第1章 二次根式 浙教版数学八年级下册章末检测卷(含解析)
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第1章 二次根式 章末检测卷 注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）（2022秋·四川内江·九年级校考期中）1．下列各式与是同类二次根式的是（ ）A．2 B． C． D．（2023春·八年级单元测试）2．与的值最接近的整数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）3．若点在一次函数的图象上，则n的值为（ ）A．2 B．4 C．6 D．不能确定（2023秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期末）4．已知，，则a与b的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法确定（2022春·河南三门峡·八年级统考阶段练习）5．如果数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，且在的左侧，则的值为（ ）A． B． C． D．（2022秋·上海·八年级校考阶段练习）6．规定，则的值是（ ）A． B． C． D．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）7．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）A． B． C． D．（2022春·八年级单元测试）8．观察下列二次根式的化简（ ）；； ；则（ ）A． B． C． D．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）9．当时，多项式的值为（ ）A．3 B． C．1 D．（2022·全国·八年级专题练习）10．如图，在等腰中，，平分，平分分别为射线上的动点，若，则的最小值为（ ）A．4 B．6 C．8 D．10二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）11．请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是 ．（2022秋·重庆·九年级校考期末）12．若最简二次根式与是同类二次根式，则 .（2021春·四川凉山·八年级校考期中）13．已知为实数，且满足，那么 ．（2023春·八年级单元测试）14．若有意义，则的取值范围是 ．（2022秋·广西贵港·八年级校考期末）15．在进行二次根式化简时，我们可以将进一步化简，如：===则 ．（2022秋·浙江温州·九年级统考阶段练习）16．温故知新：若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 ．阅读理解：任意正整数，，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（、均为正实数）中，只有当时，有最小值．若，有最小值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分）（2021春·河南新乡·八年级校考期中）17．计算(1)(2)（2023春·八年级单元测试）18．已知：，求的值．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）19．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题：若和都有意义，x的值是多少？解：和都有意义，且．又，且，．问题：若，求的值．（2022秋·广东广州·八年级校考期中）20．小芳在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与求解的：，，，即，，．请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：(1)计算：．(2)若，化简，求的值．（2023秋·广西贵港·八年级统考期末）21．材料：如何将双重二次根式，，化简呢？如能找到两个数，，使得，即，且使，即，那么，双重二次根式得以化简．例如化简：，因为且，，由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到，使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)填空：=___________，=___________；(2)化简：；(3)计算：+．（2023春·八年级单元测试）22．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；(1)请用含有（为正整数）的式子填空：_______，_______；(2)求的值．（2022春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）23．作为沿江城市，防汛工作是重中之重．我市防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A的光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转直AM，如此循环；灯B的光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a、b满足，若这一段江水两岸河堤是平行的，即，且．根据相关信息，解答下列问题．(1)求 ， ；(2)若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？(3)如图2，若两灯同时转动照射，在灯A的光射线到达AN之前．两灯射出的光射线交于点C，过C作交 于点D，则在转动过程中，与 的数量关系是否有确定的数量关系：如果存在，请写出这个数量关系；如果不存在，请求出两个角各自的变化范围，并请说明你的理由．（2022秋·甘肃天水·九年级校考阶段练习）24．阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．(1)计算：；(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．(3)已知，求的值． 参考答案：1．B【分析】利用二次根式的性质分别化简二次根式，再结合同类二次根式的定义进而判断得出即可．【详解】解：∵，，，∴与是同类二次根式的是．故选：B．【点睛】本题考查的是同类二次根式的含义，二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则二次根式为同类二次根式，掌握定义是解本题的关键．2．C【分析】先估算出的范围，即可得出选项．【详解】解：，，在4和5之间，并且接近5，故选：C．【点睛】本次考查了无理数的估算，熟练运用夹逼法是解题的关键．3．B【分析】先求出m的值，代入一次函数即可得出n的值．【详解】解：∵，∴，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解答此题的关键．4．A【分析】先比较与的大小，然后得出与的大小即可．【详解】解：∵，，又∵，∴，即，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握两个负数大小的比较方法．5．D【分析】首先根据、在数轴上的位置确定、得到小关系，再根据绝对值得性质去绝对值，合并同类项即可．【详解】解：数轴上表示、两个数的点都在原点的左侧，，，在的左侧，，，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简与性质，以及绝对值的性质，关键是掌握性质：．6．C【分析】根据新定义，直接将代入后，分母有理化即可得到答案．【详解】解：，，故选：C．【点睛】本题考查新定义运算，涉及代数式求值、分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解决问题的关键．7．D【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．【详解】解：如图，连接、，，，设C点到的距离为h，∵，∴．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．8．B【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可．【详解】解：∵，，，…∴，∴，，，…∴，∴则．故选B．【点睛】本题考查二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键．9．D【分析】根据可得，然后将多项式转化为，然后代入计算即可．【详解】解：，，，，多项式，故选：D．【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想．10．A【分析】如图，作关于的对称点，则，当三点共线时最短即，当时最短，过点作，交的延长线于点，即与点重合时最短，过点作于点，根据等面积法求得，即可求解．【详解】解：如图，作关于的对称点，过点作，交的延长线于点，过点作于点，∴，当三点共线时最小即，当时最短，即为所求，∵， 是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，∴∵平分，∴∵，设，则在中，∵∴解得∴∵∴故选A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，轴对称的性质，角平分线的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．11．（答案不唯一）【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可判断．【详解】解：．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查的是二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键．12．2【分析】根据同类二次根式的定义，即被开方数完全相同的二次根式叫做同类二次根式，列方程即可求解．【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，，解得，故答案为：2．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握和运用同类二次根式的定义是解决本题的关键．13．【分析】根据二次根式的性质得出，，进而求得的值，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，，．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质以及二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质是解题的关键．14．且且【分析】根据分式有意义的条件和零次幂有意义的条件列出不等式组即可．【详解】解：根据题意得，解得且且．故答案为：且且．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件和零次幂有意义的条件，解题的关键是不忽略每一个部分．15．【分析】先读懂阅读材料，再模仿材料中的方法解答即可．【详解】解：∵，……∴，故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的分母有理化，解题的关键是类比题目中的方法先化简各式，再整体运算．16． 112 3【分析】温故知新：由，可得，即，根据整数k只有一个得，即可得n的最大值为112；阅读理解：．【详解】解：温故知新：∵，∴，∴，即，∵整数k只有一个，∴，解得：，当时，或均符合，与整数k只有一个矛盾，舍去；当时，符合，与整数k只有一个相符；此时n的最大值为112；故答案为：112；阅读理解：，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了分式和二次根式的变形求值，解决本题的关键是读懂题意，灵活运用分式的基本性质．17．(1)；(2)0．【分析】（1）先对式子进行化简，再合并同类二次根式即可解答本题；（2）利用二次根式的乘除法计算，再合并同类二次根式，即可解答本题．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．18．1【分析】先把x进行分母有理化，然后利用完全平方公式将所求代数式变形为，最后代值计算即可．【详解】解：∵，∴．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确将x进行分母有理化是解题的关键．19．【分析】根据二次根式被开方数非负，建立不等式组求出x，y的值，带入计算即可.【详解】解：由题意得：，，解得，所以，所以．【点睛】本题考查了二次根式的性质、解不等式组；根据二次根式的性质确定x的值是解题的关键．20．(1)19(2)【分析】（1）根据平方差公式可以求出所求式子的值；（2）根据平方差公式可以化简，然后即将变形，即可得到的值，再整体代入化简后的式子计算即可；【详解】（1）；（2）解：，，，，，．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确题意，利用完全平方公式和平方差公式解答．21．(1)±，±(2)±(3)【分析】（1）仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；（2）把变形成，仿照阅读材料的方法可得答案；（3）将变形成，变形成，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．【详解】（1）解：，，故答案为：，；（2）；（3），同理可得．【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．22．(1)，(2)【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；（2）代入值化简整理后即可得到答案．【详解】（1）解：由已知条件可知，，故答案为：，；（2）解：原式，故答案为：．【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．23．(1)4；(2)秒或秒或秒或秒(3)与有确定的数量关系，【分析】（1）根据偶次方的非负性可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解的值，之后求出的值即可；（2）设灯光射线转动秒时，两灯的光射线互相平行，可分三种情况：①当灯光射线转第1轮时；②当灯光射线转第2轮时；③当灯光射线转第3轮时；④当灯光射线转第4轮时，列方程，解方程即可求解；（3）设灯转动秒，则，由垂直的定义可得，进而可求解．【详解】（1）解：， 即 解得，，，；（2）解：设灯光射线转动秒时，两灯的光射线互相平行．①当灯光射线转第1轮时，有，解得；②当灯光射线转第2轮时，有，解得；③当灯光射线转第3轮时，有，解得；④当灯光射线转第4轮时，有，解得；综上：或67.2或128秒或139.2秒时，两灯的光射线互相平行；（3）解：设灯转动秒，，，，，，，．【点睛】本题主要考查解一元一次方程，偶次方的非负性，平行线的性质，角的计算，分类讨论是解题的关键．24．(1)(2)m=2(3)【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出再由进行变形再求值即可；（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果【详解】（1）原式，（2）∵a ，b ，∴，∵，∴，∴，∴，∴2，∵m 是正整数，∴m=2．（3）由得出，∴，∵，∵，∴．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
