山东省济南市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
答题前考生务必在答题卡上的规定位置将自己的学校、姓名、准考证号等内容填写准确.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间为120分钟.
请将所有答案填写在答题卡上，填在试卷或其他位置不得分；选择题答案用2B铅笔涂写，非选择题部分用0.5mm黑色签字笔直接写在答题卡相应区域；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔.
本考试不允许使用计算器.考试结束后，试卷不交，请妥善保存，只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别化简二次根式判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确利用二次根式运算法则是解题的关键．
2. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ）
A. B. 1C. 或1D. 0或1
【答案】B
【解析】
【分析】把代入方程，解方程即可求解．
【详解】解：把代入方程，得，
解得：或，
当时，此方程不是关于x的一元二次方程，
故．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，一元二次方程的定义，讨论当时，此方程不是关于x的一元二次方程是解决本题的关键．
3. 二次根式中字母x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到，求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得，．
故选：A．
【点睛】考查了二次根式的意义的条件．概念：一般地，形如的式子叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 四条边相等的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平行四边形是菱形
D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可．
【详解】解：由作图过程可知，，
所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键．
5. 如图，在中，点D，E分别在边，上，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据可得，根据，即可求出的长，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题关键是掌握平行线分线段成比例．
6. 某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，然后根据一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1200列方程即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为300万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为，
∴三月份的营业额为，
∴可列方程为．
即．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7. 如图，在直角坐标系中，菱形顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，当恰好第一次落在线段上时，的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于E，利用菱形的性质和相似三角形的判定于性质证明得到，然后分别求得、、，进而求得、即可求解．
【详解】解：如图，为绕点O顺时针旋转得到的三角形，过点作于E，则，，，
∵
∴
∵四边形是菱形，
∴，，
∵点A，B，C在坐标轴上，
∴，又，
∴，，
∴，又
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8. 若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A. 5B. 5或C. 4D. 或4
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式和绝对值的非负性求出a、b的值，再利用勾股定理进行求值即可．
【详解】∵，
∴，即，，
∴，，
∴直角三角形的第三条边长为：，或，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、绝对值和二次根式的非负性，讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．
9. 如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为，深色阴影部分的周长为，若要求出的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，分别求得,即可求解．
【详解】解：设标记为①，②，③，④的小正三角形的边长分别为，菱形的边长为，
∴，
依题意，，
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角的性质，整式的加减，熟练掌握菱形的性质与等边三角的性质是解题的关键．
10. 如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，以为直角顶点向右作等腰，连接，则的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质及角的和差关系证明，得出E点的运动轨迹为直线，可得当 时，有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵，得出
∴，
∵在 中，
∴，
∴
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴E点的运动轨迹为直线，
∴当最短时，，
即当 时，有最小值，
这时是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值是2，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接写答案.）
11. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】先把二次根式进行化简再进行二次根式的混合运算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简及二次根式的运算法则是解题的关键．
12. 已知，是方程的两个根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先把方程转化为一般式，再根据根与系数的关系得到，，再把进行通分得到，再利用整体代入进行计算即可．
【详解】解：转化为一般式为：，
根据题意可得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、整体代入求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系得到，是解题的关键．
13. P为线段AB的黄金分割点，PA【答案】##
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把AB=4代入计算即可．
【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念与黄金比值，掌握黄金比值为是解题的关键．
14. 如图，在中，，点D是的中点，，则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
【详解】∵，D为中点，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
15. 已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得出，进而根据关于的方程有实数解，得出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵已知，为实数，且满足，
∴关于的方程有实数解，
∴，
∴，
的最大值为，
的最大值为：，即 ，
当时，的最小值为：，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】过E作于M，根据矩形性质和折叠性质，结合勾股定理求得，，证明，求得，，设，证明四边形是矩形，得到，，在中，，，由勾股定理求解即可．
【详解】解：过E作于M，则
∵四边形是矩形，
∴，，
∵沿翻折到处，
∴，，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，则，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，，
设，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，，
由勾股定理得，
则，解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 计算：．
【答案】9
【解析】
【分析】根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式．
18. 解方程：
【答案】x1＝2，x2＝．
【解析】
【分析】先根据完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解解答即可．
【详解】解：
（2-x）（3x-8）=0
2-x=0或3x-8=0
则x1＝2，x2＝．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，正确进行因式分解成为解答本题的关键．
19. 如图，在中，，点D在边上，交于点E，如果，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】由，可证，根据对应边成比例即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
故答案：．
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，本题三角形相似判定方法是由一组平行线得到两组同位角相等，两组对应角相等的三角形相似，相似三角形的性质是对应边成比例．
20. 已知关于的一元二次方程
（1）若是方程的一个根，求的值和方程的另一根
（2）若、是方程的两个实数根，且满足，求的值
【答案】（1），方程的另一根为
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入，求得的值，然后利用根与系数的关系可以求出另外一个根；
（2），即，把两根的和与积代入，即可得到关于的方程，从而求得的值．
【小问1详解】
解：∵是方程的一个根，
∴
解得：，
设方程的另一个根是，那么，
∴，
即方程的另一根为；
【小问2详解】
解：∵、是方程的两个实数根，
∴， ，
又∵，
∴，
即，得，
又∵，得，
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解题的关键是掌握它们并熟练应用．
21. 如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接．．
（1）如图1，当是线段的中点，且时，求的面积；
（2）如图2，当点不是线段的中点时，求证：；
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形性质证明是等边三角形，又因为是线段的中点，且即可求出的面积；
（2）作交于，利用可证明，即可得出最后结论．
【小问1详解】
解：四边形菱形，
∴，
∵，
是等边三角形，又是线段的中点，
，，
，
的面积；
【小问2详解】
如图2，作交于，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
22. 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“”处印刷不清楚，“计算：”
（1）他把“”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；
（2）他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“”处的数字到底是多少？
【答案】（1）4 （2），见解析
【解析】
【分析】（1）把10代入列式，再计算即可；
（2）设“”处的数字是，再建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得：
他计算出的结果为4；
【小问2详解】
设“”处的数字是，则

，
∴，
解得：，
∴“”处的数字是．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，方程思想的应用，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．
23. 观察下列运算：
由，得；
由，得；
由，得；
…
（1）观察上面的解答过程，请写出______；
（2）请你用含n（n为正整数）关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用（2）中你发现的规律计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据所给示例写出即可；
（2）通过观察得出的规律是：；
（3）利用（1）中规律先将每一个分数化为差的形式，再合并同类二次根式，最后合并计算即可．
【小问1详解】
解：由，
；
【小问2详解】
通过观察得出的规律是：；
【小问3详解】
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，根据题意得出规律：是解题的关键．
24. 瑞安某商场购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，每天可售出件；根据销售经验，销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，设这种商品的销售单价为元．
（1）该商品每天的销售量：______（用含的代数式表示）；
（2）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求的值；
（3）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？
【答案】（1）件
（2）或
（3）元
【解析】
【分析】（1）根据销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，计算即可；
（2）根据“利润值=（销售单价购进单价）销售量”，列出一元二次方程，即可求解；
（3）设销售的总利润为元，根据题意列出函数关系式，再利用配方法求得结果．
【小问1详解】
根据题意得，该商品每天的销售量为，
故答案为：件；
【小问2详解】
根据题意得，，
解得或；
【小问3详解】
设销售的总利润为元，根据题意得，
，
∵
当时，有最大值，
答：当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和配方法的应用，正确理解题意、正确列出一元二次方程是解题关键．
25. 如图，E为菱形边上一点，过点作于，交于，连接．过点作，交的延长线于点M．
（1）若，求证：；
（2）在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）设，则，由菱形的性质得到，再证，即可得出结论；
（2）先证，再由勾股定理得，然后证，得，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：设，则，
四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
解得：，
即的长为3．
【点睛】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图1，在正方形中，点E、F分别在上，且分别与交于点G、H，过点G作，垂足为M，交于点N．
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）如图2，过点G作，垂足为Q，交于点P．若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质可得，证明，则，由，，可得，则，进而可得，，；
（2）如图1，连接，，，证明，则，由，可得；
（3）由（1）知，，，设，，则，，，证明，则，即，解得，证明，则，进而可得的值．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图1，连接，
在正方形中，，
∴，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：由（1）知，，
∵，
∴，
设，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．