（冲刺中考）上海市2024年中考数学模拟预测卷（二）（含解析）

这是一份（冲刺中考）上海市2024年中考数学模拟预测卷（二）（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．将抛物线向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，已知，，，那么的长为（ ）
A．B．C．4D．5
4．如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（ ）
A．厘米B．厘米
C．厘米D．厘米
5．如图，点G是的重心，交于点E．如果，那么的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
6．如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．已知线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米．
8．计算： ．
9．二次函数的图像与轴的交点坐标是
10．已知抛物线的开口向上，那么的取值范围是 ．
11．如果点和点是抛物线（是常数）上的两点，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
12．在中，，，垂足为点，如果，，那么 ．
13．小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了 米．
14．写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是 ．
15．如图，在中，点是重心，过点作，交边于点，连接，如果，那么 ．
16．有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽米，拱桥的最高点到水面的距离是米，如图建立直角坐标平面，如果水面上升了米，那么此时水面的宽度是 米．（结果保留根号）
17．如图，已知与相似，，，，，连接，交边于点，那么线段的长是 ．
18．如图，已知在菱形中，，将菱形绕点旋转，点、、分别旋转至点、、，如果点恰好落在边上，设交边于点，那么的值是 ．
三、解答题
19．计算：．
20．如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，．
(1)求的值；
(2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示)
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标．
22．如图，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们展开了如下的测量：

第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为；
第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为；
第三步：测得小河宽BC为33米．
已知点B、C、D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度．
（参考数据：，，，，，）
23．已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F．
(1)求证：；
(2)连接，如果，求证∶．
24．综合实践
(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”）
(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．

①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式；
②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．
25．如图，在矩形中，，，是边延长线上一点，过点作，垂足为点，联结，设．
(1)求证∶；
(2)∠的大小是否是一个确定的值？如果是，求出．的正切值；如果不是，那么用含字母的代数式表示的正切值；
(3)是边上一动点(不与点、重合)，联结、．随着点位置的变化，在中除外的两个内角是否会有与相等的角，如果有，请用含字母的代数式表示此时线段的长；如果没有，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如、、 为常数, 的函数，叫二次函数，对照函数的解析式，根据函数的定义逐一判断即可．
【详解】A．是一次函数，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B．不是二次函数，故选项B不符合题意；
C．是二次函数，故选项C符合题意；
D．不是二次函数，故选项D不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，得到的抛物线是．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
4．D
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，
当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
【详解】解：如图：过作于，
中，厘米，，
．
（厘米）．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于D，
∵点G是的重心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则已知四边形的四条边分别为1，，2，．
选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为．
如图，连接、，则，．
在与中，
，
，
，，．
在与中，
，
，
，，，
，，，，
又，
四边形四边形．
故选：D．
7．
【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项．
【详解】∵线段是线段和的比例中项，
∴， 即，
∴，
故答案为： ．
8．
【分析】本题考查了向量计算，正确掌握运算的法则是解题的关键．
【详解】
．
9．（0，-4）
【分析】将x=0代入二次函数解析式中，求出y的值，即可求出结论．
【详解】解：将x=0代入中，
解得y=-4
∴二次函数的图像与轴的交点坐标是（0，-4）
故答案为：（0，-4）．
【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标，掌握y轴上点的坐标特征是解题关键．
10．
【分析】本题考查了抛物线的性质；根据抛物线的开口向上，得到，计算即可．
【详解】∵抛物线的开口向上，
∴，
解得，
故答案为：．
11．=
【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，得到距离对称的距离越大，函数值越下，计算判断即可．
【详解】∵二次函数，
∴抛物线开口向下，且距离对称轴越远的点的函数值越小，对称轴为直线，
∵，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了根据余弦及同角的余角相等，由，得到，则，通过同角的余角相等得出即可求解，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【详解】如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了坡度，根据题意画图，过点作于点，由坡度得到，再利用勾股定理即可求解，熟练掌握坡度及勾股定理．
【详解】如图，过点作于点，则由题意得米，
∵坡度 ，
∴，即，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，解得：，
∴米，即他距离地面的垂直高度上升了米，
故答案为：．
14．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意写出开口向上，且经过点抛物线的表达式即可，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
【详解】依题意得，开口向下，经过点，
∴抛物线的表达式可以是，
故答案为：．（答案不唯一）
15．
【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接，延长交于点，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，解题的关键是熟练掌握基本知识的应用．
【详解】连接，延长交于点，
∵点是重心，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
【详解】设该抛物线的解析式是，
由题意结合图象可知，点在函数图象上，
代入得：，解得：，
∴该抛物线的解析式是，
则水面上升了米，此时，
∴，解得：，
则此时水面的宽度是米，
故答案为：．
17．
【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定，三角函数和勾股定理，过作于点，构造相似三角形，再通过性质即可求解，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】如图，过作于点，
在中，由勾股定理得：
∵与相似，，，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．
【分析】过点A作于点M，则，设则，根据旋转的性质，得，则，证明三点共线，再证明，延长二线交于点，接着即可．
【详解】过点A作于点M，菱形，
则，
设则，连接，
根据旋转的性质，菱形，得，
，，，，
∵，
∴，
∴，，
延长交于点，
∵菱形，
∴，
∴,
∵,
∴,
∴,
∵
∴重合，G，D，F三点共线，
延长二线交于点，
则，
∵
∴，
∴，
解得，
∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数，勾股定理，旋转性质，等腰三角形的三线合一行，三角形相似的判断和性质，熟练掌握菱形的性质，三角函数，三角形相似的判定是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．
【详解】解：
20．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量；
（1）由三角形中位线定理易得为的中位线，进而可得为的中位线，于是；
（2）根据题意可得，根据三角形法则得出，证，得到，进而，以此即可得到答案．
【详解】（1）解：，点为的中点，
为的中位线，
点为的中点，
又点为的中点，
为的中位线，
，，即
（2）解：，，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：，．
21．(1)
(2)
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）将点的坐标代入一次函数求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式；
（2）由锐角三角函数可求，代入解析式即可求解．
【详解】（1）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，
，
，
将代入得，
反比例函数的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，
，
，
点B的坐标为．
22．山坡AB的坡度
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点A作，交的延长线于点H，根据正切的定义用表示出，进而出去，再求出，根据坡度的概念计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，

在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴（米），
∴，
∴山坡的坡度为：．
23．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）证明，即可得出；
（2）先推导出，证明，得，即可证明进而得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)P；位似；相似
(2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析
【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解；
（2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，联立求出点M，N的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解．
【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P；位似多边形是特殊的相似多边形．
故答案为：P；位似；相似
（2）解：①如图，即为所求；

令，则，
解得：或0，
∴点A的坐标为，
设点B的坐标为，
∴，解得：或0，
∴点B的坐标为，
∵以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似，
∴点的坐标为，点的坐标为，
设经过O、、三点的抛物线的表达式为，
把点，，代入得：
，解得：，
∴经过O、、三点的抛物线的表达式为，
②和为位似三角形，理由如下：
如图，过点M作轴于点D，过点N作轴于点C，

联立得： ，解得：或，
∴点M的坐标为，
∴，，，
同理点N的坐标为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点的坐标为，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴和为位似三角形．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由矩形的性质得，由于点，得，则，而，所以；
（2）连接，由相似三角形的性质得，变形为，因为，所以，则，所以的大小是一个确定的值，；
（3）分两种情况讨论，①，连接，作于点，因为，所以，则，再证明，则可求得，进而求得，求得，则；②，连接交于点，可证明，得，，再证明，得，则，所以点与点重合，不符合题意．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，是边延长线上一点，
，
于点，
，
，
，
．
（2）解：的大小是一个确定的值，
如图1，连接BD，
，
，
，
，
，
的大小是一个确定的值，
，，，
，
的大小是一个确定的值，；
（3）解：有与相等的角，
如图2，，
连接，作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，，连接交于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
点与点重合，不符合题意，
综上所述，有与相等的角，线段的长为．
【点睛】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法是解题的关键．
九年级第一学期教材第2页
结合教材图形给出新定义
对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．
如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．