海南省海口市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份海南省海口市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.、B.、C.、D.、
2．在三棱柱中,,若点D为的中点,则( )
A.B.C.D.
3．已知两个向量,,且,则的值为( )
A.1B.2C.4D.8
4．已知直线,,若,则( )
A.0B.1C.2D.-2
5．在三棱锥中,M是平面ABC上一点,且,则( )
A.1B.2C.3D.-2
6．若,,且与的夹角为钝角,则x的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．“”是“直线：与直线互相垂直”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．在中,,,,D为AC中点,若将沿着直线BD翻折至,使得四面体的外接球半径为1,则直线与平面ABD所成角的余弦值是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中,正确的有( )
A.过点且在x轴,y轴截距相等的直线方程为
B.直线在y轴的截距是2
C.直线的倾斜角为30°
D.过点且倾斜角为90°的直线方程为
10．下列选项中,正确的命题是( )
A.若两条不同直线l,m的方向向量为,,则
B.已知是空间向量的一组基底,且,则点D在平面ABC内,且D为的重心
C.若是空间向量的一组基底,则也是空间向量的一组基底
D.若空间向量,,共面,则存在不全为0的实数x,y,z使
11．如图,正四面体ABCD的顶点A,B,C分别在两两垂直的三条射线Ox,Oy,Oz上,则下列结论错误的为( )
A.是正三棱锥B.直线平面ACD
C.直线AD与OB所成的角是45°D.二面角为45°
12．在正方体中,E,F,G分别为棱,,上的一点,且,H是的中点,I是棱上的动点,则( )
A.当时,平面AEF
B.当时,平面AEF
C.当时,存在点I,使A,F,H,I四点共面
D.当时,存在点I,使FI,EH,三条直线交于同一点
三、填空题
13．过点,两点的直线与直线l垂直,直线l的倾斜角为,则________________
14．如图,元件通过电流的概率是0.9,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在M,N之间通过的概率是_____________.
15．如图,的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB,已知,,,则CD的长为____________.
16．如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,,AP与AB,AD的夹角都是60°,若M是PC的中点,则直线MB与AP所成角的余弦值为_______________.
四、解答题
17．在中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足.
(1)求B;
(2)若,且的面积为,BD是的中线,求BD的长.
18．如图,在直三棱柱中,,D,E分别为和的中点.
(1)求证：平面;
(2)若,求点D到平面的距离.
19．在平行四边形ABCD中,,,点E是线段BC的中点.
(1)求直线AE的方程;
(2)求过点A且与直线DE垂直的直线.
20．无为板鸭是安徽省芜湖市无为市的一道传统特色美食,属于徽菜系,始创于清朝年间.不但本地人喜欢,也深受外来游客的赞赏.老马从事板鸭加工销售多年,为了进一步提高自家板鸭的销售量,老马随机的抽取了200位年龄处于岁的顾客进行板鸭口感度调查,记录给予口感好评的人数,得到如图所示各年龄段人数的频率分布直方图和表中的统计数据.
(1)求x,y的值;
(2)从年龄段在的给好评人群中采取分层抽样的方法抽取6位顾客进行详细口感度调查,并从中选出两人各赠送一只板鸭,求选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在中的概率.
21．已知定义在R上的函数,图象上相邻两个最低点之间的距离为,且.
（1）求的解析式;
（2）若,恒成立,求实数m的取值范围.
22．如图,在三棱台中,若平面ABC,,,,N为AB中点,M为棱BC上一动点（不包含端点）.
(1)若M为BC的中点,求证：平面.
(2)是否存在点M,使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在,求出长度;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,
故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为,
故选：A.
2．答案：A
解析：,,,D为的中点,
,
故选：A.
3．答案：C
解析： ,,使,得,解得：,所以
故选：C.
4．答案：D
解析：由题意,,则,,,
解得：或1,当时,,故不符合题意,
当时,,符合题意.
故选：D.
5．答案：C
解析：因为,
所以,即.
因为M是平面ABC上一点,所以,所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：因为,,
令与共线,则,即,
即,解得,
此时,,即,与反向,
又与的夹角为钝角,
所以且与不反向共线,
即且,
解得且,
故选：C.
7．答案：A
解析：依题意,,解得或,
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
8．答案：A
解析：因为,,,所以,
由D为AC中点,所以,
则,即为等边三角形,
设的外接圆圆心为G,的外接圆圆心为O,取BD中点为H,
连接,OH,OG,OB,,OD,
因为,,所以由正弦定理可得,
即的外接圆半径为1,
又四面体的外接球半径为1,所以O为外接球球心,
由球的性质可知,平面,因为平面,所以,
因为,,所以.
设到平面ABD的距离为d,
因为和都是边长为1的正三角形,
所以,由得,即,
记直线与平面ABD所成角为,
则,所以.
故选：A.
9．答案：CD
解析：A选项,直线过点且在x轴,y轴截距相等,所以A选项错误.
B选项,直线在y轴上的截距是-2,B选项错误.
C选项,直线的斜率为,倾斜角为,C选项正确.
D选项,过点且倾斜角为90°的直线方程为,D选项正确.
故选：CD.
10．答案：ABD
解析：对于A,由于两直线不同,所以两直线平行时其对应方向向量也平行,
反之当两直线的方向向量平行时可知两直线也平行,即A正确;
对于B,由,
即,故,,三向量共面,
取BC中点E,则有,
同理取AC中点F,,所以D为的重心,即B正确;
对于C,易知,
由空间向量的共面定理可知,,,三个向量共面,故C错误;
对于D,由空间向量的共面定理可知,即
所以存在不全为0的实数x,y,z,使得,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：由ABCD为正四面体,则为正三角形,又OA,OB,OC两两垂直,
所以,则,
综上,是正三棱锥,A对;
将上图几何体补全为正方体如下：
显然,而面,故直线平面ACD不成立,B错;
直线AD与OB所成的角,即为,C对;
H为CD的中点,连接HA,HB,结合题设易知：,
所以二面角的平面角为,
若正方体的棱长为2,则,.
中,显然不等于,D错.
故选：BD.
12．答案：BCD
解析：已知正方体,则可分别以DA,DC,所在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
对选项A,当时,.
设正方体棱长为,
则,,,
,,
假设平面AEF,则存在x,y使得,
则,无解.所以平面AEF,
故选项A错误;
对选项B,当时,设正方体棱长为2,
则,,,
,,
假设平面AEF,则存在x,y使得,
则,解得,则A,,E,F四点共面,
即当时,平面AEF.
故选项B正确;
对选项C,当时,设正方体棱长为1,
由,得,,
由I是棱上的动点,设,
则,,
假设存在点I,使A,F,H,I四点共面,则存在x,y使得,
则得,其中,
设,
则在单调递减,则,又
所以任意,都存在,使,其中,
即存在点I,使A,F,H,I四点共面,
故选项C正确;
对选项D,当时,,
连接EF,,取的中点I,连接FI,EH,
因为H是的中点,则,且,
又,且,
则,,故四边形是平行四边形,
所以,由平行传递性知,,且,
故四边形IFEH是梯形,则FI与EH相交,
延长FI,EH交于点M,平面,平面,
故平面,且平面,又平面平面,
则.所以FI,EH,相交于一点M.
即当时,存在点I,I为中点,使FI,EH,三条直线交于同一点.
故选项D正确.
故选：BCD.
13．答案：1
解析：由题意可知直线l的斜率,
又因为直线AB与l垂直,
所以,
又因为,
所以,
解得.
故答案为：1.
14．答案：0.8829
解析：电流能通过,的概率为,电流能通过的概率为0.9,
故电流不能通过,且也不能通过的概率为.
故电流能通过系统,,的概率为.
而电流能通过的概率为0.9,故电流能在M,N之间通过的概率是.
故答案为：0.8829
15．答案：
解析：由条件,知,,
所以
,
所以,
故答案为：.
16．答案：
解析：记,,
因为,,
所以,.
又因为,
所以,.
易得,
所以,
所以,
又,
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,
由正弦定理可得,
即,
即,
又因为,所以,所以.
又因为,所以,
所以,所以.
（2）因为,所以得,
由余弦定理得：.
又,
所以,
得,故BD的长为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）取的中点,连接,,
由且,可得四边形为平行四边形,
,
又面,面,
平面
（2）因为,且D为的中点,则,
又因为平面,平面,则,
,,平面,所以平面,
在中,,,,
,
设点D到平面的距离为h.
由,即,
则点D到平面的距离为.
19．答案：(1);
(2).
解析：（1）由中点坐标公式得,
,
直线AE的方程为,即.
（2）设点,平行四边形ABCD的对角线互相平分,
即BD中点和AC中点重合,
,解得,即,
,
则过点A且与直线DE垂直的直线斜率为：,
方程为：,即.
20．答案：(1),
(2)
解析：（1）由题意得：,
;
（2）从年龄段在的给好评人中采取分层抽样的方法抽取6人进行调查,
从中选：人,分别记为A,B,C,D,
从中选：人,分别记为a,b,
在这6人中选取2人,所有的基本事件有：,,,,,
,,,,,,,,,,共15种,
选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在包含的基本事件有：,,,,,,,,,共9种
因此,选取的2名有赠品的顾客至少有一人年龄在中的概率.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为图象上相邻两个最低点之间的距离为
即
所以
则
因为,带入可得
,
可解得
所以
（2）由（1）可知
则
由降幂公式可知
所以不等式可化为恒成立
即
由辅助角公式化简可得
即
因为,则
由正弦函数图像可知
即恒成立
所以只需
解不等式可得
22．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连接NM,
因为N为AB中点,M为BC的中点,
所以,
因为是正三棱台,,
所以,
于是有,,
因此四边形是平行四边形,
所以,平面,平面,
所以平面
（2）假设存在点M,使得平面与平面所成角的余弦值为,
因为平面ABC,AB,平面ABC,
所以,,而,
所以建立如图所示的空间直角坐标系,
,,,,
设,
设平面的法向量为,
,
所以有,
因为,,,,
所以平面,所以平面的法向量为,
所以,
解得,舍去,即,
,即BM长度为.
组数
分组
给好评的人数
占本组的频率
第一组
45
0.75
第二组
25
y
第三组
20
0.5
第四组
x
0.2
第五组
3
0.1