2022-2023学年贵州省安顺市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年贵州省安顺市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z满足zi=1+2i，则复数z的共轭复数z=( )
A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i
2.若三点A(2,3)、B(4,7)、C(3,y)共线，则实数y的值为( )
A. 1B. 52C. 3D. 5
3.在一次知识竞赛中，某班6名学生的成绩(单位：分)分别是65，60，70，72，86，80，则这6名学生成绩的75%分位数是( )
A. 70分B. 72分C. 80分D. 84分
4.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互为对立的两个事件是( )
A. “至少有一个红球”与“都是红球”
B. “至少有一个红球”与“都是黑球”
C. “至少有一个红球”与“至少有一个黑球”
D. “恰好有一个红球”与“恰好有两个红球”
5.已知向量a=(sinα,−3),b=(1,csα)，若a⊥b，则tan(α+π4)=( )
A. −12B. 12C. −2D. 2
6.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，点M在棱CC1上运动，则A1M+BM的最小值为( )
A. 2 2B. 4C. 2 5D. 2+2 2
7.已知向量a=(2,−1),b=(1,3)，则向量a在向量b上的投影向量c=( )
A. (110,−310)B. (−110,310)C. (110,310)D. (−110,−310)
8.锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，S为△ABC的面积，且a=3，AB⋅AC=2 33S，则b的取值范围是( )
A. (0,2 3)B. ( 3,2 3)C. (0,6)D. (3 3,6)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是( )
A. 该试验样本空间共有4个样本点B. P(AB)=14
C. A与B为互斥事件D. A与B为相互独立事件
10.根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位： ∘C)绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是( )
A. 5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差小
B. 5号的最高气温与最低气温的差值最大
C. 最高气温的众数为27∘C
D. 最低气温的中位数为12∘C
11.下列命题正确的是( )
A. 若向量a,b,c满足a⋅b=a⋅c，则b=c
B. 已知平面内的一组基底e1,e2，则向量e1+e2,e1−e2也能作为一组基底
C. 模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D. 在△ABC中，若AB⋅BC>0，则△ABC为钝角三角形
12.木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD−A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l.则下列结论正确的是( )
A. l//DD1B. l//BB1C. l与直线AA1相交D. l与直线CC1相交
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面非零向量a与b的夹角为π3，若|a|=1,|2a−b|=2，则|b|=______.
14.现有一组数据5，7，3，7，3，则这组数据的方差是______.
15.若复数z=(a2−a−2)+(a2+2a)i(i为虚数单位，a∈R)对应的点在第二象限，则a的取值范围是______.
16.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯(如图1)所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，酒杯内壁表面光滑.假设这种酒杯内壁表面积为10π平方厘米，半球的半径为R厘米.若要使得这种酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AD1，CD1的中点，AD=CD=2，DD1=3，∠ADC=120∘.
(1)求证：EF//平面ABCD；
(2)求三棱锥D−ACD1的体积.
18.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin2x+cs(2x+π3).
(1)求函数f(x)的对称轴方程；
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象.若g(x)为偶函数，求φ的最小值.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，PA⊥平面ABCD，M是边AD上一点，且满足ABCM是正方形，AB=1，PA=2.
(1)求证：平面PBM⊥平面PAC；
(2)已知：MD=λ(0<λ<2)，二面角P−CD−A的平面角为θ.是否存在λ，使得tanθ= 2？若存在，求出λ；若不存在，说明理由.
21.(本小题12分)
如图，在直角△ABC中，角A为直角，点M是AC边的中点，点P满足AP=23AB，点Q是BC边上的动点.
(1)若点Q是BC边上靠近C的三等分点，设PQ=λAB+μAC，求λ+μ的值；
(2)若AB=3，AC=2，求MQ⋅PQ的取值范围.
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinC)2=sin2B+45sinAsinC.
(1)求csB和sinB的值；
(2)设点D在边AC上，且BD=2，BD是∠ABC的角平分线，求4a−2+5c− 5的最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由zi=1+2i，
得z=1+2ii=−i(1+2i)−i2=2−i，
则复数z的共轭复数z=2+i.
故选：D.
由zi=1+2i，得z=1+2ii，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则复数z的共轭复数z可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：已知三点A(2,3)、B(4,7)、C(3,y)共线，
则AB=(2,4)，AC=(1,y−3)，
由题意可知AB//AC，所以，2(y−3)=4，解得y=5.
故选：D.
求出向量AB、AC的坐标，可知AB//AC，利用平面向量共线的坐标表示可求得y的值．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：将成绩按升序排列可得：60，65，70，72，80，86，
因为6×0.75=4.5，所以6名学生成绩的75%分位数是第5位数80.
故选：C.
根据百分位数的定义运算求解．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，设红球的编号为1，2，黑球的编号为a，b，
取2个球的全集U={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(1,2),(a,b)}，
对于A，事件A：“至少有1个红球”={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(1,2)}，
事件B：“都是红球”={(1,2)}，
∴A∩B={(1,2)}≠⌀，故A错误；
对于B，事件C：∵“都是黑球”={(a,b)}，
∴A∩C=⌀，A∪B=U，即A与C必然有一个会发生，故B正确；
对于C，事件D：“至少1个是黑球”={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(a,b)}，
∴A∩D={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}≠⌀，故C错误；
对于D，事件E：“恰好1个是红球”={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}，
事件F：“恰好2个是红球”={(1,2)}，
所以E∩F=⌀，但E∪F≠U，所以E和F不是对立事件，只是互斥事件，故D错误．
故选：B.
根据对立事件的定义逐项分析．
本题考查互斥事件、对立事件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：若a⊥b，则sinα−3csα=0，
若sinα=csα=0，显然不满足sin2α+cs2α=1，
可得csα≠0，则tanα=3，
所以tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=3+11−3×1=−2.
故选：C.
根据向量垂直的坐标表示可得tanα=3，再结合两角和差公式运算求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：如图，将侧面ACC1A1和侧面BCC1B1展开成一个平面，
则A1M+BM≥A1B= 22+42=2 5，
当且仅当B，M，A1三点共线时，等号成立，
所以A1M+BM的最小值为2 5.
故选：C.
借助于侧面展开图分析运算．
本题考查两点距离的和的最值求法，注意运用侧面展开，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：因为a=(2,−1)，b=(1,3)，
所以a⋅b=2×1+3×(−1)=−1，|b|= 12+32= 10，
所以向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|2⋅b=−110(1,3)=(−110,−310).
故选：D.
首先求出a⋅b，|b|，再根据投影向量的定义计算可得．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为AB⋅AC=2 33S，
即cbcsA=2 33×12bcsinA，
即sinA= 3csA，
因为△ABC为锐角三角形，
则csA>0，
所以tanA= 3，
则A=π3，
因为a=3，
由正弦定理可得bsinB=asinA=3 32=2 3，
由已知可得0解得π6则12因此b=2 3sinB∈( 3,2 3).
故选：B.
利用平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式可求得tanA的值，结合角A的取值范围可得出角A的值，根据△ABC为锐角三角形求出角B的取值范围，再利用正弦定理结合正弦函数的基本性质可求得b的取值范围．
本题考查了平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式，重点考查了正弦定理，属中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，则有{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}四个样本点，故A正确，
对于B，事件A与事件B相互独立，则P(AB)=12×12=14，故B正确，
对于C，D，事件A与事件B相互独立，故A与B为相互独立事件不为互斥事件，故C错误，D正确，
故选：ABD.
根据相互独立事件的定义以及概率乘法公式可解．
本题考查相互独立事件的定义以及概率乘法公式，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A选项，由图可知，5号到15号的最高气温的极差为27−15=12(∘C)，
5号到15号的最低气温的极差小于15−3=12(∘C)，
所以5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差小，故A正确；
对于B选项，由图可知6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；
对于C选项，最高气温27∘C出现了两次，其他数据出现为1次，故27∘C是最高气温的众数，故C正确；
对于D选项，最低气温由小到大的日期依次为：
14号、13号、15号、3号、6号、7号、8号、12号、9号、10号、11号，
所以7号(或8号或12号)的气温为最低气温的中位数，
结合图形可知，最低气温的中位数小于12∘C，故D错误．
故选：AC.
利用极差的定义可判断A选项；观测图象可判断B选项；利用众数的定义可判断C选项；利用中位数的定义可判断D选项．
本题主要考查了统计图的应用，考查了极差、众数和中位数的计算，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：对于选项A：例如a⊥b,a⊥c，且b,c反向，可得a⋅b=a⋅c=0，
但不能得到b=c，故A错误；
对于选项B：假设e1+e2,e1−e2共线，则存在实数λ，使得e1+e2=λ(e1−e2)=λe1−λe2，
且e1,e2不共线，可得λ=1−λ=1，无解，
假设不成立，所以e1+e2,e1−e2不共线，则向量e1+e2,e1−e2也能作为一组基底，故B正确；
对于选项C：模等于1个单位长度的向量是单位向量，但单位向量的方向不确定，
所以单位向量不一定相等，故C错误；
对于选项D：由AB⋅BC>0，可得AB⋅BC=−BA⋅BC=−|BA|⋅|BC|csB>0，可得csB<0，
且B∈(0,π)，则角B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D正确；
故选：BD.
对于A：举反例分析判断；对于B：根据基底向量的定义分析判断；对于C：根据单位向量、向量相等的概念分析判断；对于D：根据数量积的定义结合向量夹角分析判断．
本题主要考查向量的相关知识，考查逻辑分析能力和推理能力，属于中档题，也是易错题．
12.【答案】CD
【解析】解：根据题意，延长A1A、B1B交于点M，则C1C、D1D的延长线也过点M，
如下图所示：
因为M∈AA1，则M∈平面PAA1，则直线PM即为所求作的直线l，
所以，直线l与直线AA1、直线BB1、直线CC1、直线DD1都相交．
故选：CD.
根据题意，延长A1A、B1B交于点M，则C1C、D1D的延长线也过点M，则直线PM即为所求作的直线l，由此可得出结论．
本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及棱台的结构特征，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：因为平面非零向量a与b的夹角为π3，且|a|=1,|2a−b|=2，|2a−b|=2，
则4a2−4a⋅b+b2=4−4×1×|b|csπ3+|b|2=4−2|b|+|b|2=4，
整理得|b|2−2|b|=0，解得|b|=2或|b|=0(舍去)，
所以|b|=2.
故答案为：2.
根据数量积的定义以及运算律运算求解．
本题主要考查平面向量的数量积以及向量的模长计算，属于基础题．
14.【答案】165
【解析】解：由题意，5，7，3，7，3的平均值为：5+7+3+7+35=5，
根据方差的定义，这5个数的方差为：15[(5−5)2+2×(7−5)2+2×(3−5)2]=165.
故答案为：165.
根据方差的定义计算即可．
本题主要考查了方差的计算，属于基础题．
15.【答案】(0,2)
【解析】解：由题意可得：a2−a−2<0a2+2a>0，解得0所以a的取值范围是(0,2).
故答案为：(0,2).
根据复数的几何意义列式求解即可．
本题主要考查了复数的几何意义，属于基础题．
16.【答案】[ 3, 5)
【解析】解：设圆柱的高为h，则这种酒杯内壁表面积为2πR2+2πRh=10π，可得R2+Rh=5，
可得h=5R−R，由h>0，可得5R−R>0，可得0因为这种酒杯的容积不大于半球体积的2倍，即23πR3+πR2h≤43πR3，
可得h=5R−R≤2R3，
解得R≥ 3，
所以 3≤R< 5.
故答案为：[ 3, 5).
设圆柱的高为h，利用组合体的表面积可得出h=5R−R，由体积关系可得出关于R的不等式，再结合h>0可求得R的取值范围．
本题主要考查了圆柱和球的体积公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵E，F分别为AD1，CD1的中点，
∴EF//AC，
又∵EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴EF//平面ABCD；
(2)∵△ADC中AD=CD=2，∠ADC=120∘，
∴S△ADC=12⋅AD⋅CDsin∠ADC=12×2×2× 32= 3，
又∵直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中DD1⊥ABCD，
∴DD1为三棱锥D1−ACD的高，
∴V三棱锥D−ACD1=V三棱锥D1−ACD=13DD1⋅S△ADC=13×3× 3= 3.
【解析】(1)由E，F分别为AD1，CD1的中点可得EF//AC，再利用线面平行的判定定理可证EF//平面ABCD；
(2)直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中DD1⊥ABCD可得DD1三棱锥D1−ACD的高，再利用等体积法求解即可．
本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了等体积法求三棱锥的体积，属于中档题．
18.【答案】

【解析】
19.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2x+cs(2x+π3)= 3sin2x+12cs2x− 32sin2x
= 32sin2x+12cs2x=sin(2x+π6)，
由2x+π6=kπ+π2(k∈Z)可得x=kπ2+π6(k∈Z)，
故函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π6(k∈Z).
(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，
则g(x)=sin[2(x+φ)+π6]=sin(2x+2φ+π6)，
因为函数g(x)为偶函数，则2φ+π6=kπ+π2(k∈Z)，可得φ=kπ2+π6(k∈Z)，
因为φ>0，当k=0时，φ取最小值π6.
【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式，利用正弦型函数的对称性可求得函数f(x)的对称轴方程；
(2)利用三角函数图象变换可得出函数g(x)的解析式，根据函数g(x)为偶函数可得出关于φ的表达式，即可求得正数φ的最小值．
本题考查了三角函数的化简，求值，考查三角函数图像的变换以及函数的对称性问题，是中档题．
20.【答案】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，所以PA⊥BM，
因为正方形ABCM，所以AC⊥BM，
又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BM⊥平面PAC，
因为BM⊂平面PBM，所以平面PBM⊥平面PAC；
(2)解：过P作PN⊥CD于N，连接AN，
因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PN⊥CD，PN∩PA=P，PN，PA⊂平面PAN，所以CD⊥平面PAN，
又AN⊂平面PAN，所以CD⊥AN，则∠PNA为二面角P−CD−A的平面角θ，
所以tanθ=tan∠PNA=PAAN=2AN= 2，则AN= 2，
又因为正方形ABCM中，有AC= 2AB= 2，又PN⊥CD，所以此时N与C重合，
因为∠DAC=∠ACB=π4，所以∠ADC=π4=∠DAC，则AC=CD= 2，
所以AD= 2AC=2=AM+MD，故λ=MD=2−AM=1，
故存在λ=1使得tanθ= 2.
【解析】(1)根据面面垂直的判定定理证明即可；
(2)过P作PN⊥CD于N，连接AN，利用二面角的定义可求得AN的值，再根据线线关系即可得MD的值，从而得符合条件的λ的值．
本题主要考查面面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)在直角△ABC中，角A为直角，点M是AC边的中点，点P满足AP=23AB，
则BP=13BA，
又点Q是BC边上靠近C的三等分点，
则CQ=13CB，
即BQ=23BC，
所以PQ=BQ−BP=23BC−13BA=23(AC−AB)+13AB=23AC−13AB，
又PQ=λAB+μAC，
又AB、AC不共线，
由平面向量基本定理可得λ=−13μ=23，
即λ+μ=13；
(2)以A点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(3,0)，C(0,2)，P(2,0)，M(0,1)，
因为Q在CB上，
设CQ=λCB=(3λ,−2λ)，λ∈[0,1]，
所以MQ=MC+CQ=(0,1)+(3λ,−2λ)=(3λ,−2λ+1)，
PQ=PC+CQ=(−2,2)+(3λ,−2λ)=(3λ−2,2−2λ)，
所以MQ⋅PQ=3λ(3λ−2)+(−2λ+1)(2−2λ)=13λ2−12λ+2=13(λ−613)2−1013，
因为λ∈[0,1]，
所以当λ=613时，(MQ⋅PQ)min=−1013，
又|1−613|>|613−0|，
所以当λ=1时，(MQ⋅PQ)max=3，
所以MQ⋅PQ∈[−1013,3]，
即MQ⋅PQ的取值范围为[−1013,3].
【解析】(1)根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得；
(2)建立平面直角坐标系，设CQ=λCB(λ∈[0,1])，利用坐标法求出MQ⋅PQ，再结合二次函数的性质计算可得．
本题考查了平面向量基本定理及平面向量数量积的运算，重点考查了二次函数值域的求法，属中档题．
22.【答案】解：(1)因为(sinA+sinC)2=sin2B+45sinAsinC，
由正弦定理可得(a+c)2=b2+45ac，即a2+c2+2ac=b2+45ac，
即a2+c2−b2=−65ac，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=−65ac2ac=−35，
又B∈(0,π)，所以sinB= 1−cs2B=45.
(2)因为csB=1−2sin2B2=−35，解得sinB2=2 55或sinB2=−2 55(舍去)，
又BD是∠ABC的角平分线，BD=2，所以S△ABC=S△ABD+S△DBC，
即12acsinB=12aBDsinB2+12cBDsinB2，即ac= 5a+ 5c，
所以(a− 5)c= 5a，所以a> 5且c= 5aa− 5，
所以4a−2+5c− 5=4a−2+5 5aa− 5− 5
=4a−2+a− 5
=4a−2+(a−2)+2− 5≥2 4a−2⋅(a−2)+2− 5=6− 5，
当且仅当4a−2=a−2，即a=4、c=20+16 511时取等号，
所以4a−2+5c− 5的最小值为6− 5.
【解析】(1)利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出csB，即可求出sinB；
(2)首先利用二倍角公式求出sinB2，由面积公式得到ac= 5a+ 5c，即可得到a> 5且c= 5aa− 5，代入4a−2+5c− 5利用基本不等式计算可得．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．