2023-2024学年四川省眉山市高二（上）第一次质检数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省眉山市高二（上）第一次质检数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知点A（2，0），，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）在空间直角坐标系中，点P（2，3，4）关于平面xOz对称的点的坐标为（ ）
A．（2，3，4）B．（﹣2，3，4）C．（2，﹣3，4）D．（﹣2，﹣3，4）
3．（5分）近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知空间向量，满足，则实数x的值是（ ）
A．﹣5B．﹣4C．4D．5
5．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，且与，所成的角均为60°，则＝（ ）
A．5B．C．D．
6．（5分）已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，∠ACB＝90°，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知从一点P引出三条射线PA、PB、PC，且两两成60°角，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且．若，则λ＝（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D．事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
（多选）10．（5分）已知向量＝（m，2m，2），＝（2m﹣5，﹣m，﹣1），则下列结论正确的是（ ）
A．若∥，则m＝2B．若⊥，则
C．||的最小值为2D．||的最大值为4
（多选）11．（5分）甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（ ）
A．两人都投中的概率为0.72
B．至少一人投中的概率为0.88
C．至多一人投中的概率为0.26
D．恰好有一人投中的概率为0.26
（多选）12．（5分）已知正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别是AB和CD的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线BD与直线AC互相垂直
B．线段EF的长为
C．直线AB与平面BCD所成角的正弦值为
D．正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）过点P（1，﹣2）且与直线3x+2y﹣5＝0垂直的直线方程是 ．
14．（5分）若向量，，则与夹角的正弦值为 ．
15．（5分）经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围为 ．
16．（5分）把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量＝（a，b），＝（1，2），则向量与向量不共线的概率是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知不透明的袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有3个黑球（记为B1，B2和B3），2个红球（记为R1和R2）．
（1）求随机抽取一个球是红球的概率；
（2）如果不放回地依次抽取两个球，求两个球都是黑球的概率．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求平面AEC与平面PAC的夹角余弦值．
19．（12分）已知三角形的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．
（1）求边AC所在的直线方程；
（2）求边AB上的高所在直线的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2．
（1）求点B到直线AC的距离；
（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．
21．（12分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事．为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为p，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为．
（1）求p的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
（2）试求两人答对的题数之和为3的概率．
22．（12分）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
（2）若二面角A﹣EF﹣B的大小为，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】解：设直线的倾斜角为α，
点A（2，0），，
则kAB＝，即，
∵0°≤α＜180°，
∴α＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的斜率公式，属于基础题．
2．【分析】在空间直角坐标系中，点P（x，y，z）关于平面xOz对称的点的坐标是（x，﹣y，z）．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
点P（2，3，4）关于平面xOz对称的点的坐标是（2，﹣3，4）．
故选：C．
【点评】本题考查空间直角坐标系中对称点坐标的求法，是基础题．
3．【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．
【解答】解：∵甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，
∴三人中恰有两人通过强基计划的概率为××（1﹣）+×（1﹣）×+（1﹣）××＝，
故选：C．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
4．【分析】由已知条件得出，解方程得到x的值即可．
【解答】解：因为向量，满足，
所以，解得x＝5．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
5．【分析】由表示出，然后平方把模转化为数量积的运算求解．
【解答】解：由题意，
所以＝＝1+1+1+0+2×1×1×cs60°+2×1×1×cs60°＝5，．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形法则、向量数量积运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量的夹角公式即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨取BC＝1，则CA＝CC1＝2CB＝2．
C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2），
＝（﹣2，1，2），＝（0，﹣1，2），
∴cs＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了向量夹角公式、异面直线所成的角、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．【分析】过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角，说明点O在∠APB的平分线上，通过直角三角形PED、DOP，求出直线PC与平面PAB所成角的余弦值．
【解答】解：过PC上一点D作DO⊥平面APB，则∠DPO就是直线PC与平面PAB所成的角．
因为∠APC＝∠BPC＝60°，所以点O在∠APB的平分线上，即∠OPE＝30°．
过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，因为DO⊥平面APB，则DE⊥PA，DF⊥PB．
设PE＝1，∵∠OPE＝30°∴OP＝＝．
在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，则PD＝2．
在直角△DOP中，OP＝，PD＝2．则cs∠DPO＝＝．
即直线PC与平面PAB所成角的余弦值是．
故选：B．
【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．
8．【分析】根据五角星中长度关系，结合向量加法运算法则进行求解即可．
【解答】解：五角星中，＝，＝，
则﹣＝﹣＝﹣＝＝＝﹣＝，
则λ＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用五角星的对应长度关系进行转化是解决本题的关键，是基础题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案．
【解答】解：对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中”，所以不是对立事件，A错误；
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B 正确；
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中，第二次击中”和“第一次击中，第二次不中”，
所以，与事件“第二次击中”不是互斥事件，C 错误；
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D 正确．
故选：BD．
【点评】本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
10．【分析】根据两向量平行和垂直的坐标表示以及模长公式，列方程得出对应的结果．
【解答】解：∵向量＝（m，2m，2），＝（2m﹣5，﹣m，﹣1），
∴⊥时，有m（2m﹣5）+2m（﹣m）+2×（﹣1）＝0，解得m＝﹣；
∥时，有＝＝，解得m＝2；
||＝＝，故当m＝0时，||取最小值2，无最大值．
故选：ABC．
【点评】本题考查了空间向量共线和垂直的坐标应用问题，是基础题．
11．【分析】按照独立事件的概率计算公式P（AB）＝P（A）P（B）和对立事件的概率计算公式P（）＝1﹣P（A）及互斥事件和的概率，逐项分析求解能求出结果．
【解答】解：设事件A为：“甲投中”，事件B为“乙投中”，这两个事件相互独立，
对于A，都投中的概率为P（AB）＝P（A）P（B）＝0.8×0.9＝0.72，故A正确；
对于B，至少一人投中的对立事件为两人都没有投中，
∴至少一人投中的概率为：1﹣P（）＝1﹣（1﹣0.8）•0.1＝0.98，故B错误；
对于C，至多一人抽中的对立事件为：两人都投中，
∴至多一人投中的概率为1﹣P（AB）＝0.28，故C错误；
对于D，恰好有一人投中的概率为P（A）P（）+P（）P（B）＝0.8•0.1+0.2•0.9＝0.26，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．【分析】取BD的中点P，连接CP，AP，证明BD⊥平面PAC，即可判断A；根据空间向量基本定理及数量积的运算律计算即可判断B；连接BF交CP于点O，则点O为点A在平面BCD上的投影，则∠ABF即为直线AB与平面BCD所成角的平面角，求出sin∠ABF即可判断C；利用等体积法求出正四面体ABCD的内切球的半径即可判断D．
【解答】解：对于A，取BD的中点P，连接CP，AP，
因为AB＝AD＝CB＝CD，
所以AP⊥BD，CP⊥BD，
又AP∩CP＝P，AP，CP⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC，故A正确；
对于B，，
＝
＝，
则
＝，故B错误；
对于C，连接BF交CP于点O，连接OP，则O为△BCD的中心，
则点O为点A在平面BCD上的投影，即OA⊥平面BCD，
则∠ABF即为直线AB与平面BCD所成角的平面角，
在Rt△AOB中，，
则，
即直线AB与平面BCD所成角的正弦值为，故C正确；
对于D，设正四面体ABCD的内切球的半径为r，
则，
所以，
所以正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了立体几何的综合运用，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【分析】先结合垂直关系求出直线斜率，然后根据直线的点斜式方程即可求解．
【解答】解：因为3x+2y﹣5＝0的斜率k＝﹣，
故过点P（1，﹣2）且与直线3x+2y﹣5＝0垂直的直线方程y+2＝（x﹣1），
化简得2x﹣3y﹣8＝0．
故答案为：2x﹣3y﹣8＝0．
【点评】本题主要考查了直线垂直关系的应用，属于基础题．
14．【分析】利用向量夹角余弦公式、同角三角函数关系式直接求解．
【解答】解：向量，，
∴cs＜＞＝＝＝，
则与夹角的正弦值为：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量夹角余弦公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．【分析】kPA＝，kPB＝，由l与线段AB相交，知kpA≤k≤kpB．由此能求出直线l斜率k的范围，进而根据正切函数的性质得出结果．
【解答】解：kPA＝
kPB＝
∵l与线段AB相交，
∴kpA≤k≤kpB
∴﹣1≤k≤1
∴0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0
由于y＝tanx在[0，）及（﹣，0）均为减函数
∴直线l的倾斜角α的范围为：
故答案为：
【点评】本题考查直线的倾斜角取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
16．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是点数对（a，b）共有6×6对，不满足条件的事件向量与向量不共线，即向量与向量共线时2a﹣b＝0，即b＝2a，共3种情况，进而根据对立事件概率减法公式，可得答案．
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是点数对（a，b）共有6×6＝36对，
满足条件的事件是向量与向量不共线，即2a﹣b≠0，
由满足2a﹣b＝0的事件有（1，2），（2，4），（3，6）共3种，
故向量 与向量共线的概率为：＝，
故向量 与向量不共线的概率P＝1﹣＝，
故答案是：．
【点评】本题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，向量平行的充要条件，是向量与概率的综合应用．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【分析】根据古典概型的概率公式即可求解．
【解答】解：（1）∵从5个球中随机抽取一个球一共有5个结果，其中红球包含2个结果，
∴随机抽取一个球是红球的概率为；
（2）∵从5个球中不放回地依次抽取两个球一共有＝10个结果，
两个球都是黑球包含＝3个结果，
∴不放回地依次抽取两个球，两个球都是黑球的概率为．
【点评】本题考查古典概率的概率公式，属基础题．
18．【分析】（Ⅰ）证明PA⊥CD，结合CD⊥AD，推出CD⊥平面PAD，即可证明CD⊥AE，推出AE⊥PD，即可证明AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量，平面PAC的法向量，利用空间向量的数量积求解平面AEC与平面PAC的夹角余弦值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，CD⊥平面PAD，
又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，
∵PA＝AD＝2，且E为PD的中点，∴AE⊥PD，又CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），C（1，2，0）．
设平面AEC的法向量为，∵，，
∴即，可取．
设平面PAC的法向量为，
∵，，
∴即可取．
∴，
即平面AEC与平面PAC的夹角余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
19．【分析】（1）根据直线的截距式方程求解即可；
（2）由斜率公式求直线AB的斜率，根据垂直关系求边AB上的高所在的直线的斜率，利用点斜式求解即可．
【解答】解：（1）由A（4，0），C（0，3），
可得边AC所在的直线方程为：，
即3x+4y﹣12＝0．
（2）∵A（4，0），B（6，7），
∴kAB＝＝，
设边AB上的高所在直线的斜率为k，则k•kAB＝﹣1，
∴k＝﹣，
又C（0，3），
∴边AB上的高所在直线的方程为y﹣3＝﹣（x﹣0），
即2x+7y﹣21＝0．
【点评】本题考查直线的方程的求法，利用了斜率公式、垂直关系，考查了计算能力，属于基础题．
20．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得；
（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得．
【解答】解：（1）以，，方向分别为x，y，z轴正方向，建系如图，则根据题意可得：
A（0，0，3），B（2，0，0），C（0，3，0），
∴，，，
设，，
则，，
∴点B到直线AC的距离为；
（2）设平面ABC的一个法向量为，
则，取，
设直线OB与平面ABC所成角为θ，
则，
∴直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．
【点评】本题考查向量法求解点到直线的距离问题，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
21．【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程可解得p，再求解每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【解答】解：（1）设A＝{甲同学答对第一题}，B＝{乙同学答对第一题}，则，P（B）＝p．
设D＝{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
C＝{甲、乙二人均答对第一题}，则C＝AB，．
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A与B相互独立，与相互互斥，
所以P（C）＝P（AB）＝P（A）P（B），＝．
由题意可得，则，，所以，
每题甲、乙同时答对的概率为；
（2）设Ai＝{甲同学答对了i道题}，Bi＝{乙同学答对了i道题}，i＝0，1，2．
由题意得，，，，．
设E＝{甲乙二人共答对3道题}，则E＝A1B2+A2B1.由于Ai和Bi相互独立，A1B2与A2B1相互互斥，
所以．
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，属于中档题．
22．【分析】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，依题意可得AG∥OH且AG＝OH，即可得到AO∥HG，从而得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
【解答】证明：（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB＝2EB，
∴O是线段BF与CE的中点，OH∥BC且，
在图1中AG∥BC且且EF＝BC，
所以在图2中，AG∥BC且，∴AG∥OH且AG＝OH，
∴四边形AOHG是平行四边形，则AO∥HG，
由于AO⊄平面GCF，HG⊂平面GCF，
∴AO∥平面GCF．
解：（2）由图1，EF⊥AE，EF⊥BE，折起后在图2中仍有EF⊥AE，EF⊥BE，
∴∠AEB即为二面角A﹣EF﹣B的平面角，∴∠AEB＝120°，
以E为坐标原点，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E﹣xyz如图，且设CB＝2EB＝2EA＝4，
则，
∴，
设平面GCF的一个法向量，
由，得，取，则z＝2，
于是平面GCF的一个法向量，
∴，
∴直线AB与平面GCF所成角的正弦值为．
【点评】本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题．