2024年新高考数学培优专练20 利用导数解决函数的极值点问题（原卷版+解析）

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1．已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．是奇函数
B．若，则是增函数
C．当时，函数恰有三个零点
D．当时，函数恰有两个极值点
2．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“函数在上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．若函数（为常数）有两个不同的极值点，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数在处取得极值，则（ ）
A．1B．2C．D．-2
10．设函数，则下列是函数极小值点的是（ ）
A．B．C．D．
11．函数的图象大致是( )
A．B．
C．D．
12．已函数的两个极值点是和，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆弧B．圆弧C．双曲线弧D．抛物线弧
13．若是函数的极值点，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
14．已知函数，则）的极大值点为（ ）
A．B．C．D．
15．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
16．设函数的导函数为，则（ ）
A．B．是的极值点
C．存在零点D．在单调递增
17．关于函数，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，在处的切线方程为
B．当时，存在惟一极小值点
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在有且只有一个零点
18．已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数
B．是周期函数
C．在区间上，有且只有一个极值点
D．过(0，0)作的切线，有且仅有3条
19．已知.（ ）
A．的零点个数为4B．的极值点个数为3
C．x轴为曲线的切线D．若，则
20．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．定义域是B．时，图象位于轴下方
C．存在单调递增区间D．有且仅有一个极值点
三、解答题
21．已知函数.
(1)若只有一个极值点，求的取值范围.
(2)若函数存在两个极值点，记过点的直线的斜率为，证明：.
22．已知函数．
（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围；
（2）若在处有极大值，求当时的值域．
23．（1）当时，求证：；
（2）若对于任意的恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设a>0，求证；函数在上存在唯一的极大值点，且.
24．已知函数.
（1）讨论函数的单调性.
（2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:.
25．已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，求的取值范围.
26．已知函数，是偶函数．
（1）求函数的极值以及对应的极值点．
（2）若函数，且在上单调递增，求实数的取值范围．
27．已知函数，其导函数为，且.
（1）求a的值；
（2）设函数有两个极值点，，求b的取值范围，并证明过两点，的直线m恒过定点，且求出该定点坐标
（3）当时，证明函数在R上只有一个零点.
28．设函数，其中.
（1）若曲线在的切线方程为，求a，b的值；
（2）若在处取得极值，求a的值；
（3）若在上为增函数，求a的取值范围.
29．已知函数.其中为常数.
（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：.
30．已知函数.
（1）若，证明：当时，；
（2）若是的极大值点，求正实数a的取值范围.