2024年新高考数学培优专练25 参变分离法解决导数问题（原卷版+解析）

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1．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由，可得，从而，从而当时，恒成立，构造函数，可得，结合时，取得最大值1，从而的最大值为，只需即可.
【详解】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
2．若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解.
【详解】
由题意可得，没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令，，
则，
令则在上单调递减且，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故当时，取得最大值，
又时，，时，，
结合图象可知，即.
故选：C.
【点睛】
方法点睛：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
3．若函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可.
【详解】
∵在上是减函数，所以在上恒成立，即，即，
∵，∴，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.
4．已知函数（为自然对数的底数），．若存在实数，，使得，且，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】
根据可求得，利用得到，将问题转化为，的最大值的求解问题，利用导数求得，从而求得结果.
【详解】
，，
又且，，
由，即，整理得：，
令，，则，
和在上均为减函数，
在上单调递减，，
即在上恒成立，在上单调递减，
，即实数的最大值为.
故选：C.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，解题关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为函数最值的求解问题，进而利用导数求得函数最值得到结果.
5．设函数在上有两个零点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，进行参变分离得，设，将问题等价于y = a与在有两个交点.求导，分析导函数的正负得出函数的单调性，从而作出图象和最值，运用数形结合的思想可得选项.
【详解】
令，即，解得，设，
所以在有两个零点等价于y = a与在有两个交点.
因为，得，所以在(0，e)上单调递增，在上单调递减，所以.
如图所示，画出的大致图象。
结合图象可知，当时， y = a与在有两个交点，即此时在有两个零点.
故选：D.
【点睛】
本题考查根据函数的零点个数求参数的范围的问题，常采用参变分离的方法，利用导函数研究函数的单调性和最值，运用数形结合的思想，属于较难题.
6．已知关于x的方程在上有两解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用参变量分离法可将问题转化为在上有两解，进而可将问题转化为函数与在上有两个交点，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合即可求出实数k的取值范围.
【详解】
由已知可得在上有两解，
令，，则问题转化为函数与在上有两个交点，
，
令，则，
因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又，
所以当时，，则；当时，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，实数k的取值范围为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查函数与方程思想，关键是对参变量分离转化为两个函数图象的交点个数使问题得以解决，属于难题.
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求导，由题意可得恒成立，即为，设，即，分，，三种情况，分别求得范围，可得实数的取值范围.
【详解】
由函数得，由题意可得恒成立，即为，
设，即，
当时，不等式显然成立；
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值1，可得，
当时，，由在上单调递减，可得时，取得最小值，可得，
综上可得实数的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性，由函数的单调性求参数的范围，利用参变分离的方法解决不等式的恒成立问题，属于较难题.
8．若关于x的不等式（a+2）x≤x2+alnx在区间[，e]（e为自然对数的底数）上有实数解，则实数a的最大值是（ ）
A．﹣1B．C．D．
【答案】D
【分析】
先对化简，，用导数判断在的符号为正，可转化为，在有解，设 ，利用导数求函数的最大值，则，即实数的最大值为.
【详解】
由，得，令 ，，
则，则在递减，在递增，则，
即由，得，有解，
设 ，，
则，
令，，则，
故在递减，在递增，故，
故在递减，在递增，又，，
故，故，
即实数的最大值为.
故选：D.
【点睛】
本题考查了不等式有解的问题，并多次利用导数研究函数的单调性求最值，考查了学生的转化能力，逻辑思维能力，运算能力，难度较大.
9．已知函数，（，为自然对数的底数）.若存在，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
证明出当时，由题意可得出使得，即，构造函数，利用导数求得函数的最大值，结合可求得实数的取值范围.
【详解】
当时，，则，
所以，函数在上单调递增，，
由题意可知，使得，即，
令，其中，则，，令，得，
列表如下：
所以，函数的最大值为，，
又，，因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用导数研究不等式能成立问题，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.
10．已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知将原不等式等价于恒成立，构造函数，求导在上恒成立，运用参变分离可得选项．
【详解】
∵对于任意的，且，都有成立，
∴不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，即函数在上为增函数；
，则在上恒成立；
∴；即恒成立，
令，∴；
∴在上为增函数；∴；∴；
∴.
∴的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查构造函数，运用导函数解决不等式恒成立的问题，构造合适的函数是关键，属于较难题．
11．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求导，将问题转化为有两个不同的零点，也即是关于x的方程有两个不同的解，构造函数，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性和最值，从而可得选项.
【详解】
函数的定义域为R，，因为函数有两个极值点，
所以有两个不同的零点，
故关于x的方程有两个不同的解，
令，则，当时，
，当时，，
所以函数在区间上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，
又当时，；当时，，
且，故，
即.
故选：B.
【点睛】
本题考查运用导函数研究函数的单调性、最值、极值，关键在于构造合适的函数，参变分离的方法的运用，属于中档题.
12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根据在上恒成立求解．
【详解】
∵，∴．
又函数 在上单调递减，∴在上恒成立，即在上恒成立．
∵当时，，∴．
所以实数的取值范围是．
故选：B．
【点睛】
本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当时，则函数在区间上单调递减；而当函数在区间上单调递减时，则有在区间上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．
13．对于函数，把满足的实数叫做函数的不动点.设，若有两个不动点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据定义分离出参数，构造函数，讨论单调性和最值，结合图象可得答案.
【详解】
由得，令，则，
得在单调递增，得在和单调递减，
所以的极小值为，图象如图所示，由图可知，时，有两个不动点，
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，考查了分离参数法与构造函数法的应用.
14．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意得出，构造函数，可知函数在区间上单调递增，可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法可得出，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
函数的定义域为，当时，恒成立，
即，构造函数，则，
所以，函数在区间上为增函数，
则对任意的恒成立，，
令，其中，则.
，当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，函数的最小值为，.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、多选题
15．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值B．有两个不同的零点
C．D．若在上恒成立，则
【答案】ACD
【分析】
A.先求函数的导数，判断函数的单调性，判断函数的极大值；B.根据函数的解析式，直接求函数的零点；C.根据函数的单调区间，直接比较大小；D.不等式转化为在上恒成立，即求函数的最大值.
【详解】
由已知，，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，
A正确；
又令得，即，只有1个零点，B不正确；
函数在上单调递减，因为，所以，故C正确；
若在上恒成立，即在上恒成立，设，
，令得，令得，故
在上单调递增，在单调递减，所以，，
故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.
16．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．若函数在上恰有一个极值，则
C．对任意，恒成立
D．当时，在上恰有2个零点
【答案】ABD
【分析】
直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D选项.
【详解】
解：对于A，当时，，，
所以，故切点为（0，0），
则，所以，故切线斜率为1，
所以在处的切线方程为：，即，故A正确；
对于B，，，则，
若函数在上恰有一个极值，即在上恰有一个解，
令，即在上恰有一个解，
则在上恰有一个解，
即与的图象在上恰有一个交点，
，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，极小值为，
而，
作出，的大致图象，如下：
由图可知，当时，与的图象在上恰有一个交点，
即函数在上恰有一个极值，则，故B正确；
对于C，要使得恒成立，
即在上，恒成立，
即在上，恒成立，即，
设，，则，，
令，解得：，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，，
所以在上的最大值为，
所以时，在上，恒成立，
即当时，才恒成立，
所以对任意，不恒成立，故C不正确；
对于D，当时，，，
令，则，即，
作出函数和的图象，可知在内，两个图象恰有两个交点，
则在上恰有2个零点，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.
三、解答题
17．已知函数，且恒成立．
（1）求实数的值；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】
（1）由条件可得是的极大值点，从而，可得答案.
(2)由条件，根据条件可得对任意的恒成立，令，求出的导函数，得出单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案
【详解】
（1）解：的定义域是，
因为，恒成立 ，所以是的极大值点，
所以，
因为，所以，所以．
（2）依题意得，，，
∴，
因为，所以对任意的恒成立，
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以方程在上存在唯一的实数根，且，
则，
所以， ①
当时，，即；
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以，
把①代入得，，，
所以，
故整数的最大值是3．
【点睛】
关键点睛：本题考查根据恒成立求参数的最大整数值，考查函数的隐零点的整体然换的应用，解答本题的关键是由函数在上单调递增，得出在上存在唯一的实数根，且，得出单调性，从而得出，然后将代入，得出，属于难题.
18．已知函数的图象过点，且在P处的切线恰好与直线垂直．
（1）求的解析式；
（2）若在上是减函数，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求导得直线斜率，再利用已知条件建立方程组，求解即可函数的解析式；
（2）由题得在上恒成立，法一：分和两种情况讨论，运用二次函数的性质可得答案. 法二：进行参变分离，运用不等式恒成立的思想可得答案.
【详解】
解：（1），由题意可得，解得.
所以．
（2）因为，所以.
因为在上是减函数，所以在上恒成立，
当时，在上恒成立；
当时，设，由函数的图象的对称轴为可得，即，得.
故m的取值范围是.
法二：对成立，
当时；恒成立，
当时；，
【点睛】
不等式的恒成立问题，常常利用函数的最值得以解决，参数与函数的最值的大小关系．
19．已知函数（）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）.
【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；
（2原不等式化为：在上恒成立，设，，
求出函数的导数，再令，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【详解】
（1）
，，
令，则或，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，
当时，函数在上单调递增，
当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；
（2）原不等式化为：在上恒成立，
设，，
，令，则，
所以在上单调递增，，所以，
则函数在上单调递增，且，.
【点睛】
方法点睛：本题考查利用导数研究单调性（含参），考查利用导数研究恒成立问题，解决第（2）问的关键是将原不等式转化为在上恒成立，进而利用导数研究函数的单调性，从而得解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于常考题.
20．已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先根据导数的几何意义得，即可得的值；
（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即在上恒成立，参变分离得：，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；
（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导数零点与定义区间的大小关系讨论函数的单调性，根据单调性确定函数的最小值，根据最小值小于即可得实数的取值范围.
【详解】
（1）由，得.
由题意，，所以.
（2）.
因为对任意两个不等的正数，，都有恒成立，设，则即恒成立.
问题等价于函数，
即在上为增函数，
所以在上恒成立.即在上恒成立.
所以，即实数的取值范围是.
（3）不等式等价于，
整理得.构造函数，
由题意知，在上存在一点，使得.
.
因为，所以，令，得.
①当，即时，在上单调递增.只需，解得.
②当即时，在处取最小值.
令即，可得.
令，即，不等式可化为.
因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.
③当，即时，在上单调递减，只需，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值的综合问题，属于中档题.
21．已知函数，．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值．
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）利用导数的几何意义求出函数在处的切线方程；
（2）等价于在上恒成立，设，利用二次求导求出函数的最大值，即得解.
【详解】
（1），
，
，，
在处的切线方程为
即．
（2），即在上恒成立，
在上恒成立，
设，
则，
显然，，
设，则，
故在上单调递减，
由，，
由零点定理得，使得，
即，
且时，，则，
时，，则．
在上单调递增，在上单调递减，
，
又由，，
则，
由恒成立，且m为整数，可得m的最小值为1．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是二次求导，在一次求导之后，如果函数的单调区间不易求出，此时一般要进行二次求导，求出新函数的单调区间，求出新函数在什么范围内大于零，什么范围内小于零，再结合已知分析得解.
22．设函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求出导函数，分别令导函数大于零、小于零可得答案；
（2）由已知得到，然后令，利用导数求的最小值可得答案.
【详解】
（1），
令，得，令，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若对于任意的，不等式恒成立，
即对于任意的恒成立，
令，，
，令，，
，所以在单调递增，即，
在上恒有恒成立，
所以在单调递增，所以，所以.
【点睛】
关键点睛：本题第二问考查的是常量分离求参数的取值范围问题，解决的关键是构造函数，利用导数求最值，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试再求一次求导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.
23．已知函数的图象在点处的切线方程为.(本题可能用的数据：，是自然对数的底数)
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求整数t的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值为8.
【分析】
（1）求出导函数，然后求在处的切线方程与已知作比较可得答案；
（2）令(，转化为，然后求可得答案.
【详解】
（1）函数的定义域为，，
所以有，解之得，
故函数的解析式为：；
（2）当时，则，
令()，则由题意知对任意的，，
而，，
再令()，则，
所以在上为增函数，
又，，
所以存在唯一的，使得，即，
当时，，，所以在上单调递减，
当时，，，所以在上单调递增，
所以，
所以，
又，所以，
因为t为整数，所以t的最大值为8.
【点睛】
关键点睛：本题考查的是常量分离求参数的最大值问题，解决本题的关键是构造函数，利用该函数的单调性求得最值.
24．已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）设，若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值0，无极小值；（2）.
【分析】
（1）求，令，研究函数的单调性，从而求出的极值；
（2）由，利用参数分离法把问题转化为，从而转化为求函数的最大值，进而解不等式求出参数的取值范围.
【详解】
（1）函数的定义域为，
当时，，，
当，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，故当时，取极大值，无极小值．
（2），由可得
则原问题等价于在上恒成立，
令，求导得
令，求导得
在是减函数，，
据此可得成立，
在是减函数，，
，即,
参数的取值范围是
【点睛】
（1）求函数的极值一般步骤：（1）求；（2）令，求出其极值点；（3）利用导数的正负，判断函数的单调性；（4）求出的极值．
（2）求参数范围问题的常用方法：参数分离法，构造新的函数，将问题转化为利用导数求新函数单调性与最值.
25．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，当时，，实数的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．
【分析】
(1)求导后，求得函数的导函数的零点，根据二次函数的性质，对实数a进行分类讨论，判定导数的正负值区间，从而得到函数的单调性和单调区间；（2）利用分离参数法，并构造函数，利用导数研究其单调性，求得最小值，进而根据不等式恒成立的意义得到的取值范围.
【详解】
解：（1），
令，得，．
当时，恒成立，且仅在时取等号，故在上单调递减；
当时，在区间和上，在区间上，
所以的单调递减区间为，，的单调递增区间为；
当时，在区间 ，上，在区间上．
所以的单调递减区间为，，单调递增区间为．
（2）当时，由题意可知，在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，
设，则，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，，
∴实数的取值范围是．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，和导数的不等式恒成立求参数取值范围问题，属中档题，难度一般.
单调递增
极大值
单调递减