专题2.1 二元一次方程组及其解法-重难点题型（举一反三）（学生版） 2022年七年级数学下册举一反三系列（浙教版）

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【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2021春•常德期末）若方程（n﹣1）x|n|﹣3ym﹣2025＝5是关于x，y的二元一次方程，则nm＝ ．
【变式1-1】（2021春•平凉期末）方程组y-(a-1)x=5y|a|+(b-5)xy=3是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
【变式1-2】（2017春•长宁县月考）已知方程组3x-(m-3)y|m-2|-2=1(m+1)x=-2是二元一次方程组，求m的值．
【变式1-3】（2021春•自贡期末）已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，
试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？
②当k为何值时此方程为二元一次方程？
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法
【题型2 二元一次方程（组）的解】
【例2】（2021春•开福区月考）已知关于x，y的二元一次方程组mx+2y=103x-2y=0的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（ ）
A．3或48B．3C．4或49D．48
【变式2-1】（2021春•嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组x+y=9kx-y=5k的解也是二元一次方程2x+y＝16的解，则k的值为 ．
【变式2-2】（2021春•遂宁期末）关于x，y的二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有 组．
【变式2-3】（2020春•永定区期中）若x=2y=1是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．
【题型3 构建二元一次方程组】
【例3】（2021春•江津区期末）如果|x﹣y﹣3|+（x+3y+1）2＝0，那么x，y的值为（ ）
A．x=1y=2B．x=2y=-1C．x=-1y=-2D．x=-2y=-1
【变式3-1】（2020•奉贤区三模）如果单项式x4ym﹣n与2019xm+ny2是同类项，那么m+n的算术平方根是 ．
【变式3-2】（2021春•海陵区期末）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝ ．
【变式3-3】（2021春•三门峡期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x⊕y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数．已知1⊕2＝9，（﹣3）⊕3＝﹣2，则2a﹣b＝ ．
【题型4 整体换元求值】
【例4】（2021春•绥棱县期末）已知x，y满足方程组2x+5y=m-145x+2y=-m，则11x+11y的值为（ ）
A．﹣22B．22C．11mD．14
【变式4-1】（2021•安徽二模）若x2﹣y2＝2021，且x﹣y＝1．则x＝ ．
【变式4-2】（2021春•自贡期末）阅读以下材料：
解方程组x-y-1=0①4(x-y)-y=5②．
解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①解得x=0y=-1，这种方法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组2x-y-2=0①6x-3y+45+2y=12②．
【变式4-3】（2021春•福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，
把方程①代入③得：2×3+y＝5，
∴y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得x＝4，
∴方程组的解为x=4y=-1．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组3x-2y=5①9x-4y=19②；
（2）已知x，y满足方程组3x2-2xy+12y2=47①2x2+xy+8y2=36②，求x2+4y2与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】
【例5】（2020春•定州市校级期末）解方程组ax+by=2cx-7y=8时，一学生把c看错而得x=-2y=2，正确的解是x=3y=-2，那么a、b、c的值是（ ）
A．不能确定B．a＝4，b＝5，c＝﹣2
C．a，b不能确定，c＝﹣2D．a＝4，b＝7，c＝2
【变式5-1】（2020春•牡丹江期中）甲乙两人解方程组ax+5y=15，①4x-by=-2，②，由于甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为x=-3y=-1，乙看错了方程②中的b，而得到的解为x=5y=4，则a+b＝ ．
【变式5-2】（2021春•青川县期末）解关于x，y的方程组ax+by=93x-cy=-2 时，甲正确地解出x=2y=4，乙因为把c抄错了，误解为x=4y=-1，求a，b，c的值．
【变式5-3】（2020春•邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下▲x+■y=2(1)◆x-7y=8(2)，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为x=3y=-2”，而小红说：“我求出的解是x=-2y=2，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．
【题型6 根据方程组解的个数求参数】
【例6】（2021春•江夏区期末）如果关于x，y的方程组x+y=3x-2y=a-2的解是正数，那a的取值范围是（ ）
A．﹣4＜a＜5B．a＞5C．a＜﹣4D．无解
【变式6-1】（2020秋•锦江区校级期中）若方程组ax-y=14x+by=2有无数组解，则a+b＝（ ）
A．2B．3C．﹣1D．0
【变式6-2】（2021春•仓山区期中）关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号）
①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
【变式6-3】（2021春•汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y=12-2x3=4-23x（x、y为正整数）．要使y＝4-23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4-23x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为x=3y=2．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 x=2y=1 ．
（2）若6x-3为自然数，则满足条件的正整数x的值有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值． a、b的运算
a+b
a﹣b
（a+2b）3
运算的结果
5
9
m