2021-2022学年辽宁省大连市甘井子区八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年辽宁省大连市甘井子区八年级上学期期末数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列式子是分式的是
A．B．C．D．
2．（3分）如图，，，则下列线段长度正确的是
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
4．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
5．（3分）如图，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是
A．B．C．D．
6．（3分）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是
A．
B．
C．
D．
7．（3分）在中，画边上的高，正确的是
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，在和中，，，点是的中点，添加下列条件后，不能判定的是
A．B．C．D．
9．（3分）下列等式一定成立的是
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在中，，，点是斜边的中点，，垂足为，，则的长是
A．2B．4C．6D．8
二、填空题。（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）用科学记数法表示： ．
12．（3分） ．
13．（3分）如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点，，垂足为，，则点到的距离为 ．
14．（3分）如图，，，则 ．
15．（3分）如图，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为，则点的坐标为 ．（请用含的式子表示）
16．（3分）一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是 ．（请用含的式子表示）
三.解答题。（本题共4小题，其中17、18、19各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）先化简，再求值：，其中．
18．（9分）已知：如图，，平分，求证：．
19．（9分）如图，，，．求证：．
20．（12分）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
四.解答题。（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）已知，，求的值．
22．（10分）甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件？
23．（10分）如图，在中，，边，的中线，相交于点．
求证：（1）；
（2）是等腰三角形．
五.解答题。（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在平面直角坐标中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（1.5，0）．
（1）若△ABC关于y轴对称的图形为△GEF，点G关于x轴的对称点为D，请直接写出以下三点的坐标：E ，F ，D ；
（2）求∠ABC的度数；
（3）在（1）的条件下，猜想AC与DF的关系，并证明．
25．（11分）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地．
（1）若出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地．
①当时，求原计划的速度是多少；
②汽车以原计划速度行驶用了，则以提速后的速度行驶走了 （用含、、的式子表示）；
（2）若汽车以原计划的速度从甲地开往乙地要用，若以提速后的速度从甲地开往乙地时间减少了，求汽车提速后的速度比原计划的速度快了多少（用含、的式子表示）？
26．（12分）在中，，，延长至点，使，，且，在的异侧，，连接与交于点．
（1）如图1，当时，请直接写出 ， ；
（2）如图2，当时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明；
（3）若且，请直接写出的值为 ．（用含的代数式表示）
参考答案与试题解析
一、选择题。（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项正确）
1．（3分）下列式子是分式的是
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：．是整式，故不符合题意；
是整式，故不符合题意；
是分式，故符合题意；
是整式，故不符合题意；
故选：．
2．（3分）如图，，，则下列线段长度正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：，，
，
故选：．
3．（3分）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．
【解答】解：．，因此选项符合题意；
．，因此选项不符合题意；
．，因此选项不符合题意；
．，因此选项不符合题意；
故选：．
4．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为，
由题意得，，
解得，
所以，这个多边形是六边形．
故选：．
5．（3分）如图，，，的垂直平分线交于点，连接，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】先根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，计算即可．
【解答】解：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
6．（3分）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据因式分解的意义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：．，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
．，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
．，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不合题意；
．，等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；
故选：．
7．（3分）在中，画边上的高，正确的是
A．B．
C．D．
【分析】根据过三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答．
【解答】解：．此图形中是边上的高，符合题意；
．此图形中不是边上的高，不符合题意；
．此图形中是边上的高，不符合题意；
．此图形中是中边上的高，不符合题意；
故选：．
8．（3分）如图，在和中，，，点是的中点，添加下列条件后，不能判定的是
A．B．C．D．
【分析】根据垂直定义得出，根据点是的中点得出，再根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：，，
，
点是的中点，
，
．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
．，，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出，故本选项符合题意；
．，，，符合两直角三角形全等的判定定理，能推出，故本选项不符合题意；
故选：．
9．（3分）下列等式一定成立的是
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质判断即可解答．
【解答】解：，故不符合题意；
，故不符合题意；
，故符合题意；
，故不符合题意；
故选：．
10．（3分）如图，在中，，，点是斜边的中点，，垂足为，，则的长是
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据含角的直角三角形的性质可求解的长，结合斜边上中点的性质可求解，再根据角的直角三角形的性质可求解．
【解答】解：在中，，，，
，
点是斜边的中点，
，
，垂足为，
，
故选：．
二、填空题。（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）用科学记数法表示： ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：．
故答案为：．
12．（3分） ．
【分析】根据多项式除单项式用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，可得答案．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
13．（3分）如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点，，垂足为，，则点到的距离为 3 ．
【分析】过点作于，于，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而得出点到的距离．
【解答】解：如图所示，过作于，作于，
平分，平分，
，
又，
，即点到的距离为3，
故答案为：3．
14．（3分）如图，，，则 ．
【分析】利用三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】解：，
又，，
，
，
，
故答案为：．
15．（3分）如图，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为，则点的坐标为 ．（请用含的式子表示）
【分析】根据题意得：与关于轴对称，与关于轴对称，与关于原点对称，进而得出答案．
【解答】解：以正方形的中心为原点建立坐标系，点的坐标为，
点、、的坐标分别为：，，．
故答案为：．
16．（3分）一个正方形的边长增加，它的面积就增加，则这个正方形的边长是 ．（请用含的式子表示）
【分析】设该正方形的边长为，根据题意列式计算即可．
【解答】解：设该正方形的边长为，根据题意得，
，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1，得，
故答案为：．
三.解答题。（本题共4小题，其中17、18、19各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据整式的乘法运算法则以及加减运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
18．（9分）已知：如图，，平分，求证：．
【分析】根据等边对等角即可证明，然后根据角平分线的定义，利用等量代换证明，利用平行线的判定定理证明．
【解答】解：，
，
又平分，即，
，
．
19．（9分）如图，，，．求证：．
【分析】由“”可证，可得．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
．
20．（12分）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【分析】（1）原式第二项分解约分后，两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式
；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：当时，，
是增根，分式方程无解．
四.解答题。（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）已知，，求的值．
【分析】先利用完全平方公式进行计算，易得的值和的值，然后代入式子进行计算即可．
【解答】解：，，
①，②，
①②得：，
，
①②得：，
，
．
22．（10分）甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等．求甲、乙每小时各做多少个零件？
【分析】设乙每小时做个零件，甲每小时做个零件，根据时间总工作量工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙每小时做个零件，甲每小时做个零件，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．
23．（10分）如图，在中，，边，的中线，相交于点．
求证：（1）；
（2）是等腰三角形．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得，利用三角形中线的定义证明，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）知，根据全等三角形的性质得出，利用等角对等边得出，即可得到结论．
【解答】证明：（1），
，
和为的中线，
，，
而，
，
在和中，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
是等腰三角形．
五.解答题。（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，在平面直角坐标中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（1.5，0）．
（1）若△ABC关于y轴对称的图形为△GEF，点G关于x轴的对称点为D，请直接写出以下三点的坐标：E （4，0） ，F （﹣1.5，0） ，D （1，﹣3） ；
（2）求∠ABC的度数；
（3）在（1）的条件下，猜想AC与DF的关系，并证明．
【分析】（1）由轴对称的性质得出答案；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，证明AH＝BH，则可得出答案；
（3）过点A作AH⊥BC于点H，连接GD交BE于点M，由轴对称的性质可得△AHC≌△GMF，△GMF≌△DMF，则△AHC≌△DMF，由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC关于y轴对称的图形为△GEF，A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（1.5，0）．
∴G（1，3），E（4，0），F（﹣1.5，0），
∵点G关于x轴的对称点为D，
∴D（1，﹣3）；
故答案为：（4，0），（﹣1.5，0），（1，﹣3）；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，
∵A（﹣1，3），
∴AH＝3，OH＝1，
∵B（﹣4，0），
∴OB＝4，
∴BH＝OB﹣OH＝4﹣1＝3，
∴BH＝AH，
∴∠ABC＝45°；
（3）AC＝DF，AC∥DF．
理由：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接GD交BE于点M，
由轴对称的性质可得△AHC≌△GMF，△GMF≌△DMF，
∴△AHC≌△DMF，
∴∠ACH＝∠DFM，AC＝DF
∴AC∥DF．
25．（11分）甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地匀速驶往乙地．
（1）若出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地．
①当时，求原计划的速度是多少；
②汽车以原计划速度行驶用了，则以提速后的速度行驶走了 （用含、、的式子表示）；
（2）若汽车以原计划的速度从甲地开往乙地要用，若以提速后的速度从甲地开往乙地时间减少了，求汽车提速后的速度比原计划的速度快了多少（用含、的式子表示）？
【分析】（1）①设原计划的速度是，则提速后的速度是，利用时间路程速度，结合提速后比原计划提前到达目的地，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出原计划的速度；
②利用速度路程时间，可用含，的代数式表示出提速前的速度，结合提速后的速度是提速前速度的1.5倍，即可用含，的代数式表示出提速后的速度，再利用路程速度时间，即可用含、、的式子表示出以提速后的速度行驶走的路程；
（2）利用速度路程时间，即可用含，的代数式分别表示出提速前及提速后的速度，二者做差后即可求出结论．
【解答】解：（1）①设原计划的速度是，则提速后的速度是，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：原计划的速度是．
②汽车以原计划速度行驶用了，
汽车原计划的速度是，
提速后的速度是，
以提速后的速度行驶走了．
故答案为：．
（2）依题意得：汽车原计划的速度为，提速后的速度为，
汽车提速后的速度比原计划的速度快了．
答：汽车提速后的速度比原计划的速度快了．
26．（12分）在中，，，延长至点，使，，且，在的异侧，，连接与交于点．
（1）如图1，当时，请直接写出 1 ， ；
（2）如图2，当时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并证明；
（3）若且，请直接写出的值为 ．（用含的代数式表示）
【分析】（1）判断和是等腰直角三角形，进而求得结果；
（2）作与，证明，再证明，进一步求得结果；
（3）由（2）可得，，进而求得结果．
【解答】解：（1）和是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
同理：是等腰直角三角形，，
，
故答案是：1，；
（2）如图，
结论仍然成立，理由如下：
作与，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（3）当时，
，
，
，
，
当时，，
故答案是：当时，，当时，．