2024年陕西中考数学模拟预测卷01

这是一份2024年陕西中考数学模拟预测卷01，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）。
1．计算−23−（−16）的结果为（ ）
A．−12B．12C．−56D．56
2.如图所示的圆锥的主视图是（ ）

A． B. C． D．
3.如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
4.下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一B．第二C．第三D．第四
6.如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
7.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）

A．B．C．D．
8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分）。
9.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是__________.
10.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．
11.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，点B的坐标为，则k的值为______．
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值_______

三、解答题：（本题共13小题，共81分）。
14.计算：|﹣2|﹣（5+π）0+（−16）﹣1．
15.解分式方程：3x−1+2=xx−1．
16.解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．
17.已知：
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，

18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．


19.为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
20.一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
21.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）

22.已知A、B两地相距，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是 ；轿车的速度是 ；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距？
23.为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：
D组成绩的具体情况是：
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；(2）D组成绩的中位数是_________分；
（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？
24.如图，在中，以为直径的交于点弦交于点且．
（1）求证：是的切线；
（2）求的直径的长度．
25.如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26.在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
2024年陕西中考数学模拟预测卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1．计算−23−（−16）的结果为（ ）
A．−12B．12C．−56D．56
【分析】根据有理数的减法法则计算即可．
【解析】−23−（−16）=−23+16=−12．
故选：A．
2.如图所示的圆锥的主视图是（ ）

A． B. C． D．
【答案】A【详解】
试题分析：主视图是从正面看所得到的图形,圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：
故选:A.
考点：三视图.
3.如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
A．70°B．100°C．110°D．120°
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
【详解】
∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，∠2+∠3=180°，
∴∠2＝180°﹣∠3=180°﹣70°＝110°，
∴∠1＝110°．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，求出∠2＝110°是解答本题的关键．
4.下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法法则，积的乘方法则，同底数幂的除法法则以及合并同类项的法则，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
A、，不能进行底数不变，指数相加运算，故错误；
B、，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故错误；
C、利用积的乘方法则，故正确；
D、，同底数幂相除，底数不变，指数相减，故错误．
故选：C．
【点睛】
题主要考查同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变，指数相减．熟练掌握性质是解题的关键．
5．一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ）
A．第一B．第二C．第三D．第四
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k＞0，与y轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k＞0，该函数过点（0，3），
∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6.如图，△ABC与△BEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
【答案】A
【分析】
利用位似的性质得△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【详解】
解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
7.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先证明是等边三角形，求解，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．
【详解】
解：如图，连接，

是等边三角形，




所以则图中摆盘的面积
故选B．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
8.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．
【详解】
解:当x=0时，y=5，
∴C（0,5）；
设新抛物线上的点的坐标为（x,y），
∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，
由，；
∴对应的原抛物线上点的坐标为；
代入原抛物线解析式可得：，
∴新抛物线的解析式为：；
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．
二、填空题：本题共5小题，共15分。
9.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是__________.
【答案】a
【分析】根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案．
【详解】解：观察有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，
这三个数中，实数a离原点最远，所以绝对值最大的是：a．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的意义，以及有理数大小的比较，正确掌握绝对值的意义是解题关键．
10.为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．
【答案】36
【分析】
根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵正五角星（是正五边形的五个顶点）
∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且
∴正五边形内角和为：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
11.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.
【答案】20．
【详解】
∵AB＝5，AD＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线
∴BO＝6.5
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线
∴OM＝2.5
∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
故答案为20
12.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A与D在函数的图象上，轴，垂足为C，点B的坐标为，则k的值为______．
【答案】8
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的判定可得轴，从而可得点D的纵坐标为2，再根据正方形的判定与性质可得，从而可得，然后将点D的坐标代入反比例函数的解析式即可．
【详解】
如图，连接BD，交AC于点E，
点B的坐标为，
，
四边形ABCD是正方形，
，
轴，
轴，
点D的纵坐标与点B的纵坐标相同，即为2，
轴，，，
四边形OBEC是矩形，
又，
四边形OBEC是正方形，
，
，
点D的坐标为，
将点代入反比例函数的解析式得：，
解得，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何应用、正方形的判定与性质等知识点，熟练运用正方形的判定与性质求出点D的坐标是解题关键．
13.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值_______
【答案】
【分析】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH=QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中，，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH=DF=BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH=，
在Rt△PCH中，CH==，
∴CG=BE，
∴．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
三、解答题：本题共13小题，共81分。
14.计算：|﹣2|﹣（5+π）0+（−16）﹣1．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解析】原式＝2﹣1+（﹣6）
＝1+（﹣6）
＝﹣5．
15.解分式方程：3x−1+2=xx−1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】3x−1+2=xx−1
去分母得，3+2（x﹣1）＝x，
解得，x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
所以，原方程的解为：x＝﹣1．
16.解不等式：3x﹣5＜2（2+3x）．
【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式以及完全平方公式分别计算得出答案；
（2）直接利用一元一次不等式的解法进而计算即可．
【解析】（1）（a+1）2+a（2﹣a）
＝a2+2a+1+2a﹣a2
＝4a+1；
（2）3x﹣5＜2（2+3x）
3x﹣5＜4+6x，
移项得：3x﹣6x＜4+5，
合并同类项，系数化1得：x＞﹣3．
17已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，
【答案】见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：
【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
18.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；
（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】
证明：（1）∵四边形是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
∵四边形是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形是菱形
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．
19.为了加快推进我国全民新冠病毒疫苗接种，在全国范围内构筑最大免疫屏障，各级政府积极开展接种新冠病毒疫苗的宣传工作．某社区印刷了多套宣传海报，每套海报四张，海报内容分别是：
A.防疫道路千万条，接种疫苗第一条；
B．疫苗接种保安全，战胜新冠靠全员；
C．接种疫苗别再拖，安全保障好处多；
D．疫苗接种连万家，平安健康乐全家．
志愿者小张和小李利用休息时间到某小区张贴海报．
（1）小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是 ．
（2）小张和小李从同一套海报中各随机抽取一张，用列表法或画树状图法，求他们两个人中有一个人抽到D海报的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）每套海报四张
小张从一套海报中随机抽取一张，抽到B海报的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的结果有6种，
小张和小李两个人中有一个人抽到D海报的概率为．
【点睛】
本题考查了概率的计算，用列表法或画树状图法求概率，掌握概率的计算方法是解题的关键．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率=所求情况数与总情况数之比．
20.一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
【答案】这种服装每件的标价是110元
【分析】
设这种服装每件的标价是x元，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】
解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意，得
，
解得；
答：这种服装每件的标价是110元．
【点睛】
本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
21.课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．
【解析】设这些学生共有x人，
根据题意得x6−x8=2，
解得x＝48．
答：这些学生共有48人．
22.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．
【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意可知：
AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，
∴AD＝CD，
∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，
在Rt△BCD中，
∵tan∠CBD=CDBD，
∴CD7−CD≈0.40，
∴CD＝2，
∴AD＝CD＝2，
BD＝7﹣2＝5，
∴AC＝22≈2.83，
BC=CDsin22°≈20.37≈5.41，
∴AC+BC≈2.83+5.41≈8.2（km）．
答：新建管道的总长度约为8.2km．
23.已知A、B两地相距，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是__________；轿车的速度是________；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离与行驶时间之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距？
【答案】（1）5；120；（2）；（3）或．
【分析】
（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为2h，即可得出从A到B的时间，进而可得m的值，根据速度=距离÷时间即可得轿车速度；
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，分1≤x<2.5；2.5≤x<3.5；3.5≤x<5三个时间段，分别利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车相遇前和相遇后相距12km两种情况，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】
（1）由图象可知轿车从B到A所用时间为3-1=2h，
∴轿车从A到B的时间为2h，
∴m=3+2=5，
∵A、B两地相距，
∴轿车速度=240÷2=120km/h，
故答案为：5；120
（2）由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，
①设
∵图象过点和点
∴
解得：，
∴
②∵货车在2.5h~3.5h时装载货物停留1h，
∴，
③设，
∵图象过点和点
∴
解得：，
∴，
∴．
（3）设轿车出发xh与货车相距，则货车出发（x+1）h，
①当两车相遇前相距12km时：，
解得：,
②当两车相遇后相距12km时：=12，
解得：x=1，
答：轿车出发或与货车相距．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
24为保障学生的身心健康和生命安全，政府和教育职能部门开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取40名学生进行了相关知识测试，将成绩（成绩取整数）分为“A：69分及以下，B：70~79分，C：80~89分，D：90~100分”四个等级进行统计，得到右边未画完整的统计图：
D组成绩的具体情况是：
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）D组成绩的中位数是_________分；
（3）假设该校有1200名学生都参加此次测试，若成绩80分以上（含80分）为优秀，则该校成绩优秀的学生人数约有多少人？
【答案】（1）见解析；（2）97；（3）690人．
【解析】
【分析】
（1）用总人数减去A、B、D三组的人数和即可得出C组的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）D组共有13人，把数据按照从小到大（从大到小）的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
（3）用1200乘以80分以上的人数所占的比例即可得出人数．
【详解】
解：（1）∵随机抽取40名学生，根据条形统计图可以得出：A为5人，B为12人，D为13人，
∴C的人数为：，
补全条形统计图如下图：
（2）D组共有13名学生，按照从小到大的顺序排列：
93、93、95、95、95、97、97、97、97、97、98、98、99
第七个数据为中位数，是97，
故答案为：97；
（3）80分以上的是C、D两组，共有10+13=23人，所占的比列为：23÷40=0.575
所以1200名学生中80分以上的人数有：1200×0.575=690（人），
故答案为：690人．
【点睛】
本题主要考查的是条形统计图，中位数以及用样本估计总体，解决本题的关键就是明确题意，找出所求问题的条件，仔细计算．
25如图，在中，以为直径的交于点弦交于点且．
（1）求证：是的切线；
（2）求的直径的长度．
【答案】（1）见解析；（2）的直径的长度为
【解析】
【分析】
(1)先用勾股定理的逆定理证明△AEM为直角三角形，且∠AEM=90°，再根据MN∥BC即可证明∠ABC=90°进而求解；
(2)连接BM，由AB是直径得到∠AMB=90°，再分别在Rt△AMB和Rt△AEM中使用∠A的余弦即可求解．
【详解】
解：(1)，
，
为的直径，
是的切线．
(2)如图，连接
为的直径，
又
，
即，
，
∴的直径的长度为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆中切线的证明，圆周角定理，直角三角形中锐角的三角函数的求法，熟练掌握切线的性质和判定及锐角三角函数的定义是解决此类题的关键．
如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长；
（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)
【分析】
(1)将，代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解．
【详解】
解：(1)将，代入二次函数表达式中，
∴ ，解得，
∴二次函数的表达式为：；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，

BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为，
此时的周长也最小，
设直线AC的解析式为：，代入，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为：，
二次函数的对称轴为，代入，得到，
∴P点坐标为(1,2)，
此时的周长最小值=；
(3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点，
由菱形对角线互相垂直知：，
∴ ，解得，
∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；
情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)；
情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，
同理有：，解得或，
∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)；
纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
26.在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．
特例感知：
（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．
猜想论证：
（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
联系拓展：
（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）
【分析】（1）证明△FAB≌△GAC即可解决问题．
（2）结论：CG＝DE+DF．利用面积法证明即可．
（3）结论不变，证明方法类似（2）．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，
∴△FAB≌△GAC（AAS），
∴FB＝CG．
（2）解：结论：CG＝DE+DF．
理由：如图2中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴12•AB•CG=12•AB•DE+12•AC•DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．
理由：如图3中，连接AD．
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，
∴12•AB•CG=12•AB•DE+12•AC•DF，
∵AB＝AC，
∴CG＝DE+DF．
本题考查了垂径定理，解直角三角形，求不规则图形的面积，得出OD＝OA＝2，AD＝OA＝2是解题关键．
分数（分）
93
95
97
98
99
人数（人）
2
3
5
2
1
分数（分）
93
95
97
98
99
人数（人）
2
3
5
2
1