2023-2024学年四川省成都市玉林中学高一（上）诊断数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市玉林中学高一（上）诊断数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={2,3,4}，N={x|x2=4}，则M∪N=( )
A. {2}B. {−2,2}C. {2,3,4}D. {−2,2,3,4}
2.设a>b，则一定成立的是( )
A. a2>b2B. a> bC. 1a<1bD. a+b>2b
3.函数f(x)=(12)x−x13的零点所在的区间为( )
A. (2,3)B. (1,2)C. (12,1)D. (0,12)
4.下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A. 2kπ+315°(k∈Z)B. k⋅360°−45°(k∈Z)
C. k⋅360°+7π4(k∈Z)D. 2kπ+5π4(k∈Z)
5.已知a=lg0.92，b=lg0.90.7，c=0.70.9，则a，b，c的大小关系是( )
A. a6.函数f(x)=lga(|x|−1)(0A. B.
C. D.
7.已知m>0，n>0，且1m+1n=4，则( )
A. m+n为定值B. 4m+n的最小值为94
C. mn为定值D. m+4n的最小值为6
8.设函数f(x)=−2x2−4x+1,x≤1|lg2(x−1)|,x>1，若关于x的方程f(x)=a(a∈R)有四个实数解x1，x2，x3，x4，且x1A. (0,634)B. (0,634]C. (634,+∞)D. [634,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x+a)(x−1)>0(a<0)的解集可能为( )
A. {x|−1C. {x|11}
10.对于函数f(x)=x|x|+1(x∈R)，下面几个结论中正确的是( )
A. 函数f(x)是奇函数B. 函数f(x)是偶函数
C. 函数f(x)的值域为(−1,1)D. 函数f(x)在R上是增函数
11.给出下列四个语句，其中不正确的是( )
A. 若x∈R且x≠0，则lg2x2=2lg2x
B. 在同一坐标系中，y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称
C. 函数f(x)的定义域为[−2,2]，则函数f(x+1)的定义域为[−1,3]
D. y=ln(2−x2)的增区间是(− 2,0)，减区间是( 2,+∞)
12.高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2.已知函数f(x)=[x]，g(x)=x−[x]，则关于函数g(x)的叙述中正确的是( )
A. g(2.5)=0.5B. 函数g(x)的值域为[0,1)
C. g(x)在R上为增函数D. 函数g(x)在区间[−6,6]有12个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.−1120°角所在象限是______ ．
14.若一元二次方程(m−1)x2+2(m+1)x−m=0有两个正根，则m的取值范围为______．
15.已知a=12，方程a|x|=|lgax|的实根个数为______ ．
16.若a>0，b>0，c>0，a+b+c=2，则4a+b+a+bc的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求值：
(1)(32)−13×(−76)8+814×42− (−23)23；
(2)lg4 27−lg823+lg7 5．
18.(本小题12分)
已知3sinα−2csα=0，求下列各式的值：
(1)sin(π2+α)−sinαcsα+sinα+cs α+sin (π−α)cs α−cs (3π2+α)；
(2)sin2α−2sinαcsα+4cs2α．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+2ax+b，且f(1)=52，f(2)=174．
(1)求a、b；
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)试判断函数在(−∞,0]上的单调性，并证明．
20.(本小题12分)
水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积约为18m2，经过3个月其覆盖面积约为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位：m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=lga(x+1)+q(a>1)可供选择．
(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该函数模型的解析式；
(2)约经过几个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍？
21.(本小题12分)
已知集合A={x|(lg4x2−1)⋅(lg2x−3)≤0}，B={x|2x−ax+1>1}．
(Ⅰ)求集合A；
(Ⅱ)已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x．
(1)求a，b的值
(2)若不等式f(lg2x)−2klg2x≥0在x∈[2,4]上有解，求实数k的取值范围；
(3)若f(|2x−1|)+k⋅2|2x−1|−3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为N={x|x2=4}={−2,2}，
又M={2,3,4}，
所以M∪N={−2,2,3,4}．
故选：D．
根据集合的描述法转化得集合B，再根据并集运算即可．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵a>b．
A.取a=−1，b=−2，可知：a2B.取a=−1，b=−2，可知： a， b，不存在，因此不正确．
C.取a=1，b=−2，可知：1a>1b，因此不正确．
D.a+b>2b，正确．
故选：D．
通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用基本不等式的性质即可判断出D的正误．
本题考查了不等式的基本性质、特殊值法法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：函数f(x)在定义域上是连续不断的一条曲线，且f(0)=1,f(12)=(12)12−(12)13<0，故f(0)f(12)<0，
由零点存在性定理可知，函数f(x)在(0,12)存在零点，
故选：D．
由零点存在性定理直接得解．
本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为74πrad=315°，终边落在第四象限，且与−45°角终边相同，
故与7π4的终边相同的角的集合
S={α|α=315°+k⋅360°}={α|α=−45°+k⋅360°}，即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限．
故选：B．
AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D．
本题主要考查了终边相同角的表示及象限角的判断，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：∵lg0.92∵lg0.90.7>，∴b>1，
∵0<0.70.9<0.70=1，∴0∴a故选：C．
利用对数函数和指数函数的性质求解．
本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
6.【答案】D
【解析】解：由于函数f(x)=lga(|x|−1)(0当x>0时，f(x)=lga(x−1)，是减函数．
当x<0时，f(x)=lga(−x−1 )，是增函数．
再由图象过(2,0)、(−2,0)可得，应选D，
故选：D．
函数是偶函数，图象关于y轴对称，x>0时，单调递减；x<0时，单调递增，且图象过(2,0)、(−2,0)，由此得出结论．
本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由m>0，n>0，且1m+1n=4得m+n=14(m+n)(1m+1n)=14[2+mn+nm]≥1，当且仅当m=n=12时取等号，故A不正确；
4m+n=14(4m+n)(1m+1n)=14[5+4mn+nm]≥14×9，当且仅当n=2m=34时取等号，故B正确；
4=1n+1m≥2 1mn，即mn≥14，当且仅当m=n=12时取等号，故C错误；
m+4n=14(m+4n)(1m+1n)=14[5+mn+4nm]≥14×9，当且仅当m=2n=34时取等号，故D错误．
故选：B．
根据基本不等式即可根据选项逐一求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：画出f(x)的图象，如图所示：
因为当x≤1 时，f(x)=−2x2−4x+1，开口向下，对称轴为x=−1，且f(−1)=3，
当x>1时，f(x)=|lg2(x−1)|，
令f(x)=3，得x=98或x=9，
又因为关于x的方程f(x)=a(a∈R)有四个实数解x1，x2，x3，x4且x1所以0y=−2x2−4x+1的对称轴为x=−1，所以x1+x2=−2，
因为|lg2(x3−1)|=|lg2(x4−1)|，
即−lg2(x3−1)=lg2(x4−1)，
lg2(x4−1)+lg2(x3−1)=lg2[(x4−1)(x3−1)]=0，
所以(x4−1)(x3−1)]=1，
x3x4−(x3+x4)+1=1，
x3x4=x3+x4，其中98所以x3=x4x4−1，
又因为(x1+x2)(x3−x4)=2(x4−x3)=2(x4−x4x4−1)=2×x42−2x4x4−1=2×(x4−1)2−1x4−1=2×[(x4−1)−1x4−1](2令t=x4−1，则t∈(1,8)，
则有h(t)=2(t−1t)，t∈(1,8)，
易知，h(t)在(1,8)上单调递增，
所以h(t)∈(0,634).
故选：A．
首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到x1+x2=−2，根据对数函数的性质得到x3x4=x3+x4，x3=x4x4−1，从而得到(x1+x2)(x3−x4)=2×[(x4−1)−1x4−1](2本题考查了二次函数的对称性、对数函数的图象及性质及数形结合思想、转化思想，关键点在于作出函数的图象，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：令a(x+a)(x−1)=0，解得x=−a或x=1，
当a<0时，函数y=a(x+a)(x−1)图象的开口向下，
当a=−1时，不等式解集为空集；
当a<−1时，不等式的解集为(1,−a)；
当−1故选：BC．
令a(x+a)(x−1)=0，可得x=−a或x=1，分类讨论a=−1，a<−1，−1本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：因为f(x)=x|x|+1的定义域是R，
又f(−x)=−x|−x|+1=−x|x|+1=−f(x)，所以f(x)是奇函数，故A正确，B错误；
因为|f(x)|=|x||x|+1<1，所以−1因为函数f(x)在(0,+∞)上可化为f(x)=xx+1=1−1x+1，
所以奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，且在x=0处f(x)连续，
则f(x)在其定义域内是增函数，故D正确．
故选：ACD．
利用函数奇偶性的定义判断AB，利用不等式的性质判断C，利用复合函数的单调性，结合奇函数的对称性判断D，从而得解．
本题考查奇偶函数的性质，属中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A中，当x<0时，lg2x没有意义，所以命题“若x∈R且x≠0，则lg2x2=2lg2x”不成立，故A不正确；
对于B中，根据指数函数y=2x和对数函数y=lg2x互为反函数，所以在同一坐标系中，y=2x和y=lg2x的图象关于直线y=x对称，所以B正确；
对于C，由函数f(x)的定义域为[−2,2]，即−2≤x≤2，
则−2≤x+1≤2，解得−3≤x≤1，所以函数f(x+1)的定义域为[−3,1]，所以C不正确；
对于D中，由不等式2−x2>0，解得− 2又由函数f(x)=2−x2，可得f(x)在(− 2,0)上单调递增，在(0, 2)单调递减．
所以函数y=ln(2−x2)在(− 2,0)上单调递增，在(0, 2)单调递减，所以D不正确．
故选：ACD．
根据x<0时，lg2x没有意义，可判定A不正确；
根据指数函数y=2x和对数函数y=lg2x互为反函数，可判定B正确；
根据抽象函数的定义域的求解，可判定C不正确；
根据复合函数的单调性的判定方法，可判定D不正确．
本题考查了对数函数的定义域、指数函数与对数函数的关系、抽象函数的定义域及复合函数的单调性，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】【分析】
本题是考查函数新定义的题，理解新定义并且运用新定义判断是解决本题的关键，属于中档题．
由g(2.5)=0.5，判断A；由[x]表示不超过x的最大整数，可得0≤x−[x]<1，即可判断B；代值计算即可判断C；列举出g(x)在[−6,6]的零点即可判断D．
【解答】
解：对于A.g(2.5)=2.5−[2.5]=2.5−2=0.5，故A正确；
对于B.∵[x]表示不超过x的最大整数，
∴0≤x−[x]<1，即g(x)的值域为[0,1)，故B正确；
对于C.因为g(−1.5)=−1.5−[−1.5]=−1.5+2=0.5，g(0)=0，
而g(−1.5)>g(0)，所以g(x)在R上不是增函数，故C错误；
对于D.函数g(x)在区间[−6,6]有13个零点，分为别：±6，±5，±4，±3，±2，±1，0，故D错误．
故本题选AB．
13.【答案】第四象限
【解析】解：因为−1120°=−360°×4+320°，
因为320°为第四象限角，
故−1120°角所在的象限为第四象限角．
故答案为：第四象限．
由已知结合终边相同角的表示及象限角的概念即可判断．
本题主要考查了象限角的判断，属于基础题．
14.【答案】(0,1)
【解析】解：∵一元二次方程(m−1)x2+2(m+1)x−m=0有两个正根，
∴m−1≠0△=4(m+1)2+4m(m−1)≥0−2(m+1)m−1>0−mm−1>0，即m≠1m∈R−1∴m的取值范围为(0,1)，
故答案为：(0,1)．
由题意，可得一元二次方程的二次项系数不等于0，判别式大于等于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，由此列关于m的不等式组求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查一元二次方程根的分布与根与系数的关系的应用，是基础题．
15.【答案】2
【解析】解：由a=12，则(12)|x|=|lg12x|，
则令f(x)=(12)|x|，g(x)=|lg12x|，
分别作出它们的图象如下图所示，
由图可知，有两个交点，所以方程a|x|=|lgax|的实根个数为2．
故答案为：2．
分别作出f(x)=(12)|x|和g(x)=|lg12x|的图象，结合图象即可得到答案．
本题主要考查函数性质的应用，考查数形结合思想和计算能力，属于中档题．
16.【答案】2 2+2
【解析】解：∵a>0，b>0，c>0，a+b+c=2，
∴4a+b+a+bc=4a+b+2−cc=4a+b+2c−1
=(4a+b+2c)[(a+b)+c]×12−1
=[4ca+b+2(a+b)c+6]×12−1
≥(2 8+6)×12−1
=2 2+2，
当且仅当4ca+b=2(a+b)c，即a+b=43，c=23时，等号成立，
则4a+b+a+bc的最小值为2 2+2．
故答案为：2 2+2．
先变形，再利用基本不等式求最值．
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=(23)∖,13×1+234×214−(23)∖,13=234+14=2；
(2)原式=lg(4 27×7 5823)=lg(4 104)=lg 10=lg1012=12．
【解析】(1)利用分数指数幂运算和根式运算法则计算出答案；
(2)利用指数和对数运算法则计算．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：因为3sinα−2csα=0，
所以tanα=sinαcsα=23，
(1)sin(π2+α)−sinαcsα+sinα+csα+sin(π−α)csα−cs(3π2+α)
=csα−sinαcsα+sinα+csα+sinαcsα−sinα
=1−tanα1+tanα+1+tanα1−tanα=1−231+23+1+231−23=265；
(2)sin2α−2sinαcsα+4cs2α
=sin2α−2sinαcsα+4cs2αsin2α+cs2α
=tan2α−2tanα+4tan2α+1=49−43+449+1=2813．
【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，
(1)利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解；
(2)利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由已知得：52=2+2a+b174=4+22a+b，解得a=−1b=0；
(2)由(1)知：f(x)=2x+2−x．
定义域为R，关于原点对称，
且f(−x)=2−x+2−(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；
(3)函数f(x)在(−∞,0]上为减函数．
证明：设x1、x2∈(−∞,0]，且x1f(x1)−f(x2)=(2x1+2−x1)−2x2+2−x2
=(2x1−2x2)+(12x1−12x2)=(2x1−2x2)(2x12x2−1)2x12x2=(2x1−2x2)(2x1+x2−1)2x12x2
∵x10，2x1<2x2≤1，∴2x1<2x2，即2x1−2x2<0，
又∵x1+x2<0∴0<2x1+x2<1，∴2x+x2−1<0，
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数f(x)在(−∞,0]上为减函数．
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数的奇偶性、单调性等，注意单调性证明变形要彻底，奇偶性的证明首先判断函数的定义域是否关于原点对称．
(1)已知条件代入得到关于a，b的方程组，联立求解即可；
(2)首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(−x)与f(x)的关系；
(3)利用单调性的定义来证明：设元，作差，变形，判号，下结论．
20.【答案】解：(1)因为函数y=kax(k>0,a>1)中，y随x的增大而增大的速度越来越快，
而函数y=lga(x+1)+q(a>1)中，y随x的增大而增大的速度越来越慢，
依题意应选择函数y=kax(k>0,a>1)，
则有ka2=18ka3=27，解得k=8，a=32，
所以函数的解析式为y=8⋅(32)x(x∈N)；
(2)由(1)可知，当x=0时，y=8，
设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，x∈N，
则有8⋅(32) x=8×100，所以x=lg32100=lg100lg32=2lg3−lg2≈11.36，
所以约经过12个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍．
【解析】本题考查了根据实际问题建立函数模型的问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
(1)根据实际情况即可选择函数y=kax(k>0,a>1)，然后代入数据即可求解；
(2)由(1)的函数模型，由(1)可知，当x=0时，y=8，设经过x个月该水域中水葫芦面积至少是当初投放的100倍，然后建立等式关系即可求解．
21.【答案】解：(Ⅰ)集合A={x|(lg4x2−1)⋅(lg2x−3)≤0}
={x|(lg2x−1)(lg2x−3)≤0}
={x|1≤lg2x≤3}
={x|2≤x≤8}；
(Ⅱ)因为命题p：x∈A，命题q：x∈B，p是q的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，
由A={x|2≤x≤8}，B={x|2x−ax+1−1>0}={x|x−(a+1)x+1>0}，
当a+1≤−1时，a≤−2，B={x|x−1}，满足A是B的真子集；
当a+1>−1时，a>−2，B={x|x<−1或x>a+1}，则a+1<2，解得a<1，所以−2综上，实数a的取值范围是{a|a<1}．
【解析】(Ⅰ)集合A化为{x|(lg2x−1)(lg2x−3)≤0}，求解即可；
(Ⅱ)根据题意知A是B的真子集，讨论a+1与−1的关系，写出集合B，判断A是B的真子集时实数a的取值范围即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了充分与必要条件的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：(1)函数g(x)=ax2−2ax+b+1=a(x−1)2+1+b−a，
因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，
故g(2)=1g(3)=4，即b+1=13a+b+1=4，解得a=1b=0；
(2)由(1)可得f(x)=x2−2x+1x=x+1x−2，
不等式f(lg2x)−2klg2x≥0在x∈[2,4]上有解，
等价为lg2x+1lg2x−2≥2klg2x在x∈[2,4]上有解，
即2k≤1(lg2x)2−2lg2x+1在x∈[2,4]上有解，
令t=1lg2x，则2k≤t2−2t+1，∵x∈[2,4]，∴t∈[12,1]，
则函数m(t)=t2−2t+1在t∈[12,1]递减，可得m(t)的最大值为m(12)=14，
则2k≤14，即k≤18；
(3)原方程可化为|2x−1|2−(3k+2)|2x−1|+(2k+1)=0，
可令t=|2x−1|，则t>0，由题意可得t2−(3k+2)t+(2k+1)=0有两个不等实根t1，t2，
其中01或0设h(t)=t2−(3k+2)t+(2k+1)，则2k+1>0h(1)=−k<0或2k+1>0h(1)=−k=00<3k+22<1，
解得k>0或k∈⌀，
则k的取值范围是(0,+∞)．
【解析】(1)由函数g(x)=a(x−1)2+1+b−a，a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，故g(2)=1，g(3)=4，由此解得a、b的值；
(2)不等式可化为lg2x+1lg2x−2≥2klg2x在x∈[2,4]上有解，即2k≤1(lg2x)2−2lg2x+1在x∈[2,4]上有解，通过换元法和对数函数的单调性，以及二次函数的单调性求得不等式右边函数的最大值，即可得到所求范围；
(3)原方程化为|2x−1|2−(2+3k)|2x−1|+(1+2k)=0，(|2x−1|≠0)，令|2x−1|=t，则t2−(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0)，构造函数h(t)=t2−(2+3k)t+(1+2k)，通过二次方程实根分布，可得k的不等式组，即可求得k的范围．
本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查方程有解的条件以及不等式成立问题的解法，考查等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于中档题．