＜b＜1＜c，所以，故该选项正确；
选项C，因为0＜a＜b＜1＜c，所以，而，，所以，故选项C正确；
选项D，令，，满足0＜a＜b＜1＜c，但，故选项D错误.
故选：ABC.
3． (2023·北京密云·高三期末）已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，而，，而无意义，故ABC错误；
因为，所以，D正确.故选：D
4． (2023·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）（多选）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】A：由且，可知a>0，c<0，b的值不确定，
故由，不能推出，故A错误；
B：由，得，故B正确；
C：由于，，得，故C正确；
D：由得.所以，故D正确，故选：BCD.
题组二 代数式的范围
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.
2． (2023·四川省广安代市中学校）设、满足，则的最大值为______.
【答案】
【解析】，由于，，可得，，
由不等式的基本性质可得，即，因此，的最大值为.
故答案为：.
3． (2023·浙江·高三专题练习）已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】设，因此得：，，
，
因为，所以，因此，所以.
故答案为：
4． (2023·全国·高三专题练习（文））已知，，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】，，，，
的取值范围是：．故答案为：.
5． (2023·全国·高三专题练习）已知有理数a，b，c，满足，且，那么的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由于，且，所以，，
，所以.故答案为：
题组三 比较大小
1． (2023·全国·模拟预测）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，即.所以A选项错误；
令，则，即，所以B选项错误；
令，则，所以C选项错误；
因为，由得，所以D选项正确.故选:D.
2． (2023·黑龙江大庆·高三阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以．
，
因为，所以，即．
，因为，所以，即．综上，．
故选：A．
3． (2023·重庆·模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】∵，，∴
又，∴∴，
又∴综上：故选：A
4． (2023·广东佛山·高三阶段练习）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为
，所以；
由且，所以，所以，
令，，令 ，则，
则，等价于，；
又，
所以当时，， 故，所以．故选：C．
5． (2023·重庆·高三阶段练习）已知 ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>cB．c>b>aC．b>a>cD．
【答案】D
【解析】由题意可得：，，故有：
，故，又
又，可得：则有：故有：
综上可得：故选：D
6． (2023·湖南·高三阶段练习）（多选）已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由知， ，故，A正确；
由得，，所以，即，故B错误；因为指数函数为单调减函数，故，
由幂函数 为单调增函数知 ，故，故C正确；
根据, 对数函数 为单调减函数,
故，故D错误，故选：AC
7． (2023·重庆市育才中学）（多选）若a＞b＞0＞c，则( )
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】A：，
∵，，，，故A正确；
B：，
∵，∴，，故B正确；
C：时，在单调递减，∵，故C错误；
D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.故选：ABD.
题组四 已知一元二次不等式的解求参
1． (2023·全国·高三专题练习）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【解析】对A，不等式的解集为，
故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A错误；
对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，则有，，又，故，故B，C正确；
对D，，，
又，，故D正确.故选：BCD.
2． (2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，
所以，解得，故实数的取值范围是.故选：C
3． (2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】原不等式变形为，时，原不等式才有解．
且解为，要使其中只有5个整数，则，解得．
故选：D．
4． (2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不等式的解集是，即对于，恒成立，即，
当时，，当时，，
因为，所以，综上所述.故选：A.
5． (2023·湖南·长郡中学高三阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由不等式的解集是，即方程的两个根为和，
所以，解得，，
又由，则由，即，所以必有，
对于A中，且，所以，所以A错误；
对于B中，当时，得到，所以B错误；
对于C中，当时，，又由，所以C错误；
对于D中，当时，可得，
又由，所以D正确.故选：D.
6． (2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集是，则______.
【答案】1
【解析】因为关于的不等式的解集是，所以是方程的两个根，
所以由根与系数的关系可得，得，故答案为：1
7． (2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】由不等式的解集为，
可知方程有两根，故，
则不等式即等价于，
不等式的解集为，
则不等式的解集为，故答案为：.
题组五 一元二次不等式的恒成立问题
1． (2023·浙江·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】存在，不等式成立，则，能成立，
即对于，成立，
令，，则，令，
所以当，单调递增，当，单调递减，
又，所以f(x)>−3，所以.故选：C
2． (2023·江苏南通·高三阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，当时，不等式恒成立，故解得
故实数的取值范围是故选：A
3． (2023·北京·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A．B．，或
C．D．，或
【答案】A
【解析】∵不等式的解集为空集，∴，∴.故选：A.
4． (2023·浙江·高三专题练习）已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由得，
因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式
则不等式的解集是的子集，
又由得，
当，，符合；
当，，则，，
当，，符合，
故实数的取值范围为.
故选：C.
5． (2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，或，
解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.
6． (2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．
【答案】C
【解析】令，
则不等式恒成立转化为在上恒成立．
有，即，整理得：，解得：或．
的取值范围为．故选：C．
题组六 解含参的一元二次不等式
1． (2023·全国·高三专题练习）设，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或B．{x|x>a}
C．或D．
【答案】A
【解析】因为，所以等价于，
又因为当时，，所以不等式的解集为：或．故选：A．
2． (2023·浙江·高三专题练习）不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：.故选：A.
3． (2023·全国·高三专题练习）（多选）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】由，分类讨论如下：当时，；
当时，；当时，或；当时，；当时，或.
故选：AB.
4． (2023·全国·高三专题练习）若00的解集是________．
【答案】
【解析】原不等式即，由，得，所以．
所以不等式的解集为．故答案为：．
5． (2023·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____
【答案】或.
【解析】由题意得应满足解得：或.故答案为：或.
6． (2023·浙江·高三专题练习）若不等式的解集是．
(1)解不等式；
(2)b为何值时，的解集为R．
【答案】(1)或(2)
【解析】(1)由题意得和1是方程的两个根，则有，解得，
所以不等式化为，，解得或，
所以不等式的解集为或
(2)由（1）可知的解集为R，所以，解得，
所以的取值范围为
7． (2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式
【答案】见解析
【解析】原不等式等价于
(1)当时，解集为
(2)当时，原不等式可化为，
因为，所以解集为
(3)当时，，解集为
(4)当时，原不等式等价于，即，
解集为
(5)当时，，解集为
综上所述，当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为
8． (2023·全国·高三专题练习）解下列关于x的不等式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
（7）ax2-2（a+1）x+4>0.
【答案】答案见解析
【解析】（1）
当时，不等式为，解集为；
时，不等式分解因式可得
当时，故，此时解集为；
当时，，故此时解集为；
当时，可化为，又解集为；
当时，可化为，又解集为.
综上有，时，解集为；时，解集为；时，解集为；
时，解集为；时，解集为
（2）把化简得，
①当时，不等式的解为
②当，即，得，此时，不等式的解为或
③当，即，得或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，得，此时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为且，
当时，不等式的解为或，
（3），，
①时，，可得；
②时，可得
若，解可得，或；
若，则可得，
当即时，解集为，；
当即时，解集为，；
当即时，解集为.
（4）不等式可化为.
①当时，，解集为，或；
②当时，，解集为；
③当时，，解集为，或.
综上所述，
当时，原不等式的解集为，或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为，或.
（5）当时，不等式即，解得.
当时，对于方程，
令，解得或；
令，解得或；
令，解得或，方程的两根为.
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（6）原不等式可变形为.
①当时，则有，即，解得；
②当时，，解原不等式得或；
③当时，.
（i）当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解；
（ii）当时，即当时，解原不等式得；
（iii）当时，即当时，解原不等式可得.
综上所述：①当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为；
③当时，原不等式的解集为；
④当时，原不等式的解集为；
⑤当时，原不等式的解集为.
（7）（1）当a=0时，原不等式可化为-2x+4>0，解得x<2，所以原不等式的解集为{x|x<2}.
（2）当a>0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2.
①当02，所以原不等式的解集为或；
②当a=1时，=2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；
③当a>1时，<2，所以原不等式的解集为或.
（3）当a<0时，原不等式可化为，对应方程的两个根为x1=，x2=2，
则<2，所以原不等式的解集为.
综上，a<0时，原不等式的解集为；
a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}；
0当a>1时，原不等式的解集为或.