重庆市辅仁中学校2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市辅仁中学校2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z在复平面上对应点为,则( )
A.B.C.D.是纯虚数
2．在中,,,则与的夹角是( )
A.B.C.D.
3．已知非零向量,满足,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
4．若,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知是边长为1的正三角形,,,则( )
A.B.C.D.1
6．若非零向量,的夹角为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．如图,在的内部,D为AB的中点,且,则的面积与的面积的比值为( )
A.3B.4C.5D.6
8．已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则动点P的轨迹一定通过的( )
A.重心B.外心C.内心D.垂心
二、多项选择题
9．已知向量,,则下列结论正确的是( )
A.B.与可以作为一组基底
C.D.与方向相同
10．已知i为虚数单位,则下列选项中正确的是( )
A.复数的模
B.若复数,则(即复数z的共轭复数)在复平面内对应的点在第四象限
C.若复数是纯虚数,则或
D.对任意的复数z,都有
11．下列说法正确的序号是( )
A.偶函数的定义域为,则
B.一次函数满足,则函数的解析式为
C.奇函数在上单调递增,且最大值为8,最小值为,则
D.若集合中至多有一个元素,则或
12．给出下列命题,其中错误的选项有( )
A.非零向量,,满足且与同向,则
B.已知且与的夹角为锐角,则实数的取值范围是
C.若单位向量,的夹角为,则当取最小值时,
D.在中,若,则为等腰三角形
三、填空题
13．若正实数a,b满足,则的最小值为__________.
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
（2）“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
14．化简________.
15．复数满足:,则__________.
16．如图,在中,已知,,,点D,E分别在边AB,AC上,且,点F为线段DE上的动点,则的取值范围是________.
四、解答题
17．已知向量与的夹角,且,.
（1）求
（2）在上的投影向量;
（3）求向量与夹角的余弦值.
18．已知点,,,且.试问:
（1）t为何值时,点P在坐标轴上?
（2）四点O,A,B,P能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值,若不能,请说明理由.
19．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求;
（2）若,且的面积为,求的值
20．如图,在中,,,BD与CE交于点O.
（1）若,求mn的值;
（2）设的面积为S,的面积为,求的值.
21．为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中百米,百米,且是以D为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不计),设,.
（1）当cs=时,求小路AC的长度;
（2）当草坪ABCD的面积最大时,求此时小路BD的长度.
22．已知函数,是函数图象上的一点,M,N是函数图象上一组相邻的最高点和最低点,在x轴上存在点T,使得,且四边形PMTN的面积的最小值为
（1）求函数的解析式;
（2）若,,求A;
（3）已知,过点H的直线交PM于点Q,交PN于点K,,,问是否是定值?若是,求出定值,若不是,说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：因为复数z在复平面上对应的点为,
所以,故AC错误;
,故B错误;
,是纯虚数,故D正确.
故选:D.
2．答案：C
解析：如图,
作向量,则是与的夹角,
在中,因为,,
所以,
所以.选C.
3．答案：A
解析：设向量,的夹角为,
,
,即,
所以①,
,为非零向量,且满足②,
联立①②可得,
,
所以两向量的夹角为.
故选:A
4．答案：C
解析：因为,,
所以只需比较a与b的大小即可.
因为,
所以
故选:C
5．答案：A
解析：由,可知E为BC中点,所以,如图所示:
因为,根据上图可知
故选:A
6．答案：A
解析：由题意:
充分性:向量,夹角为,且“是锐角”“”,所以充分性成立;
必要性:当向量,夹角为时,“”成立,但“是锐角”不成立,所以必要性不成立.
所以设向量,夹角为,则“是锐角”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
7．答案：B
解析：根据平面向量的几何运算可知O为CD的中点,从而得出答案.
详D为AB的中点,
O是CD的中点,
,
故选B.
8．答案：D
解析：因为,
,
,因此,点P的轨迹经过的垂心,
故选:D.
9．答案：AC
解析：A.因向量,,所以,则,故正确;
B.由A知:,所以与不可以作为一组基底,故错误;
C.因为向量,,所以,故正确;
D.因为向量,,所以,则,所以与方向相反,故错误;
故选:AC
10．答案：AB
解析：对于A,复数的模,故A正确;
对于B,若复数,则,在复平面内对应的点的坐标为,在第四象限,故B正确;
对于C,若复数是纯虚数,
则,解得,故C错误;
对于D,当时,,故D错误.
故选:AB.
11．答案：ACD
解析：对A,偶函数的定义域为,,解得,A对;
对B,设一次函数,
则,
,,解得或,
函数的解析式为或,B错;
对C,奇函数在上单调递增,且最大值为8,最小值为,,,,,
,C对;
对D,集合中至多有一个元素,
方程至多有一个解,
当时,方程只有一个解,符合题意;
当时,由方程至多有一个解,可得,解得,
或,D对.
故选:ACD.
12．答案：ABC
解析：向量无法比较大小,故A错误;
,要想与的夹角为锐角,
则,且,
,且,解得:且,B错误;
,
当时,取得最小值,C错误;
在中,表示方向上的单位向量,表示方向上的单位向量,
则表示的平分线方向上的向量,
由得:的平分线方向上的向量与BC垂直,
由三线合一可知:,则为等腰三角形,D正确.
故选:ABC
13．答案：16
解析：,
,
又,,
,
当且仅当即,等号成立,
.
故答案为:16
14．答案：4
解析：,
故答案为4
15．答案：i
解析：令,x,,
,
且,则,故.
故答案为:i
16．答案：
解析：因为,,,
所以,,,
设,
则
,
,
则
,
对于,其开口向上,对称轴为,
所以在上单调递减,在上单调递增,
当时,取得最大值,
当时,取得最小值,
所以的取值范围是.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,
,所以;
（2）在上的投影向量为∶;
（3）,
则,
即向量与夹角的余弦值为.
18．答案：（1）或
（2）不能,理由见解析
解析：（1）由,,,
得,,
则,
若点P在x轴上,则,解得,
若点P在y轴上,则,解得,
综上,当或时,点P在坐标轴上;
（2）若四边形OABP为平行四边形,则,
,
该方程组无解,
四边形OABP不能成平行四边形,
若四边形OAPB为平行四边形,则,
,
所以,该方程组无解,
所以四边形OAPB不是平行四边形,
若四边形OPAB为平行四边形,则,
,
该方程组无解,
四边形OPAB不能成为平行四边形,
综上所述,四点O,A,B,P不能成为平行四边形.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
,..
即,
,,,则,
（2）的面积为,
,得
,,
,即,
,,.
20．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,
因为B,O,D三点共线,所以,
又因为,则,
同理,因为C,O,E三点共线,所以,
又因为,则,
根据平面向量基本定理,,解得,
所以.
（2）延长AO与BC交于点F,因为B,F,C三点共线,
所以,
又因为,且,所以,
即,
所以,即,所以,
则.
21．答案：（1）;
（2）
解析：（1）在中,由,
得,又,.
,
由得:,解得:,
是以为直角顶点的等腰直角三角形,
且
在中,,
解得:
（2）由（1）得:,
,此时,,且
当时,四边形ABCD的面积最大,即,此时,
,即
答:当时,小路AC的长度为百米;草坪ABCD的面积最大时,小路BD的长度为百米.
22．答案：（1）
（2）
（3）是定值,
解析：（1）因为M,N是函数图象上一组相邻最高点和最低点,
故MN的中点在x轴上,且为函数的一个零点,因为,
故四边形PMTN为平行四边形,
平行四边形PMTN的面积最小时,为一个周期长度,
平行四边形PMTN的面积,所以,
故,解得.
所以,
,,,
所以,,所以.
（2）由,得:,
即,因为,,
所以,.
（3）存在定值3,使得,原因如下:
因为,,
,
因为和共线,所以,
即,
,整理得,即