海南省海口市第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份海南省海口市第二中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．复数,i是虚数单位,则下列结论正确的是( )
A.B.z的共轭复数为
C.z的实部与虚部之和为1D.z在平面内的对应点位于第一象限
3．已知,,,则( )
A.2B.C.D.
4．已知直线,,的倾斜角为60°.若,则的斜率为( )
A.B.C.D.
5．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次,至少出现一次6点向上的概率是( )
A.B.C.D.
6．如图所示,正三棱柱,各条棱长均为2,点O,分别是棱AC,的中点,M是的中点.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则以下不是平面ABM法向量的有( )
①
②
③
④
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
7．某市要对其CBD区域金融和科技单位员工的年龄进行调查,现从中随机抽出1000名员工,已知抽到的员工年龄都在岁之间,根据调查结果得出员工的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市CBD区域金融和科技单位员工的年龄的中位数大约是( )
A.31.6岁B.32.6岁C.33.6岁D.36.6岁
8．正方形ABCD的边长为2,O是正方形ABCD的中心,过中心O的直线l与边AB交于点M,与边CD交于点N,P为平面内一点,且满足,则的最小值为( )
A.B.C.-2D.
二、多项选择题
9．新冠疫情防控中,测量体温是最简便、最快捷,也是筛选成本比较低、性价比比较高的筛查方式,是更适用于大众的普通筛查手段.某班级体温检测员对某一周内甲、乙两位同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列结论正确的是( )
A.甲同学体温的极差是B.甲同学体温的众数是为
C.乙同学体温的中位数和平均数不相等D.乙同学体温的方差比甲同学的小
10．已知点P为三棱锥的底面ABC所在平面内的一点,且（m,）,则m,n的值可能为( )
A.,B.,C.,D.,
11．要得到如图所示图象,可由图象经过怎样的变换得到( )
A.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将横坐标向右平移个单位,纵坐标不变
C.横坐标向右平移个单位,纵坐标不变,再将横坐标缩短为原来的,纵坐标不变
D.横坐标向右平移个单位,纵坐标不变,再将横坐标缩短为原来的,纵坐标不变
12．如图,AC为圆锥的底面直径,点B是圆O上异于A,C的动点,,则下列结论正确的是( )
A.圆锥的侧面积为
B.三棱锥体积的最大值为
C.的取值范围是
D.若,E为线段AB上的动点,则的最小值为
三、填空题
13．一组5个数据中,前4个数据的平均数是20,全部5个数据的平均数是19,则第5个数据是_____________.
14．如图,已知平行四边形ABCD中,,,,平面ABCD,且,则_______________.
四、双空题
15．已知角的顶点与平面直角坐标系的原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终点经过点,则_______________,________________.
16．已知两点,,过点的直线l与线段AB有公共点,则l的倾斜角的取值范围是___________;直线l的斜率k的取值范围是__________.
五、解答题
17．在中,已知,,.
(1)求角A;
(2)求的面积.
18．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分,每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”,两部分考试都“通过”者,则考试“通过”,并给予录取.甲､乙两人在笔试中“通过”的概率依次为0.5,0.6,在面试中“通过”的概率依次为0.4,0.3,笔试和面试是否“通过”是独立的,那么
(1)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试,谁获得录取的可能性大？
(2)甲､乙两人都参加此高校的自主招生考试,求恰有一人获得录取的概率.
19．图,在四棱锥中,平面ABCD,,,,,E为PA上一点,且.
(1)证明：平面平面PAC;
(2)求直线PB与平面BEC所成角的正弦值.
20．在平面直角坐标系中,已知向量,,.
(1)若,求x的值;
(2)设,记,求的最小正周期及最小值.
21．某学校400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例、使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数、将数据分成7组：,,···,并整理得到如图的频率分布直方图.
(1)求出分数低于50分的频率;
(2)估计总体400名学生中分数大于70分的人数;
(3)根据该学校规定,把成绩位于后的学生划定为不及格,把成绩位于前的学生划定为优秀.根据频率直方图,确定本次测试的及格分数线与优秀分数线.
22．在直三棱柱中,D,E分别是,BC的中点,,,.
(1)求证：平面;
(2)求点E到平面的距离;
(3)求二面角的余弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：,故,
故选：A.
2．答案：D
解析：,
所以：,A选项错误.
,B选项错误.
的实部与虚部之和为2,C选项错误.
对应点为,在第一象限,,D选项正确.
故选：D.
3．答案：C
解析：因为,,,
所以,得,
所以,
所以,
故选：C.
4．答案：A
解析：因为的倾斜角为60°,故的斜率为,
因为,所以直线的斜率为,
故选：A.
5．答案：C
解析：因为将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次,出现一次6点向上的概率为,
所以先后抛掷3次,没有出现一次6点向上的概率为,
所以少出现一次6点向上的概率为.
故选：C.
6．答案：B
解析：依题意,,,,,
所以,,
设平面ABM的一个法向量为：,
则,即,
令,则,,所以,
令,则,,所以,
令,则,,所以,
令,则,,所以,
故选：B.
7．答案：C
解析：在频率分布直方图中,所有矩形面积之和为1,
所以,数据位于的频率为,
前两个矩形的面积之和为,
前三个矩形的面积之和为,
所以,中位数位于区间,设中位数为a,
则有,解得（岁）.
故选：C.
8．答案：D
解析：设,可得,故C,B,Q三点共线,又O,P,Q三点共线,故Q为直线OP与BC的交点.
·,又,
可得·,又,所以·.
故选：D.
9．答案：ABD
解析：由图知甲的最高体温为,最低体温为,故体温的极差,故A正确;
甲的体温从低到高分别为,,,,,,故众数为,故B正确;
乙同学的体温从低到高依次为,,,,,,故中位数为,而平均数也,故C选项错误;
由图可知,乙同学的体温比甲同学的体温稳定,所以乙同学体温的方差比甲同学的小,故D正确.
故选：ABD.
10．答案：CD
解析：因为点P为三棱锥的底面ABC所在平面内的一点,
所以由平面向量基本定理可知：
,
化简得：,显然有,
而,所以有,
当,时,,所以选项A不可能;
当,时,,所以选项B不可能;
当,时,,所以选项C可能;
当,时,,所以选项D可能,
故选：CD
11．答案：BC
解析：由题意设图象对应的函数为,
由图象可知：,
,所以,,
当时,,
得,,
即,,取,得,故,
故由的图象到的图象可以：
先将纵坐标不变横坐标变为原来的,再向右平移得到的图象;
先向右平移,再将纵坐标不变横坐标变为原来的得到的图象.
故选：BC.
12．答案：AB
解析：在中,,
则圆锥的母线长,半径,
对于选项A：圆锥SO的侧面积为,故选项A正确;
对于选项B：当时,的面积最大,此时,
则三棱锥体积的最大值为,故选项B正确;
对于选项C：当点B与点A重合时,为最小角,
当点B与点C重合时,,达到最大值,
又因为B与A,C不重合,则,
又,所以,故选项C错误;
对于选项D：由,,,
得,又,
则为等边三角形,则,
将以AB为轴旋转到与共面,得到,
则为等边三角形,,
如图：
则,
因为,,由余弦定理,
,
则,故选项D错误;
故选：AB.
13．答案：15
解析：设5个数据为a,b,c,d,e,因为前4个数据的平均数是20,
所以,则①,
全部5个数据的平均数是19,
所以,所以②,
②①得：.
故答案为：15.
14．答案：7
解析：因为,所以
,
因此,
故答案为：7.
15．答案：;
解析：①;
②.
故答案为：;.
16．答案：;
解析：如图所示：
由点,,,可得直线PA的斜率为,
直线PB的斜率为,由直线l与线段AB相交,可得k的范围是;
由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角
故答案为：;.
17．答案：(1)或;
(2)或.
解析：（1）由得：.
由且C为三角形内角,则,故或,而,
所以或.
（2）当时,.
当时,,
所以的面积为或.
18．答案：(1)甲获得录取的可能性大;
(2)0.308.
解析：（1）记“甲通过笔试”为事件,“甲通过面试”为事件,“甲获得录取”为事件A,“乙通过笔试”为事件,“乙通过面试”为事件,“乙获得录取”为事件B,
则,,即,
所以甲获得录取的可能性大.
（2）记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C,则
.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）证明：
平面ABCD,平面ABCD,
,
在直角梯形ABCD中,,,,,
,
,
,
又.平面PAC,平面PAC,
平面PAC,
平面EBC,
平面平面PAC.
（2）A为坐标原点,AD,AB,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系（如图所示）.
平面ABCD,平面ABCD,
,
,,
,
,
,
易知,,,.
则,,.
设是平面BCE的法向量.
则,即,所以可取
.
直线PB与平面BEC所成角的正弦值为.
20．答案：(1)
(2);-2
解析：（1）,,
,.
（2）
,
则的最小正周期为,
当,,即,时,取得最小值-2.
21．答案：(1)0.1
(2)240
(3)本次测试的及格分数线62.5分,优秀分数线为78.75分
解析：（1）据频率分布直方图可知,样本中分数不小于50的频率为,
所以样本中分数小于50的频率为.
（2）据频率分布直方图可知,样本中分数大于70的频率频率为,
所以总体400名学生中分数大于70分的人数约为.
（3）设本次测试的及格分数线为x,分数小于70的频率为,
分数小于60的频率为,
所以,即,解得,则本次测试的及格分数线为62.5分.
设本次测试的优秀分数线为y,分数大于70的频率为,
分数大于80的频率为,所以,即,解得,
则本次测试的优秀分数线为78.75分.
22．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）因为为直三棱柱,则平面ABC,且,
以C的原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,,且D,E分别是,BC的中点,
则,,,,,
所以,,
设平面的法向量为,
则,则,取,则,
则平面的一个法向量为,
因为平面,且,则平面.
（2）由（1）可知,平面的一个法向量为,且,
则点E到平面的距离.
（3）由（1）可知,平面的一个法向量为,显然x轴垂直于平面,
不妨取其法向量为,设二面角所对应的平面角为,
则,
显然二面角为锐二面角,则,即二面角的余弦值为.