2022-2023学年重庆市第七中学校高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年重庆市第七中学校高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．若集合只含有元素a，则下列各选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用元素与集合之间的关系直接得出答案即可.

【详解】由题意知A中只有一个元素a，∴.

故选：C.

【点睛】本题考查元素与集合之间的关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】由题意，命题“”是全称量词命题，

根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“”.

故选：A.

3．已知集合，，若满足，则的值为(    )

A．或5 B．或5 C． D．5

【答案】C

【分析】根据可知9∈A，则或由此可求出a的值，分类讨论即可确定符合题意的a的取值．

【详解】∵，∴9∈A，或，解得或或，

当时，，，此时，不符合题意；

当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意；

当时，，，此时，符合题意；

综上，

故选：C．

4．若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据特值可判断ABC，利用不等式的性质可判断D.

【详解】A，取，，故A错误；

B，取，则，故B错误；

C，当时，，故C错误；

D，，又，所以，故D正确．

故选：D．

5．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“不返家乡”是“不破楼兰”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分条件、必要条件的概念即得.

【详解】由题意知，“不破楼兰”则可推得“不返家乡”，即必要条件成立，

反之“不返家乡”不一定是“不破楼兰”，即充分条件不成立，

故“不返家乡"是“不破楼兰"的必要不充分条件.

故选：B.

6．已知的集合M的个数是（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】A

【分析】依题意且且至少有一个属于集合，再一一列举出来即可.

【详解】因为，

所以且且至少有一个属于集合，

可能为，，，，，，共个，

故选：A.

7．某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（    ）

A．7 B．9 C．12 D．15

【答案】C

【分析】利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出.

【详解】设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为，，，且，，为正整数，

则由题意得，，，可得，

即，所以，，故参加这三项比赛的人数至少为．

故选：C.

8．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.

【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.

所以，即实数a的最小值为.

故选：D.

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．任何一个平行四边形的对边都平行

B．非负数的平方是正数

C．任何一个四边形都有外接圆

D．，使得

【答案】AD

【分析】根据平行四边形定义可判断A，根据特值可判断B，根据四边形有外接圆的条件可判断C，利用特值可判断D.

【详解】A，由平行四边形的定义知任何一个平行四边形的对边都平行，故A正确；

B，因为，不是正数，故B错误；

C，因为只有对角互补的四边形才有外接圆，故C错误；

D，因为当，时，，故D正确.

故选：AD．

10．已知，且.则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】当时，，所以BD选项错误.

A，，当且仅当时，等号成立，A正确.

C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.

故选：AC

11．若，则下列说法正确的是（    ）

A．“对恒成立”的充要条件是“”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D．“”是“无最小值”的既不充分也不必要条件

【答案】BC

【分析】根据二次不等式的解法，不等式的性质，二次方程的根的分布结合充分条件，必要条件的定义逐项分析即得.

【详解】因为当，时，推不出，故A错误；

由可推出，而由，可得或，推不出，

所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；

由方程有一个正根和一个负根，可得，可推出，

由推不出，

故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故C正确；

由，，可得(当且仅当取等号)，无最小值，

所以“”是“无最小值”的充分条件，故D错误.

故选：BC.

12．（多选）若非空实数集满足任意，都有， ，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（ ）

A．是优集 B．是优集

C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集

【答案】ACD

【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.

【详解】对于A中，任取，

因为集合是优集，则，则 ，

，则，所以A正确；

对于B中，取，

则或，

令，则，所以B不正确；

对于C中，任取，可得，

因为是优集，则，

若，则，此时 ；

若，则，此时 ，

所以C正确；

对于D中，是优集，可得，则为优集；

或，则为优集，所以是优集，所以D正确.

故选：ACD.

【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.

三、填空题

13．设全集，集合，则_______．

【答案】

【分析】根据集合的补集的运算及交集的运算即可求解.

【详解】因为全集，集合，

所以,

∴.

故答案为：.

14．若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．

【答案】3

【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值.

【详解】由得，故，

因为“”是“”的充要条件，

所以，解得，

所以实数m的取值是3.

故答案为：3.

15．若且，则的最大值是____________．

【答案】7

【分析】把表达为与的线性关系，结合与求出最大值.

【详解】，则，解得：

即，因为且，所以，故，故的最大值为7

故答案为：7

16．若大于1的正数满足，则的最小值是_______．

【答案】

【分析】先将化得，再利用基本不等式即可求得的最小值.

【详解】因为，所以，故，

又因为，所以，

所以，

当且仅当，且，即时，等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）设，求的最小值；

（2）设正数满足，求的最小值.

【答案】（1）5；（2）4.

【分析】（1）根据题意，配凑可得，利用基本不等式，即可得答案.

（2）由题意，根据基本不等式中“1”的妙用，即可求得答案.

【详解】（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为5；

（2）正数满足，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为4.

18．已知集合，或．

(1)当时，求；

(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先得到集合，再根据交集的定义计算可得；

（2）首先求出集合的补集，依题意可得是的真子集，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】（1）解：当时，，或，

∴．

（2）解：∵或，∴，

∵“”是“”的充分不必要条件，

∴是的真子集，∵，∴，

∴，∴，故实数的取值范围为．

19．已知集合．

(1)若，求；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出；

（2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可.

【详解】（1）当时，，

∵，

因此，；

（2）∵．

①当时，即，

∴，此时满足题意；

②当时．则或，

解得或．

综上所述，实数a的取值范围是．

20．已知命题p：，不等式恒成立；命题q：，成立．

(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）命题p是二次不等式恒成立问题，只需即可；

（2）命题q是二次不等式存在性问题，只需即可求得m的取值范围，再分类讨论p真q假与p假q真两种情况，从而求得m的取值范围.

【详解】（1）若命题p为真命题，则，解得，

故实数m的取值范图.

（2）若命题q为真命题．则，解得，

∵命题p，q中恰有一个为真命题，

∴命题p，q一真一假，

①当p真q假时，，故；

②当p假q真时，，故；

综上：或，即实数m的取值范围为．

21．某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散，当地政府积极组织工人进行抢修，已知每个工人平均每天可抢修渗水面积，每人每天所消耗的维修材料费25元，劳务费75元，另外给每人发放100元的服装补贴，每渗水的损失为75元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．

(1)写出n关于x的函数关系式；

(2)要使总损失最小，应派多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．

【答案】(1)（且）

(2)21名

【分析】（1）根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程，求出（且）；

（2）求出总损失关于x的关系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.

【详解】（1）由题意知：抢修n天时，维修工人抢修的面积之和为，而渗水的面积为

所以有，可得（且）．

（2）设总损失为y，则

，

当且仅当时，即时，等号成立．

所以应派21名工人去抢修，总损失最小．

22．若实数满足，则称x比y远离m．

(1)解不等式

(2)若比远离，求实数x的取值范围；

(3)若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由．

【答案】(1)；

(2)；

(3)比x更远离m，理由见解析

【分析】（1）由绝对值的几何意义即可求解；

（2）根据题意列出，求解不等式即可；

（3）利用基本不等式的变形得到，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，利用配方法可以得到结论

【详解】（1）令，即有，所以x比3远离0，

从数轴上可得x的取值范围是；

（2）由x比远离1，则，即，

∴或，解得或，

∴的取值范围是；

（3）因为，有，

因为，所以，

从而，

①当时，

，即；

②当时，

，

又，则，

∴，即，

综上，，即比x更远离m．

【点睛】关键点睛：本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，在第二问中还需分和两种情况进行讨论