2023-2024学年辽宁省沈阳120中学高一（上）第三次质检数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳120中学高一（上）第三次质检数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x||x−1|<1}，集合B={x|y= 2−x}，则A∩B=( )
A. (0,2)B. (0,2]C. (−∞,2]D. (1,2]
2.若a=lg34，b=0.60.4，c=lg122，则实数a，b，c的大小关系为
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. b>a>c
3.某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7种，则n=( )
A. 100B. 50C. 20D. 10
4.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在R上为增函数，则函数y=lga(|x|−1)的图象可以是( )
A. B.
C. D.
5.甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是( )
A. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同
B. 在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同
C. 在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数
D. 在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差
6.已知x>0，y>0，lg4x+lg2y=lg8，则12x+4y的最小值是( )
A. 3B. 94C. 4615D. 9
7.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1+1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1−1%)365看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，100.87≈7.41)( )
A. 22倍B. 55倍C. 217倍D. 407倍
8.已知函数f(x)=|lg2x|,x>0|x+1|,x≤0，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1,x2,x3,x4互不相等)，则x1+x2+x3+x4的取值范围是(注：函数h(x)=x+1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增)( )
A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D. (0,12]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中正确的是( )
A. 新农村建设后，种植收入减少
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
10.有下列几个命题，其中正确的是( )
A. 给定幂函数f(x)= x，则对任意x1，x2∈[0,+∞)，都有f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2
B. 若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,1]
C. 函数y=f(x)与y=10x互为反函数，则y=f(x2−2x)的单调递减区间为(−∞,1)
D. 已知函数g(x)=2x−3,x>0f(x),x<0是奇函数，则f(x)=2x+3(x<0)
11.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805～1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”y=f(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ，其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数f(x)有如下四个命题，其中真命题是( )
A. f(0)=0
B. 任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立
C. ∀x1，x2∈∁RQ，f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)不恒成立
D. 不存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形
12.已知连续函数f(x)满足：①∀x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，②当x>0时，f(x)<1，③f(1)=−2，则以下说法中正确的是( )
A. f(x)的图象关于(0,1)对称
B. f(4x)=4f(x)−4
C. f(x)在[−3,3]上的最大值是10
D. 不等式f(3x2)−2f(x)>f(3x)+4的解集为{x|23三、填空题：本题共5小题，共32分。
13.计算(1681)−34−0.5−12+π0− ( 2−3)2= ______ ．
14.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______ ．
15.用二分法求方程x3−2x−5=0在区间(2,3)的根，第一次取区间中点x0=2.5，则那么下一个有根区间是______ ．
16.已知函数f(x)是二次函数又是幂函数，函数g(x)=ln( 1+x2+x)，函数h(x)=g(x)f(x)+2+2，则h(20)+h(19)+…+h(1)+h(0)+h(−1)+…+h(−19)+h(−20)的值为______ ．
17.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
(1)解关于x的方程：1x+1−1x+2=1x+3−1x+4；
(2)解关于x的不等式：x2−(a+1a)x+1<0(a≠0)．
19.(本小题12分)
我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到频率分布直方图(如图)，观察图形中的信息，回答下列问题：
(1)利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
(2)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；
(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
20.(本小题12分)
大罗山位于温州市区东南部，由四景一水构成，它们分别是：仙岩景区、瑶溪景区、天桂寺景区、茶山景区和三烊湿地.某开发商计划2023年在三烊湿地景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2023年有x万名游客，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)=50,020,该游玩项目的每张门票售价为80元．
(1)求2023年该项目的利润W(x)(万元)关于游客数量x(万人)的函数关系式(利润=销售额−成本)；
(2)当2023年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=n−3x3+3x+1是奇函数．
(1)求f(x)的解析式并判断单调性(只需说明理由，无需证明)；
(2)若f(lg4x⋅lg28x)+f(4−2a)>0恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(axx+1−b)(其中a，b∈R且a≠0)的图象关于原点对称．
(1)求a，b的值；
(2)当a>0时，
①判断y=f(ex)在区间(0,+∞)上的单调性(只写出结论即可)；
②关于x的方程f(ex)−x+lnk=0在区间(0,ln4]上有两个不同的解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A={x||x−1|<1}={x|0集合B={x|y= 2−x}={x|x≤2}，
故A∩B=(0,2)．
故选：A．
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于基础题．
可以得出，lg34>1,0<0．60.4<1,lg122<0，从而可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：lg34>lg33=1,0<0．60.4<0．60=1，lg122∴a>b>c．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】解：由题得：7n=3530+10+35+25=35100，
从而n=20．
故选：C．
先根据抽取的婴幼儿奶粉的品牌数求出抽取比例，再由抽取比例求样本容量．
本题考查基本的分层抽样，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在R上为增函数，
故a>1.函数y=lga(|x|−1)是偶函数，定义域为{x|x>1或x<−1}，
函数y=lga(|x|−1)的图象，x>1时是把函数y=lgax的图象向右平移1个单位得到的．
故选：C．
利用指数函数的性质求出a的范围，利用对数函数的定义域，转化求解判断函数的图象即可．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的图象特征，函数图象的平移规律，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，甲在5天中每天加工的零件的个数为18，19，23，27，28，
乙在5天中每天加工零件的个数为17，19，21，23，25，
对于A，甲加工零件数的极差为28−18=10，乙加工零件数的极差为25−17=8，故A错误，
对于B，甲加工零件数的中位数为23，乙加工零件数的中位数为21，故B错误，
对于C，甲加工零件的平均数为18+19+23+27+285=23，
乙加工零件数的中位数为17+19+21+23+255=21，故C正确，
对于D，甲加工零件数的方差为52+42+02+42+525=16.4，
乙加工零件数的方程为42+22+02+22+425=8，故D错误．
故选：C．
根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解．
本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵x>0，y>0，lg4x+lg2y=lg8，
∴4x⋅2y=8即2x+y=3，
则12x+4y=(12x+4y)(2x+y)×13=13(5+y2x+8xy)≥13(5+2 y2x⋅8xy)=3，
当且仅当y2x=8xy且2x+y=3即x=12，y=2时取等号，此时取得最小值3．
故选：A．
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题
7.【答案】D
【解析】解：由题意得，经过300天时，“进步值”为(1+1%)300，“退步值”为(1−1%)300，
则“进步值”与“退步值”的比值t=(1+0.01)300(1−0.01)300=(10199)300，
两边取对数可得lgt=300(lg101−lg99)，
又lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，∴lgt=3×0.87，
∴t=(100.87)3=7.413≈407，
即经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的407倍．
故选：D．
“进步值”与“退步值”的比值t=(1+0.01)300(1−0.01)300=(10199)300，再两边取对数计算即得解．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．
画出函数f(x)=|lg2x|,x>0|x+1|,x≤0的图象，利用f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，转化求解x1+x2+x3+x4的取值范围．
【解答】
解：作出函数f(x)=|lg2x|,x>0|x+1|,x≤0的图象，如下图，
x=12或2时，f(x)=1，
令t=f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，
设x1故x1+x2+x3+x4=−2+x3+x4=−2+x3+1x3，
因为函数h(x)=x+1x在(0,1]上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
故x3+1x3∈2,52．
x1+x2+x3+x4的取值范围是(0,12]，
故选：D．
9.【答案】BCD
【解析】解：假设新农村建设前后的经济收入分别为a，2a(a>0)，
A.新农村建设前后，种植收入分别为：a×60%，2a×37%=74%a，显然新农村建设后，种植收入增加了14%a，因此不正确；
B.新农村建设前后，其他收入分别为：a×4%，2a×5%=10%a，显然新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，因此正确；
C.新农村建设前后，养殖收入分别为：a×30%，2a×30%=60%a，显然新农村建设后，养殖收入增加了一倍，因此正确；
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和=30%×2a+28%×2a=58%×2a超过了经济收入的一半，因此正确．
故选：BCD．
假设新农村建设前后的经济收入分别为a，2a(a>0)，根据饼图即可判断出正误．
本题考查了饼图的理解与应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，f(x1+x22)= x1+x22,f(x1)+f(x2)2= x1+ x22，
由于x1，x2≥0，所以x1+x2≥2 x1x2，进而可得x1+x22≥x1+x2+2 x1x24=( x1+ x22)2，
从而可得 x1+x22≥ x1+ x22，即f(x1+x22)≥f(x1)+f(x2)2，故A正确；
对于B，若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域满足2x∈[0,2]，
所以x∈[0,1]，故其定义域为[0,1]，故B正确；
对于C，由于函数y=f(x)与y=10x互为反函数，所以f(x)=lgx，
则y=f(x2−2x)=lg(x2−2x)，定义域为(2,+∞)∪(−∞,0)，
由于(−∞,1)不在定义域范围内，故C错误；
对于D，当x<0时，−x>0，则g(−x)=−2x−3，
由于g(x)为奇函数，所以g(x)=−g(−x)=−(−2x−3)=2x+3，
故f(x)=2x+3(x<0)，D正确．
故选：ABD．
根据幂函数的表达式，结合基本不等式即可求解A，根据抽象函数的定义域即可求解B，根据反函数的定义，由对数型函数的定义域即可判断C，根据奇函数的性质即可求解D．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A：因为f(x)=1,x∈Q0,x∉Q，且0∈Q，所以f(0)=1，故选A错误；
对于B：任取一个不为零的有理数T，
若x∈Q，x+T∈Q，f(x+T)=1，f(x)=1，
即f(x+T)=f(x)成立；
若x∈∁RQ，x+T∈∁RQ，f(x+T)=0，f(x)=0，
即f(x+T)=f(x)成立；
所以任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立，故选项B成立；
对于C：取x1= 2∈∁RQ，x2=− 2∈∁R，则x1+x2=0∈Q，
则f(x1+x2)=1，f(x1)+f(x2)=0+0=0，
即f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)不恒成立，即选项C正确；
对于D：
假设存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，
使得△ABC为等腰直角三角形(不妨设AB⊥AC，且|AB|=|AC|)，
有以下3种情况：
①直角顶点A(x1,f(x1))在直线y=1上，斜边BC在x轴上(如图1)，
即f(x1)=1，f(x2)=0，f(x3)=0，
则由f(x1)=1得X1∈Q，又因为△ABC为等腰直角三角形，
所以x2=x1−1∈Q，x3=x1+1∈Q，f(x2)+f(x3)=2，
与f(x2)+f(x3)=0相矛盾，即假设不成立；
(图1)
②直角顶点A(x1,f(x1))在x轴上，斜边BC在直线y=1上(如图2)，
即f(x1)=0，f(x2)=1，f(x3)=1，
则由f(x1)=0得x1∈∁RQ，又因为△ABC为等腰直角三角形，
所以x2=x1−1∈∁RQ，x3=x1+1∈∁RQ，f(x2)+f(x3)=0，
与f(x2)+f(x3)=2相矛盾，即假设不成立；
(图2)
③若AB⊥x轴(如图3或图4)，
则x1=x2，则f(x1)=f(x2)=0或f(x1)=f(x2)=1，
与“f(x1)、f(x2)一个为0，一个为1”相矛盾；

(图3)(图4)
综上，不存在三个点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))，使得△ABC为等腰直角三角形，即选项D正确．
故选：BCD．
根据所给函数的定义，逐一进行验证判断即可．
本题属于新概念题，考查了分类讨论思想、数形结合思想，D选项中作出图象是难点，也是关键点，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：因为∀x，y∈R，则有f(x+y)=f(x)+f(y)−1，
令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)−1，
所以f(0)=1，
令y=−x则f(0)=f(x)+f(−x)−1，
即f(x)+f(−x)=2，
故f(x)的图象关于(0,1)对称，即A正确；
令y=x，则f(2x)=f(x)+f(x)−1=2f(x)−1，
令2x代x，y=2x，
则f(2x+2x)=f(2x)+f(2x)−1=2f(2x)−1，
即f(4x)=2f(2x)−1=2[2f(x)−1]−1，
即f(4x)=4f(x)−3，故B错误；
设任意x1，x2∈R且x10，
由f(x+y)=f(x)+f(y)−1，
令x=x2，y=−x1，
则f(x2−x1)=f(x2)+f(−x1)−1=f(x2)+2−f(x1)−1，
即f(x2−x1)−1=f(x2)−f(x1)，
由x>0时，f(x)<1，
得x2−x1>0，
则f(x2−x1)<1，
所以f(x2)−f(x1)=f(x2−x1)−1<0，
所以f(x2)又f(1)=−2，
所以f(2)−2f(1)−1=−5，f(3)=f(2)+f(1)−1=−8，
又f(3)+f(−3)=2，
所以f(−3)=2−f(3)=10，
故f(x)在[−3,3]上的最大值为10，故C正确；
由f(3x2)−2f(x)>f(3x)+4，
即f(3x2)>f(x)+f(x)+f(3x)+4，
即f(3x2)>f(2x+3x)+2+4，
即f(3x2)>f(5x)+7−1，
又因为f(2)+f(−2)=2，
即f(−2)=7，
所以f(3x2)>f(5x)+f(−2)−1，
即f(3x2)>f(5x−2)，
即3x2<5x−2，
即(3x−2)(x−1)<0，
解得23即原不等式的解集为(23,1)，故D正确；
故选：ACD．
依题意令x=y=0，求出f(0)，再令y=−x，即可得到f(x)+f(−x)=2，从而判断A；令．y=x得到f(2x)=2f(x)−1，再令x=2x，y=2x，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于f(3x2)>f(5x−2)，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可．
本题考查了抽象函数及其应用，属于综合题．
13.【答案】118
【解析】解：原式=[(23)4]−34−(12)−12+1−| 2−3|=278− 2+1−(3− 2)=118．
故答案为：118．
分别根据指数幂的性质以及根式的性质化简求值即可．
本题考查指数幂和根式的计算，属于基础题．
14.【答案】04
【解析】解：从选定的两位数字开始向右读，剔除不合题意及与前面重复的编号，得到符合题意的编号分别为：
08，02，07，01，04；
因此选出来的第5个个体的编号为04．
故答案为：04．
根据随机数表法进行选取符合条件的数据即可．
本题考查了简单随机抽样的应用问题，是基础题．
15.【答案】(2,2.5)
【解析】解：设f(x)=x3−2x−5，
则f(2)=−1<0，f(3)=16>0，f(2.5)=1258−10=458>0，
故f(x)零点所在的区间为(2,2.5)，
方程x3−2x−5=0有根的区间是(2,2.5)，
故答案为：(2,2.5)．
方程的实根就是对应函数f(x)的零点，由f(2)<0，f(2.5)>0知，f(x)零点所在的区间为[2,2.5]．
本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f(x)的零点，函数在区间上存在零点的条件是
函数在区间的端点处的函数值异号．
16.【答案】82
【解析】解：因为函数f(x)是二次函数又是幂函数，所以f(x)=x2，
因为 1+x2+x>0在R上恒成立，所以函数g(x)=ln( 1+x2+x)的定义域为R，
因为g(−x)+g(x)=ln( 1+x2−x)+ln( 1+x2+x)=ln[( 1+x2−x)( 1+x2+x)]=ln[( 1+x2)2−x2]=ln(1+x2−x2)=ln1=0，
所以函数g(x)为奇函数，
所以g(0)=0，
所以h(−x)+h(x)=g(−x)(−x)2+2+2+g(x)x2+2+2=−g(x)+g(x)x2+2+4=4，且h(0)=g(0)02+2+2=2，
则h(20)+h(19)+…+h(1)+h(0)+h(−1)+…+h(−19)+h(−20)=20×4+2=82．
故答案为：82．
由题意可知f(x)=x2，所以g(x)=ln( 1+x2+x)，再利用奇函数的定义可知函数g(x)为奇函数，进而可得h(−x)+h(x)=4，且h(0)=2，从而求出结果．
本题主要考查了二次函数和幂函数的定义，考查了奇函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1，4和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1，3和2，1两个．
因此所求事件的概率P=26=13．
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，
放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，
其一切可能的结果(m,n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m+2的事件为：
(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，
所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=316．
故满足条件n【解析】(1)从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．
(2)有放回的取球，根据分步计数原理可知有16种结果，满足条件的比较多不好列举，可以从他的对立事件来做．
本小题主要考查古典概念、对立事件的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．
18.【答案】解：(1)等式两边同时乘以(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)得：
(x+2)(x+3)(x+4)−(x+1)(x+3)(x+4)=(x+1)(x+2)(x+4)−(x+1)(x+2)(x+3)，
即(x+3)(x+4)=(x+1)(x+2)，所以7x+12=3x+2．
解得x=−52，即方程的解集为{−52}．
(2)x2−(a+1a)x+1=(x−a)(x−1a)<0(a≠0)，
当a=1a，即a=±1时，不等式无解；
当a<1a，即a<−1或0当a>1a，即−11时，解得1a综上：当a=±1时，不等式无解；
当a<−1或0当−11时，解集为(1a,a)．
【解析】(1)等式两边同时乘以(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)，再化简即可求得解集；
(2)将左式因式分解得(x−a)(x−1a)<0(a≠0)，再讨论a与1a的大小关系即可得到解集．
本题主要考查了分式不等式的解法，考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于中档题．
19.【答案】解：(1)本次考试成绩的平均数为45×0.1+55×0.26+65×0.2+75×0.3+85×0.08+95×0.06=66.8．
(2)因为前3组频率之和为0.1+0.26+0.2=0.56，前4组频率之和为0.1+0.26+0.2+0.3=0.86，
所以第65百分位数在第4组中，设为x，
则0.56+(x−70)⋅0.03=0.65，解得x=73．
第65百分位数是73．
(3)第五组与第六组学生总人数为(0.08+0.06)×50=7，
其中第五组有4人，记为a、b、c、d，第六组有3人，记为A、B、C，
从中随机抽取2人的情况有：ab、ac、ad、aA、aB、aC、bc、bd、bA、bB、bC、cd、cA、cB、cC、dA、dB、dC、AB、AC、BC共有21种，其中至少1人成绩优秀的情况有15种，
∴所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率为1521=57．
【解析】(1)根据频率分布直方图中平均数计算方法计算即可；(2)根据频率分布直方图，及第65百分位数的概念计算即可；
(3)计算出第五组与第六组人数，进行编号，列出抽取2人的所有情况，然后求得概率．
本题考查根据频率分布直方图求平均数，百分位数，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可得，W(x)=80x−400−50,020，
即W(x)=80x−450,020；
(2)当0所以W(x)≤W(5)=−50，
当5所以W(x)≤W(20)=200，
当x>20时，W(x)=−x−1600x+450，
由基本不等式知x+1600x≥80，当且仅当x=1600x即x=40时，等号成立，
此时W(x)=−80+450=370，
综上所述，当x=40时，W(x)取得最大值370，
故游客为40万人时利润最大，最大为370万．
【解析】(1)根据年利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W(x)(万元)关于人数x(万人)的函数关系式；
(2)根据(1)中求出的利润W(x)的解析式，分别利用二次函数、一次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取三者中较大的利润值，即为年企业最大利润．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)定义域为R的函数f(x)=n−3x3+3x+1是奇函数，
可得f(0)=0，即n−1=0，解得n=1，f(x)=1−3x3(1+3x)，f(−x)=1−3−x3(1+3−x)=−1−3x3(1+3x)=−f(x)，
即有f(x)为奇函数，所以f(x)=1−3x3(1+3x)；
设x1由x10，
即f(x1)>f(x2)，则f(x)在R上为减函数；
(2)f(lg4x⋅lg28x)+f(4−3a)>0恒成立，
即为f(lg4x⋅lg28x)>−f(4−3a)=f(3a−4)恒成立，
可得3a−4>lg4x⋅lg28x恒成立，
由y=lg4x⋅lg28x=12lg2x(3−lg2x)=−12[(lg2x−32)2−94]，
当lg2x=32即x=2 2时，y=lg4x⋅lg28x取得最大值98，
所以3a−4>98，解得a>4124．
即a的取值范围是(4124,+∞)．
【解析】(1)由f(0)=0⇒n=1，求得f(x)=1−3x3(1+3x)；再令x1(2)利用f(x)的奇偶性与单调性，脱“f”，可得3a−4>lg4x⋅lg28x，利用对数的运算性质可求得y=lg4x⋅lg28x=12lg2x(3−lg2x)=−12[(lg2x−32)2−94]的最大值，可得实数a的取值范围．
本题考查函数恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的应用，考查转化与化归思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知：f(−x)+f(x)=0，整理得 ln[(a−b)x+bx−1×(a−b)x−bx+1]=0，
即 (a−b)2x2−b2=x2−1，对于定义域内任意 x 都成立，
∴(a−b)2=1b2=1，解得 a=2b=1 或 a=−2b=−1．
(2)解：由 a>0 知：a=2b=1，
故 f(x)=ln(2xx+1−1)=lnx−1x+1，
①：y=f(ex)=ln(1−2ex+1)，由 t=1−2ex+1，g(t)=lnt 在 (0,+∞) 上均单调递增，
∴y=f(ex) 在区间 (0,+∞) 上单调递增，
②：由①知 lnex−1ex+1−x+lnk=0，可得 lnex−1ex+1−lnex+lnk=0，
即 k=ex(ex+1)ex−1 在区间 (0,ln4]上有两个不同的解，
令 u=ex−1，u∈(0,3]，
∴k=ex(ex+1)ex−1=(u+1)(u+2)u=u+2u+3≥2 u×2u+3=2 2+3，当且仅当 u= 2 时等号成立，
而 k=u+2u+3 在 (0, 2] 上递减，在 [ 2,3] 上递增，且 u=3 时 k=203．
∴2 2+3故实数k的取值范围是：(2 2+3,203].
【解析】(1)由题意知：f(−x)+f(x)=0，化简整理，解得a，b，即可得出答案，
(2)①解析式整理后，换元后结合复合函数的单调性即可得到结论，
②转化为 k=ex(ex+1)ex−1 在区间 (0,ln4]上有两个不同的解，换元后结合基本不等式即可求解结论．
本题考查函数与方程之间的关系，函数的性质，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．7816 6572 0802 6341 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481