2023-2024学年贵州省安顺市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省安顺市高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|y= x+lg3(2−x)}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {1,2}C. {−1,0}D. {0,1}
2.在直角坐标系xOy中，角α与角β均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“α与β的终边相同”是“sinα=sinβ”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数y=−3tan(2x−π6)的最小正周期为( )
A. π6B. π2C. πD. 2π
4.下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为( )
A. y=−1xB. y=x2C. y=x13D. y=(13)x
5.已知某扇形的圆心角是4π3，半径是3，则该扇形的面积是( )
A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π
6.为了能在规定时间T内完成预期的运输最Q0，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图(四个选项)所示，其中运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的选项是( )
A. B. C. D.
7.若不等式1 a+2 b≥m a+2 b恒成立，则实数m的最大值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
8.已知a=lg32，b=lg43，c=lg54，则( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算正确的有( )
A. lg2+lg3=lg5B. lg3100=10lg310
C. 4lg45=5D. lg34⋅lg43=1
10.已知实数a，b满足a>b>1，则下列不等式一定成立的是( )
A. a2>abB. b2>abC. a+1a>b+1bD. a−1a>b−1b
11.下列说法正确的是( )
A. 命题“∃x0>0，ex0−2x0+1=0”的否定为“∀x≤0，ex−2x+1≠0”
B. 若幂函数y=f(x)的图象过点(3, 3)，则f(4)=2
C. y=elnx与y=x为同一函数
D. 函数y=10−x与函数y=−lgx的图象关于直线y=x对称
12.设函数f(x)=cs(π3−x)，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的一个零点为x=π3B. y=f(x)的图象关于直线x=7π3对称
C. y=(12)f(x)是周期函数D. 方程f(x)=−lgx有3个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=(1+x)(a−x)是偶函数，则a= ______．
14.已知函数f(x)=lga(2x−1)−2图象恒过定点P，在直角坐标系xOy中，角θ以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，角θ的终边也过点P，则sinθ的值是______．
15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：R(x)=1m,当x=nm时(其中m,n为整数,为nm即约真分数),0,当x=0或1或区间(0,1)上的无理数时.若f(x)是定义在R上且最小正周期为1的函数，当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，则f(20242023)+f( 5)= ______．
16.已知函数f(x)=|lg6x−1|−k(k∈R).若k=0，则f(x)的零点为______；若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知tanα=−32，求下列各式的值．
(1)sin(2π−α)cs(π+α)cs(π2−α)cs(π−α)sin(α−π)sin(3π2+α)；
(2)2sin2α−3cs2α+1．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|12<2x−a<16}，B={x|x2−3x−10≤0}．
(1)若a=2，求A∪B；
(2)若存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的_____，求实数a的取值范围.从“①充分不必要条件”和“②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答.若两个都选，则按第一个作答进行给分．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π2．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若a>0，且函数g(x)=af(x)+b在区间[0,π4]上的值域为[0,3]，求实数a，b的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(ax−1)(a>0且a≠1)，且f(2)=lga3.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断并用定义法证明函数f(x)的单调性；
(3)求关于x的不等式f(x−2)21.(本小题12分)
人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB(1TB=1024GB)级别跃升到PB(1PB=1024TB)，EB(1EB=1024PB)乃至ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
(1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第x年全球生产的数据量y(单位：ZB)与x的关系，根据上述信息，试从y=a⋅bx(a>0,b>0且b≠1)，y=ax+b(a>0)，y=a⋅lgbx(a>0,b>0且b≠1)三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适？(不用说明理由)；
(2)根据(1)中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍？
22.(本小题12分)
函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数)．
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)对任意实数x，[g(x)]2−[f(x)]2是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
(3)若不等式2f(x)−m⋅g(2x)≥0对∀x∈[ln2,ln3]恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：B={x|y= x+lg3(2−x)}=[0,2),A={−2,−1,0,1,2}，
故A∩B={0,1}．
故选：D．
根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可．
本题主要考查了函数定义域的求解及集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为α与β的终边相同，则sinα=sinβ，
但当sinα=sinβ时，α与β的终边可能相同或者关于y轴对称，
故“α与β的终边相同”是“sinα=sinβ”的充分而不必要条件．
故选：A．
根据充分与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断即可．
本题主要考查了终边相同角的关系的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：函数y=−3tan(2x−π6)的最小正周期为T=πω=π2．
故选：B．
根据正切函数的周期公式求解即可．
本题考查了正切函数的周期公式应用问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：A选项，y=−1x在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，但在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不单调，A错误；
B选项，y=x2在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故B错误；
C选项，f(x)=x13的定义域为R，y=x13在R上单调递增，满足要求，C正确；
D选项，y=(13)x在R上单调递减，D错误．
故选：C．
A选项，不满足在(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递增；BCD选项，结合函数解析式可直接判断出函数单调性，得到答案．
本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意，该扇形的面积S=12×4π3×32=6π．
故选：B．
根据扇形面积公式求解即可．
本题考查扇形面积公式，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足．
故选：B．
根据题意可得运输效率逐步提高则函数增长逐渐加快判断即可．
本题考查了函数在实际生活中的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解|：由题意 a+2 b a+2 a+4 b b≥m恒成立，即5+2 b a+2 a b≥m恒成立．
又5+2 b a+2 a b≥5+2 2 b a×2 a b=9，当且仅当a=b时取等号．
故实数m的最大值为9．
故选：D．
化简可得5+2 b a+2 a b≥m恒成立，再根据基本不等式求解5+2 b a+2 a b的最小值即可．
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：a=lg32，b=lg43，c=lg54，
易知0∵ab=lg32⋅lg34<(lg32+lg34)24=(lg382)2<1，∴a∵bc=lg43⋅lg45<(lg43+lg452)2=(lg4152)2<1，∴b∴a故选：A．
由对数函数的性质可知0本题考查三个数的大小的判断，考查了基本不等式的应用，以及对数函数的性质的应用，属于基础题．
9.【答案】CD
【解析】解：对A，lg2+lg3=lg6，故A错误；
对B，lg3100=2lg310，故B错误；
对C，4lg45=5，故C正确；
对D，lg34⋅lg43=1，故D正确．
故选：CD．
根据对数的基本运算求解即可．
本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：对于选项A，因为a>b>1，所以a2−ab=a(a−b)>0，所以a2>ab，故A正确；
对于选项B，因为a>b>1，所以ab−b2=(a−b)b>0，所以ab>b2，故B错误；
对于选项C，因为(a+1a)−(b+1b)=(a−b)+(1a−1b)=(a−b)(ab−1)ab，又a>b>1，
所以(a−b)(ab−1)ab>0，所以a+1a>b+1b，故C正确；
对于选项D，因为y=x−1x(x>0)为增函数，且a>b>1，所以a−1a>b−1b，故D正确．
故选：ACD．
根据不等式的性质，结合作差法逐个选项判断即可．
本题考查利用不等式的性质比较大小，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：对A，命题“∃x0>0，ex0−2x0+1=0”的否定为“∀x>0，ex−2x+1≠0”，故A错误；
对B，设幂函数y=xa，则 3=3a，解得a=12，故y= x，故f(4)=2，故B正确；
对C，y=elnx定义为(0,+∞)，y=x定义域为R，故C错误；
对D，函数y=10−x与函数y=−lgx互为反函数，图象关于直线y=x对称，故D正确．
故选：BD．
对A，根据特称命题的否定为全称命题判断即可；对B，设幂函数y=xa，再代入(3, 3)可得a=12，进而可得f(4)；对C，根据函数的定义域判断即可；对D，根据反函数的性质判断即可．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对A，f(π3)=cs(π3−π3)=1，故A错误；
对B，f(7π3−x)=cs(π3−7π3+x)=csx，f(7π3+x)=cs(π3−7π3−x)=csx，
故f(7π3−x)=f(7π3+x)，故y=f(x)的图象关于直线x=7π3对称，故B正确；
对C，设g(x)=(12)cs(π3−x)，则g(x+2π)=(12)cs[π3−(x+2π)]=(12)cs(π3−x)=g(x)，故y=(12)f(x)是周期函数，故C正确；
对D，作出f(x)=cs(π3−x)与y=g(x)=−lgx的图象，
当x→0+时−lgx→+∞，cs(π3−x)→12，且f(1)=cs(π3−1)>0，g(1)=0，
故在(0,1)之间两函数图象有1个交点；
当x∈(1,10]时，g(x)∈[−1,0)，且f(4π3)=−1，又f(10)>−1=g(10)，
故由图可得在(1,10]之间两函数图象有2个交点；
当x∈(10,+∞)时，g(x)<−1，f(x)≥−1，两函数图象无交点；
综上可得f(x)=−lgx有3个解，故D正确．
故选：BCD．
对A，代入x=π3判断即可；对B，根据f(7π3−x)=f(7π3+x)判断即可；对C，根据周期函数的定义判断即可；对D，作图分析y=cs(π3−x)与y=−lgx的图象交点个数即可．
本题考查三角函数的性质，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：f(x)=(1+x)(a−x)=−x2+(a−1)x+a，
由f(x)是偶函数可得−(−x)2−(a−1)x+a=−x2+(a−1)x+a，
即(a−1)x=0恒成立．
故a=1．
故答案为：1．
根据偶函数的定义求解即可．
本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
14.【答案】−2 55
【解析】解：当2x−1=1时x=1，故P(1,−2)，
则sinθ=−2 12+(−2)2=−2 55．
故答案为：−2 55．
由题意P(1,−2)，结合正弦值的定义求解即可．
本题主要考查对数函数的性质，考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
15.【答案】12023
【解析】解：依题意f(20242023)+f( 5)=f(12023)+f( 5−2)
=R(12023)+R( 5−2)=12023+0=12023．
故答案为：12023．
根据黎曼函数的定义与当x∈[0,1]时，f(x)=R(x)，将自变量根据f(x)最小正周期为1转换到[0,1]，再代入R(x)的关系式求解即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
16.【答案】6 60
【解析】解：(1)|lg6x−1|=0，解得x=6，故f(x)的零点为6；
(2)由题意|lg6x−1|=k有两个零点x1，x2(x1且x1<6故25x1+x2=25x1+36x1≥2 25x1×36x1=60，当且仅当25x1=36x1，即x1=65时取等号．
故答案为：6；60．
(1)求解|lg6x−1|=0即可；
(2)作出y=|lg6x−1|的图象，结合题意可得x1x2=36，再根据基本不等式求解最小值即可．
本题主要考查函数的零点以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)sin(2π−α)cs(π+α)cs(π2−α)cs(π−α)sin(α−π)sin(3π2+α)=(−sinα)⋅(−csα)⋅sinα(−csα)⋅(−sinα)⋅(−csα)=−tanα=32．
(2)2sin2α−3cs2α+1=2sin2α−3cs2αsin2α+cs2α+1=2tan2α−3tan2α+1+1
=2×94−394+1+1=1913．
【解析】(1)根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可；
(2)根据2sin2α−3cs2α+1=2sin2α−3cs2αsin2α+cs2α+1，结合同角三角函数的关系求解即可．
本题考查诱导公式、同角三角函数的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)若a=2时，A={x|12<2x−2<16}=(1,6)，B={x|x2−3x−10≤0}=[−2,5]，
所以A∪B=[−2,6)．
(2)A={x|12<2x−a<16}=(a−1,a+4)，
选①“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以a−1≥−2a+4≤5⇒a≥−1a≤1⇒a∈[−1,1]．
经检验等号满足，
所以实数a的取值范围是[−1,1]．
选②因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集．
所以a−1<−2a+4>5，解集为空集，
所以不存在实数a，使得“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件．
【解析】(1)将a=2代入集合中，解出两个集合，然后求两个集合的并集，
(2)分别选择两个条件，根据条件关系找出集合间的关系求出参数的取值范围．
本题主要考查了集合并集运算及集合包含关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意，因为f(x)的最小正周期为π2，ω>0，
故2πω=π2，解得ω=4，
故f(x)=sin(4x+π6)．
令π2+2kπ≤4x+π6≤3π2+2kπ,(k∈Z)，解得π12+12kπ≤x≤π3+12kπ,(k∈Z)．
故函数f(x)的单调递减区间为[π12+12kπ,π3+12kπ],(k∈Z)
(2)根据x∈[0,π4]可得4x+π6∈[π6,7π6]，
故f(x)∈[−12,1]，
又a>0，故g(x)∈[−12a+b,a+b]，由题意−12a+b=0a+b=3，解得a=2，b=1．
【解析】(1)根据正弦函数的周期公式可得ω，再代入正弦函数的单调递减区间求解即可；
(2)根据x∈[0,π4]可得4x+π6∈[π6,7π6]，结合正弦函数的图象可得f(x)的值域，进而根据值域为[0,3]列式求解即可．
本题考查三角函数的图象变换，涉及正弦函数的单调性，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由f(2)=lga3可得lga(a2−1)=lga3，因为a>0，解得a=2．
故f(x)=lg2(2x−1).令2x−1>0，解得x>0，即函数f(x)的定义域为(0,+∞)．
(2)f(x)在(0,+∞)上单调递增．
证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，设x1则f(x1)−f(x2)=lg2(2x1−1)−lg2(2x2−1)=lg22x1−12x2−1．
因为x1>x2>0，所以2x1>2x2>1，从而2x1−1>2x2−1>0，
因此2x1−12x2−1>1，于是lg22x1−12x2−1>0，所以f(x1)−f(x2)>0，
故f(x)在(0,+∞)上单调递增．
(3)由(2)可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，若f(x−2)解得2【解析】(1)代入f(2)=lga3可得a=2，再根据对数函数的定义域与指数函数的单调性求解不等式即可；
(2)任取x1，x2∈(0,+∞)，设x1(3)根据f(x)的单调性与定义域求解即可．
本题主要考查对数函数的性质，考查函数单调性的证明，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择y=a⋅bx更合适；
(2)依题意，0.8=ab280=ab13，故b11=100，即b=100111，
代入可得a=0.8×100−211，故y=0.8×100x−211，
设在第n年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则0.8×100n−21180=100，
即100n−211=10000=1002，解得n=24，此时为2031年，
即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍．
【解析】(1)根据数据量随年份增长呈爆炸增长判断即可；
(2)将2009年和2020年的数据量代入y=a⋅bx可得a，b，再设在第n年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算求解即可．
本题考查了函数的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由性质③知f(x)+g(x)=ex，则f(−x)+g(−x)=e−x，
由性质②知f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，故−f(x)+g(x)=e−x．
则f(x)+g(x)=ex−f(x)+g(x)=e−x，
解得f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2；
(2)由(1)可得[g(x)]2−[f(x)]2=(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2=e2x+e−2x+24−e2x+e−2x−24=1；
(3)因为g(2x)=e2x+e−2x2>0，所以2f(x)−m⋅g(2x)≥0⇒m≤2f(x)g(2x)，
而2f(x)g(2x)=2(ex−e−x)e2x+e−2x=2(ex−e−x)(ex−e−x)2+2，x∈[ln2,ln3]，
令t=ex−e−x，易知t=ex−e−x在x∈[ln2,ln3]上单调递增，所以t∈[32,83]，
记h(t)=2tt2+2,t∈[32,83]，则h(t)=2t+2t，
因为当t=2t,t>0时t= 2，且32> 2，
故由对勾函数性质可得h(t)在[32,83]上单调递增，
所以h(t)min=h(32)=1217，因此m≤h(t)min=1217，故m的取值范围是(−∞,1217]．
【解析】(1)根据函数的奇偶性列方程组求解即可；
(2)根据(1)中解析式代入求解[g(x)]2−[f(x)]2即可；
(3)将不等式转化为m≤2(ex−e−x)(ex−e−x)2+2对∀x∈[ln2,ln3]恒成立，再令t=ex−e−x，结合函数的单调性求解h(t)=2tt2+2,t∈[32,83]的最小值即可．
本题考查了函数的奇偶性、指数的基本运算及转化思想，属于中档题．年份
2008
2009
2010
2011
…
2020
数据量(ZB)
0.49
0.8
1.2
1.82
…
80