浙教版七年级下册期末复习第3章整式的乘除好题精选60题（含解析）

这是一份浙教版七年级下册期末复习第3章整式的乘除好题精选60题（含解析），共68页。试卷主要包含了下列计算正确的是，已知，下列说法中，若x满足，计算的值为等内容，欢迎下载使用。

1．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．x8÷x2＝x4C．（x3）2＝x5D．x3•x2＝x5
2．已知（x+a）（x+b）＝x2+cx﹣8，若a，b均为整数，则c的值不可能为（ ）
A．4B．﹣2C．﹣7D．7
3．若（am+4）（m2﹣m）运算结果中不含m2项，则a的值为（ ）
A．4B．0C．﹣4D．2
4．下列说法中：①若am＝6，an＝3，则am﹣n＝2；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若（t﹣2）2t＝1，则t＝3或t＝0；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝﹣2的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
5．已知a，b，c均为正整数，且满足2a×3b×4c＝3456，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．若x满足（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，则（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．﹣0.25
7．计算的值为（ ）
A．B．C．D．
8．对于实数a，b，定义新运算，若函数y＝2x*（x﹣1），则下列结论正确的有（ ）
①方程2x*（x﹣1）＝0的解为x＝0或x＝﹣1；
②关于x的方程2x*（x﹣1）＝m有三个解，则；
③当x＜﹣1时，y随x增大而增大；
④当x＞﹣1时，函数y＝2x*（x﹣1）有最大值0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知2a﹣3＝b，4a2﹣3ab+b2＝11，则2a2b﹣ab2的值为（ ）
A．3B．6C．8D．11
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
11．关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（（其中a，b，c，d均为常数）关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e＝6；
③a+b+c＝9；
A．0个B．1个C．2个D．3个
12．定义：如果代数式A＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与B＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
①代数式：﹣2x2+3x的“同心式”为2x2﹣3x；
②若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5互为“同心式”，则（m+n）2022的值为1；
③当b1＝b2＝0时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
④若A、B互为“同心式”，且A﹣2B是一个完全平方式，则b12＝18a1c1．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
13．如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设（a＞b＞0），则m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．1＜m＜2C．D．
14．三个边长分别为a、b、c的正方形如图摆放，则阴影部分的周长（ ）
A．只与a，b有关B．只与a、c有关
C．只与b、c有关D．与a，b、c有关
15．在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD﹣AB＝2时，S1﹣S2的值是（ ）
A．2aB．2bC．﹣2b+b2D．2a﹣2b
二．填空题（共25小题）
16．如图，长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形DEFG及正方形HIJK．
（1）若阴影部分S2与S3为正方形，且S2的面积为1，则S3＝ ．​
（2）若3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝12，则长方形ABCD的面积为 ．
17．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为ycm．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为 ．
​
18．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b﹣9，则（ab）c＝ ．
19．已知a＝2555，b＝3444，c＝6222，则a、b、c的大小关系是 （请用字母表示，并用“＜”连接）．
20．（1）已知x+y＝7，xy＝5，则x2+y2的值为 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，则（x﹣y）2的值为 ．
（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，则（x﹣2023）2的值为 ．
21．观察下列各式及其展开式：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
请你猜想（a+b）10的展开式中第三项的系数是 ．
22．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2﹣S1＝96，则长方形ABCD的周长为 ．
23．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝ ．
24．若等式（x+4）x+1＝1，则满足等式成立的x的值为 ．
25．若实数a，b，c满足：a2+ab+b2＝3，a2﹣ab+b2＝c．
（1）当c＝5时，则ab＝ ；
（2）c的取值范围为 ．
26．若（x+2m）（x﹣4）去括号后不含x的一次项，则m的值为 ．
27．已知2x2﹣3x﹣1＝0，则代数式4x（x﹣3）+（﹣2x﹣2）（﹣2x+2）的值为 ．
28．若规定a、b两数之间满足一种运算：记作（a，b）．即：若ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）计算（4，2）+（4，3）＝（ ）；
（2）在正整数指数幂的范围内，若（42x﹣4，54k）≥（4，5）恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 ．
29．已知长方形ABCD可以按图所示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有 （请将所有正确的编号填在横线上）．
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
②长方形ABCD的长宽之比可能为2；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
30．下列有四个结论，其中正确的是 ．
①若（5﹣a）2a﹣4＝1，则a为2，4；
②（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③若a+b＝4，ab＝，则a﹣b＝1；
④4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为．
31．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ．
32．甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2+3x﹣2，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2﹣3x+2．则本题的正确结果是 ．
33．如图1，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小相同的小长方形，然后拼成如图2的一个大正方形．
（1）若图1中大长方形的长为4，宽为2，则图2中小正方形（阴影部分）的面积S＝ ；
（2）若图1中大长方形的长为2m，宽为2n，则图2中小正方形（阴影部分）的面积S＝ （用含m、n的式子表示）．
34．如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为S甲，S丙，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为276cm2，则乙的面积为 cm2．
35．冬季奥运主题活动中，西雅中学某班设计如图1的“红色徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 ．
36．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图中长方形的面积S2的比是 ．
37．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ ．
38．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 ．
39．设a、b、c、d为互不相等的实数，且（a2﹣c2）（a2﹣d2）＝1，（b2﹣c2）（b2﹣d2）＝1，则a2b2﹣c2d2＝ ．
40．如图，正方形ABCD和AEFG的边长分别为x，y，点E，G分别在边AB，AD上，若x2+y2＝29，BE＝3，则图中阴影部分图形的面积的和为 ．
三．解答题（共20小题）
41．计算：
（1）（﹣1）2017+（﹣2）﹣2﹣（3.14﹣π）0；
（2）1﹣2×51+512；
（3）（x﹣3）（x+2）﹣（x+1）2；
（4）（4x2y﹣2x3）÷（﹣2x）2．
42．计算：
（1）；
（2）（﹣2a2）3•a2+a8；
（3）20232﹣2024×2022．（要求简便计算）
43．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝，则x﹣y＝ .（直接写出答案）
44．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，将其沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长等于 ．
（2）图2中阴影部分的面积可以表示为 ，也可以表示为 ．
（3）根据（2）中的等量关系解决下面问题，a+b＝7，ab＝6，求图2阴影部分的边长．
45．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在“整式的乘除”这一章的学习过程中，我们经常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟代数与几何内在的统一性．
材料1：如图1，现有若干张3种不同型号的卡片：边长为a，b正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片；
材料2：用材料1中的卡片拼成图2（卡片间不重叠无缝隙），可以用来验证我们学过的“和的完全平方公式”；（a+b）2＝a2+2ab+b2．
验证如下：∵S正方形ABCD＝2S长方形EGKD+S正方形AFGE+S正方形GHCK＝2ab+a2+b2，
而S正方形ABCD＝（a+b）2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2
（1）写出图3中所验证的等式： ；
（2）请利用材料1中的卡片，设计一个几何图形来计算（a+b）（a+2b），并写出计算过程；
（3）用（1）中的等式解决下面问题：
如图4，已知正方形ABCD的边长为a，M、F分别为AD、CD上的点，已知AM＝4，CF＝3，长方形MNFD的面积为6，分别以MN、MD为边作正方形，求阴影部分面积．
46．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如，若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9．
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝ ．
（2）若x﹣y＝4，xy＝5，求x2+y2的值．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝15，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，在长方形ABCD内侧作长方形CEPF，若长方形CEPF的面积为150，求图中阴影部分的面积和．
47．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c．
例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2．
小明在研究这种运算时发现一个结论：L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）．
小明给出了如下的证明：
设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y，
由规定，得ax＝m，ay＝n，
∴＝ax÷ay＝a（x﹣y），
∴L（a，）＝x﹣y，
∴L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）．
请你解决下列问题：
（1）填空：L（2，16）＝ ，L（ ，36）＝﹣2；
（2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）；
（3）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x．
48．我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．请同学们根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝20，则ab＝ ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，①CF＝ ，CE＝ ；（用含x的式子表示）②若长方形CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
49．【阅读理解】例：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a、x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：
【跟踪训练】
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）（n﹣2022）2+（n﹣2023）2＝11，求（n﹣2022）（2023﹣n）．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
50．阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝ ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1＝ ；
（3）计算：220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1＝ ；
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2022的值．
51．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
直接应用：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 ；
类比应用：（2）填空：①若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝ ；
②若（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，则（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝ ；
知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积．
52．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝ ；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形边长是 （用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系是 ；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若，则a与b有什么关系？ （直接写出答案）．
53．观察下列各式：
①60×60＝602﹣02＝3600；
②59×61＝（60﹣1）×（60+1）＝602﹣12＝3599；
③58×62＝（60﹣2）×（60+2）＝602﹣22＝3596；
④57×63＝（60﹣3）×（60+3）＝602﹣32＝3591
……
【探究】（1）上面的式子表示的规律是：（60+m）（60﹣m）＝ ；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数 时，乘积最大．
【应用】（2）根据上面的规律思考，若a+b＝400，则ab的最大值是 ；
【拓展】（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？
54．阅读学习：
若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣5，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣5，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2，
所以（a﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2•（﹣5）＝14．
请仿照上例，解决下面的问题：
（1）若x满足（4﹣x）（x﹣1）＝﹣10，求（4﹣x）2+（x﹣1）2的值；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝2021．求（2023﹣x）（2022﹣x）的值；
拓展探究：
如图，正方形ABCD和正方形MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积．
​
55．微专题探究学习：阅读探究学习过程，完成（1）小题中的填空、（2）小题的图形设计和（3）小题的求面积．
《面积与完全平方公式》
如图1，阴影部分是一个边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分．
（1）①图1中剪去的长方形的长为 ，面积为 ．
②用两种方式表示阴影部分的面积为 或 ，由此可以验证的公式为 ．
（2）请设计一个新的图形验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）如图2，S1，S2分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若S1+S2＝40，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
56．发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数？若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．
验证：如（2+3）2﹣22＝ ，（3+4）2﹣32＝ ．
探究：设“发现”中的两个已知正整数为n，n+m（两数之差为m），请论证“发现”中的结论的正确性．
57．计算：
（1）（2x+5y）2；
（2）；
（3）（m+2n）（n﹣m）；
（4）（x﹣2y）（x+2y）﹣（x+2y）2；
（5）（3m﹣5n）2﹣（3m+5n）2；
（6）（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）．
58．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1： ，图2： ，图3： ；
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；
（3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：
已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式①a2+b2；②a+b的值．
59．[阅读]“若x满足（10﹣x）（x﹣3）＝17，求（10﹣x）2+（x﹣3）2的值”．
设10﹣x＝a，x﹣3＝b，
则（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3）＝7，
（10﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．
（1）[理解]
①若x满足（50﹣x）（x﹣35）＝100，则（50﹣x）2+（x﹣35）2的值为 ；
②若x满足（x﹣1）（3x﹣7）＝，试求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；
（2）[应用]
如图，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
60．阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用．
我们知道，完全平方公式有：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；②a2+b2＝（a﹣b）2+2ab；
③；④．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：已知x+y＝3，x﹣y＝1，求x2+y2的值．
解：．
任务：（1）已知x+y＝5，x﹣y＝3，则xy＝ ．
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2＝2x4B．x8÷x2＝x4C．（x3）2＝x5D．x3•x2＝x5
【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、x2和x2是同类项，能合并x2+x2＝2x2，故本选项错误；
B、x8÷x2＝x6，原式计算错误，故本选项错误；
C、（x3）2＝x6，原式计算错误，故本选项错误；
D、x3•x2＝x5，计算正确，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方和积的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
2．已知（x+a）（x+b）＝x2+cx﹣8，若a，b均为整数，则c的值不可能为（ ）
A．4B．﹣2C．﹣7D．7
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，得到a+b＝c，ab＝﹣8．再根据a和b为整数，进而分类讨论，从而解决此题．
【解答】解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，
∴若（x+a）（x+b）＝x2+cx﹣8，则a+b＝c，ab＝﹣8．
∵a和b均为整数，
∴当a＝1时，b＝﹣8，此时c＝a+b＝﹣7；
当a＝﹣1时，b＝8，此时c＝a+b＝﹣1+8＝7；
当a＝2时，b＝﹣4，此时c＝a+b＝﹣2；
当a＝﹣2时，b＝4，此时c＝a+b＝2；
当a＝4时，b＝﹣2，此时c＝a+b＝2．
综上：c＝±7或±2．
∴c的值不可能为4．
故选：A．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘方法则、分类讨论的思想是解决本题的关键．
3．若（am+4）（m2﹣m）运算结果中不含m2项，则a的值为（ ）
A．4B．0C．﹣4D．2
【分析】先利用多项式乘多项式法则算乘法，再根据运算结果不含m2的项得关于a的方程，求解即可．
【解答】解：（am+4）（m2﹣m）
＝am3+4m2﹣am2﹣4m
＝am3+（4﹣a）m2﹣4m．
∵运算结果中不含m2项，
∴4﹣a＝0．
∴a＝4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的乘法，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．
4．下列说法中：①若am＝6，an＝3，则am﹣n＝2；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若（t﹣2）2t＝1，则t＝3或t＝0；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝﹣2的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．③④
【分析】利用同底数幂的除法法则，平行线的判定与性质，零指数幂的意义，有理数的乘方的意义，二元一次方程组的解法对每个说法进行逐一判断，即可得出结论．
【解答】解：∵am＝6，an＝3，
∴am﹣n＝am÷an＝6÷3＝2，
∴①的说法正确；
∵如果两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，
∴②的说法不正确；
∵若（t﹣2）2t＝1，
∴t﹣2＝1或2t＝0或t﹣2＝﹣1，
∴t＝3或t＝0或t＝1．
∴③的说法不正确；
∵二元一次方程组的解也是二元一次方程x﹣3y＝﹣2的解，
∴的解是方程ax+y＝4的解，
∵的解是，
∴是方程ax+y＝4的解，
∴4a+2＝4，
∴a＝0.5．
∴④的说法正确．
∴说法正确的有：①④，
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的除法法则，平行线的判定与性质，零指数幂的意义，有理数的乘方的意义，二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
5．已知a，b，c均为正整数，且满足2a×3b×4c＝3456，则a+b+c的取值不可能是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】将原方程化为2a+2c•3b＝27×33，得到a+2c＝7，b＝3，再根据a，b，c均为正整数，求出a，c的值，进而求出答案．
【解答】解：∵2a×3b×4c＝3456，
∴2a+2c•3b＝27×33，
∴a+2c＝7，b＝3，
∵a，b，c均为正整数，
∴当c＝1时，a＝5，此时a+b+c＝5+3+1＝9，
当c＝2时，a＝3，此时a+b+c＝3+3+2＝8，
当c＝3时，a＝1，此时a+b+c＝1+3+3＝7，
∴a+b+c不可能为10．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，有难度，根据a，b，c均为正整数求出a，c的值是解题的关键．
6．若x满足（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，则（x﹣2022）2+（2023﹣x）2＝（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．﹣0.25
【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：∵（x﹣2022）（2023﹣x）＝0.25，
∴2023x﹣x2﹣2022×2023+2022x＝0.25．
∴﹣x2+4045x﹣2022×2023＝0.25．
∴﹣x2+4045x＝2022×2023+0.25．
∵（x﹣2022）2+（2023﹣x）2
＝x2+20222﹣4044x+20232+x2﹣4046x
＝2x2﹣8090x+20222+20232
＝﹣2（﹣x2+4045x）+20222+20232
＝﹣2×2022×2023﹣0.5+20222+20232
＝（2022﹣2023）2﹣0.5
＝1﹣0.5
＝0.5．
故选：B．
【点评】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
7．计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．
8．对于实数a，b，定义新运算，若函数y＝2x*（x﹣1），则下列结论正确的有（ ）
①方程2x*（x﹣1）＝0的解为x＝0或x＝﹣1；
②关于x的方程2x*（x﹣1）＝m有三个解，则；
③当x＜﹣1时，y随x增大而增大；
④当x＞﹣1时，函数y＝2x*（x﹣1）有最大值0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用新定义的规定把相应的值代入，结合函数的增减性对每个结论进行分析判断即可．
【解答】解：①当2x≥x﹣1时，即x≥﹣1，
2x*（x﹣1）
＝（2x）2﹣2x（x﹣1）
＝4x2﹣2x2+2x
＝2x2+2x，
则2x2+2x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣1；
当2x＜x﹣1时，即x＜﹣1，
2x*（x﹣1）
＝（x﹣1）2﹣2x（x﹣1）
＝x2﹣2x+1﹣2x2+2x
＝﹣x2+1，
则﹣x2+1＝0，
解得：x＝1（不符合题意 ）或x＝﹣1（不符合题意），
综上所述，方程2x*（x﹣1）＝0的解为x＝0或x＝﹣1；
故①说法正确；
②由①可得：当2x≥x﹣1时，即x≥﹣1，2x2+2x＝m，
则要使方程有两个解，得：Δ＝22+4×2m≥0，
解得：m；
当2x＜x﹣1时，即x＜﹣1，﹣x2+1＝m，
则1﹣m≥0，得m≤1，x＝或x＝（不符合题意），
故1﹣m≥1，得m≤0，故m≤0；
综上，关于x的方程2x*（x﹣1）＝m有三个解，则﹣≤m≤0．
∴②的结论不正确；
当x＜﹣1时，y＝﹣x2+1，
∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口方向向上，x＜0，y随x增大而增大，
∴x＜﹣1时，y随x增大而增大，
∴③的结论正确；
当x＞﹣1时，函数y＝2x2+2x＝2﹣．
∵2＞0，
∴抛物线的开口方向向下，当x＝﹣时，函数函数y＝2x*（x﹣1）有最小值﹣．
∴④的结论不正确．
综上，正确的结论有：①③．
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数的运算，二次函数的图象和性质，一元二次方程的解法，本题是新定义型，正确理解并熟练运用是解题的关键．
9．已知2a﹣3＝b，4a2﹣3ab+b2＝11，则2a2b﹣ab2的值为（ ）
A．3B．6C．8D．11
【分析】利用消元法求出a，b的值，可得结论．
【解答】解：∵b＝2a﹣3，4a2﹣3ab+b2＝11，
∴4a2﹣3a（2a﹣3）+（2a﹣3）2，
整理得2a2﹣3a﹣2＝0，
∴（2a+1）（a﹣2）＝0，
∴2a+1＝0或a﹣2＝0，
∴a＝2或﹣，
当a＝2时，b＝1，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，
当a＝﹣时，b＝﹣4，2a2b﹣ab2＝ab（2a﹣b）＝2×3＝6，
∴2a2b﹣ab2＝6．
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式，属于中考常考题型．
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a（a+b）＝a2+abD．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【分析】由大正方形的面积﹣小正方形的面积＝矩形的面积，进而可以证明平方差公式．
【解答】解：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝a2﹣b2，
矩形的面积＝（a+b）（a﹣b），
故（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故选：D．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
11．关于x的三次三项式A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d（（其中a，b，c，d均为常数）关于x的二次三项式B＝x2+ex+f（e，f均为非零常数），下列说法中正确的个数有（ ）
①当A+B为关于x的三次三项式时，则f＝﹣10；
②当多项式A与B的乘积中不含x⁴项时，则e＝6；
③a+b+c＝9；
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】先根据整式的加减求出A+B的值，再根据A+B为关于x的三次三项式即可判断①；先根据多项式的乘法法则求出A•B的值，再根据乘积中不含x⁴项即可判断②；分别求出当x＝1和x＝2时，求出A的值，由此即可判断③．
【解答】解：∵A＝5x3﹣6x2+10，B＝x2+ex+f，
∴A+B＝5x3﹣6x2+10+x2+ex+f＝5x3﹣5x2+ex+f+10，
∵A+B为关于x的三次三项式，且e为非零常数，
∴f+10＝0，
解得：f＝﹣10，说法①正确；
A•B＝（5x3﹣6x2+10）（x2+ex+f）
＝5x5+5ex4+5fx3﹣6x4﹣6ex3﹣6fx2+10x2+10ex+10f
＝5x5+（5e﹣6）x4+（5f﹣6e）x3+（10﹣6f）x2+10ex+10f，
∵多项式A与B的乘积中不含x⁴项，
∴5e﹣6＝0，
解得e＝1.2，说法②错误；
A＝5x3﹣6x2+10＝a（x﹣1）3+b（x﹣1）2+c（x﹣1）+d，
当x＝1时，d＝5﹣6+10＝9，
当x＝2时，a+b+c+d＝5×23﹣6×22+10＝26，
则a+b+c＝17，说法③错误．
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．
12．定义：如果代数式A＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与B＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列四个结论：
①代数式：﹣2x2+3x的“同心式”为2x2﹣3x；
②若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5互为“同心式”，则（m+n）2022的值为1；
③当b1＝b2＝0时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
④若A、B互为“同心式”，且A﹣2B是一个完全平方式，则b12＝18a1c1．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据定义分别判断即可．
【解答】解：（1）代数式：﹣2x2+3x的“同心式”为2x2+3x，故（1）不正确；
（2）若8mx2+nx﹣5与6nx2+4x+5互为“同心式”，则8m+6n＝0，n＝4，
∴m＝﹣3，
∴（m+n）2022＝1，故（2）正确；
（3）当b1＝b2＝0时，A＝a1x2+c1，B＝a2x2+c2，
∵a1+a2＝0，c1+c2＝0，
∴a1＝﹣a2，c1＝﹣c2，
∴A＝﹣B，
∴无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数，故（3）正确；
（4）若A、B互为“同心式”，
∴A﹣2B＝（a1x2+b1x+c1）﹣2（a2x2+b2x+c2）
＝（a1﹣2a2）x2+（b1﹣2b2）x+（c1﹣2c2）
＝3a1x2﹣b1x+3c1＝0，
∵有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣b1）2﹣4•3a1•3c1＝0
∴b12＝36a1c1，故（4）错误．
故选：B．
【点评】本题考查了新定义、根的判别式和实数的性质，正确理解新的定义是关键．
13．如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设（a＞b＞0），则m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．1＜m＜2C．D．
【分析】分别表示出图（1）和图（2）中的阴影部分的面积，再进行分析即可．
【解答】解：图（1）的阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）的阴影部分的面积为：a2﹣ab，
∴m＝
＝
＝
＝1+，
∵a＞b＞0，
∴1＜1+＜2，
故选：B．
【点评】本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．
14．三个边长分别为a、b、c的正方形如图摆放，则阴影部分的周长（ ）
A．只与a，b有关B．只与a、c有关
C．只与b、c有关D．与a，b、c有关
【分析】将阴影部分横向的边和纵向的边分别往一个方向平移，从而利用周长公式可得答案．
【解答】解：阴影部分的周长为：2c+2（c﹣a）＝4c﹣2a．
故选：B．
【点评】本题考查不规则阴影部分的周长，熟练掌握平移法是解题的关键．
15．在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a＞b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD﹣AB＝2时，S1﹣S2的值是（ ）
A．2aB．2bC．﹣2b+b2D．2a﹣2b
【分析】根据图形和题目中的数据，可以表示出S1和S2，然后作差化简即可．
【解答】解：由图可得，
S1＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a），
S2＝AD•AB﹣a2﹣b2﹣b（AB﹣a），
S1﹣S2
＝[AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）]﹣[AD•AB﹣a2﹣b2﹣b（AB﹣a）]
＝AD•AB﹣a2﹣b（AD﹣a）﹣AD•AB+a2+b2+b（AB﹣a）
＝﹣b•AD+ab+b2+b•AB﹣ab
＝﹣b（AD﹣AB）+b2，
∵AD﹣AB＝2，
∴﹣b（AD﹣AB）＝﹣2b，
即S1﹣S2＝﹣2b+b2．
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
二．填空题（共25小题）
16．如图，长方形ABCD中放入一个边长为8的大正方形ALMN和两个边长为6的小正方形DEFG及正方形HIJK．
（1）若阴影部分S2与S3为正方形，且S2的面积为1，则S3＝ 25 ．​
（2）若3个阴影部分的面积满足2S3+S1﹣S2＝12，则长方形ABCD的面积为 100 ．
【分析】（1）由题意可求得阴影部分S2的边长，从而可求S3的边长，根据正方形的面积公式求解即可；
（2）设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得S1，S2，S3的长、宽及面积如何表示，根据2S3+S1﹣S2＝12，可整体求得ab的值，即长方形ABCD的面积．
【解答】解：（1）∵小正方形DEFG及正方形HIJK的边长都为6，阴影部分S2与S3为正方形，S2的面积为1，
∴阴影部分S2的边长为1，
∴阴影部分S3的边长为：6﹣1＝5，
∴S3＝52＝25；
故答案为：25；
（2）设长方形ABCD的长为a，宽为b，则由已知及图形可得：
S1的长为：8﹣6＝2，宽为：b﹣8，故S1＝2（b﹣8），
S2的长为：，8+6﹣a＝14﹣a，宽为：6+6﹣b＝12﹣b，
故S2＝（14﹣a）（12﹣b），
S3的长为：a﹣8，宽为：b﹣6，
故S3＝（a﹣8）（b﹣6），
∵2S3+S1﹣S2＝12，
∴2（a﹣8）（b﹣6）+2（b﹣8）﹣（14﹣a）（12﹣b）＝12，
∴2（ab﹣6a﹣8b+48）+2b﹣16﹣（168﹣14b﹣12a+ab）＝12，
∴ab﹣88＝12，
∴ab＝100．
故答案为：100．
【点评】本题考考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．
17．如图，长为50cm，宽为xcm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为ycm．要使阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，则定值y为 ．
​
【分析】根据已知并结合图形先求出阴影A的面积和阴影B的面积，然后再求出阴影A的面积﹣阴影B的面积＝﹣3y2+50y+（50﹣6y）x，从而根据题意可得50﹣6y＝0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
阴影A的面积＝（50﹣3y）（x﹣2y）＝50x﹣100y﹣3xy+6y2（cm2），
阴影B的面积＝3y[x﹣（50﹣3y）]＝3y（x﹣50+3y）＝3xy﹣150y+9y2（cm2），
∴阴影A的面积﹣阴影B的面积＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣（3xy﹣150y+9y2）
＝50x﹣100y﹣3xy+6y2﹣3xy+150y﹣9y2
＝﹣3y2+50y+50x﹣6xy
＝﹣3y2+50y+（50﹣6y）x，
∵阴影A与阴影B的面积差不会随着x的变化而变化，
∴50﹣6y＝0，
∴y＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．已知a、b、c满足a+b＝5，c2＝ab+b﹣9，则（ab）c＝ 1 ．
【分析】由a+b＝5得到a＝5﹣b，把a＝5﹣b代入c2＝ab+b﹣9得到c2+b2﹣6b+9＝0，配方得c2+（b﹣3）2＝0，然后根据非负数的性质易得c＝0，b＝3，则可求得a＝2，代入所求式子运算即可．
【解答】解：∵a+b＝5，
∴a＝5﹣b，
∴c2＝（5﹣b）•b+b﹣9，
∴c2+b2+4b+9＝0，
∴c2+b2﹣6b+9＝0，
∴c2+（b﹣3）2＝0，
∴c＝0，b﹣3＝0，
∴b＝3，
∴a＝2，
∴（ab）c
＝（2×3）0
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，并求得相应的a，b，c的值．
19．已知a＝2555，b＝3444，c＝6222，则a、b、c的大小关系是 a＜c＜b （请用字母表示，并用“＜”连接）．
【分析】根据幂的乘方进行变形，再比较大小．
【解答】解：a＝2555＝（25）111＝32111，b＝3444＝（34）111＝81111，c＝6222＝（62）111＝36111．
∵32＜36＜81，
∴32111＜36111＜81111．
∴a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
【点评】本题主要考查幂的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方是解决本题的关键．
20．（1）已知x+y＝7，xy＝5，则x2+y2的值为 39 ．
（2）已知（x+y）2＝49，x2+y2＝27，则（x﹣y）2的值为 5 ．
（3）已知x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，则（x﹣2023）2的值为 5 ．
【分析】（1）利用完全平方公式把代数式变形，整体代入求值；
（2）把代数式变形，整体代入求值；
（3）设x﹣2023＝a，把等式变成含a的方程，求解a的值，再代入求代数式的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝7，xy＝5，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝72﹣2×5
＝49﹣10
＝39；
故答案为：39；
（2）∵（x+y）2＝49，x2+y2＝27，
∴x2+2xy+y2＝49，
即27+2xy＝49，
∴xy＝11，
∴（x﹣y）2
＝x2﹣2xy+y2
＝27﹣2×11
＝27﹣22
＝5；
故答案为：5；
（3）设x﹣2023＝a，
∵x满足（x﹣2022）2+（2024﹣x）2＝12，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝12，
化简整理得：a2＝5，
∴（x﹣2023）2的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
21．观察下列各式及其展开式：
（a+b）0＝1
（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
…
请你猜想（a+b）10的展开式中第三项的系数是 45 ．
【分析】观察各式的指数与项数的关系，项的系数的规律并列出关系式，依据关系式解答即可．
【解答】解：各式及其展开式的规律如下：
等式左边的指数依次为：0，1，2，3，4，…，10，
等式右边的项数依次为：1，2，3，4，…，10，11，
它们的系数满足如下关系：
由上式可知（a+b）10的展开式的系数为第11行，第三项的系数是45，
故答案为：45．
【点评】本题主要考查了二项式的展开式的系数的特征，观察各式的指数，项的系数的规律并列出关系式是解题的关键．
22．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2﹣S1＝96，则长方形ABCD的周长为 24 ．
【分析】设FK＝a，FL＝b，由题意得出EK＝BH＝LJ＝GD＝4﹣a，KH＝EB＝GL＝DJ＝4﹣b，分别计算出S1、S2，由3S2﹣S1＝96，求出a+b＝4，即可解决问题．
【解答】解：设FK＝a，FL＝b，
由题意得：四边形BHKE、四边形KFLI、四边形DGLJ都为长方形，
∴EK＝BH＝LJ＝GD＝4﹣a，KH＝EB＝GL＝DJ＝4﹣b，
∴S1＝2（4﹣a）（4﹣b）+ab＝（32﹣8a﹣8b+3ab），S2＝（4+4﹣b）（4+4﹣a）＝（64﹣8a﹣8b+ab），
∵3S2﹣S1＝96，
∴3（64﹣8a﹣8b+ab）﹣（32﹣8a﹣8b+3ab）＝96，
整理得：a+b＝4，
∴长方形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+4﹣b+4+4﹣a）＝2×（16﹣4）＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了整式的混合运算、长方形面积与周长的计算等知识，求出a+b＝4是解题的关键．
23．如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S1+S2+S3＝ 12.5 ．
【分析】由长方形的周长16，面积为15.75，确定a+b＝8，ab＝15.75，通过观察图形分别用含有a和b的式子表示出阴影部分的面积S1、S2、S3，然后整理化简S1+S2+S3，通过完全平方公式计算出a2+b2，从而求出值．
【解答】解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．
∴（a+b）2＝64，
a2+2ab+b2＝64，
a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，
∵S1＝（6﹣b）2，S3＝（6﹣a）2，S2＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，
∴阴影部分面积S1+S2+S3＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2
＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2
＝a2+b2﹣12b﹣12a+76
＝a2+b2﹣12（b+a）+76
＝32.5﹣12×8+76
＝12.5．
故答案为：12.5．
【点评】本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出a+b和ab的形式是本题的关键，由a+b＝8和ab＝15.75，利用完全平方公式变形计算出a2+b2，从而求出面积．
24．若等式（x+4）x+1＝1，则满足等式成立的x的值为 ﹣1、﹣3或﹣5 ．
【分析】分情况讨论：当x+1＝0时，当x+4＝1时，分别讨论求解．还有﹣1的偶次幂都等于1．
【解答】解：如果（x+4）x+1＝1成立，则x+1＝0或x+4＝1或﹣1，
即x＝﹣1或x＝﹣3或x＝﹣5，
当x＝﹣1时，（x+4）0＝1，
当x＝﹣3时，1﹣2＝1，
当x＝﹣5时，（﹣1）﹣4＝1．
综上分析可知，x值为﹣1、﹣3或﹣5．
故答案为：﹣1、﹣3或﹣5．
【点评】本题主要考查了零指数幂的意义和1的指数幂，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
25．若实数a，b，c满足：a2+ab+b2＝3，a2﹣ab+b2＝c．
（1）当c＝5时，则ab＝ ﹣1 ；
（2）c的取值范围为 c≥1 ．
【分析】（1）将c＝5代入，得a2﹣ab+b2＝5．再联立a2+ab+b2＝3，求得ab．
（2）由a2+ab+b2＝3，a2﹣ab+b2＝c，得2a2+2b2＝3+c，2ab＝3﹣c．根据完全平方公式，得（a﹣b）2≥0，那么a2+b2≥2ab2a2+2b2≥4ab，推断出3+c≥4ab，进而解决此题3+c≥2（3﹣c）．
【解答】解：（1）当c＝5，a2﹣ab+b2＝5．
∵a2+ab+b2＝3，
∴2ab＝﹣2．
∴ab＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）∵a2+ab+b2＝3，a2﹣ab+b2＝c，
∴2a2+2b2＝3+c，2ab＝3﹣c．
∵（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab．
∴2a2+2b2≥4ab．
∴3+c≥4ab．
∴3+c≥2（3﹣c）．
∴c≥1．
故答案为：c≥1．
【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
26．若（x+2m）（x﹣4）去括号后不含x的一次项，则m的值为 2 ．
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含一次项求出m的值即可．
【解答】解：原式＝x2+（2m﹣4）x﹣8m，
由结果不含一次项，得到：
2m﹣4＝0，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．已知2x2﹣3x﹣1＝0，则代数式4x（x﹣3）+（﹣2x﹣2）（﹣2x+2）的值为 0 ．
【分析】先根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项，求出2x2﹣3x＝1，最后代入求出答案即可．
【解答】解：4x（x﹣3）+（﹣2x﹣2）（﹣2x+2）
＝4x2﹣12x+4x2﹣4
＝8x2﹣12x﹣4，
∵2x2﹣3x﹣1＝0，
∴2x2﹣3x＝1，
当2x2﹣3x＝1时，原式＝4（2x2﹣3x）﹣4＝4×1﹣4＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
28．若规定a、b两数之间满足一种运算：记作（a，b）．即：若ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫这样的数对称为“一青一对”．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．
（1）计算（4，2）+（4，3）＝（ 4，6 ）；
（2）在正整数指数幂的范围内，若（42x﹣4，54k）≥（4，5）恒成立，且x只有两个正整数解，则k的取值范围是 且4k为正整数 ．
【分析】（1）设（4，2）＝x，（4，3）＝y，则4x＝2，4y＝3，然后代入计算可得答案；
（2）设（2n，4m）＝c，则2cn＝4m，cn＝2m，，可得（42x﹣4，54k）＝．设4t＝5（t＞1），则，，然后根据题意可得答案．
【解答】解：（1）设（4，3）＝y，（4，2）＝x，
则4y＝3，4x＝2，
∵4x+y＝4x•4y＝2×3＝6，
∴（4，6）＝x+y，
∴（4，2）+（4，3）＝（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（2）设（2n，4m）＝c，则2cn＝4m，cn＝2m，，
∴（2n，4m）＝．
∴（42x﹣4，54k）＝（4，5），
∵（4，5）≤（42x﹣4，54k），
∴；
设4t＝5（t＞1），则，
∴，
∴2x﹣4≥4k，x≥2k+2；
∵2x﹣4＞0，4k＞0，
∴x＞2，k＞0，且x、k均为正整数，且x只有两个正整数解，
∴3≤x≤4，3≤2k+2≤4，
∴且4k为正整数．
故答案为：且4k为正整数．
【点评】此题考查的是幂的乘方与积的乘方、有理数的混合运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
29．已知长方形ABCD可以按图所示方式分成九部分，在a，b变化的过程中，下面说法正确的有 ①③ （请将所有正确的编号填在横线上）．
①图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形ABCD的周长；
②长方形ABCD的长宽之比可能为2；
③当长方形ABCD为正方形时，九部分都为正方形；
④当长方形ABCD的周长为60时，它的面积可能为100．
【分析】假设长方形的长宽比是2，推导出与已知的矛盾，排除②，根据正方形定义和长方形的周长公式判断①③，根据长方形的周长为60，推导出该长方形的面积大于100，从而说明④错误．
【解答】解：如图：
①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长方形ABCD的周长，故①正确；
②长方形的长为a+2b，宽为2a+b，
若该长方形的长宽之比为2，则a+2b＝2（2a+b），
解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；
③当长方形ABCD为正方形时，2a+b＝a+2b，
所以a＝b，所以九部分都为正方形，故③的说法正确；
④当长方形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60，
整理，得a+b＝10，
∴四边形GHWD的面积为100，长方形ABCD的面积大于100，故④的说法不正确．
综上所述，正确的是：①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了长方形、正方形的周长和面积即等式的性质等知识点，掌握正方形的判定、长方形的周长公式和正方形的面积公式是解决本题的关键．
30．下列有四个结论，其中正确的是 ②④ ．
①若（5﹣a）2a﹣4＝1，则a为2，4；
②（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1；
③若a+b＝4，ab＝，则a﹣b＝1；
④4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为．
【分析】①根据零指数幂和1的幂进行列方程求解；
③先求多项式乘多项式，再让x2的系数为0，列方程求解；
③利用完全平方公式变式求解判断；
④先根据幂的乘方变式，再利用同底数幂的除法求解．
【解答】解：①由题意得：5﹣a≠0，且2a﹣4＝0或5﹣a＝1或5﹣a＝﹣1且2a﹣4为偶数，
解得：a＝2或a＝4或a＝6，
故①是错误的；
②∵（x﹣1）（x2+ax+1）＝x3+（a﹣1）x2+（1﹣a）x﹣1，
∴a﹣1＝0，
∴a＝1，
故②是正确的；
③∵a+b＝4，ab＝，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝16﹣15＝1，
∴a﹣b＝±1，
故③是错误的；
④∵4x＝22x＝a，8y＝23y＝b，
∴22x﹣3y＝22x÷23y＝，
故④是正确的，
故答案为：②④．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，零指数幂，幂的乘方，公式的灵活运用是解题的关键．
31．湖北省科技馆位于武汉市光谷，其中“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 2022 ．
【分析】先化简整式，再根据密码与字母指数的关系得结论．
【解答】解：∵[（x5）5y4z3÷x5y2z]＝[x25y4z3÷x5y2z]＝[x20y2z2]，
∴密码为：2022．
故答案为：2022．
【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则，找到密码与字母指数的关系是解决本题的关键．
32．甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2+3x﹣2，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2﹣3x+2．则本题的正确结果是 2x2﹣5x+2 ．
【分析】按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值，将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2+3x﹣2，
故对应的系数相等，﹣2a+b＝3，﹣ab＝﹣2，
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2﹣3x+2．
故对应的系数相等，a+b＝﹣3，ab＝2，
∴，
解，
∴正确的计算结果：（x﹣2）（2x﹣1）＝2x2﹣5x+2．
故答案为：2x2﹣5x+2．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
33．如图1，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小相同的小长方形，然后拼成如图2的一个大正方形．
（1）若图1中大长方形的长为4，宽为2，则图2中小正方形（阴影部分）的面积S＝ 1 ；
（2）若图1中大长方形的长为2m，宽为2n，则图2中小正方形（阴影部分）的面积S＝ m2+n2﹣2mn （用含m、n的式子表示）．
【分析】由图可知图2中阴影部分的边长等于小长方形的长与宽的差，据此即可求解．
【解答】解：（1）图2中小正方形（阴影部分）的面积S＝（2﹣1）2＝1，
故答案为：1；
（2）图2中小正方形（阴影部分）的面积S＝（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn，
故答案为：m2+n2﹣2mn．
【点评】本题考查了多项式的乘法与图形面积，理解题意是解题的关键．
34．如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为S甲，S丙，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为276cm2，则乙的面积为 4 cm2．
【分析】利用图形的性质，得到甲，丙的宽相同，设甲的长为3xcm，则丙的长为5xcm，依据图形的性质求得两个正方形的边长和重叠部分的长与宽，依据题意列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，
∴甲，丙的宽相同，
∵，
∴甲，丙的长的比为3：5，
设甲的长为3xcm，则丙的长为5xcm，
∵正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，
∴乙的边长为5x﹣3x＝2x（cm），
∴正方形EFGH的边长为5x+2x+3x＝10x（cm）．
∵正方形ABCD分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，
∴正方形ABCD的边长为（5x+2x）×2＝14x（cm），
∵桌面被所有纸片覆盖区域的面积为276cm2，
∴（14x）2+（10x）2﹣2x×10x＝276，
解得：x＝1或x＝﹣（不合题意，舍去），
∴x＝1．
∴乙的边长为2cm，
∴乙的面积为4cm2．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了正方形的面积，图形的拼接，利用图形的性质和已知条件列出方程是解题的关键．
35．冬季奥运主题活动中，西雅中学某班设计如图1的“红色徽章”，其设计原理是：如图2，在边长为a的正方形EFGH四周分别放置四个边长为b的小正方形，构造了一个大正方形ABCD，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标．现将阴影部分图形面积记作S1，每一个边长为b的小正方形面积记作S2，若S1＝6S2，则的值是 ．
【分析】利用正方形ABCD的面积减去空白部分的面积求出阴影部分的面积S1，结合S1＝6S2，求出a与b的比值．
【解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2
＝2ab+b2，
S2＝b2，S1＝6S2，
∴2ab+b2＝6b2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积、正方形的面积、完全平方公式的应用．要求学生用分割法求出阴影部分的面积．
36．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形ABCD，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，那么（1）图中长方形的面积S1与（2）图中长方形的面积S2的比是 ．
【分析】先表示周长，再求面积的比值．
【解答】解：设（1）中长方形的长为a，宽为b，（2）中长方形的长为y，宽为x．
则AD＝3b+2y＝a+x．
第一种覆盖方式中阴影部分的周长为：2（3b+2y+DC﹣x）＝6b+4y+2DC﹣2x＝2a+2DC．
第二种覆盖方式中有一部分的周长为：2（a+x+DC﹣3b）＝2a+2x+2DC﹣6b＝2a+2x+2DC﹣2（a+x﹣2y）＝2DC+4y．
∵两种方式周长相同．
∴2a+2DC＝2DC+4y．
∴a＝2y．
∵3b+2y＝a+x．
∴x＝3b．
∴S1：S2＝ab：xy＝2y×：（xy）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，正确用字母表示周长是求解本题的关键．
37．四张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝S2，则a：b＝ 3：1 ．
【分析】先表示空白部分和阴影部分的面积，再求比值．
【解答】解：由题意得：S2＝4[ab+b2]＝＝2ab+2b2．
S1＝（a+b）2﹣S2＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣2b2＝a2﹣b2．
∵S1＝S2．
∴a2﹣b2＝2ab+2b2．
∴a2﹣2ab﹣3b2＝0．
∴（a﹣3b）（a+b）＝0．
∵a＞b＞0．
∴a+b＞0．
∴a﹣3b＝0．
∴a＝3b．
∴a：b＝3：1．
故答案为：3：1．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，根据图形特征，表示出S1，S2，将得到的等式因式分解是求解本题的关键．
38．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为 7或 ．
【分析】利用矩形及正方形的性质可求解KI＝2DG﹣10，KH＝DG﹣3，根据当矩形KILH的邻边的比为3：4可求解DG的长，再利用DG的长分别求解AF，CG，AJ的长，进而可求解，注意分类讨论．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13．
∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG，
∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10．
∵BE＝BA＝10，
∴LG＝EC＝3，
∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3．
当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4，
解得DG＝9或．
当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7；
当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝，
∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG
＝
＝．
故答案为7或．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
39．设a、b、c、d为互不相等的实数，且（a2﹣c2）（a2﹣d2）＝1，（b2﹣c2）（b2﹣d2）＝1，则a2b2﹣c2d2＝ ﹣1 ．
【分析】观察发现a2、b2﹣是方程（x﹣c2）（x﹣d2）＝1的两个根，将方程展开，按照根与系数的关系，可解得答案．
【解答】解：a2、b2﹣是方程（x﹣c2）（x﹣d2）＝1的两个根
展开得：x2﹣（c2+d2）x+c2d2﹣1＝0
由根与系数的关系得：a2b2＝c2d2﹣1
∴a2b2﹣c2d2＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法、方程的解的灵活运用及根与系数的关系，本题的解题思路得出具有一定的难度．
40．如图，正方形ABCD和AEFG的边长分别为x，y，点E，G分别在边AB，AD上，若x2+y2＝29，BE＝3，则图中阴影部分图形的面积的和为 10.5 ．
【分析】利用图形和x2+y2、2xy还有x﹣y之间的关系，求出x，y，用面积公式计算即可．
【解答】解：∵正方形ABCD和AEFG的边长分别为x，y，
∴BE＝x﹣y＝3，
∴（x﹣y）2＝9，即x2+y2﹣2xy＝9
∵x2+y2＝29，
∴2xy＝20，
∴x2+y2+2xy＝29+20＝49，
∴x+y＝7，
∴，
解方程组得，
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴DG＝BE＝3，
S△BEF+S△DCF＝×2×3+×5×3＝3+7.5＝10.5，
故答案为：10.5．
【点评】本题考查的是完全平方公式的几何背景，解题的关键是x2+y2和2xy还有x﹣y之间的关系．
三．解答题（共20小题）
41．计算：
（1）（﹣1）2017+（﹣2）﹣2﹣（3.14﹣π）0；
（2）1﹣2×51+512；
（3）（x﹣3）（x+2）﹣（x+1）2；
（4）（4x2y﹣2x3）÷（﹣2x）2．
【分析】（1）先算乘方、负整数指数幂、零指数幂，然后计算加减法即可；
（2）根据完全平方公式变形，然后计算乘方即可；
（3）根据多项式乘多项式和完全平方公式展开，然后合并同类项即可；
（4）先算积的乘方，再根据多项式除以单项式计算即可．
【解答】解：（1）（﹣1）2017+（﹣2）﹣2﹣（3.14﹣π）0
＝（﹣1）+﹣1
＝﹣；
（2）1﹣2×51+512
＝（1﹣51）2
＝（﹣50）2
＝2500；
（3）（x﹣3）（x+2）﹣（x+1）2
＝x2﹣x﹣6﹣（x2+2x+1）
＝x2﹣x﹣6﹣x2﹣2x﹣1
＝﹣3x﹣7；
（4）（4x2y﹣2x3）÷（﹣2x）2
＝（4x2y﹣2x3）÷4x2
＝4x2y÷4x2﹣2x3÷4x2
＝y﹣x．
【点评】本题考查整式的混合运算、实数的运算、负整数指数幂、零指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
42．计算：
（1）；
（2）（﹣2a2）3•a2+a8；
（3）20232﹣2024×2022．（要求简便计算）
【分析】（1）先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义分别计算，再算加减法即可；
（2）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则计算即可；
（3）将2024×2022变形为（2023+1）（2023﹣1），再根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣9+4+1﹣2
＝﹣6；
（2）原式＝﹣8a6•a2+a8
＝﹣8a8+a8
＝﹣7a8；
（3）原式＝20232﹣（2023+1）（2023﹣1）
＝20232﹣20232+12
＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、绝对值、零指数幂、负整数指数幂、平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
43．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；
（2）观察图2，三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）若x+y＝﹣6，xy＝，则x﹣y＝ ±5 .（直接写出答案）
【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积；
（2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系．
（3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2，继而可得出x﹣y的值．
【解答】解：（1）图2中的阴影部分的面积为（m﹣n）2，
故答案为：（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2，
故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝＝36﹣11＝25，
∴x﹣y＝±5．
故答案为：±5．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
44．图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，将其沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长等于 a﹣b ．
（2）图2中阴影部分的面积可以表示为 （a﹣b）2 ，也可以表示为 （a+b）2﹣4ab ．
（3）根据（2）中的等量关系解决下面问题，a+b＝7，ab＝6，求图2阴影部分的边长．
【分析】（1）由图形即可得到答案；
（2）由正方形的面积公式即可得到答案；
（3）应用（2）的结论即可求值．
【解答】解：（1）图2中阴影部分的正方形边长等于a﹣b．
故答案为：a﹣b；
（2）图2中阴影部分的面积可以表示为 （a﹣b）2也可以表示为（a+b）2﹣4ab．
故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）知 （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝72﹣4×6＝25，
∴a﹣b＝5（a﹣b＞0），
∴图2阴影部分的边长是5．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，关键是应用整体思想来求值．
45．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在“整式的乘除”这一章的学习过程中，我们经常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟代数与几何内在的统一性．
材料1：如图1，现有若干张3种不同型号的卡片：边长为a，b正方形卡片，长为a，宽为b的长方形卡片；
材料2：用材料1中的卡片拼成图2（卡片间不重叠无缝隙），可以用来验证我们学过的“和的完全平方公式”；（a+b）2＝a2+2ab+b2．
验证如下：∵S正方形ABCD＝2S长方形EGKD+S正方形AFGE+S正方形GHCK＝2ab+a2+b2，
而S正方形ABCD＝（a+b）2，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2
（1）写出图3中所验证的等式： （a+b）2＝4ab+（a﹣b）2 ；
（2）请利用材料1中的卡片，设计一个几何图形来计算（a+b）（a+2b），并写出计算过程；
（3）用（1）中的等式解决下面问题：
如图4，已知正方形ABCD的边长为a，M、F分别为AD、CD上的点，已知AM＝4，CF＝3，长方形MNFD的面积为6，分别以MN、MD为边作正方形，求阴影部分面积．
【分析】（1）根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算即可；
（3）根据正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）正方形的面积＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，或正方形的面积＝4ab+（a﹣b）2＝a2+2ab+b2；
故（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；
故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2；
（2）如图，
（a+b）（a+2b）＝a2+ab+2b2+2ab＝a2+3ab+2b2；
（3）阴影部分面积＝（a﹣3）2﹣（a﹣4）2＝（a﹣3+a﹣4）（a﹣3﹣a+4）＝2a﹣7．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
46．将完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如，若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即a2+2ab+b2＝9．
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy＝ 12 ．
（2）若x﹣y＝4，xy＝5，求x2+y2的值．
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝15，点E、F是BC、CD上的点，且BE＝DF，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，在长方形ABCD内侧作长方形CEPF，若长方形CEPF的面积为150，求图中阴影部分的面积和．
【分析】（1）由（x+y）2＝x2+y2+2xy求解．
（2）由x2+y2＝（x﹣y）2+2xy求解．
（3）设正方形CFGH边长为a，正方形CEMN边长b，由图形可得阴影面积为a2+b2，进而求解．
【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy＝＝＝12．
故答案为：12．
（2）x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝42+2×5＝26．
（3）∵四边形ABCD为长方形，
∴CD＝AB＝20，
由题意得EC＝BC﹣BE＝15﹣x，FC＝CD﹣DF＝20﹣x，
设正方形CFGH边长20﹣x＝a，正方形CEMN边长15﹣x＝b，
∴a﹣b＝5，ab＝150，
阴影部分的面积为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝25+300＝325，
答：图中阴影部分的面积和为325．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是掌握完全平方式的变形，设参数求解．
47．规定两正数a，b之间的一种运算记作L（a，b），如果ac＝b，那么L（a，b）＝c．
例如：因为32＝9，所以L（3，9）＝2．
小明在研究这种运算时发现一个结论：L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）．
小明给出了如下的证明：
设L（a，m）＝x，L（a，n）＝y，
由规定，得ax＝m，ay＝n，
∴＝ax÷ay＝a（x﹣y），
∴L（a，）＝x﹣y，
∴L（a，）＝L（a，m）﹣L（a，n）．
请你解决下列问题：
（1）填空：L（2，16）＝ 4 ，L（ ，36）＝﹣2；
（2）证明：L（3，5）+L（3，8）＝L（3，40）；
（3）如果正数a、m、n，满足L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，求x．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）根据新定义，结合同底数幂的运算证明；
（3）根据新定义，结合同底数幂的运算列出方程求解．
【解答】解：（1）∵24＝16，
∴L（2，16）＝4，
∵（）﹣2＝36，
L（，36）＝﹣2；
故答案为：4，；
（2）证明：设L（3，5）＝x，L（3，8）＝y，
由规定，得3x＝5，3y＝8，
∴40＝5×8＝3x×3y＝3（x+y），
∴L（3，40）＝x+y，
∴L（3，40）＝L（3，5）+L（3，8）；
（3）∵L（a，m）＝x﹣2，L（a，n）＝3x﹣6，L（a，mn）＝2x+2，
∴ax﹣2＝m，a3x﹣6＝n，mn＝a2x+2，
∴mn＝a2x+2＝ax﹣2•a3x﹣6＝a4x﹣8，
∴2x+2＝4x﹣8，
解得：x＝5．
【点评】本题考查了同底数幂的运算，理解新定义是解题的关键．
48．我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．请同学们根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝20，则ab＝ 6 ；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，求（2023﹣x）（x﹣2020）的值；
（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E、F分别是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，①CF＝ 2+2， ，CE＝ 2﹣2． ；（用含x的式子表示）②若长方形CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．
【分析】（1）根据完全平方公式进行变形求解即可；
（2）将2023﹣x和x﹣2020看作一个整体，然后利用完全平方公式变形求解即可；
（3）根据AB＝10，BC＝6，BE＝DF＝x，得出CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，得出[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2＝（10﹣x﹣6+x）2＝16，根据S阴影＝S正方形CFGH+S正方形CEMN，将10﹣x，6﹣x看作整体，利用完全平方公式的变形公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝20，
∴
＝
＝6；
故答案为：6．
（2）∵[（2023﹣x）+（x﹣2020）]2
＝（2023﹣x+x﹣2020）2
＝9，
（2023﹣x）2+（x﹣2020）2＝2021，
∴（2023﹣x）（x﹣2020）＝＝﹣1006，
（3）∵AB＝10，BC＝6，BE＝DF＝x，
∴CF＝10﹣x，CE＝6﹣x，
∴[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2
＝（10﹣x﹣6+x）2
＝16，
∵长方形CEPF的面积为40，
∴（10﹣x）（6﹣x）＝40，
解得x＝8+2（舍）x＝8﹣2．
∴CF＝10﹣x＝10﹣8+2＝2+2，
CE＝6﹣x＝6﹣8+2＝2﹣2．
故答案为：2+2，2﹣2．
∴S阴影＝S正方形CFGH+S正方形CEMN
＝（10﹣x）2+（6﹣x）2
＝[（10﹣x）﹣（6﹣x）]2+2（10﹣x）（6﹣x）
＝16+2×40
＝96．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形公式，掌握完全平方公式（a+b）2、（a2+b2）、（a﹣b）2、2ab之间的关系是关键．
49．【阅读理解】例：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a、x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．请仿照上面的方法求解下面问题：
【跟踪训练】
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值．
（2）（n﹣2022）2+（n﹣2023）2＝11，求（n﹣2022）（2023﹣n）．
（3）已知正方形ABCD的边长为x，E、F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是15，分别以MF，DF为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【分析】（1）先根据题中提供的方法，类比计算即可；
（2）根据题意可求出a2+b2＝11，a+b＝1，再求出2ab的值，即可求出答案；
（3）长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，则有a﹣b＝2，因此有（x﹣1）（x﹣3）＝15，求出x的值，再代入阴影部分的面积（x﹣1）2﹣（x﹣3）2中计算即可求出结果．
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，
则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．
（2）解：设n﹣2022＝a，2023﹣n＝b，
则（n﹣2022）2﹣（n﹣2023）2＝（n﹣2022）2+（2023﹣n）2＝a2+b2＝11，
a+b＝（n﹣2022）+（2023﹣n）＝1，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝11+2ab＝1，
∴2ab＝1﹣11＝﹣10，
．
（3）由题意得，长方形EMFD的长DE＝a＝x﹣1，宽DF＝b＝x﹣3，
则有a﹣b＝2，
由题意得DE⋅DF＝（x﹣1）（x﹣3）＝15，
即ab＝15，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+60＝64，
∴a+b＝8，a+b＝﹣8（舍去）．
所以阴影部分的面积为：（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝8×2＝16，
答：阴影部分的面积为16．
【点评】本题主要考查了应用新运算解决问题，掌握完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键．
50．阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝ xn+1﹣1 ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1＝ 22024﹣1 ；
（3）计算：220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1＝ ；
（4）若x5+x4+x3+x2+x+1＝0，求x2022的值．
【分析】（1）根据已知式子的变化规律，可以得到所求式子的结果；
（2）利用（2）中变化规律，将所求式子变形，然后计算即可；
（3）将220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1转化为（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，再利用（1）中变化规律进而得出答案；
（4）利用（1）中变化规律得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…；
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+⋯+x+1）＝xn+1﹣1，
故答案为：xn+1﹣1；
（2）22023+22022+22021+⋯+22+2+1
＝（2﹣1）（22023+22022+22021+⋯+22+2+1）
＝22024﹣1，
故答案为：22024﹣1；
（3）220﹣219+218﹣217+⋯﹣23+22﹣2+1
＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+⋯+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1
＝
＝
＝+
＝；
故答案为：；
（4）∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，
∴x＝±1，
∵x5+x4+x3+x2+x+1＝0，
∴x≠1，x＝﹣1，
∴x2022＝（﹣1）2022＝1．
【点评】此题主要考查平方差公式以及数字变化规律、整式的混合运算，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
51．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
直接应用：（1）若xy＝7，x+y＝5，直接写出x2+y2的值 11 ；
类比应用：（2）填空：①若x（3﹣x）＝4，则x2+（x﹣3）2＝ 1 ；
②若（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，则（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝ 20 ；
知识迁移：（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝16，S△AOC+S△BOD＝60，求一块三角板的面积．
【分析】（1）（2）直接利用（a+b）2﹣2ab＝a2+b2计算得结论；
（3）利用直角三角形的面积公式，先把问题转化为a2+b2，再利用完全平方公式的变形得结论．
【解答】解：（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝52﹣2×7
＝25﹣14
＝11；
故答案为：11．
（2）①则x2+（x﹣3）2＝x2+（3﹣x）2
＝[x+（3﹣x）]2﹣2x（3﹣x）
＝32﹣2×4
＝9﹣8
＝1；
故答案为：1．
②∵（x﹣2019）（x﹣2023）＝2，
∴（x﹣2019）（2023﹣x）＝﹣2．
∴（x﹣2019）2+（x﹣2023）2＝（x﹣2019）2+（2023﹣x）2
＝[x﹣2019+（2023﹣x）]2﹣2（x﹣2019）（2023﹣x）
＝42﹣2×（﹣2）
＝16+4
＝20；
故答案为：20；
（3）由题意，设OA＝OC＝a，OB＝OD＝b，
则a+b＝AD＝16．
∵S△AOC+S△BOD＝60，
∴（a2+b2）＝60．
∴a2+b2＝120．
∴（a+b）2﹣2ab＝a2+b2＝120，即162﹣2ab＝120．
∴2ab＝136．
∴ab＝68．
∴＝34．
答：一块三角板的面积为34．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式及变形是解决本题的关键．
52．学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝ a2+3ab+2b2 ；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 4 张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形边长是 a+2b （用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系是 （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若，则a与b有什么关系？ a＝4b （直接写出答案）．
【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算；
（2）根据正方形的性质即可解决问题；
（3）利用正方形的面积即可解决问题；
（4）设MN＝x，根据题意可得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，根据S1﹣S2＝3b2，列出等式，整理后得a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；
故答案为：a2+3ab+2b2；
（2）根据题意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，
∴此新的正方形的边长是a+2b，
故答案为：4，a+2b；
（3）根据题意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（4）设MN＝x，
根据题意，得
S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，
S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，
∵S1﹣S2＝3b2，
∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2，
∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，
∴a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，
∴a＝4b，a2﹣5ab+4b2＝0，
∴（a﹣b）（a﹣4b）＝0，
∴a＝4b或a＝b（舍去），
∴a＝4b．
故答案为：a＝4b．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
53．观察下列各式：
①60×60＝602﹣02＝3600；
②59×61＝（60﹣1）×（60+1）＝602﹣12＝3599；
③58×62＝（60﹣2）×（60+2）＝602﹣22＝3596；
④57×63＝（60﹣3）×（60+3）＝602﹣32＝3591
……
【探究】（1）上面的式子表示的规律是：（60+m）（60﹣m）＝ 602﹣m2 ；观察各等式的左边发现两个因数之和都是120，而两数乘积却随着两个因数的接近程度在变化，当两个因数 相等 时，乘积最大．
【应用】（2）根据上面的规律思考，若a+b＝400，则ab的最大值是 40000 ；
【拓展】（3）将一根长40厘米的铁丝折成一个长方形，设它的一边长为x厘米，面积为S，写出S与x之间的等量关系？当x为何值时，S取得最大值？
【分析】（1）由所列式子所呈现的规律可得答案；
（2）根据（1）中的规律和结论进行解答即可；
（3）根据长方形的面积公式可得S与x的函数关系式，再根据（1）的结论得出答案即可．
【解答】解：（1）由规律可知，
（60+m）（60﹣m）＝602﹣m2，
当两个因数相等时，这两个因数的积最大，
故答案为：602﹣m2，相等；
（2）由（1）得，
a+b＝400，当a＝b＝200时，ab的值最大，
即ab的最大值为200×200＝40000，
故答案为：40000；
（3）周长为40cm，一条边的长为xcm，则另一条边的长为（20﹣x）cm，由长方形的面积公式可得，
S＝x（20﹣x），
长方形的长与宽的和为x+（20﹣m）＝20，
当x＝20﹣x，即x＝10时，x（20﹣x）最大，即面积S最大，
答：S与x之间的等量关系为S＝x（20﹣x），当x＝10时，S有最大值．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
54．阅读学习：
若满足（8﹣x）（x﹣6）＝﹣5，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设8﹣x＝a，x﹣6＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣5，a+b＝8﹣x+x﹣6＝2，
所以（a﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2•（﹣5）＝14．
请仿照上例，解决下面的问题：
（1）若x满足（4﹣x）（x﹣1）＝﹣10，求（4﹣x）2+（x﹣1）2的值；
（2）若x满足（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝2021．求（2023﹣x）（2022﹣x）的值；
拓展探究：
如图，正方形ABCD和正方形MFNP重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长AD、CD，交NP和MP于H、Q两点，构成的四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．若正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．求正方形MFNP的面积．
​
【分析】（1）根据题干给出的整体代入的方法，来给复杂的整式简单化，然后通过整体代入的思路来进行解题．
（2）根据题干给出的整体代入的方法，把（2023﹣x）和（2022﹣x）分别用字母表示，通过完全平方公式的变形应用来化简求值，
拓展探究：根据题意，用字母来代替DE和DG的长度，通过化简，来得到要求的面积．
【解答】解：（1）设4﹣x＝a，x﹣1＝b，则（4﹣x）（x﹣1）＝ab＝﹣10，a+b＝4﹣x+x﹣1＝3，
∴（4﹣x）2+（x﹣1）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×（﹣10）＝29，
（2）设2023﹣x＝m，2022﹣x＝n，则（2023﹣x）2+（2022﹣x）2＝m2+n2＝2021，m﹣n＝2023﹣x﹣（2022﹣x）＝1，
∴（2023﹣x）（2022﹣x）＝mn＝＝＝1010，
拓展探究：
ED＝AD﹣AE＝x﹣10，
DG＝CD﹣CG＝x﹣20，
S矩形EFGD＝DE×DG＝（x﹣10）（x﹣20）＝200，
FN＝FG+GN＝ED+GE＝[（x﹣10）+（x﹣20）]，
S正方形MFNP＝FN2＝[（x﹣10）+（x﹣20）]2，
设x﹣10＝a，x﹣20＝b，则ab＝200，a﹣b＝（x﹣10）﹣（x﹣20）＝10，
S正方形MFNP＝（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×200＝900，
∴正方形MFNP的面积为900．
【点评】本题考查同学们根据题干给出的解题思路，来利用该思路来进行问题的解答，解题的关键在于代入法来把复杂的式子简单化，通过代入后的式子来化简求得对应的值．
55．微专题探究学习：阅读探究学习过程，完成（1）小题中的填空、（2）小题的图形设计和（3）小题的求面积．
《面积与完全平方公式》
如图1，阴影部分是一个边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形和两个宽为b的长方形之后所剩余的部分．
（1）①图1中剪去的长方形的长为 a﹣b ，面积为 ab﹣b2 ．
②用两种方式表示阴影部分的面积为 （a﹣b）2 或 a2﹣2ab+b2 ，由此可以验证的公式为 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ．
（2）请设计一个新的图形验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）如图2，S1，S2分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，若S1+S2＝40，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）①根据线段的和与差及长方形的面积＝长×宽可得结论；
②方法一可根据长×宽可得阴影部分的面积；方法二根据面积差可得结论；
（2）通过面积构造几何图形；
（3）根据（2）中的公式，代入计算可解答．
【解答】解：（1）①图1中剪去的长方形的长为a﹣b，面积为b（a﹣b）＝ab﹣b2．
故答案为：a﹣b，ab﹣b2；
②方法一：阴影部分的面积为：（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2，
方法二：阴影部分的面积为：a2﹣ab﹣ab+b2＝a2﹣2ab+b2，
由此可以验证的公式为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2，a2﹣2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（2）如图3所示；
（3）∵S1+S2＝40，AB＝8，
∴a2+b2＝40，a+b＝8，
由（2）知：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴82＝40+2ab，
∴ab＝12，
∴图中阴影部分的面积＝2×ab＝ab＝12．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．
56．发现：若两个已知正整数之差为奇数，则它们的平方差为奇数？若两个已知正整数之差为偶数，则它们的平方差为偶数．
验证：如（2+3）2﹣22＝ 21 ，（3+4）2﹣32＝ 40 ．
探究：设“发现”中的两个已知正整数为n，n+m（两数之差为m），请论证“发现”中的结论的正确性．
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解决此题．
【解答】解：验证：（2+3）2﹣22＝21，（3+4）2﹣32＝40．
探究：（n+m）2﹣n2
＝（n+m+n）（n+m﹣n）
＝m（2n+m）．
当m为奇数时，2n为偶数，得2n+m为奇数，那么m（2n+m）为奇数；
当m为偶数时，2n为偶数，得2n+m为偶数，那么m（2n+m）为偶数．
【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键．
57．计算：
（1）（2x+5y）2；
（2）；
（3）（m+2n）（n﹣m）；
（4）（x﹣2y）（x+2y）﹣（x+2y）2；
（5）（3m﹣5n）2﹣（3m+5n）2；
（6）（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）．
【分析】（1）根据完全平方公式展开即可；
（2）先根据零指数幂和负指数幂的运算法则化简，再计算即可；
（3）根据多项式乘多项式的方法展开，再合并同类项即可；
（4）先根据平方差公式和完全平方公式展开，去括号，再合并同类项即可；
（5）将3m﹣5n和3m+5n看做整体，运用平方差公式计算，再化简即可；
（6）将（y﹣1）看着一个整体，利用平方差公式展开，再计算完全平方公式即可；
【解答】解：（1）（2x+5y）2
＝4x2+10xy+10xy+25y2；
＝4x2+20xy+25y2；
（2）
＝
＝；
（3）（m+2n）（n﹣m）
＝mn﹣m2+2n2﹣2mn
＝2n2﹣mn﹣m2；
（4）（x﹣2y）（x+2y）﹣（x+2y）2
＝x2﹣4y2﹣（x2+4xy+4y2）
＝x2﹣4y2﹣x2﹣4xy﹣4y2
＝﹣8y2﹣4xy；
（5）（3m﹣5n）2﹣（3m+5n）2
＝[（3m﹣5n）+（3m+5n）][（3m﹣5n）﹣（3m+5n）]
＝（3m﹣5n+3m+5n）（3m﹣5n﹣3m﹣5n）
＝6m•（﹣10n）
＝﹣60mn；
（6）（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）
＝[2x﹣（y﹣1）][2x+（y﹣1）]
＝4x2﹣（y﹣1）2
＝4x2﹣（y2﹣2y+1）
＝4x2﹣y2+2y﹣1．
【点评】本题考查整式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂、有理数的混合运算，属于基础题，熟练运用相应的运算法则是解题的关键．
58．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，图2： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ，图3： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系；
（3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：
已知a﹣b＝5，ab＝﹣4，求代数式①a2+b2；②a+b的值．
【分析】（1）根据图形面积直接得出即可；
（2）用两种方法表示阴影部分的面积可得结论；
（3）①根据完全平方公式变形可得结论；
②根据（2）中的公式代入可得结论．
【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）①∵a﹣b＝5，
∴（a﹣b）2＝25，即a2+b2﹣2ab＝25，
∴a2+b2＝25+2ab；
将ab＝﹣4代入，得a2+b2＝25+2×（﹣4）＝17，
②∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣4）＝9，
∴a+b＝3或﹣3．
【点评】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．
59．[阅读]“若x满足（10﹣x）（x﹣3）＝17，求（10﹣x）2+（x﹣3）2的值”．
设10﹣x＝a，x﹣3＝b，
则（10﹣x）（x﹣3）＝ab＝17，a+b＝（10﹣x）+（x﹣3）＝7，
（10﹣x）2+（x﹣3）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×17＝15．
（1）[理解]
①若x满足（50﹣x）（x﹣35）＝100，则（50﹣x）2+（x﹣35）2的值为 25 ；
②若x满足（x﹣1）（3x﹣7）＝，试求（7﹣3x）2+9（x﹣1）2的值；
（2）[应用]
如图，长方形ABCD中，AD＝2CD＝2x，AE＝44，CG＝30，长方形EFGD的面积是200，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形．延长MP至T，使PT＝PQ，延长MF至O，使FO＝FE，过点O、T作MO、MT的垂线，两垂线相交于点R，求四边形MORT的面积．（结果必须是一个具体的数值）
【分析】（1）由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可计算；
（2）由条件表示出正方形MORT的边长，由完全平方公式即可求解．
【解答】解：（1）①令a＝50﹣x，b＝x﹣35，
∵（50﹣x）（x﹣35）＝100，
∴ab＝100，a+b＝15，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝225，
∴a2+b2＝225﹣2ab＝25，
∴（50﹣x）2+（x﹣35）2，
＝a2+b2，
＝25，
故答案为：25．
②∵（x﹣1）（3x﹣7）＝，
∴3（x﹣1）（7﹣3x）＝﹣×3＝﹣，
令a＝3（x﹣1），b＝7﹣3x，
∴ab＝﹣，a+b＝4，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝16，
∴a2+b2＝16﹣2ab＝23，
∴（7﹣3x）2+9（x﹣1）2
＝a2+b2
＝23；
（2）∵ED＝AD﹣AE，DG＝DC﹣CG，
∴ED＝2x﹣44，DG＝x﹣30，
∴MT＝MO＝（2x﹣44）+2（x﹣30），
∵长方形EFGD的面积是200，
∴（2x﹣44）（x﹣30）＝200，
∴2（x﹣30）（2x﹣44）＝400，
令a＝2x﹣44，b＝2（x﹣30），
∴ab＝400，a﹣b＝16，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝256，
∴a2+b2＝256+2ab＝1056，
∴四边形MORT的面积＝MT2＝（a+b）2＝a2+b2+2ab＝1056+800＝1856．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
60．阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用．
我们知道，完全平方公式有：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；②a2+b2＝（a﹣b）2+2ab；
③；④．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：已知x+y＝3，x﹣y＝1，求x2+y2的值．
解：．
任务：（1）已知x+y＝5，x﹣y＝3，则xy＝ 4 ．
（2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）利用完全平方公式列等式，再利用等式的性质计算；
（2）利用完全平方公式列等式，再整体代入求值即可．
【解答】解：（1）∵x+y＝5，x﹣y＝3，
∴（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，
∴x2+y2+2xy＝25，x2+y2﹣2xy＝9，
∴两等式相减得：4xy＝16，
∴xy＝4；
故答案为：4；
（2）∵x+y＝7，x2+y2＝25，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+y2+2xy＝49，
∴25+2xy＝49，
∴2xy＝24，
∴（x﹣y）2
＝x2+y2﹣2xy
＝25﹣24
＝1．
账号：shulishijie
[x19y8z8]＝1988
[x2yz•x3y]＝521
[（x5）5y4z3÷x5y2z]＝密码
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