专题5.3 分式方程-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

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【知识点1 分式方程】
（1）分式方程：分母中含有未知数的方程
（2）分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。
（3）分式方程解方程的步骤：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解整式方程
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答
【题型1 解分式方程（基本法）】
【例1】解方程：
（1）32-13x-1=56x-2； （2）xx-1-3(x-1)(x+2)=1．
【变式1-1】若x＜2，且1x-2+|x﹣2|+x﹣1＝0，则x＝ ．
【变式1-2】解方程：3x+6x-1-x+5x2-x=0．
【变式1-3】解分式方程：
（1）3x-5-1=2x-1x-5． （2）12x2-4-x-1x+2=6-xx-2．
【题型2 解分式方程（新定义问题）】
【例2】定义新运算：a#b=1b2-ab，例如2#3=132-3×2=13，则方程x#2＝1的解为 ．
【变式2-1】定义a⊗b＝2a+1b，则方程3⊗x＝4⊗2的解为（ ）
A．x=15B．x=25C．x=35D．x=45
【变式2-2】定义运算“※”：a※b=2a-b，a＞bbb-a，a＜b，如果5※x＝2，那么x的值为 ．
【变式2-3】运符号“abcd”，称为二阶行列式，规定它的运算法则为：abcd=ad﹣bc，请你根据上述规定，求出下列等式中x的值：2111-x1x-1=1．
【知识点2 分式的运算技巧-裂项法】
解题技巧：裂项相消法：
【题型3 裂项法解分式方程】
【例3】观察下面的变形规律：11×2=11-12；12×3=12-13；13×4=13-14；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想1n(n+1)= 1n-1n+1 ．
（2）说明你猜想的正确性．
（3）计算：11×2+12×3+13×4+⋯+12018×2019=
（4）解关于n的分式方程11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)=n+7n+9．
【变式3-1】观察下列算式：
16=12×3=12-13，112=13×4=13-14，120=14×5=14-15，……
（1）由此可推断：142=
（2）请用含字母m（m为正整数）的等式表示（1）中的一般规律 ；
（3）仿照以上方法解方程：1(x-1)(x-2)+1x(x-1)=1x．
【变式3-2】观察下列式：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14．
将以上三个等式两边分别相加的：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=34．
（1）猜想并填空：1n(n+1)= 1n-1n+1 ；11×2+12×3+13×4+⋯148×49= 4849 ．12+16+112+120+130+⋯+19900=．
（2）化简：1n(n+1)+1(n+1)(n+2)+1(n+2)(n+3)+⋯+1(n+2019)(n+2020)．
（3）探索并作答：
①计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12018×2020；
②解分式方程：1x-2+1(x-2)(x-3)+1(x-3)(x-4)=1．
【变式3-3】观察下列等式：11×2=1-12，12×3=12-13，13×4=13-14，
将以上三个等式两边分别相加得：11×2+12×3+13×4=1-12+12-13+13-14=1-14=34，
（1）猜想并写出：1n(n+1)=
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017= 20062007 ；
②11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= nn+1 ．
（3）若11×3+13×5+15×7+⋯+1(2n-1)(2n+1)的值为1735，求n的值．
【知识点3 换元法解分式方程】
换元法：引进新的变量，把一个较复杂的关系转化为简单数量关系
例解方程：
另（x－y）=u，则原方程转换为：
方程转换为了一个比较简洁的形式，再按照二元一次方程组的求法进行求解，以简化计算。
注：当熟练应用换算法后，可以直接将某个整体式子看成一个未知数，在计算中，不必将这个整体换元为某个字母，而是直接整体求解。
【题型4 换元法解分式方程】
【例4】（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．
解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．
解得y1＝3，y2＝﹣1．
当y＝3时，x2+1＝3，
∴x＝±2．
当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．
∴原方程的解为：x1=2，x2=-2．
我们将上述解方程的方法叫做换元法，
请用换元法解方程：（x-1x）2﹣2（x-1x）﹣8＝0．
、
【变式4-1】（2021春•松江区期末）用换元法解方程2xx2-1-x2-1x+7＝0时，可设y=xx2-1，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
【变式4-2】（2020春•青川县期末）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：x-1x-4xx-1=0．
解：设y=x-1x，则原方程化为：y-4y=0，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程y-4y=0的解，∴当y＝2时，x-1x=2，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，x-1x=-2，解得：x=13，经检验：x＝﹣1或x=13都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或 x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
（1）若在方程x-14x-xx-1=0中，设y=x-1x，则原方程可化为： ；
（2）若在方程x-1x+1-4x+4x-1=0中，设y=x-1x+1，则原方程可化为： ；
（3）模仿上述换元法解方程：x-1x+2-3x-1-1=0．
【变式4-3】（2021春•玄武区校级期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
例如解方程组1x+1y=122x+1y=20，设m=1x，n=1y，则原方程组可化为m+n=122m+n=20，
解之得m=8n=4，即1x=8，1y=4.所以原方程组的解为x=18，y=14.．
运用以上知识解决下列问题：
（1）求值：(1+111+113+117)×(111+113+117+119)-(1+111+113+117+119)×(111+113+117)= ．
（2）方程组6x+y+3x-y=59x+y-2x-y=1的解为 x=2y=1 ．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ ．
（4）解方程组3×2x+2-3y+1=111，2x+1+2×3y=86.．
（5）已知关于x、y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=9y=5，求关于x、y的方程组a1x2-2a1x+b1y=c1-a1a2x2-2a2x+b2y=c2-a2的解．
【知识点4 增根的讨论】
方程有增根，则这个根使得分式的分母为0.利用这个条件，我们可以先求解出增根的情况，在根据题意求解出其他字母的值。
【题型5 增根的讨论】
【例5】（2020秋•荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程4x+1+3x-1=kx2-1．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【变式5-1】（2021•岳麓区校级模拟）若解关于x的方程2x-5x-2+m2-x=1时产生增根，那么常数m的值为（ ）
A．4B．3C．﹣4D．﹣1
【变式5-2】（2021春•桐城市期末）已知关于x的分式方程m-2xx-2=13．
（1）若该方程有增根，则增根是 ．
（2）若该方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
【变式5-3】（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x-3+mxx2-9=3x+3．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【知识点5 根据分式方程解的情况求待定系数值或取值范围】
（1）方程无解，即方程的根为增根；
（2）方程的解为正值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＞0，求解出字母取值范围；
（3）方程的解为负值，先求解出含有字母的方程根，令这个根＜0，求解出字母取值范围
【题型6 根据分式方程解的情况求值】
【例6】（2021•市中区校级二模）已知关于x的分式方程|2x|-a|x|-2=12有解，则a的取值范围是 ．
【变式6-1】（2021秋•北碚区校级期中）关于x的不等式组3x-46+1＜x+23x-2a2≥2-x2-1有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程ay+3y-3+2=2y-33-y的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（ ）
A．3B．﹣4C．﹣6D．﹣12
【变式6-2】（2020秋•雨花区校级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：
（1）已知关于x的方程2mx-1x+2=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程3-2xx-3+2-nx3-x=-1无解，求n的取值范围．
【变式6-3】（2021秋•岱岳区校级月考）如果关于x的方程x+1x+2-xx-1=ax+2(x-1)(x+2)无解，求a的值．