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2023-2024学年四川省攀枝花市高一（上）质检数学试卷（1月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年四川省攀枝花市高一（上）质检数学试卷（1月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|0A. (0,1]B. (0,4]C. [1,3)D. [3,4)
2.函数f(x)=lg(x−1)x−2的定义域是( )
A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)∪(2,+∞)D. (1,2)∪(2,+∞)
3.已知x∈R，那么x 2>1是x>1的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的弧长为4cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为( )
A. 2cm2B. 4cm2C. 8cm2D. 16cm2
5.已知a=0.30.2，2b=3，c=cs2，则( )
A. c6.已知a>0且a≠1，则函数y=lga(x+1)与y=(1a)x+1在同一直角坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2+ax+bA. 9B. 8C. 6D. 4
8.市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足关系w=4−3x+1，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本(如人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为f(x)(单位：百元)，则f(x)有( )
A. 最小值43B. 最大值43C. 最小值91D. 最大值91
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a>b>0，则下列不等式成立的是( )
A. ba>abB. ab>b2C. bab+1a
10.下列说法正确的是( )
A. 330°化成弧度是5π3B. π12化成角度是15°
C. sin72°cs18°+cs72°sin18°=0D. 2(cs2π8−sin2π8)=1
11.已知函数f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. f(x)在[−π2,0]上的值域为[−1,2]
C. f(x)在区间[−π12,π6]上单调递减D. f(x)的图象在区间(0,π4)上存在对称轴
12.已知定义在R上的奇函数f(x)，对∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0，则( )
A. f(1)=0
B. f(x)有2个零点
C. f(x)在(−∞,0)上单调递增
D. 不等式(x2−1)f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数f(x)的图象过点(2, 2)，则f(4)=______．
14.若命题“∃x∈R，2x−a=0”为假命题，则实数a的取值范围为______．
15.已知角α的终边经过点P(−3,4)，则3sinα+cs(π−α)sin(π2+α)= ______．
16.已知函数f(x)=−x2−2x+2,x≤0,|lg12x|,x>0.若方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)= x2−8x+12的定义域为集合A，集合B={x|2≤2x≤8}．
(1)求(∁RA)∩B；
(2)设集合C={x|a−4≤x≤a+4}，若B∪C=C，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
计算下列各式的值：
(1)823+(13)−2−(3−π)0+(313×212)6；
(2)lg327−(lg4+lg25)−lg58⋅lg25+7lg72．
19.(本小题12分)
已知tanα=2．
(1)求tan2α及tan(2α−π4)；
(2)若0<α<π2，π<β<2π，csβ=−45，求cs(α−β)．
20.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)=ax2−1x2+b满足f(1)=0，且当x≠0时，f(1x)=−f(x)．
(1)求a，b的值，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；
(3)解不等式f(3x−1)>f(x+2)．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinx⋅sin(x+π6).
(1)求f(x)的最小值和单调递增区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)在[0,m]上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a2x+b−1ax(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若f(1)<0，∃x∈[12,2]，使得不等式f(2x2)+f(1−tx)>0成立，求t的取值范围；
(3)若函数f(x)的图象经过点(1,32)，且函数g(x)=lgm[a2x+a−2x+2f(x)+m](m>0,m≠1)在x∈[−1,0]上的最大值为2，求m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|0则A∪B=(0,4]．
故选：B．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：要使函数有意义，则有x−2≠0x−1>0，即x≠2x>1，所以x>1且x≠2．
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞)．
故选：D．
利用对数函数要求真数大于0，分式函数要求分母不大于0，来求解．
本题考查函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数和分式函数对变量取值的要求．
3.【答案】B
【解析】解：因为x∈R，那么x>1⇒x2>1；但是x2>1⇒x>1或x<−1，
所以x 2>1是x>1的必要不充分条件．
故选B．
直接利用充要条件的判定方法，判断即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
4.【答案】C
【解析】解：设扇形的半径为r，
扇形的弧长为4cm，圆心角为1rad，
则r=41=4，
故扇形的面积为12×4×4=8cm2．
故选：C．
根据已知条件，结合扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式，即可．
本题主要考查扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：0∵2b=3，∴b=lg23>lg22=1，
c=cs2<0，
∴c故选：A．
利用对数函数、指数函数、三角函数的性质求解．
本题考查对数函数、指数函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：结合y=lga(x+1)与y=(1a)x+1可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；
因为y=lga(x+1)恒过定点(0,0)，y=(1a)x+1恒过定点(0,2)，排除选项B，D．
故选：C．
由已知结合指数及对数函数的性质及函数图象的变换检验各选项即可判断．
本题主要考查了指数函数及对数函数性质的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0，
∴4b−a24=0，∴b=a24，
∵x2+ax+b∴x2+ax+b−c=0的两个根x1，x2分别为m，m+4，
∴|x1−x2|=|m+4−m|=4，
根据韦达定理可知，x1+x2=−a，x1x2=b−c=a24−c，
∵|x1−x2|=4，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2，
∴16=a2−4(a24−c)，
∴4c=16，即c=4．
故选：D．
先得到b=a24，把不等式解的问题转化为方程根的问题，利用韦达定理求解即可．
本题考查了二次函数的最值和应用一元二次不等式和方程根的关系，韦达定理的应用．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，f(x)=16w−x−2x=16(4−3x+1)−3x=64−48x+1−3x=64−(48x+1+3x)(0≤x≤5)，
∵48x+1+3x=48x+1+3(x+1)−3≥2 48x+1⋅3(x+1)−3=21，当且仅当48x+1=3(x+1)，即x=3时，等号成立，
∴当x=3时，f(x)取得最大值64−21=43．
故选：B．
由题意可知，f(x)=16(4−3x+1)−3x=64−(48x+1+3x)(0≤x≤5)，再利用基本不等式求最值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：若a>b>0，则a2>b2，
所以ab>ba，A错误；
由a>b>0可得ab>b2，B正确；
因为a(b+1)−b(a+1)=a−b>0，
所以a(b+1)>b(a+1)>0，
即b+1a+1>ba，C正确；
由a>b>0可得，1b>1a>0，
所以a+1b>b+1a，D正确．
故选：BCD．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：330°化成弧度是11π6，故A错误；
π12化成角度是15°，故B正确；
sin72°cs18°+cs72°sin18°=sin(72°+18°)=sin90°=1，故C错误；
2(cs2π8−sin2π8)= 2csπ4= 2× 22=1，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，结合弧度制的定义，以及三角函数恒等变换，即可求解．
本题主要考查弧度制的定义，以及三角函数恒等变换，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：∵f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，
∴T=2πω=π⇒ω=2，A正确；
故f(x)=2cs(2x+π3)，
∴当x∈[−π2,0]时，2x+π3∈[−2π3,π3]，cs(2x+π3)∈[−12,1]，
∴f(x)=2cs(2x+π3)∈[−1,2]，B正确；
当x∈[−π12,π6]时，2x+π3∈[π6,2π3]⫋[0,π]，
∴f(x)在区间[−π12,π6]上单调递减，C正确；
x∈(0,π4)时，2x+π3∈(π3,5π6)⫋(0,π)，
∴f(x)的图象在区间(0,π4)上不存在对称轴，D错误．
故选：ABC．
f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π可求得ω=2，判断A；再利用余弦函数的性质对B、C、D三个选项逐一分析可得答案．
本题主要考查了诱导公式的应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0，故A正确；
又f(x)为R上的奇函数，f(−1)=0，f(0)=0，
∴f(x)至少有三个零点，故B错误；
设x1，x2∈(0,+∞)，且x1则x2x1>1，f(x2x1)>0，f(x1)−f(x2)=f(x1)−f(x2x1⋅x1)=f(x1)−[f(x2x1)+f(x1)]=−f(x2x1)<0，
∴f(x1)由于f(x)为奇函数，
∴f(x)在(−∞,0)上也是增函数，故C正确；
易知当x∈(−∞,−1)∪(0,1)时，f(x)<0，
当x∈(−1,0)∪(1,+∞)时，f(x)>0，
由(x2−1)f(x)<0，得x2−1<0f(x)>0或x2−1>0f(x)<0，
解得x∈(−∞,−1)∪(−1,0)，故D错误．
故选：AC．
令x=y=1，可判断选项A；由奇函数的性质可判断选项B；利用单调性的定义可判断选项C；由f(x)的取值情况，结合不等式的性质即可判断选项D．
本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：设f(x)=xα，
∵f(x)的图象过点(2, 2)，
∴f(2)=2α= 2=212，∴α=12，
∴f(4)=412=2，
故答案为：2．
设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数值即可．
本题考查了幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．
14.【答案】{a|a≤0}
【解析】解：命题“∃x∈R，2x−a=0”为假命题，
则∀x∈R，2x−a≠0为真命题，
则a≤0，
故实数a的取值范围为{a|a≤0}．
故答案为：{a|a≤0}．
根据已知条件，推得∀x∈R，2x−a≠0为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
15.【答案】−73
【解析】解：∵α的终边经过点P(−3,4)，∴tanα=4−3=−43．
则3sinα+cs(π−α)sin(π2+α)=sin−csαcsα=tanα−1=−43−1=−73．
故答案为：−73．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得所给式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
16.【答案】2 ； ；；9
【解析】解：当x≤0时，f(x)=−x2−2x+2是开口向下的二次函数，最多由2个解，
当x>0，f(x)=|lg12|也最多只有两个解，
故在x≤0，x>0范围内各有两个解，
当x≤0时，f(x)关于x=−1对称，f(x)在(−∞,−1)上单调递增，
所以f(x)max=f(−1)=3，
又f(x)在(−1,0)上单调递减，
为使得f(x)=a在x≤0有两个解，应使f(0)≤a对于x>0，|lg12|≥0，对于任意的a>0都有两个根，
所以a的最小值为a=2，
x1，x2关于对称轴x=−1对称，
所以x1+x2=2×(−1)=−2，
又|lg12x3|=|lg12x4|=a，
因为x30，
所以lg12x3=a,lg12x4=−a，
所以lg12x3+lg12x4=0，故lg12(x3x4)=0，所以x3x4=1，
原式可化为41⋅x4−x4⋅(−2)=4x4+2x4，
因为a∈[2,3)，所以lg12x4∈(−3,−2]，所以x4∈[4,8)，
又y=4x+2x在[4,8)上是增函数，
所以原式的最小值为x4=4时的值，即44+2×4=9．
故答案为：2；9．
分别考虑分段函数的两段函数，可得在x≤0，x>0范围内各有两个解，然后对两段分别分析，求解即可得到答案；
利用二次函数的对称性可得x1+x2=2×(−1)=−2，再利用|lg12x3|=|lg12x4|=a，可得x3x4=1，将原式进行化简变形为41⋅x4−x4⋅(−2)=4x4+2x4，利用已知条件求出x4∈[4,8)，利用对勾函数的单调性进行分析求解即可．
本题考查了函数零点与方程根之间的关系，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或数形结合的方法进行研究，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由x2−8x+12≥0可得x≤2或x≥6，
∴A={x|x≤2或x≥6}，
∴∁RA={x|2由2≤2x≤8可得1≤x≤3，
∴B={x|1≤x≤3}，
∴(∁RA)∩B={x|2(2)∵B∪C=C，∴B⊆C，
∵B={x|1≤x≤3}，C={x|a−4≤x≤a+4}，
∴a−4≤1a+4≥3，解得−1≤a≤5，
即实数a的取值范围[−1,5]．
【解析】(1)先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
(2)由B∪C=C可得B⊆C，进而列出不等式，求出a的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式和指数不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)823+(13)−2−(3−π)0+(313×212)6
=23×23+32−1+313×6×212×6
=4+9−1+32×23
=84；
(2)lg327−(lg4+lg25)−lg58⋅lg25+7lg72
=3−lg100−lg8lg5⋅lg5lg2+2
=3−2−lg28+2
=0．
【解析】(1)结合指数的运算性质即可求解；
(2)结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)已知tanα=2．
则tan2α=2tanα1−tan2α=41−4=−43，tan(2α−π4)=tan2α−11+tan2α=−43−11+(−43)×1=7；
(2)若0<α<π2，π<β<2π，csβ=−45，
则sinβ=− 1−cs2β=−35，
又sinαcsα=2sin2α+cs2α=1sinα>0csα>0，
则sinα=2 55，csα= 55，
则cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ= 55×(−45)+2 55×(−35)=−2 55．
【解析】(1)由两角和与差的公式，结合二倍角公式求解；
(2)由两角和与差的公式，结合同角三角函数的关系求解．
本题主要考查两角和与差的公式，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(1)=a−11+b=0，
∴a=1，f(x)=x2−1x2+b，
又f(1x)=−f(x)，即1−x21+bx2=1−x2x2+b，
∴b=1，
∴f(x)=x2−1x2+1，其定义域为R，且满足f(−x)=f(x)，
∴函数f(x)为偶函数；
(2)函数f(x)=1−2x2+1在(0,+∞)上单调递增．
证明：令0∴f(x1)−f(x2)=2x22+1−2x12+1=2(x1−x2)(x1+x2)(x12+1)(x22+1)<0，
∴f(x1)∴f(x)=1−2x2+1在(0,+∞)上单调递增．
(3)由(1)(2)知偶函数f(x)=1−2x2+1在(0,+∞)上单调递增，
∴f(3x−1)>f(x+2)⇔|3x−1|>|x+2|⇔8x2−10x−3>0，
解得x>32或x<−14．
∴原不等式的解集为(−∞,−14)∪(32,+∞)．
【解析】(1)由f(1)=0，且当x≠0时，f(1x)=−f(x)可求得a，b的值，利用定义可判断函数f(x)的奇偶性；
(2)分离常数得f(x)=1−2x2+1，在(0,+∞)上单调递增，利用单调性的定义证明即可；
(3)依题意，不等式f(3x−1)>f(x+2)可等价转化为|3x−1|>|x+2|，解之可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2sinx⋅sin(x+π6)=2sinx⋅( 32sinx+12csx)= 3sin2x+sinxcsx
= 3⋅1−cs2x2+sin2x2= 32+sin(2x−π3)，
∴f(x)的最小值为 32−1．
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，
可得f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位，可得y= 32+sin(2x+π3)的图象；
再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)= 32+sin(4x+π3)的图象．
若函数y=g(x)在[0,m]上有且仅有两个零点，即sin(4x+π3)=− 32在[0,m]上有且仅有两个解．
而4x+π3∈[π3,4m+π3]，
则5π3≤4m+π3<10π3，求得π3≤m<3π4．
故m的取值范围为[π3,3π4).
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
(2)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求出m的取值范围．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(0)=a0+b−1a0=0，所以b=0；
经检验，当b=0时，f(x)=a2x−1ax(a>0,a≠1)为R上的奇函数；
(2)由f(1)=a2−1a<0，解得0易知f(x)=a2x−1ax=ax−1ax(0又f(x)是定义在R上的奇函数，由f(2x2)+f(1−tx)>0⇒f(2x2)>f(tx−1)，
故∃x∈[12,2]，使得2x2即∃x∈[12,2]，使得2x2−tx+1<0成立，所以t4>0Δ=t2−8>0，故t>2 2．
(3)因为f(1)=a−1a=32⇒2a2−3a−2=0，解得a=2或a=−12(舍去)．
由g(x)=lgm[22x+2−2x+2(2x−2−x)+m]，令t=2x−2−x∈[−32,0]，
则h(t)=t2+2t+m+2=(t+1)2+m+1∈[m+1,m+2]．
当0即m2−m−1=0，解得m=1± 52，不成立．
当m>1时，y=g(x)在x∈[−1,0]上的最大值为lgm(m+2)=2，
即m2−m−2=0，解得m=2或m=−1(舍去)．
综上所述，m=2．
【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得所求值；
(2)由f(1)<0，解得a的取值范围，判断f(x)的单调性，去掉不等式两边的“f“，由二次不等式的解法，可得所求取值范围；
(3)求得a=2，运用换元法和分类讨论思想，结合对数函数和二次函数的性质，可得最大值，解方程可得所求a的值．
本题考查函数的奇偶性和单调性、最值，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
1.已知集合A={x|0
2.函数f(x)=lg(x−1)x−2的定义域是( )
A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. [1,2)∪(2,+∞)D. (1,2)∪(2,+∞)
3.已知x∈R，那么x 2>1是x>1的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知扇形的弧长为4cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为( )
A. 2cm2B. 4cm2C. 8cm2D. 16cm2
5.已知a=0.30.2，2b=3，c=cs2，则( )
A. c
A. B.
C. D.
7.已知函数y=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式x2+ax+b
8.市场调查机构通过大数据统计发现：一棵某种水果树的产量w(单位：百千克)与肥料费用x(单位：百元)满足关系w=4−3x+1，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本(如人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为f(x)(单位：百元)，则f(x)有( )
A. 最小值43B. 最大值43C. 最小值91D. 最大值91
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若a>b>0，则下列不等式成立的是( )
A. ba>abB. ab>b2C. ba
10.下列说法正确的是( )
A. 330°化成弧度是5π3B. π12化成角度是15°
C. sin72°cs18°+cs72°sin18°=0D. 2(cs2π8−sin2π8)=1
11.已知函数f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. f(x)在[−π2,0]上的值域为[−1,2]
C. f(x)在区间[−π12,π6]上单调递减D. f(x)的图象在区间(0,π4)上存在对称轴
12.已知定义在R上的奇函数f(x)，对∀x，y∈(0,+∞)，f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时，f(x)>0，则( )
A. f(1)=0
B. f(x)有2个零点
C. f(x)在(−∞,0)上单调递增
D. 不等式(x2−1)f(x)<0的解集是(−∞,−1)∪(0,1)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若幂函数f(x)的图象过点(2, 2)，则f(4)=______．
14.若命题“∃x∈R，2x−a=0”为假命题，则实数a的取值范围为______．
15.已知角α的终边经过点P(−3,4)，则3sinα+cs(π−α)sin(π2+α)= ______．
16.已知函数f(x)=−x2−2x+2,x≤0,|lg12x|,x>0.若方程f(x)=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1
17.(本小题10分)
已知函数f(x)= x2−8x+12的定义域为集合A，集合B={x|2≤2x≤8}．
(1)求(∁RA)∩B；
(2)设集合C={x|a−4≤x≤a+4}，若B∪C=C，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
计算下列各式的值：
(1)823+(13)−2−(3−π)0+(313×212)6；
(2)lg327−(lg4+lg25)−lg58⋅lg25+7lg72．
19.(本小题12分)
已知tanα=2．
(1)求tan2α及tan(2α−π4)；
(2)若0<α<π2，π<β<2π，csβ=−45，求cs(α−β)．
20.(本小题12分)
定义在R上的函数f(x)=ax2−1x2+b满足f(1)=0，且当x≠0时，f(1x)=−f(x)．
(1)求a，b的值，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断并用定义证明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；
(3)解不等式f(3x−1)>f(x+2)．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sinx⋅sin(x+π6).
(1)求f(x)的最小值和单调递增区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)在[0,m]上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=a2x+b−1ax(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数．
(1)求b的值；
(2)若f(1)<0，∃x∈[12,2]，使得不等式f(2x2)+f(1−tx)>0成立，求t的取值范围；
(3)若函数f(x)的图象经过点(1,32)，且函数g(x)=lgm[a2x+a−2x+2f(x)+m](m>0,m≠1)在x∈[−1,0]上的最大值为2，求m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|0
故选：B．
根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：要使函数有意义，则有x−2≠0x−1>0，即x≠2x>1，所以x>1且x≠2．
所以函数的定义域为(1,2)∪(2,+∞)．
故选：D．
利用对数函数要求真数大于0，分式函数要求分母不大于0，来求解．
本题考查函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数和分式函数对变量取值的要求．
3.【答案】B
【解析】解：因为x∈R，那么x>1⇒x2>1；但是x2>1⇒x>1或x<−1，
所以x 2>1是x>1的必要不充分条件．
故选B．
直接利用充要条件的判定方法，判断即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
4.【答案】C
【解析】解：设扇形的半径为r，
扇形的弧长为4cm，圆心角为1rad，
则r=41=4，
故扇形的面积为12×4×4=8cm2．
故选：C．
根据已知条件，结合扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式，即可．
本题主要考查扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：0
c=cs2<0，
∴c
利用对数函数、指数函数、三角函数的性质求解．
本题考查对数函数、指数函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：结合y=lga(x+1)与y=(1a)x+1可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；
因为y=lga(x+1)恒过定点(0,0)，y=(1a)x+1恒过定点(0,2)，排除选项B，D．
故选：C．
由已知结合指数及对数函数的性质及函数图象的变换检验各选项即可判断．
本题主要考查了指数函数及对数函数性质的应用，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0，
∴4b−a24=0，∴b=a24，
∵x2+ax+b
∴|x1−x2|=|m+4−m|=4，
根据韦达定理可知，x1+x2=−a，x1x2=b−c=a24−c，
∵|x1−x2|=4，∴(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2，
∴16=a2−4(a24−c)，
∴4c=16，即c=4．
故选：D．
先得到b=a24，把不等式解的问题转化为方程根的问题，利用韦达定理求解即可．
本题考查了二次函数的最值和应用一元二次不等式和方程根的关系，韦达定理的应用．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可知，f(x)=16w−x−2x=16(4−3x+1)−3x=64−48x+1−3x=64−(48x+1+3x)(0≤x≤5)，
∵48x+1+3x=48x+1+3(x+1)−3≥2 48x+1⋅3(x+1)−3=21，当且仅当48x+1=3(x+1)，即x=3时，等号成立，
∴当x=3时，f(x)取得最大值64−21=43．
故选：B．
由题意可知，f(x)=16(4−3x+1)−3x=64−(48x+1+3x)(0≤x≤5)，再利用基本不等式求最值即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：若a>b>0，则a2>b2，
所以ab>ba，A错误；
由a>b>0可得ab>b2，B正确；
因为a(b+1)−b(a+1)=a−b>0，
所以a(b+1)>b(a+1)>0，
即b+1a+1>ba，C正确；
由a>b>0可得，1b>1a>0，
所以a+1b>b+1a，D正确．
故选：BCD．
由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：330°化成弧度是11π6，故A错误；
π12化成角度是15°，故B正确；
sin72°cs18°+cs72°sin18°=sin(72°+18°)=sin90°=1，故C错误；
2(cs2π8−sin2π8)= 2csπ4= 2× 22=1，故D正确．
故选：BD．
根据已知条件，结合弧度制的定义，以及三角函数恒等变换，即可求解．
本题主要考查弧度制的定义，以及三角函数恒等变换，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：∵f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，
∴T=2πω=π⇒ω=2，A正确；
故f(x)=2cs(2x+π3)，
∴当x∈[−π2,0]时，2x+π3∈[−2π3,π3]，cs(2x+π3)∈[−12,1]，
∴f(x)=2cs(2x+π3)∈[−1,2]，B正确；
当x∈[−π12,π6]时，2x+π3∈[π6,2π3]⫋[0,π]，
∴f(x)在区间[−π12,π6]上单调递减，C正确；
x∈(0,π4)时，2x+π3∈(π3,5π6)⫋(0,π)，
∴f(x)的图象在区间(0,π4)上不存在对称轴，D错误．
故选：ABC．
f(x)=2cs(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π可求得ω=2，判断A；再利用余弦函数的性质对B、C、D三个选项逐一分析可得答案．
本题主要考查了诱导公式的应用，三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，
∴f(1)=0，故A正确；
又f(x)为R上的奇函数，f(−1)=0，f(0)=0，
∴f(x)至少有三个零点，故B错误；
设x1，x2∈(0,+∞)，且x1
∴f(x1)
∴f(x)在(−∞,0)上也是增函数，故C正确；
易知当x∈(−∞,−1)∪(0,1)时，f(x)<0，
当x∈(−1,0)∪(1,+∞)时，f(x)>0，
由(x2−1)f(x)<0，得x2−1<0f(x)>0或x2−1>0f(x)<0，
解得x∈(−∞,−1)∪(−1,0)，故D错误．
故选：AC．
令x=y=1，可判断选项A；由奇函数的性质可判断选项B；利用单调性的定义可判断选项C；由f(x)的取值情况，结合不等式的性质即可判断选项D．
本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：设f(x)=xα，
∵f(x)的图象过点(2, 2)，
∴f(2)=2α= 2=212，∴α=12，
∴f(4)=412=2，
故答案为：2．
设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数值即可．
本题考查了幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．
14.【答案】{a|a≤0}
【解析】解：命题“∃x∈R，2x−a=0”为假命题，
则∀x∈R，2x−a≠0为真命题，
则a≤0，
故实数a的取值范围为{a|a≤0}．
故答案为：{a|a≤0}．
根据已知条件，推得∀x∈R，2x−a≠0为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
15.【答案】−73
【解析】解：∵α的终边经过点P(−3,4)，∴tanα=4−3=−43．
则3sinα+cs(π−α)sin(π2+α)=sin−csαcsα=tanα−1=−43−1=−73．
故答案为：−73．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得所给式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
16.【答案】2 ； ；；9
【解析】解：当x≤0时，f(x)=−x2−2x+2是开口向下的二次函数，最多由2个解，
当x>0，f(x)=|lg12|也最多只有两个解，
故在x≤0，x>0范围内各有两个解，
当x≤0时，f(x)关于x=−1对称，f(x)在(−∞,−1)上单调递增，
所以f(x)max=f(−1)=3，
又f(x)在(−1,0)上单调递减，
为使得f(x)=a在x≤0有两个解，应使f(0)≤a
所以a的最小值为a=2，
x1，x2关于对称轴x=−1对称，
所以x1+x2=2×(−1)=−2，
又|lg12x3|=|lg12x4|=a，
因为x3
所以lg12x3=a,lg12x4=−a，
所以lg12x3+lg12x4=0，故lg12(x3x4)=0，所以x3x4=1，
原式可化为41⋅x4−x4⋅(−2)=4x4+2x4，
因为a∈[2,3)，所以lg12x4∈(−3,−2]，所以x4∈[4,8)，
又y=4x+2x在[4,8)上是增函数，
所以原式的最小值为x4=4时的值，即44+2×4=9．
故答案为：2；9．
分别考虑分段函数的两段函数，可得在x≤0，x>0范围内各有两个解，然后对两段分别分析，求解即可得到答案；
利用二次函数的对称性可得x1+x2=2×(−1)=−2，再利用|lg12x3|=|lg12x4|=a，可得x3x4=1，将原式进行化简变形为41⋅x4−x4⋅(−2)=4x4+2x4，利用已知条件求出x4∈[4,8)，利用对勾函数的单调性进行分析求解即可．
本题考查了函数零点与方程根之间的关系，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或数形结合的方法进行研究，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由x2−8x+12≥0可得x≤2或x≥6，
∴A={x|x≤2或x≥6}，
∴∁RA={x|2
∴B={x|1≤x≤3}，
∴(∁RA)∩B={x|2
∵B={x|1≤x≤3}，C={x|a−4≤x≤a+4}，
∴a−4≤1a+4≥3，解得−1≤a≤5，
即实数a的取值范围[−1,5]．
【解析】(1)先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
(2)由B∪C=C可得B⊆C，进而列出不等式，求出a的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式和指数不等式的解法，考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)823+(13)−2−(3−π)0+(313×212)6
=23×23+32−1+313×6×212×6
=4+9−1+32×23
=84；
(2)lg327−(lg4+lg25)−lg58⋅lg25+7lg72
=3−lg100−lg8lg5⋅lg5lg2+2
=3−2−lg28+2
=0．
【解析】(1)结合指数的运算性质即可求解；
(2)结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：(1)已知tanα=2．
则tan2α=2tanα1−tan2α=41−4=−43，tan(2α−π4)=tan2α−11+tan2α=−43−11+(−43)×1=7；
(2)若0<α<π2，π<β<2π，csβ=−45，
则sinβ=− 1−cs2β=−35，
又sinαcsα=2sin2α+cs2α=1sinα>0csα>0，
则sinα=2 55，csα= 55，
则cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ= 55×(−45)+2 55×(−35)=−2 55．
【解析】(1)由两角和与差的公式，结合二倍角公式求解；
(2)由两角和与差的公式，结合同角三角函数的关系求解．
本题主要考查两角和与差的公式，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题．
20.【答案】解：(1)∵f(1)=a−11+b=0，
∴a=1，f(x)=x2−1x2+b，
又f(1x)=−f(x)，即1−x21+bx2=1−x2x2+b，
∴b=1，
∴f(x)=x2−1x2+1，其定义域为R，且满足f(−x)=f(x)，
∴函数f(x)为偶函数；
(2)函数f(x)=1−2x2+1在(0,+∞)上单调递增．
证明：令0
∴f(x1)
(3)由(1)(2)知偶函数f(x)=1−2x2+1在(0,+∞)上单调递增，
∴f(3x−1)>f(x+2)⇔|3x−1|>|x+2|⇔8x2−10x−3>0，
解得x>32或x<−14．
∴原不等式的解集为(−∞,−14)∪(32,+∞)．
【解析】(1)由f(1)=0，且当x≠0时，f(1x)=−f(x)可求得a，b的值，利用定义可判断函数f(x)的奇偶性；
(2)分离常数得f(x)=1−2x2+1，在(0,+∞)上单调递增，利用单调性的定义证明即可；
(3)依题意，不等式f(3x−1)>f(x+2)可等价转化为|3x−1|>|x+2|，解之可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2sinx⋅sin(x+π6)=2sinx⋅( 32sinx+12csx)= 3sin2x+sinxcsx
= 3⋅1−cs2x2+sin2x2= 32+sin(2x−π3)，
∴f(x)的最小值为 32−1．
令2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，求得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，
可得f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z．
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位，可得y= 32+sin(2x+π3)的图象；
再将所得的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数y=g(x)= 32+sin(4x+π3)的图象．
若函数y=g(x)在[0,m]上有且仅有两个零点，即sin(4x+π3)=− 32在[0,m]上有且仅有两个解．
而4x+π3∈[π3,4m+π3]，
则5π3≤4m+π3<10π3，求得π3≤m<3π4．
故m的取值范围为[π3,3π4).
【解析】(1)由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
(2)由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求出m的取值范围．
本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(0)=a0+b−1a0=0，所以b=0；
经检验，当b=0时，f(x)=a2x−1ax(a>0,a≠1)为R上的奇函数；
(2)由f(1)=a2−1a<0，解得0
故∃x∈[12,2]，使得2x2
(3)因为f(1)=a−1a=32⇒2a2−3a−2=0，解得a=2或a=−12(舍去)．
由g(x)=lgm[22x+2−2x+2(2x−2−x)+m]，令t=2x−2−x∈[−32,0]，
则h(t)=t2+2t+m+2=(t+1)2+m+1∈[m+1,m+2]．
当0
当m>1时，y=g(x)在x∈[−1,0]上的最大值为lgm(m+2)=2，
即m2−m−2=0，解得m=2或m=−1(舍去)．
综上所述，m=2．
【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得所求值；
(2)由f(1)<0，解得a的取值范围，判断f(x)的单调性，去掉不等式两边的“f“，由二次不等式的解法，可得所求取值范围；
(3)求得a=2，运用换元法和分类讨论思想，结合对数函数和二次函数的性质，可得最大值，解方程可得所求a的值．
本题考查函数的奇偶性和单调性、最值，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
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