浙教版七下：分式好题精选50题

这是一份浙教版七下：分式好题精选50题，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ）．
A．扩大倍B．扩大倍C．扩大10倍D．不变
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若分式（A、B为常数），则A、B的值为（ ）
A．B．C．D．
4．嘉嘉和淇淇两人同时从A地出发，骑自行车前往B地，已知A，B两地的距离为18km， ，并且嘉嘉比淇淇先到18分钟．若设淇淇每小时走x km，所列方程为，则横线上的信息可能为（ ）
A．嘉嘉每小时比淇淇多骑行3kmB．嘉嘉每小时比淇淇少骑行3km
C．嘉嘉和淇淇每小时共骑行3kmD．嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍
5．已知关于的分式方程的解为整数，则符合条件的整数可以是（ ）
A．1B．2C．3D．5
6．关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
7．按顺序排列的若干个数：，，，……，，（是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列说法正确的个数有（ ）
①若，则；②若，则；③若，则．
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．已知，则的值为（ ）
A．7B．9C．1D．3
9．下列说法正确的是（ ）
A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
10．若，则代数式的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
11．若，则=（ ）
A．8B．C．8或D．无法确定
12．已知（a，b，c互不相等）求（ ）
A．B．1C．D．x无解
13．某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
14．对于任意的x值都有，则M，N值为（ ）
A．M＝1，N＝3B．M＝﹣1，N＝3C．M＝2，N＝4D．M＝1，N＝4
15．已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
二、填空题
16．已知非零实数x、y满足，则的值等于______．
17．若，则___．
18．已知，则______．
19．若，则的值为______．
20．若关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
21．已知关于x的方程有增根，那么__________．
22．已知，则_____．
23．若关于x的分式方程的解比分式方程的解大2，则a的值为______．
24．若关于的方程无解，则的值是______．
25．已知，则的值为_____．
26．如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为______．
27．已知为整数，且分式的值也为整数，则满足条件的所有的值之和为______．
28．已知则的值为 _____．
29．若，，，则_______．
30．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值______．
31．已知，则______．
32．满足的整数对的组数为 _________________ ；
33．已知为有理数，且、、、中恰有三个数相等，则_____．
34．若满足和，则分式的值为_______．
35．设有三个互不相等的有理数，既可表示为-1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则的值为____．
三、解答题
36．已知，求代数式的值．
37．化简： ，并在，0，2中选择一个合适的a值代入求值．
38．【探究思考】
（1）探究一：观察分式的变形过程和结果，．
填空：若x为小于10的正整数，则当_______时，分式的值最大．
（2）探究二：观察分式的变形过程和结果，
．
模仿以上分式的变形过程和结果求出分式的变形结果．
【问题解决】（3）当时，求分式的最小值．
39．某工厂加工生产大，小两种型号的齿轮，每名工人每天只能生产一种型号的齿轮．一名熟练工每天生产的小齿轮数量是大齿轮的，并且生产240个大齿轮所用的时间比生产同样数量的小齿轮要多用10天
(1)求一名熟练工每天可以生产多少个大齿轮；
(2)该工厂原有15名熟练工，由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，已知新工人每人每天可以生产3个大齿轮或5个小齿轮，工厂决定派3名熟练工带领一部分新工人一起生产大齿轮，其余工人全部生产小齿轮．已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配套．若一共招聘了28名新工人，问安排多少名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套？
40．实践探索题，阅读下列材料：
已知，关于x的方程的解是，
关于x的方程的解是，
关于x的方程的解是，
……
(1)请根据上述方程的特点，猜想方程的解是 ，
(2)请根据上述结论，猜想方程的解是 ，
(3)请根据上述结论，求方程的解．
41．王老师在黑板上写了一道题目，计算：．爱民同学做得最快，立刻拿给王老师看（如图），王老师看完摇了摇头，让爱民同学回去认真检查．请你仔细阅读爱民同学的计算过程，帮助爱民同学改正错误．
(1)上述计算过程中，哪一步开始出现错误？______；（用序号表示）
(2)从①到②是否正确？________；（填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是_______；
(3)请你写出此题完整正确的解答过程．并求出当时的值．
42．由完全平方差公式可知，，而，所以，对所有的实数都有：，且只有当时，才有等号成立：．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)计算 ，由此可知 （填不等号）；
(2)已知为不相等的两正数，试比较：与的大小；
(3)试求分式的最大值．
43．某工厂计划在规定时间内生产27000个零件，若每天比原计划多生产60个零件，则在规定时间内可以多生产600个零件．
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比10个工人原计划每天生产的零件总数还多，按此测算，恰好提前一天完成27000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．
44．某生态柑橘园现有柑橘吨，租用辆A和两种型号的货车将柑橘一次性运往外地销售．已知每辆车满载时，A型货车的总费用元，型货车的总费用元，每辆型货车的运费是每辆A型货车的运费的倍．
（1）每辆A型货车和型货车的运费各多少元？
（2）若每辆车满载时，租用辆A型车和辆型车也能一次性将柑橘运往外地销售，则每辆A型货车和型车货各运多少吨？
45．我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
46．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以．
(1)【探索规律】f（20）＝ ；f（36）＝ ；
(2)若x是正整数，猜想f（x2＋2x）＝ ；
(3)【应用规律】若f（）＝，其中x是正整数，求x的值；
(4)若，其中x是正整数，所有x的值的和为 ．
47．已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
48．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数.例如：类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．
（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式： . ．
（2）解分式方程：；
（3）当x取什么整数值时，分式的值为整数．
（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．
49．阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：．
请根据以上材料解决下列问题：
(1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是 (填序号)
(2)已知．
①若，求对称式的值
②若，求对称式的最大值
50．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是 （填序号）．
① ② ③ ④
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
（3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数．
参考答案：
1．B
【分析】将原式中的x、y分别用、代替，化简后与原分式进行比较即可得到答案．
【详解】解：将分式中的x，y的值同时扩大为原来的10倍，
则原式变为，
分式的值扩大倍，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
2．C
【分析】结合题意得，，从而求出，对进行化简得代入即可求解．
【详解】解：，，，
，，，
，，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是结合题意求出．
3．B
【分析】等式右边进行分式的减法运算，再根据对应项的系数相等可求解．
【详解】解：∵
，
∴，
∴，则，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键．
4．A
【分析】根据题目提供的方程可以得出在相等的距离情况下嘉嘉比淇淇先到18分钟可说明嘉嘉的速度比淇淇快，据此可解答此题
【详解】解：若设淇淇每小时走x km，所列方程为，可知：
A. 嘉嘉每小时比淇淇多骑行3km，正确，故选项A符合题意；
B. 嘉嘉每小时比淇淇少骑行3km，说法错误，故选项B不符合题意；
C, 嘉嘉和淇淇每小时共骑行3km，说法错误，故选项C不符合题意；
D. 嘉嘉每小时骑行的路程是淇淇的3倍，说法错误，故选项D不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意时间要化为小时．
5．B
【分析】解该分式方程得，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出为2的倍数且，即选B．
【详解】解：，
方程两边同时乘，得：，
解得：，
∵该分式方程的解为整数，
∴为2的倍数，
∴为2的倍数．
∵，
∴，
∴，
∴，
综上可知为2的倍数且．
∴只有B选项符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．
6．C
【分析】先解分式方程得，然后令，且，计算求解即可．
【详解】解：，
两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
令，且，
解得，且，，
综上，，且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算并检验．
7．A
【分析】利用题干的规定：设，则，，，……，得到，，，……，，（是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，， ，
利用此规律对每个说法进行判断即可．
【详解】解：设，
则，
，
，
，
，
，
……，
∴，，，……，，（是正整数）中，每三个为1循环，循环的数为a，， ，
∵，
∴，
若，
∴，
∴，
∴，
∴说法①正确；
若，则，，
∴，
∵，
∴，
∴说法②错误；
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
解得，经检验，a的值是方程的解，
即，
∴说法③错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数的性质，实数运算的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键．
8．A
【分析】先将转化为，然后利用完全平方公式将变形为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴
，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的化简求值，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想．灵活运用完全平方公式是解题的关键．
9．D
【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意；
B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意；
C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意；
D、分式是最简分式，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
10．A
【分析】对已知等式进行变形，然后整体代入所求的代数式中，计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴原式＝
＝
＝
＝﹣4．
故选： A．
【点睛】此题考查了分式的计算求值，熟练掌握运算法则是基础，整体代入是关键．
11．B
【分析】由可得，再把变形为，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，，
∴=，
故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及求代数式值，把和进行正确变形是解答本题的关键．
12．C
【分析】将已知条件变形后可得：，可得并求解即可．
【详解】解：由可得：①
由可得：②
将②代入①可得
整理得：
同理可得：
∴
∵a、b、c互不相等
∴，解得：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式的基本性质等知识点，根据分式的基本性质对分式进行变形是解答本题的关键．
13．B
【分析】设原计划每天修建管道x米,则原计划修建天数为天.实际前面400米,每天修建管道x米,需要天,剩下的1200-400=800米,每天修建管道x (1+25％)米,需要天. 根据实际天数比原计划提前4天完成任务即可得出数量关系.
【详解】设原计划每天修建管道x米,
根据题意的– =4,
- - =4,
- =4,
选项B正确.
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；难点是得到实际修建的天数.
14．B
【分析】先计算= ,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组 ，解之可得．
【详解】解：
=
=
∴=
∴，
解得：，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．
15．B
【分析】先将的值进行化简，再进行比较．
【详解】解： ，，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查异分母的分式的加减．熟练掌握异分母分式加减的运算法则，利用整体思想代入求值，是解题的关键．
16．
【分析】将通过变形得到，将变式代入，即可解答．
【详解】解：根据，可得，即，
，
将代入，得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式得值，根据已知条件得到是解题的关键．
17．或0或2
【分析】根据任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可．
【详解】解：∵，
①当，解得；
②当，解得，；
③当，解得，．
∴或或．
故答案为或0或2．
【点睛】本题主要考查了零次幂以及负整数指数幂，熟记相关定义是解答本题的关键．
18．6
【分析】由得，从而可得，再整体代入后面的分式化简即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：6
【点睛】本题考查了分式的值，掌握整体代入思想的运用是解题的关键．
19．0或2/2或0
【分析】分和两种情况求解即可．
【详解】解：当时，，则；
当时，，则；
∴的值0或2．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．分类讨论是解答本题的关键．
20．且
【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
，
，
∴，
且，即，
解得：且
∴且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．
21．
【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值．
【详解】解：，
去分母得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，
解得．
把代入整式方程
无解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法．
22．3
【分析】先解分式方程，然后将的值代入求解．
【详解】解：解方程得，，
经检验，是原方程的解，
将代入得：．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式的值，求解的值是解答本题的关键．
23．
【分析】先求出分式方程的解，从而得出分式方程的解为5，再把代入分式方程即可求解．
【详解】解：
去分母得：
去括号得：
移项合并同类项得：
∵关于x的分式方程的解比分式方程的解大2，
∴是式方程的解，
∴把代入分式方程得：，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
24．2或
【分析】根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和增根分类讨论即可．
【详解】
去分母得：
∵关于的方程无解，
∴原分式方程分母为或无解，
当分式方程分母为时，则
，
∴，
将代入中可得，
当无解时，
即无解，
∴，
∴，
综上所述：的值是2或
故答案为：2或
【点睛】本题主要考查分式方程根的情况，熟练掌握分式方程无解分两种情况：整式方程无解和增根是解题的关键．
25．/
【分析】根据题意得出，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法以及分式有意义的条件，把条件变形得出是解本题的关键．
26．3
【分析】先根据题意得出，，，再代入计算即可得到答案．
【详解】解：、、是正数，且满足，
，，，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
27．0
【分析】根据为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出的值再求和即可．
【详解】解：

，
为整数，分式的值也为整数，
当时，分式，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
当时，分式值，符合题意；
满足条件的的值为、、、，
所有满足条件的数的和为，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是读懂题意能按要求分情况讨论分式的值．
28．4或8
【分析】先求出x2或x3，由x2得x＝1，即可得；由x3得：，即得．
【详解】解：∵，
∴，
∴（x2）（x3）＝0，
∴x2或x3，
①由x2得，
∴，
∴x＝1，
把x＝1代入得：；
②由x3得：，
∴，
综上所述，的值是4或8．
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查分式变形求值，解题的关键是观察已知与所求式子特点，求出x2或x3．
29．
【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．
30．或
【分析】根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答．
【详解】解：设，
则，，，
∴，
∴，
当时，，
，
当时，
．
故答案为：或．
【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键．
31．
【分析】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．
【详解】，
，
，
，


故答案为：．
【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数．
32．2
【分析】将两式联立组成方程组，先将两式相减，再根据题意a、b均为整数，得出新的方程组求出满足条件的解，再数出满足条件的个数即可．
【详解】解：
由①－②得
去分母，并整理得
因为为整数，所以有
②③④
⑤⑥⑦⑧
解方程组①得，或；
解方程组②得，；
解方程组③得，此方程组无解；
解方程组④得，此方程组无解；
解方程组⑤得，无整数解；
解方程组⑥得，或
解方程组⑦得，
解方程组⑧得，无整数解；
将求出的解代入原方程，或是原方程的解
所以满足题意的数对有(1,2)或(4,2)
故答案为：2.
【点睛】本题考查了分式方程的整数解的特殊解法，认真审题，弄清题意是解决本题的关键．
33．0或-2．
【分析】根据确定，并得出，进而得出或，再计算即得．
【详解】解：∵有意义
∴
∴
∵、、、恰有三个数相等
∴或
∴
解得：或
经检验，得：是的解．
当时，，不成立；
当时
∵
∴，无解；
∵
∴，无解；
当时
∵
∴
解得：
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：0或-2．
【点睛】本题考查代数式求值及求解分式方程，蕴含了分类讨论和反证法等思想方法，解题关键是熟知分式方程转化为整式方程求解，并检验是否为增根．
34．
【分析】根据题意，把两个方程联合组成方程组，然后两方程相减得到③，再把③整理，代入到①方程，得到④，再由，得到，然后代入分式进行求解，即可得到答案.
【详解】解：根据题意，两个方程了联合组成方程组，有：
，
由，得：③，
∴，
把代入①，得：④，
把得：；
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了三元一次方程组，以及求分式的值，熟练掌握解方程组的方法，正确得到和是解题的关键.
35．-1
【分析】由题意三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式，可知这两个三数组分别对应相等．从而判断出、的值．代入计算出结果．
【详解】解：三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式，
这两个三数组分别对应相等．
、中有一个是0，由于有意义，所以，
则，所以、互为相反数．
，
∴
∴，．
∴．
故答案是：-1．
【点睛】本题考查了有理数的概念，分式有意义的条件，有理数的运算等相关知识，理解题意是关键．
36．，
【分析】根据非负数的性质列出方程组求出a,b,再根据分式的混合运算法则先化简后代值求解即可．
【详解】解：由已知，得
解得
原式

，
当，时， 原式．
【点睛】本题考查非负数的性质、分式的混合运算、解二元一次方程组等知识，正确运用法则是解题的关键，是中考常考题型，可以通过此类题目的训练提高计算能力．
37．，1
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式•• ，
当或2时，原式没有意义；
当时，原式1．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
38．（1）9；（2）；（3）
【分析】（1）先根据x为小于10的正整数可知，然后再变形即可解答；
（2）模仿（2）分式的变形过程即可解答；
（3）先根据题意将将变形成，然后分、、三种情况解答即可．
【详解】解：（1）∵x为小于10的正整数，
∴当时，
∵，
∴当时，最小，分式的值最大；
故答案为：9．
（2）；
（3）当时，，
∴当时，原分式有最小值为；
当时，原式，
∴当时，原分式有最小值为；
∴当时，分式的最小值为．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的混合运算等知识点，灵活运用的运算法则是解答本题的关键．
39．(1)一名熟练工每天可以生产6个大齿轮
(2)安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套
【分析】（1）设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
（2）设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设一名熟练工每天可以生产个大齿轮，则一名熟练工每天生产的小齿轮数量为个，根据题意得，
，
解得：（经检验，是原方程的解），
答：一名熟练工每天可以生产6个大齿轮
（2）解：设安排名新工人生产大齿轮，则安排名新工人生产小齿轮，根据题意得，
解得：，
答：安排名新工人生产大齿轮，才能使得该工厂每天生产的大，小齿轮刚好配套．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
40．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据阅读材料中的规律即可求解；
（2）根据规律即可求解．
（3）将方程变形为，根据规律即可求解．
【详解】（1）解：方程的解是
故答案为：．
（2）解：方程的解是，
故答案为：．
（3）解：，
∴，
∴方程的解为：或，
解得：或．
【点睛】本题考查观察、类比、猜想与证明在分式方程求解中的应用，通过阅读材料归纳出如题所示的特殊分式方程的解法并加以应用是解题关键．
41．(1)①
(2)否；错用去括号法则
(3)
【分析】（1）根据运算顺序，先算除法可知，第①步开始出现错误；
（2）去括号时，出现错误；
（3）按照分式的运算法则和运算顺序，进行计算，根据负整数指数幂和零指数幂的法则，求出的值，将的值代入化简后的式子中，进行计算求值即可．
【详解】（1）解：根据分式的运算顺序，应该先算除法，爱民同学第①步先算的减法，∴从第①步开始出现错误；
故答案为：①；
（2）解：在去括号时，括号前面是“”号，括号里面的每一项都要变号，爱民同学括号里的第二项没有变号，出现错误，
∴从①到②不正确，错用去括号法则；
故答案为：否，错用去括号法则；
（3）解：原式
；
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则和运算顺序，零指数幂，负整数指数幂的法则，是解题的关键．
42．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据资料提示的算法即可求解；
（2）分别按多项成乘法运算方法展开与，再根据资料提供的方法即可求解；
（3）根据分式的运算方法，计算，再根据资料提供的解题方法即可求解．
【详解】（1）解：，
，
∵，
∴，
故答案为：，．
（2）解：，
∵
又
∴．
（3）解：，当时，原式；
当时，
，
∵（当时，等号成立）
∴，
当时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查分式的运算，理解题干意思，掌握分式的混合运算是解题的关键．
43．(1)原计划每天生产的零件为2700个，规定的天数是10天
(2)原计划安排的工人人数为540人
【分析】（1）可设原计划每天生产的零件为个，由题意：某工厂计划在规定时间内生产27000个零件，若每天比原计划多生产60个零件，则在规定时间内可以多生产600个零件，列出分式方程，解方程即可；
（2）可设原计划安排的工人人数为人，根据等量关系：恰好提前一天完成27000个零件的生产任务，列出分式方程，求解即可．
【详解】（1）设原计划每天生产零件个，
根据题意得：
解得：
经检验：是原方程的根，且符合题意．
则规定的天数为（天）
答：原计划每天生产的零件为2700个，规定的天数是10天．
（2）设原计划安排的工人人数为人，
根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意．
答：原计划安排的工人人数为540人．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
44．（1）每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；（2）每辆A型货车运吨，型货车运吨
【分析】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型车运费为1.2元；根据题意，列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，可得A型货车和型货车的数量；结合题意，设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，列二元一次方程组并求解，即可得到答案．
【详解】（1）设每辆A型货车运费为元，则每辆型货车运费为1.2元
由题意得：，
解得：
经检验，时，，
∴每辆A型货车运费元，每辆型货车的运费元；
（2）根据（1）的结论，A型货车的数量为：辆
∴型货车的数量为：辆
设每辆A型货车运吨，每辆型货车运吨，
由题意得：，
解得：，
∴每辆A型货车运吨， 型货车运吨．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、分式方程的性质，从而完成求解．
45．(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵，
∴原式．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
46．(1)，1
(2)
(3)x的值为4042
(4)28
【分析】（1）理解题意，根据“最佳分解”的定义进行计算即可；
（2）由结合“最佳分解”的定义即可得出答案；
（3）结合（2）可得出关于x的分式方程，解出x，再验算即可；
（4）根据最佳分解的定义，建立方程求解．
【详解】（1）解：∵20=1×20=2×10=4×5，
又∵20-1>10-2>5-4，，
∴；
∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，
又∵36-1>18-2>12-3>9-4>6-6，
∴．
故答案为：，1；
（2）解：∵，．
∴，
故答案为：；
（3）由（2）可知
去分母，得：
解得：
经检验符合题意．
故x的值为4042；
（4）解：由，可设( t为正整数)，即，
∴，
有以下几种情况：
①当t=x−6时，，解得x=7；
②当t=x−5时，，解得，不符合题意，舍；
③当t=x-4时，，解得x=8；
④当t=x-3时，，解得，不符合题意，舍；
⑤当t=x-2时，，解得x=13；
⑥当t=x-1时，，解得，不符合题意，舍；
⑦当t=x时，，无解；
⑧当t=x+1时，，解得，不符合题意，舍；
⑨当t=x+2时，，解得，不符合题意，舍；
⑩当t=x+3时，，解得，不符合题意，舍；
⑪当t=x+4时，，解得，不符合题意，舍；
⑫当t=x+5时，，解得，不符合题意，舍；
⑬当t=x+6时，，解得，不符合题意，舍；
综上所述，符合题意的x的值为：7或8或13，
∴所有x的值的和为7+8+13=28．
故答案为：28．
【点睛】本题考查用新定义解决数学问题，根据最佳分解，表示出f（k），建立方程是求解本题的关键．
47．(1)
(2)
(3)3、29、55、185
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
48．（1），；（2）；（3）x=0；（4）m=366
【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解；
（3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可．
【详解】解：（1）
（2）
∴x2-x-6=x2-4x+4，
∴3x=10，
∴
经检验：是原方程的解；
（3）
∴当x=0时，原式=2为整数；
（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，
∵2x＜10，
∴x＜5，
∵是整数，
∴为整数，
∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数，
当x=3，y=6时，为正整数，
∴m=366．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
49．（1）①③④；（2）①12，②-2．
【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择，
（2）已知．则，，
①，，利用整式变形可求出的值；
②时，即，由可以求出的最大值；
【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”，
故答案为：①③④，
（2）①．
，，
①当，时，即，，
，
②当时，即
，
所以当m=0时，有最大值-2，
故代数式的最大值为．
【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键．
50．（1）②；（2）；（3），当时，该式的值为整数
【分析】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；
（2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式；
（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．
【详解】解：（1）①；②；③；④；
∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；
故答案为：②；
（2）原式；
（3）原式
；
根据题意得：原式；
当原式的值为整数时，应该是2的因数，
∴或或或
解得：或或或，
∵且且且，
∴当时，该式的值为整数．
【点睛】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”．解决本题的关键是理解定义的内容并能运用．