浙教版七年级下册期末复习第1章平行线好题精选60题（含解析）

这是一份浙教版七年级下册期末复习第1章平行线好题精选60题（含解析），共109页。试卷主要包含了下列说法中，正确的个数有等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，将直尺与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．30°
2．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
3．如图，AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E﹣∠F＝48°，则∠CDE的度数为（ ）
A．48°B．32°C．54°D．36°
4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是CD上方的一点（点E不在直线AB、CD、AC上）．设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：
①a+β；
②α﹣β；
③β﹣α；
④180°﹣α﹣β；
⑤360°﹣α﹣β．
∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①③④⑤
5．如图，把一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝116°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝148°．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝55°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．55B．65C．75D．80
7．如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，CD与AB平行．（ ）
A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒
9．山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．80°C．100°D．120°
10．下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若a∥b，b∥d，则a∥d；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）垂直于同一直线的两直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：
①EG⊥FG；
②∠P+∠PHB＝∠PGD；
③∠P＝2∠E；
④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
13．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
14．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
15．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（ ）
A．30°B．42°C．45°D．50°
二．填空题（共20小题）
16．如图，ABCD为一长方形纸带，AD∥CB，将长方形ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与G，H对应，若∠1＝4∠2，则∠AEF的度数为 ．
17．如图，把一张长方形的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则∠FGC＝ ．
18．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC、∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有 （写出正确结论序号）．
19．如图，将一条长方形纸条进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，则∠2的度数为 ．
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20．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°．
则下列结论：
①∠2+∠3＝40°；
②∠BOE＝70°；
③∠1＝∠2；
④∠EOC＝2∠3．
其中正确的结论有 ．（填序号）
21．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒10°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝ 秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
22．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100° 如所示，分别在∠BEO和∠CFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠M﹣∠N＝ °；如果∠EOF＝n°，，，连结MN，则∠M﹣∠N＝ （用m，n的代数式表示）
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23．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，当∠ACE＜135°，且点E在直线AC的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则∠ACE＝ ．
24．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．河的宽度是 ．
25．如图1所示，已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间距离相等，小研将此两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48．
（1）如图2，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度4，则此时甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度是 ；
（2）如图3，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0会对准乙尺的刻度m，如图3所示，则此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度是 .（用含m，n的式子表示）
26．如图，AB∥CD，CF平分∠ECD，AE⊥EF，∠EGA﹣∠AEC＝60°，则∠F+∠A＝ 度．
27．如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若∠1+∠2＝115°，则∠EMF的度数是 度．
28．如图，AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③∠3+∠4＝120°；④2∠3﹣∠2＝180°．其中正确的结论是 .（填写序号）
29．已知一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且一个角比另一个角2倍小30°，则这两个角的度数分别是 ．
30．如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为： ．
31．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止．此时射线PB也停止旋转，若射线QC先转60秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 秒时，PB′∥QC′．
32．两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺ABC不动，将三角尺DEC绕顶点C顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BCD所有可能符合的度数为 ．
33．如图1，将一条两边互相平行的纸条折叠．
（1）若图中α＝80°，则β＝ °．
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合（如图2），若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，则此时β的度数为 度．
34．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列三个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③2α+β＝180°．其中成立的是： ．
35．如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为 ．
三．解答题（共25小题）
36．如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）若∠A＝40°，则∠CBD＝ ；（直接写出答案）
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生改变？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当∠A＝2∠ABC，4∠BCM＝3∠BDC，求∠A的度数．
37．通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠DGF（ ），
∴∠1＝∠DGF（等量代换），
∴BD∥CE（ ），
∴∠3+∠ ＝180°（ ），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4+∠C＝180°（ ），
∴ ∥ （ ），
∴∠A＝∠F（ ）．
38．完成下列推理过程：
如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∴，（ ）
∵AB∥CD
∴∠1＝ ，∠ABC＝ （ ）
∵CB∥DE
∴∠BCD＝ （ ）
∴∠ABC＝∠EDF（ ）
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝ （ ）
∴BM∥DN （ ）
39．如图，已知直线CP∥OQ，点B与点A分别在射线CP和OQ上，且满足AB∥OC，∠BCO＝100°．点F在直线BC上且在点B左侧，满足∠FOB＝∠FBO＝α，∠COF的角平分线与直线CP相交于点E．
（1）如图1，求∠BOE的度数；
（2）如图2，若α＝45°，补全图形，并求∠BOE的度数；
（3）若左右平移线段AB，是否存在的可能？若存在，求出此时α的值；若不存在，请说明理由．
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40．如图1，BN∥CD，点A是直线BN上一点，P是直线AB与直线CD之间一点，连接AP，PC．
（1）求证：∠BAP+∠PCD＝∠APC；
（2）如图2，过点C作CM平分∠PCD，过点C作CE⊥CM交∠NAP的角平分线于点E，过点P作PF∥AE交CM于点F，探索∠CFP和∠APC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若2∠AEC﹣∠CPF＝240°，Q是直线CD上一点，请直接写出∠PFQ和∠FQD的数量关系．
41．（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作EF∥AB．请直接写出∠B，∠D，∠BED之间的数量关系： ；
（2）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数；
（3）方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝ 度．
42．【发现】如图1，直线AB，CD被直线EF所截，EM平分∠AEF，FM平分∠CFE．若∠AEM＝55°，∠CFM＝35°，试判断AB与CD平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线AB∥CD，点M在直线AB，CD之间，点E，F分别在直线AB，CD上，∠EMF＝90°，P是MF上一点，且EM平分∠AEP．若∠CFM＝60°，则∠AEP的度数为 ；
【延伸】若直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在直线AB，CD之间，且在直线EF的左侧，P是折线E﹣M﹣F上的一个动点，∠EMF＝90°保持不变，移动点P，使EM平分∠AEP或FM平分∠CFP．设∠CFP＝α，∠AEP＝β，请直接写出α与β之间的数量关系．
43．已知AB∥CD．
（1）如图（1）如果EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，请说明∠G＝∠H的理由；
（2）如图（2）如果∠AEG＝∠HFD，试探索∠G与∠H仍然相等吗？为什么？
（3）如图（3）如果∠EGH＝90°，请直接写出∠AEG，∠H与∠HFD之间的关系．
44．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由；
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为40°，现放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底，则MN与水平线的夹角∠MOC的度数＝ °．
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，∠DCF＝80°，射线AB绕A点以2度/秒顺时针转动，同时射线CD绕C点以3度/秒的速度逆时针转动，设时间为t，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
45．如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
（1）比较两条线路的长短：粗线① 细线②；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）如果这段路程长4.7千米，小丽坐出租车从体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，小丽身上有10元钱，够不够坐出租车从体育馆到少年宫呢？说明理由．
46．已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，
（1）问题提出：如图1，∠A＝120°，∠C＝130°．求∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题应用：如图3，∠EAH：∠HAB＝1：3，∠ECH＝20°，∠DCH＝60°，求的值．
47．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤45）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边BG∥HK时t的值．
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48．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°．判断AB，CD是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来：
【基础巩固】
（1）条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由．
【尝试探究】
（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，若∠2＝22°，求∠1的度数．
【拓展提高】
（3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，试说明∠1+2∠2＝90°．
49．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒6度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤30）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒4度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当边BG∥HK时t的值．
50．（1）探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH＝∠AGP+∠CHP；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠GPH＝α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．
51．汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ顺时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝30°，转动时间是t秒．
（1）当t＝ 秒时，灯A射线第一次平分∠BAM，此时灯A射线记为射线AT，当t＝ 秒时，灯A射线第一次与射线AT垂直；
（2）若两灯同时转动，t＝90秒时，两束光线所在直线的位置关系是 ；（填“平行”或“垂直”）
（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BP之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．
52．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ ；
（2）如图2，
①若灯B射线先转动15s，灯A射线才开始转动，灯A射线与PQ交于点M′，灯B射线与MN交于点P′，在灯A射线到达AN之前，设灯A转动t秒，则∠MAM′＝ ，∠PBP′＝ ；（用含t的式子表示）
②若灯B射线先转动15s，灯A射线才开始转动，灯A射线与PQ交于点M′，灯B射线与MN交于点P′，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒，当AM′∥BP'，求t的值．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
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53．【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ．
（2）【猜想验证】由（1），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3＝ 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．
（3）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝α°，镜面AB、BC的夹角∠B＝120°，已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数．（可用含有α的代数式表示）
54．如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．
（1）如图1，∠BAH＝40°，则：
①∠FDB＝ °；
②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝ °．
（2）如图2．点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数；
（3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，∠I＝ °．（用含n的式子表示）．
55．如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，若β＝40°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
56．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．
（1）如图①，求证：∠AEB＝∠DAE+∠CBE；
（2）如图②，若AE平分∠DAC，∠CAB＝∠CBA．
①请动动你聪明的头脑，你会发现：∠ABE+∠AEB＝ °；
②如图③，若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠F＝55°，求∠D的度数．
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57．已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，平分∠PEF和∠PFC的直线交于点H．
（1）如图1，点P在射线EB上．若∠EFD＝90°，∠EPF＝40°，求∠EHF的度数．
（2）如图2，点P在射线EA上．若∠EFD＝120°，求∠EPF与∠EHF的数量关系，并说明理由．
58．如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
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（1）如图1，若∠E＝100°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若BM，DM分别平分∠ABF与∠CDF，写出∠M与∠BED之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABF＝n∠ABM，∠CDF＝n∠CDM，设∠E＝m，直接写出用含m，n的代数式表示∠M＝ ．
59．如图①，直线l1∥l1，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
（1）如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的大小；
（2）猜想：如图①，若点P在线段CD上移动，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；
（3）探究：如图②，若点P不在线段CD上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由．
60．如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．
（1）请直接写出直线l1与l2的位置关系是 ；
（2）如图2，点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．
①若∠EFC＝40°，请求出∠FEA的度数；
②点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC，连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图所示，将直尺与含60°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．60°C．50°D．30°
【分析】根据平角的定义求出∠3，再依据平行线的性质，即可得到∠2．
【解答】解：如图，∵∠1＝70°，
∴∠3＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
由直尺可知：AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
2．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【分析】根据平移的性质可得DF＝AC、AD＝CF＝2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可．
【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移2个单位长度得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝2，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD
＝AB+BC+CF+AC+AD
＝△ABC的周长+AD+CF
＝8+2+2
＝12．
故选：B．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
3．如图，AB∥CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，2∠E﹣∠F＝48°，则∠CDE的度数为（ ）
A．48°B．32°C．54°D．36°
【分析】利用基本结论：∠E＝∠ABE+∠CDE，∠F＝∠CDF+∠ABF，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：设∠ABE＝∠EBF＝x，∠FDE＝∠FDC＝y，
∵AB∥CD，
∴易知∠E＝∠ABE+∠CDE＝x+2y，∠F＝∠CDF+∠ABF＝2x+y，
∵2∠E﹣∠F＝48°，
∴2（x+2y）﹣（2x+y）＝48°，
∴y＝16°，
∴∠CDE＝2y＝32°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握基本结论，学会构建方程组解决问题．
4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是CD上方的一点（点E不在直线AB、CD、AC上）．设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：
①a+β；
②α﹣β；
③β﹣α；
④180°﹣α﹣β；
⑤360°﹣α﹣β．
∠AEC的度数可能是（ ）
A．①②③④B．①②③⑤C．②③④⑤D．①③④⑤
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【解答】解：①如图1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β，
∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C＝β﹣α．
②如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β，
∴∠AE2C＝α+β．
当AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD时，
∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝×180°＝90°，即α+β＝90°，
又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2，
∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β．
所以，∠AE2C＝α+β或180°﹣α﹣β；
③如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β，
∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C＝α﹣β．
④如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°，
∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β．
⑤⑥当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α．
综上所述，∠AEC的度数可能是β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
5．如图，把一张对边互相平行的纸条沿EF折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝116°；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝148°．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据折叠的性质，平行线的性质即可求解．
【解答】解：根据题意，AC'∥BD'，∠EFB＝32°，
∴∠C'EF＝∠EFB＝32°，故结论①正确；
∵EF是折痕，
∴∠C'EF＝∠FEG＝32°，则∠C'EG＝32°+32°＝64°，
∵∠AEC+∠C'EG＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠C'EG＝180°﹣64°＝116°，故结论②正确；
∵AC'∥BD'，
∴∠BGE＝∠GEC'＝64°，故结论③正确；
∵∠BGE＝64°，∠BGE+∠BGC＝180°，
∴∠BGC＝180°﹣∠BGE＝180°﹣64°＝116°，
∵EC∥FD，
∴∠BFD＝∠BGC＝116°，故结论④错误；
综上所述，正确的有：①②③．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，理解折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
6．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝55°．当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．55B．65C．75D．80
【分析】先根据平行的公理得出AB∥CD，再根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCD＝60°，根据三角形内角和定理得出∠ACB＝65°，根据∠ACB＝∠MAC时AM与CB平行，得出∠MAC＝65°．
【解答】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°，
∵∠BAC＝55°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣55°＝65°，
∵要使AM与CB平行，则有∠ACB＝∠MAC，
∴∠MAC＝65°，故B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
7．如图，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，给出下列结论：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】因为AB//CD，所以∠BOC＝180°﹣α，所以∠ABO＝∠BOD＝α（两直线平行，内错角相等），因为OF⊥OE，得，所以∠POE＝90°﹣α，，即可解答．
【解答】解：∵AB//CD，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，
∴∠ABO＝∠BOD＝α，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴，
∴，
即OF平分∠BOD，
∵OP⊥CD，
∴∠POC＝90°，
∴，
∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，
所以④错误；
故答案为：C．
【点评】本题考查平行线的性质，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．
8．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝100°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，CD与AB平行．（ ）
A．4秒B．10秒C．40秒D．4或40秒
【分析】分情况讨论：①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】解：如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝100°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，
即120°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝4；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠DCF＝360°﹣6t°﹣60°＝300°﹣6t°，∠BAC＝100°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝100°﹣t°，
解得：t＝40，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∴∠DCF＝6t°﹣（180°﹣60°+180°）＝6t°﹣300°，∠BAC＝t°﹣100°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即（6t）°﹣300°＝t°﹣100°，
解得：t＝40，
此时t＞50，
而40＜50，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，CD与AB平行．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
9．山上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM∥CN），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若∠MAB＝60°，∠NCB＝40°，则∠ABC＝（ ）
A．70°B．80°C．100°D．120°
【分析】如图所示，过点B作BD∥AM，则AM∥CN∥BD，由平行线的性质进行求解即可．
【解答】解：如图所示，过点B作BD∥AM，
∵AM∥CN，
∴AM∥CN∥BD，
∴∠ABD＝∠MAB＝60°，∠CBD＝∠NCB＝40°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝100°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
10．下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）若a∥b，b∥d，则a∥d；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（3）两条直线不相交就平行；（4）垂直于同一直线的两直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行公理，平行线的判定，平面内两直线的位置关系逐项分析判断即可求解．
【解答】解：（1）若a∥b，b∥d，则a∥d，故（1）正确；
（2）同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）错误；
（3）同一平面内，两条直线不相交就平行，故（3）错误；
（4）垂直于同一直线的两直线平行，错误，必须在同一平面内，故（4）错误．
故选：A．
【点评】本题考查了平行公理，平行线的判定，平面内两直线的位置关系，掌握以上知识是解题的关键．
11．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长FG，交CH于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答．
【解答】解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选B．
【点评】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．
12．如图，AB∥CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点F，下列结论：
①EG⊥FG；
②∠P+∠PHB＝∠PGD；
③∠P＝2∠E；
④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，则∠F＝60°．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由角平分线的定义及平行线的性质可求解∠EGF＝90°，即可判定①；设PG与AB交于M，GE于AB交于N，由平行线的性质可得∠PMB＝∠PGD，结合三角形外角的性质可性质②；由角平分线的定义可得∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，结合平行线的性质可得∠PMB＝2∠ENB，再利用三角形外角的性质可证明③；由三角形外角的性质可得∠P＝∠F，根据直角三角形的性质及③的结论可求解∠F的度数，即可判定④．
【解答】解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，
∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，
∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，
即EG⊥FG，故①正确；
设PG与AB交于M，GE于AB交于N，
∵AB∥CD，
∴∠PMB＝∠PGD，
∵∠PMB＝∠P+∠PHM，
∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正确；
∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，
∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，
∵AB∥CD，
∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，
∴∠PMB＝2∠ENB，
∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，
∴∠P＝2∠E，故③正确；
∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，
∠AHP﹣∠PGC＝∠F，
∴∠P＝∠F，
∵∠FGE＝90°，
∴∠E+∠F＝90°，
∴∠E+∠P＝90°，
∵∠P＝2∠E，
∴3∠E＝90，
解得∠E＝30°，
∴∠F＝∠P＝60°，故④正确．
综上，正确答案有4个，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
13．如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【分析】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数．
【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
14．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．
【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．
15．如图，E是BC延长线上的一点，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分别平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，则∠P的度数为（ ）
A．30°B．42°C．45°D．50°
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质得到AP⊥BC，进而得到∠PAD＝90°；设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，用x的代数式表示出∠PAC的度数，设∠BDP＝∠CDP＝y，在等腰三角形ADC中用x，y的代数式表示出∠DAC，利用∠PAD＝90°列出等式，求得x+y的值，则∠ADP＝45°，在Rt△APD中，结论可求．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∴AB＝AD．
同理：AC＝AD．
∴AB＝AC．
∵AP平分∠BAC，
∴AP⊥BC．
∵AD∥BC，
∴AP⊥AD．
∴∠PAD＝90°．
设∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，
∴∠ABC＝2x．
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝2x．
∴∠PAC＝90°﹣2x．
∵DP平分∠BDC，
∴设∠BDP＝∠CDP＝y，
∴∠BDC＝2y．
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y．
∵AC＝DA，
∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y．
∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）．
∵∠PAD＝90°，
∴∠PAC+∠DAC＝90°．
∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°．
整理得：x+y＝45°，
∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y，
∴∠ADP＝45°．
∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用等腰三角形的性质得到∠PAD＝90°是解题的关键．
二．填空题（共20小题）
16．如图，ABCD为一长方形纸带，AD∥CB，将长方形ABCD沿EF折叠，C，D两点分别与G，H对应，若∠1＝4∠2，则∠AEF的度数为 100° ．
【分析】由题意∠1＝4∠2，设∠2＝x，易证∠DEF＝∠1＝∠FEH＝4x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FEH，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠1，
∵∠1＝4∠2，
∴设∠2＝x，则∠DEF＝∠1＝∠FEH＝4x，
∵∠2+∠DEF+∠HEF＝180°，
∴9x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠AEF＝∠2+∠HEF＝x+4x＝5x＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，把一张长方形的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝34°，则∠FGC＝ 68° ．
【分析】由折叠EF可得∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，根据直线AC'∥BD'得∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，最后由对顶角的性质求得∠FGC＝68°．
【解答】解：如图所示：
∵EF是折痕，
∴∠C'EC＝∠1+∠2，且∠C'EC＝2∠1，
∵AC'∥BD'，
∴∠3＝∠C'EC，∠1＝∠EFB，
又∵∠EFB＝34°，
∴∠1＝34°，
∴∠3＝68°，
又∵∠FGC＝∠3，
∴∠FGC＝68°．
故答案为：68°．
【点评】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，解题关键是合理利用平行线的性质以及对顶角的性质．
18．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC、∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有 ①②③ （写出正确结论序号）．
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，
∴②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°﹣（180°+∠ABC）
＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣∠ABD，
∴③正确；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，
∴④错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，掌握三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定与性质，三角形内角和定理的应用是解题的关键．
19．如图，将一条长方形纸条进行两次折叠，折痕分别为AB，CD．若CD∥BE，∠1＝25°，则∠2的度数为 50° ．
​
【分析】延长GA到F，由折叠的性质、平角的定义先求出∠CAF、∠GAC，再由平行线的性质求出∠ACD、∠2．
【解答】解：延长GA到F．由题意知，∠1是由∠BAF折叠而成，
∴∠BAF＝∠1＝25°．
∴∠CAF＝50°．
∴∠GAC＝130°．
∵EB∥AF，CD∥EB，
∴GF∥CD．
∴∠ACD＝∠GAC＝130°．
∵AC∥BD，
∴∠ACD+∠2＝180°．
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了平行线，掌握平行线的性质和判定、邻补角的定义及折叠的性质是解决本题的关键．
20．如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°．
则下列结论：
①∠2+∠3＝40°；
②∠BOE＝70°；
③∠1＝∠2；
④∠EOC＝2∠3．
其中正确的结论有 ①②③ ．（填序号）
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠BOD＝40°，
∵∠BOD＝∠2+∠3，
∴∠2+∠3＝40°，故①正确；
∵AB∥CD，∠ABO＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝×140°＝70°；故②正确；
∵OF⊥OE，
∴∠1+∠POF＝90°，
∵OP⊥OD，
∴∠POD＝90°，
∴∠3+∠POF＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BOE＝70°，
∴∠2＝90°﹣70°＝20°，
∵AB∥CD，∠ABO＝40°，
∴∠BOD＝∠ABO＝40°，
∴∠3＝∠BOD﹣∠BOF＝20°，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝20°，故③正确；
∵∠1＝∠3＝20°，∠POC＝90°，
∴∠COE＝70°，
∴∠EOC≠2∠3，故④错误；
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，合理应用平行线的性质是解决本题关键．
21．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒10°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝ 4.5或3或7.5 秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
【分析】分三种情况，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：分三种情况：
①当A'C∥AB时，如图：
∴∠A'CA＝∠BAC＝45°，
∴10t＝45，
∴t＝4.5．
②当A'D'∥AC时，
∴∠A'CA＝∠A'＝30°，
∴10t＝30，
∴t＝3．
③当A'D'∥AB时，过C作CD∥AB，
则CD∥AB∥A'D'，
∴∠A＝∠ACD，∠A'＝∠A'CD，
∴∠A'CA＝∠ACD+∠A'CD＝∠A+∠A'＝75°，
∴10t＝75，
∴t＝7.5．
综上所述，当旋转时间t＝4.5或3或7.5秒时，三角板A'CD'有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：4.5或3或7.5．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22．如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，∠EOF＝100° 如所示，分别在∠BEO和∠CFC的平分线上取点M，N，连结MN，则∠M﹣∠N＝ 40 °；如果∠EOF＝n°，，，连结MN，则∠M﹣∠N＝ （180﹣n）° （用m，n的代数式表示）
​
【分析】过点O作OG∥AB，易得AB∥OG∥CD，过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，由∠BEO+∠DFO＝260°可求x﹣y＝40°，进而求解．
【解答】解：过点O作OG∥AB，过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，如图：
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝100°，
∴∠BEO+∠DFO＝260°，
∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设∠BEM＝∠OEM＝x，∠CFN＝∠OFN＝y，
∵∠BEO+∠DFO＝260°，
∴∠BEO+∠DFO＝2x+180°﹣2y＝260°，
∴x﹣y＝40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝x，∠HNF＝∠CFN＝y，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝x+∠KMN﹣∠HNM﹣y
＝x﹣y
＝40°，
∴∠EMN﹣∠FNM的值为40°．
∵AB∥CD，OG∥AB，
∴AB∥OG∥CD，
∴∠BEO+∠EOG＝180°，∠DFO+∠FOG＝180°，
∴∠BEO+∠EOG+∠DFO+∠FOG＝360°，
即∠BEO+∠EOF+∠DFO＝360°，
∵∠EOF＝n°，
∴∠BEO+∠DFO＝（360﹣n）°，
∵，，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴∠EMK＝∠BEM＝∠BEO，∠HNF＝∠CFN＝∠OFC，∠KMN＝∠HNM，
∴∠EMN﹣∠FNM＝∠EMK+∠KMN﹣（∠HNM+∠HNF）
＝∠EBO+∠KMN﹣∠HNM﹣∠OFC
＝∠BEO﹣∠OFC
＝（∠BEO﹣∠OFC）
＝（180°﹣∠EOG﹣∠FOG）
＝（180﹣n）°；
∴∠EMN﹣∠FNM的值为（180﹣n）°．
故答案为：40，（180﹣n）°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
23．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，当∠ACE＜135°，且点E在直线AC的上方时，若这两块三角尺有两条边平行，则∠ACE＝ 30°或45°或120° ．
【分析】分BE∥AC，BC∥AD，CE∥AD讨论结合平行线性质求解即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
∵∠ACE＜135°，
∴BE∥AC或BC∥AD或CE∥AD，
当BE∥AC时，
∵BE∥AC，∠E＝∠B＝45°，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
当BC∥AD时，
∵BC∥AD，∠D＝30°，
∴∠D＝∠DCB＝30°，
∴∠DCE＝90°﹣30°＝60°∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
当CE∥AD时，
∵CE∥AD，∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+30°＝120°，
故答案为：30°或45°或120°．
【点评】本题考查平行线的判定与性质，掌握分类讨论思想是解题的关键．
24．如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A、B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60m的C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°．河的宽度是 （30+30）米 ．
【分析】分别过点A、AD与BC交点H，作直线CD的垂线AE、HF，垂足分别为E、F．构造特殊三角形，再利用平行线性质列比例式，求出河宽AE的长．
【解答】解：分别过点A、AD与BC交点H，作直线CD的垂线AE、HF，垂足分别为E、F．
∵∠BCD＝120°，∠ADC＝30°，CD＝60m，
∴∠CHD＝30°，
∴CH＝CD＝60m，
∴Rt△HFC中，∠HCF＝60°，∠FHC＝30°，
∴FH＝HC＝30m，FC＝HC＝30m，
设河宽AE＝x米，
∵∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝EC＝x，
∴＝，即＝，
解得：x＝30+30，
∴河的宽度是（30+30）米．
故答案为：（30+30）米．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是通过构造特殊三角形，利用平行线的性质列比例式．
25．如图1所示，已知甲、乙为两把不同刻度的直尺，且同一把直尺上的刻度之间距离相等，小研将此两把直尺紧贴，并将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48．
（1）如图2，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0对准乙尺的刻度4，则此时甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度是 32 ；
（2）如图3，若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴，使得甲尺的刻度0会对准乙尺的刻度m，如图3所示，则此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度是 n+m .（用含m，n的式子表示）
【分析】由将两直尺上的刻度0彼此对准后，发现甲尺的刻度36会对准乙尺的刻度48，得出甲尺相邻两刻度之间的距离：乙尺相邻两刻度之间的距离＝48：36＝4：3，如果甲尺的刻度0对准乙尺的刻度m，设此时甲尺的刻度n会对准乙尺刻度x，根据甲尺的刻度n与刻度0之间的距离＝乙尺刻度x与刻度m之间的距离列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度a，
根据题意得
36（a﹣4）＝21×48，
解得a＝32，
答：此时甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度是32．
故答案为：32；
（2）如果甲尺的刻度0对准乙尺的刻度m，设此时甲尺的刻度n会对准乙尺刻度x，根据题意得：
36（x﹣m）＝n×48，
解得x＝n+m．
答：此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度n+m．
故答案为：n+m．
【点评】本题考查了平移的性质和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
26．如图，AB∥CD，CF平分∠ECD，AE⊥EF，∠EGA﹣∠AEC＝60°，则∠F+∠A＝ 105 度．
【分析】过F作FN∥AB，由平行线的性质，垂直的定义，可以推出∠EGA+∠MEG＝150°，求出∠EMG的度数，由角平分线，平行线的性质求出∠NFC的度数，而∠A+∠AGE＝90°，即可求出∠A+∠EFC的度数．
【解答】解：过F作FN∥AB，AG交CE于M，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，∠A+∠AGE＝90°
∴∠AEC＝90°﹣∠MEG，
∵∠EGA﹣∠AEC＝60°，
∴∠EGA﹣（90°﹣∠MEG）＝60°，
∴∠EGA+∠MEG＝150°，
∴∠EMG＝180°﹣（∠EGA+∠MEG）＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠MCD＝∠EMG＝30°，
∵CF平分∠ECD，
∴∠FCD＝∠ECD＝15°，
∵NF∥CD，
∴∠NFC＝∠FCD＝15°，
∵AB∥FN，
∴∠NFE＝∠AGE，
∵EFC+∠A＝∠NFC+∠EFN+∠A，
∴∠EFC+∠A＝15°+∠AGE+∠A＝15°+90°＝105°，
故答案为：105．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
27．如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若∠1+∠2＝115°，则∠EMF的度数是 50 度．
【分析】由平行线的性质，折叠的性质，推出∠MED＝2∠1，∠MFA＝2∠2，由三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DA∥CB，
∴∠1＝∠DEG，
由题意得∠DEG＝∠MEG，
∴∠MED＝2∠1，
同理：∠MFA＝2∠2，
∴∠MED+∠MFA＝2（∠1+∠2）＝2×115°＝230°，
∵∠MED＝∠EMF+∠EFM，∠MFA＝∠EMF+∠FEM，
∴∠MED+∠MFA＝∠EMF+∠EFM+FEM+∠EMF＝180°+∠EMF，
∴∠EMF＝230°﹣180°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是掌握平行线的性质，折叠的性质．
28．如图，AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③∠3+∠4＝120°；④2∠3﹣∠2＝180°．其中正确的结论是 ①②④ .（填写序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故④正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
∴∠1＝45°+∠4，
∴∠3+∠4＝135°，故③错误．
故正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
29．已知一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且一个角比另一个角2倍小30°，则这两个角的度数分别是 30°，30°或70°，110° ．
【分析】本题分两种情况考虑：两个角相等或两个角互补，即可解答．
【解答】解：如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是：∠1＝∠2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠BGE，
∵BC∥DE，
∴∠2＝∠BGE，
∴∠1＝∠2．
设∠1＝x°，
列方程得x＝2x﹣30，
解得：x＝30，
∴∠1＝∠2＝30°．
如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：∠1+∠2＝180°．
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠BGE，
∵BC∥DE，
∴∠2+∠BGE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
设∠1＝y°，
列方程得y+2y﹣30＝180，
解得：y＝70，
∴∠1＝70°，∠2＝110°．
故答案为：30°，30°或70°，110°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，应用的知识点为：两直线平行内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
30．如图，AB∥CD，，，DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，则∠DFB，∠DQB满足的数量关系为： ．
【分析】根据拐角∠F和∠Q的特性，作FT∥CD，QK∥AB，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角∠DFT，∠TFB，∠DQK，∠KQB对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出∠DFB，∠DBQ两者的数量关系．
【解答】解：过点F作FT∥CD，过点Q作QK∥AB
∵AB∥CD，
∴CD∥FT∥QK∥AB，
∴∠DFT＝∠CDF，∠TFB＝∠ABF，∠DQK＝∠GDQ，∠KQB＝∠QBH，
∴∠DFB＝∠DFT+∠TFB＝∠CDF+∠ABF∠DQB＝∠DQK+∠KQB＝∠GDQ+∠QBH，
∵，
∴，
∴，
∵DQ，BQ分别平分∠GDE和∠HBE，
∴，
∵∠GDE+∠CDE＝180°，∠HBE+∠ABE＝180°，
∴，
∴∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键．
31．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒5°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止．此时射线PB也停止旋转，若射线QC先转60秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为 15或50或105或110 秒时，PB′∥QC′．
【分析】依据两直线平行，同位角相等，内错角相等，列出关于时间t的关系式可求．
【解答】解：当PB'∥QC'，则∠PB'Q＝∠CQC'，如图：
∵AB∥CD，
∴∠PB'Q＝∠BPB'．
∴∠CQC'＝∠BPB'．
设光线PB旋转时间为t秒，
∴60×1+t＝5t．
解得：t＝15．
当PB'∥QC'，则∠CQC'＝∠PB'C，如图：
∵AB∥CD，
∴∠PB'Q＝∠BPB'．
∴∠BPB'＝∠CQC'．
设光线PB旋转时间为t秒，此时光线PB由PA处返回，
∴∠APB'＝5t°﹣180°．
∴∠BPB'＝180°﹣∠APB'＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°．
∴360﹣5t＝60×1+t．
∴t＝50；
当光线PB再次往返时，得：
5t﹣360＝60+t，
解得：t＝105；
当光线PB第二次由PA处返回时，
720﹣5t＝60+t，
解得：t＝110，
综上，光线PB旋转的时间为15或50或105或110秒．
故答案为：15或50或105或110秒．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确计算相应的旋转角度是解题的关键．
32．两块含30°角的三角尺叠放如图所示，现固定三角尺ABC不动，将三角尺DEC绕顶点C顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，则∠BCD所有可能符合的度数为 30°或60°或90°或120° ．
【分析】有4种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：如图1中，当DE∥AB时，∠BCD＝30°
如图2中，当AB∥CE时，∠BCD＝60°．
如图3中，当DE∥BC时，∠BCD＝90°．
如图4中，当AB∥CD时，∠BCD＝120°
综上所述，满足条件的∠BCD的值为30°或60°和90°或120°．
故答案为：30°或60°和90°或120°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．如图1，将一条两边互相平行的纸条折叠．
（1）若图中α＝80°，则β＝ 50 °．
（2）在图1的基础上继续折叠，使得图1中的CD边与CB边重合（如图2），若继续沿CB边折叠，CE边恰好平分∠ACB，则此时β的度数为 45 度．
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可知∠OAD＝α＝70°，再利用折叠的性质可知β＝55°；
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，从而可知∠ACB＝90°，再由（1）的思路可得β的值．
【解答】解：（1）根据上下边互相平行可知，α＝∠OAD，
∵α＝80°，
∴∠OAD＝80°．
又∠OAD+2β＝180°，
∴β＝50°．
故答案为：50．
（2）根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等，
根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的∠ACE都相等，而这四个角的和为180°，故每个角为45°，
∴∠ACB＝90°，即α＝90°，
由（1）中可得，β＝（180°﹣90°）＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查学生对平行线性质和折叠问题的掌握情况，根据实际情况对问题进行解答．学生可以自主动手操作，通过实际操作可以较容易的对问题进行解答．
34．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射线MD上一动点（不与M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于点H，设∠MEH＝α，∠EGF＝β，现有下列三个式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③2α+β＝180°．其中成立的是： ①③ ．
【分析】根据平行线的性质和三角形的内角和求解．
【解答】解：当点G在点F右侧时，如图示：
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGF＝β．
∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），
∴2α+β＝180°，
故③是正确的；
当点G在M和F之间时，如图：
∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，
∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β．
∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，
∴2α＝β，
故①是正确的．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．
35．如图，直线GH分别与直线AB，CD相交于点G，H，且AB∥CD．点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，射线GH是∠AGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠BGM，∠M＝∠N+∠HGN，则∠MHG的度数为 45° ．
【分析】过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，可得∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，由∠M＝∠N+∠HGN，可得∠HGN＝β﹣α，从而∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝2β+α，又∠BGH+∠GHD＝180°，即知α+β＝45°，故∠MHG＝α+β＝45°．
【解答】解：过M作MF∥AB，过H作HE∥GN，如图：
设∠BGM＝2α，∠MHD＝β，则∠N＝∠BGM＝2α，
∴∠AGM＝180°﹣2α，
∵GH平分∠AGM，
∴∠MGH＝∠AGM＝90°﹣α，
∴∠BGH＝∠BGM+∠MGH＝90°+α，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠M＝∠GMF+∠FMH＝∠BGM+∠MHD＝2α+β，
∵∠M＝∠N+∠HGN，
∴2α+β＝×2α+∠HGN，
∴∠HGN＝β﹣α，
∵HE∥CN，
∴∠GHE＝∠HGN＝β﹣α，∠EHM＝∠N＝2α，
∴∠GHD＝∠GHE+∠EHM+∠MHD＝（β﹣α）+2α+β＝2β+α，
∵AB∥CD，
∴∠BGH+∠GHD＝180°，
∴（90°+α）+（2β+α）＝180°，
∴α+β＝45°，
∴∠MHG＝∠GHE+∠EHM＝（β﹣α）+2α＝α+β＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线，角的和差等知识，解题的关键是掌握平行线的性质．
三．解答题（共25小题）
36．如图，已知AM∥BN，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）若∠A＝40°，则∠CBD＝ 70° ；（直接写出答案）
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生改变？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；
（3）当∠A＝2∠ABC，4∠BCM＝3∠BDC，求∠A的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ABN＝140°，再根据角平分线的性质得出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再根据角平分线的性质得出∠APB＝2∠ADB即可；
（3）设∠A＝2∠ABC＝2x，利用平行线的性质得出∠BCM＝3x，∠BDC＝90﹣2x，根据题意列出方程即可．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABN＝140°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，
，
故答案为：70°；
（2）不变化，∠APB＝2∠ADB，
理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴2∠DBN＝∠NBP，
∴∠APB＝2∠ADB；
（3）设∠A＝2∠ABC＝2x°，
∵AM∥BN，
∴∠ABH＝∠A＝2x°，∠BCM＝∠CBH＝3x°，∠A+∠ABN＝180°，∠ADB＝∠DBN
∴∠ABN＝180°﹣2x°，
∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴，
∵4∠BCM＝3∠BDC，
∴4×3x＝3（90﹣2x），
解得，x＝15，
∠A＝30°．
【点评】本题考查了平行线的性质与角平分线，熟练运用平行线的性质得出角的关系，求出角的度数或列出方程是解题关键．
37．通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证：∠A＝∠F．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠DGF（ 对顶角相等 ），
∴∠1＝∠DGF（等量代换），
∴BD∥CE（ 同位角相等，两直线平行 ），
∴∠3+∠ C ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4+∠C＝180°（ 等量代换 ），
∴ AC ∥ DF （ 同旁内角互补，两直线平行 ），
∴∠A＝∠F（ 两直线平行，内错角相等 ）．
【分析】先证明BD∥CE，得出同旁内角互补∠3+∠C＝180°，再由已知得出∠4+∠C＝180°，证出 AC∥DF，即可得出结论．
【解答】解：∵∠1＝∠2（已知），
∠2＝∠DGF （对顶角相等），
∴∠1＝∠DGF（ 等量代换 ），
∴BD∥CE （同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠C＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠3＝∠4（已知），
∴∠4+∠C＝180°，
∴AC∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠F （两直线平行，内错角相等）；
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别．
38．完成下列推理过程：
如图，M，F两点在直线CD上，AB∥CD，CB∥DE，BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，求证：BM∥DN．
证明：∵BM、DN分别是∠ABC、∠EDF的平分线，
∴，（ 角平分线的定义 ）
∵AB∥CD
∴∠1＝ ∠2 ，∠ABC＝ ∠BCD （ 两直线平行，内错角相等 ）
∵CB∥DE
∴∠BCD＝ ∠EDF （ 两直线平行，同位角相等 ）
∴∠ABC＝∠EDF（ 等量代换 ）
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝ ∠3 （ 等量代换 ）
∴BM∥DN （ 同位角相等，两直线平行 ）
【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质和判定解决问题．
【解答】证明：∵BM、DN 分别是∠ABC、∠EDF 的平分线．
∴∠1＝∠ABC，∠3＝（角平分线的定义），
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2，∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵CB∥DE（已知），
∴∠BCD＝∠EDF（两直线平行，同位角相等），
∴∠ABC＝∠EDF（等量代换），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BM∥DN（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；∠2；∠BCD；两直线平行，内错角相等；∠EDF；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠3；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
39．如图，已知直线CP∥OQ，点B与点A分别在射线CP和OQ上，且满足AB∥OC，∠BCO＝100°．点F在直线BC上且在点B左侧，满足∠FOB＝∠FBO＝α，∠COF的角平分线与直线CP相交于点E．
（1）如图1，求∠BOE的度数；
（2）如图2，若α＝45°，补全图形，并求∠BOE的度数；
（3）若左右平移线段AB，是否存在的可能？若存在，求出此时α的值；若不存在，请说明理由．
​​
【分析】（1）根据∠FOB＝∠FBO，CP∥OQ，可得到∠FBO＝∠BOA，然后可得∠FOB＝∠BOA，OE平分∠COF，则可得到∠COE＝∠FOE，从而通过双角平分线得到∠EOB＝∠COA，从而得到结果；
（2）根据题意可得∠BOF＝45°，∠COB＝35°，因为∠BOF＞∠COB，故F点在C点左侧，然后根据条件求出∠BOF的度数，根据角平分线，求出∠EOC的度数，则可得到∠BOE的度数；
（3）根据前两个问，可以知道，有两种情况，一个是F在C的右侧，一种是F在C的左侧，根据两种情况画图，通过已知条件，导出∠OEC和∠OBA均用α表示的式子，然后通过求出α的值．
【解答】解：（1）∵CP∥OQ，
∴∠FBO＝∠BOA，
∵∠FOB＝∠FBO，
∴∠FOB＝∠BOA＝∠FOA，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠FOE＝∠COF，
∴∠BOE＝∠BOF+∠EOF＝∠FOA+∠COF＝∠COA，
∵CP∥OQ，∠BCO＝100°，
∴∠COA＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BOE＝×80°＝40°；
（2）∵α＝45°，故∠BOF＝45°，∠COB＝35°，
∴∠BOF＞∠COB，故F点在C点左侧，如图，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠FOE＝∠COF，
∵∠BOF＝45°，∠COB＝35°，
∴∠COF＝∠BOF﹣∠BOC＝10°，
∴∠COE＝∠FOE＝5°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝35°+5°＝40°；
（3）
如图1，当F在BC之间时，
∵OC∥AB，
∵∠OCB+∠CBA＝180°，
∴∠CBA＝80°，
∵∠FBO＝∠FOB＝α，
∴∠OBA＝80°﹣α，
∵∠EOB＝40°，
∴∠OEC＝∠EOB+∠EBO＝40°+α，
∵，
∴40°+α＝（80°﹣α），
∴a＝32°，
当F点在C点左侧，如备用图，
同上，∠OBA＝80°﹣α，
∵∠BOF＝∠OBF＝α，∠OCB＝100°，
∴∠BOC＝180°﹣100°﹣α＝80°﹣α，
∴∠COF＝α﹣（80°﹣α）＝2α﹣80°，
∴∠COE＝∠EOF＝α﹣40°，
∴∠BOE＝∠BOC+∠COE＝80°﹣α+α﹣40°＝40°，
∴∠OEC＝180°﹣∠BOE﹣∠OBE＝180°﹣40°﹣α＝140°﹣α，
∵，
∴140°﹣α＝（80°﹣α），
∴α＝﹣40°（舍去）．
【点评】本题考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的性质，本题运用了双角平分线模型，通过倒角，得到对应角的关系，从而得到要求的解．
40．如图1，BN∥CD，点A是直线BN上一点，P是直线AB与直线CD之间一点，连接AP，PC．
（1）求证：∠BAP+∠PCD＝∠APC；
（2）如图2，过点C作CM平分∠PCD，过点C作CE⊥CM交∠NAP的角平分线于点E，过点P作PF∥AE交CM于点F，探索∠CFP和∠APC的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若2∠AEC﹣∠CPF＝240°，Q是直线CD上一点，请直接写出∠PFQ和∠FQD的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出∠BAP＝∠APE，∠EPC＝∠PCD，进而得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，可得出∠EAP+∠APF＝180°，由角平分线的定义得∠EAP＝∠NAP，利用三角形的内角和定理和（1）的结论即可得出答案；
（3）根据四边形的内角和以及垂直的定义得∠AEC+∠ECP+∠APC+∠EAP＝360°，利用（1），（2）的结论和2∠AEC﹣∠CPF＝240°，三角形外角的性质即可求解．
【解答】（1）证明：过P作PE∥AB，如图：
∵BN∥CD，
∴PE∥BN∥CD，
∴∠BAP＝∠APE，∠EPC＝∠PCD，
∴∠APE+∠EPC＝∠BAP+∠PCD，
∴∠BAP+∠C＝∠APC；
（2）解：∠CFP＝∠APC+90°．
理由：∵PF∥AE，
∴∠EAP+∠APF＝180°，
∵AE平分∠NAP，
∴∠EAP＝∠NAP＝（180°﹣∠BAP），
∵∠APF＝∠APC+∠FPC，
∴∠APC+∠FPC+（180°﹣∠BAP）＝180°，
∵CM平分∠PCD，
∴∠PCM＝∠PCD，
∵∠FPC+∠PCF+∠CFP＝180°，
∴∠PCD+∠CPF+∠CFP＝180°，
∴∠PCD+∠CPF+∠CFP＝∠APC+∠FPC+（180°﹣∠BAP）
即∠CFP＝∠APC+90°﹣（∠BAP+∠PCD），
由（1）得，∠BAP+∠PCD＝∠APC，
∴∠CFP＝∠APC+90°﹣∠APC＝90°+∠APC；
（3）解：∵∠AEC+∠ECP+∠APC+∠EAP＝360°，∠EAP＝（180°﹣∠BAP），
∵CE⊥CM，
∴∠ECP＝90°﹣∠PCM＝90°﹣∠PCD，
∴∠AEC+90°﹣∠PCD+∠APC+（180°﹣∠BAP）＝360°，
即∠AEC+∠APC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣∠APC，
∵2∠AEC﹣∠CPF＝240°，
∴2（180°﹣∠APC）﹣∠CPF＝240°，
∴∠APC+∠CPF＝120°，即∠APF＝120°，
∵∠EAP+∠APF＝180°，∠EAP＝（180°﹣∠BAP），
∴∠EAP＝60°，∠BAP＝60°，
①Q在PF右侧时，
∵∠FQD＝∠PCD+∠CFQ，
∴∠CFQ＝∠FQD﹣∠PCD，
∵∠PFQ＝360°﹣∠CFP﹣∠CFQ，
∴∠PFQ＝360°﹣∠CFP﹣（∠FQD﹣∠PCD），
∵CFP＝90°+∠APC，
∴∠PFQ＝360°﹣（90°+∠APC）﹣（∠FQD﹣∠PCD），
∴∠PFQ+∠FQD＝270°﹣∠APC+∠PCD，
∵∠APC＝∠PCD+∠BAP，
∴∠PFQ+∠FQD＝270°﹣∠BAP﹣∠PCD+∠PCD，
∵∠BAP＝60°，
∴∠PFQ+∠FQD＝270°﹣∠BAP＝270°﹣30°＝240°；
②Q在PF左侧，如图，
∵∠FQD＝∠PCD+∠CFQ，
∴∠CFQ＝∠FQD﹣∠PCD，
∵∠PFQ＝∠CFP+∠CFQ＝∠CFP+∠FQD﹣∠PCD，
∵CFP＝90°+∠APC，
∴∠PFQ＝90°+∠APC+∠FQD﹣∠PCD，
∵∠APC＝∠PCD+∠BAP，
∴∠PFQ＝90°+∠PCD+∠BAP+∠FQD﹣∠PCD，
∵∠BAP＝60°，
∴∠PFQ＝90°+30°+∠FQD，
∴∠PFQ﹣∠FQD＝120°．
∴∠PFQ和∠FQD的数量关系是∠PFQ+∠FQD＝240°或∠PFQ﹣∠FQD＝120°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握三角形外角性质的运用，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
41．（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作EF∥AB．请直接写出∠B，∠D，∠BED之间的数量关系： ∠BED＝∠B+∠D ；
（2）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数；
（3）方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝ 25 度．
【分析】（1）利用猪脚模型，进行计算即可解答；
（2）过点G作GH∥AB，利用猪脚模型可得：∠BEG＝∠B+∠EGH，∠GFD＝∠D+∠FGH，从而可得∠BEG+∠GFD＝∠B+∠D+∠EGF，然后进行计算即可解答；
（3）设AB与EF相交于点M，先利用三角形内角和定理可得∠BMF＝35°，从而利用对顶角相等可得∠AME＝∠BMF＝35°，然后利用猪脚模型可得：∠E＝∠AME+∠D，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵EF∥AB，
∴∠B＝∠1，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠D，
∵∠BED＝∠1+∠2，
∴∠BED＝∠B+∠D，
故答案为：∠BED＝∠B+∠D；
（2）过点G作GH∥AB，
由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGH，
∵AB∥CD，
∴CH∥CD，
由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGH，
∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，
∴∠BEG+∠GFD＝∠B+∠EGH+∠D+∠FGH
＝∠B+∠D+∠EGF
＝23°+35°+25°
＝83°，
∴∠BEG+∠GFD的度数为83°；
（3）设AB与EF相交于点M，
∵∠B＝60°，∠F＝85°，
∴∠BMF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，
∴∠AME＝∠BMF＝35°，
由（1）得：∠E＝∠AME+∠D，
∵∠E＝60°，
∴∠D＝∠E﹣∠AME＝60°﹣35°＝25°，
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行公理与推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
42．【发现】如图1，直线AB，CD被直线EF所截，EM平分∠AEF，FM平分∠CFE．若∠AEM＝55°，∠CFM＝35°，试判断AB与CD平行吗？并说明理由；
【探究】如图2，若直线AB∥CD，点M在直线AB，CD之间，点E，F分别在直线AB，CD上，∠EMF＝90°，P是MF上一点，且EM平分∠AEP．若∠CFM＝60°，则∠AEP的度数为 60° ；
【延伸】若直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在直线AB，CD之间，且在直线EF的左侧，P是折线E﹣M﹣F上的一个动点，∠EMF＝90°保持不变，移动点P，使EM平分∠AEP或FM平分∠CFP．设∠CFP＝α，∠AEP＝β，请直接写出α与β之间的数量关系．
【分析】[发现]根据角平分线的定义分别求出∠AEF，∠CFE，可得∠AEF+∠CFE＝180°，即可判定平行；
[探究]过M作MN∥AB，根据平行公理可得AB∥CD∥MN，利用两直线平行，内错角相等推出∠EMF＝∠AEM+∠CFM＝90°，再根据∠CFM＝60°求出∠AEM＝30°，最后根据角平分线的定义求出∠AEP；
[延伸]分EM平分∠AEP，FM平分∠CFP，两种情况，结合[探究]中的结论，结合角平分线的定义可得结果．
【解答】解：[发现]平行，理由是：
∵∠AEM＝55°，EM平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEM＝110°，
∵∠CFM＝35°，FM平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFM＝70°，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD；
[探究]如图，过M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MN，
∴∠AEM＝∠NME，∠CFM＝∠NMF＝60°，
∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM＝90°，
∵∠NMF＝60°，
∴∠AEM＝∠EMN＝30°，
∵EM平分∠AEP，
∴∠AEP＝2∠AEM＝60°；
[延伸]如图，若EM平分∠AEP，
∴∠AEM＝∠PEM＝，
同上可得：∠M＝∠AEM+∠CFM＝90°，
∴∠CFP＝90°﹣∠AEM，
∴α＝90°﹣，即；
若FM平分∠CFP，
∴∠CFM＝∠PFM＝∠CFP＝，
同上可得：∠M＝∠AEM+∠CFM＝90°，
∴β+；
综上：α与β之间的数量关系为α+或．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意作出相关的辅助线，运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的位置关系根据平行线的性质从而判断角之间的大小关系，同时注意运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
43．已知AB∥CD．
（1）如图（1）如果EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，请说明∠G＝∠H的理由；
（2）如图（2）如果∠AEG＝∠HFD，试探索∠G与∠H仍然相等吗？为什么？
（3）如图（3）如果∠EGH＝90°，请直接写出∠AEG，∠H与∠HFD之间的关系．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答；
（3）根据平行线的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∵EG平分∠AEF，FH平分∠EFD，
∴∠GEF＝∠HFE，
设GH、EF相交于M，则∠GME＝∠HMF，
∴∠G＝∠H；
（2）解：∠G＝∠H，理由如下：
连接EF，由（1）可知∠AEF＝∠EFD，
若∠AEG＝∠HFD，
则：∠GEF＝∠HFE，
∵∠GME＝∠HMF，
∴∠G＝∠H；
（3）解：∠H+∠AEG＝∠HFD+90°，理由如下：
连接EF，由（1）可知∠AEF＝∠EFD，
若∠EGH＝90°，
则：∠H+∠AEG＝∠HFD+90°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
44．（1）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由；
（2）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为40°，现放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底，则MN与水平线的夹角∠MOC的度数＝ 65 °．
（3）如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，∠DCF＝80°，射线AB绕A点以2度/秒顺时针转动，同时射线CD绕C点以3度/秒的速度逆时针转动，设时间为t，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
【分析】（1）根据∠1＝∠2，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行；
（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角+反射光线与镜面的夹角+40°+90°＝180°，从而求出夹角，然后求出对应的角；
（3）通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用t来表示，然后求出t值．
【解答】解：（1）如图，延长入射光线a，与直线相交得到∠5和∠6，
证明：∵∠1＝∠2，
∴m∥n，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠4，∠5＝∠6，
∴∠4＝∠6，
∴a∥b；
（2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠MOA＝∠NOB，
∵∠AOC＝40°，∠BOC＝90°，
∴∠MOA+∠AOC+∠BOC+∠NOB＝180°，
∴∠MOA＝25°，
∴∠MOC＝25°+40°＝65°，
故答案为：65°；
（3）
∠FCD1＝∠DCD1﹣∠DCF＝3t﹣80°，
∠FAB1＝∠FAB﹣∠BAB1＝110°﹣2t，
∵当AB1∥CD1时，
∴∠FCD1＝∠FAB1，
∴3t﹣80°＝110°﹣2t，
∴t＝38，
∠ECD2＝∠DCF+180°﹣3t＝260°﹣3t，
∠FAB2＝2t﹣∠BAF＝2t﹣110°，
∵AB2∥CD2，
∴∠ECD2＝∠FAB2，
∴260°﹣3t＝2t﹣110°，
∴t＝74，
∠EAB3＝110°+180°﹣2t＝290°﹣2t，
∠ECD3＝3t﹣80°﹣180°＝3t﹣260°，
∵AB3∥CD3，
∴∠ECD3＝∠EAB3，
∴290°﹣2t＝3t﹣260°，
∴t＝110，
∠FAB4＝360°﹣2t+110°＝470°﹣2t，
∠ECD4＝3t﹣360°+180°﹣80°＝3t﹣260°，
∵AB4∥CD4，
∴∠ECD4＝∠FAB4，
∴470°﹣2t＝3t﹣260°，
∴t＝146．
【点评】本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度．
45．如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
（1）比较两条线路的长短：粗线① ＝ 细线②；（填“＞”、“＜”或“＝”）
（2）如果这段路程长4.7千米，小丽坐出租车从体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，小丽身上有10元钱，够不够坐出租车从体育馆到少年宫呢？说明理由．
【分析】（1）根据图形的平移可得BC＝AD+EF+HG，AC＝DE+FG+BH，由此即可得；
（2）根据出租车的收费标准可得刚开始的3千米收费7元，剩下的1.7米按每千米1.7元收费，据此求出打车的总费用，由此即可得．
【解答】解：（1）由图形的平移得：BC＝AD+EF+HG，AC＝DE+FG+BH，
∵粗线①的长度为BC+AC，
细线②的长度为（AD+EF+HG）+（DE+FG+BH）＝BC+AC，
∴粗线①＝细线②，
故答案为：＝．
（2）够坐出租车从体育馆到少年宫，理由如下：
由题意得：小丽打车的总费用为7+（4.7﹣3）×1.7＝9.89（元），
因为10＞9.89，
所以小丽身上的钱够坐出租车从体育馆到少年宫．
【点评】本题考查了图形的平移、有理数的四则运算的应用，熟练掌握图形的平移是解题关键．
46．已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点，
（1）问题提出：如图1，∠A＝120°，∠C＝130°．求∠APC的度数；
（2）问题迁移：如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题应用：如图3，∠EAH：∠HAB＝1：3，∠ECH＝20°，∠DCH＝60°，求的值．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，由平行线的性质可得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，即可求出∠APC；
（2）过点P作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质可得∠APC＝∠A﹣∠C；
（3）过点E作EM∥AB，过点H作HN∥AB，易得EM∥CD，HN∥CD，根据平行线的性质可得∠CEA＝∠BAE﹣∠DCE，∠CHA＝∠BAH﹣∠DCH，再由已知等量代换，即可求得的值．
【解答】解：（1）如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
∵∠A＝120°，
∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°．
∵∠C＝130°，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；
（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：
如图2，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ＝180°﹣∠A，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＝180°﹣∠C，
∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，
∴∠APC＝180°﹣∠C﹣（180°﹣∠A）＝∠A﹣∠C；
（3）如图3，过点E作EM∥AB，过点H作HN∥AB，
∵AB∥CD，∴EM∥CD，HN∥CD，
∴∠CEA＝∠CEM﹣∠AEM＝180°﹣∠DCE﹣（180°﹣∠BAE）＝∠BAE﹣∠DCE，
∠CHA＝∠CHN﹣∠AHN＝180°﹣∠DCH﹣（180°﹣∠BAH）＝∠BAH﹣∠DCH，
∵∠EAH：∠HAB＝1：3，∠ECH＝20°，∠DCH＝60°，
∴∠CEA＝∠BAE﹣∠DCE＝4∠EAH﹣80°，∠CHA＝∠BAH﹣∠DCH＝3∠EAH﹣60°，
∴．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键．
47．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤45）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边BG∥HK时t的值．
​
【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明∠GBC＝∠DCN＝30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN＝∠KRN构建方程即可解决问题．如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据∠GBN+∠KRM＝180°构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°；
（2）①如图②中，
∵BG∥CD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴4t＝30，
∴t＝7.5s，
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为7.5s；
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R，
∵BG∥KR，
∴∠GBN＝∠KRN，
∵∠QEK＝60°+3t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+3t）＝30°﹣3t，
∴4t＝30°﹣3t，
∴t＝4.5s；
如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R，
∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
∵∠QEK＝60°+3t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝120°﹣（180°﹣60°﹣3t）＝3t，
∴4t+3t＝180°，
∴t＝s．
综上所述，满足条件的t的值为4.5s或s．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．
48．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°．判断AB，CD是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来：
【基础巩固】
（1）条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由．
【尝试探究】
（2）小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，若∠2＝22°，求∠1的度数．
【拓展提高】
（3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，试说明∠1+2∠2＝90°．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD＝180°，结合根据角平分线的定义得到的∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，即可证明∠1+∠2＝90°；
（2）先求出∠ACD，再由两直线平行，同旁内角互补，求出∠BAC，在根据角平分线的定义求出∠1的度数即可；
（3）先证明∠ACD＝2∠2，∠BAC＝∠CAP+∠1＝90°+∠1，再结合∠BAC+∠ACD＝180°，即可证明∠1+2∠2＝90°．
【解答】解：（1）认同，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，
∴2∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；
（2）∵CP⊥AC，
∴∠2+∠ACD＝90°，
∵∠2＝22°，
∴∠ACD＝90°﹣∠2＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACD＝112°，
∵AP平分∠BAC，
∴，
∴∠1＝56°；
（3）∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠CAP＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
又∵∠BAC＝∠CAP+∠1＝90°+∠1，
∴90°+∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+2∠2＝90°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键．
49．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒6度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤30）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒4度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），请直接写出当边BG∥HK时t的值．
【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题；
（2）①首先证明∠GBC＝∠DCN＝30°，由此构建方程即可解决问题；
②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN＝∠KRN构建方程即可解决问题．如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据∠GBN+∠KRM＝180°构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°；
（2）①如图②中，
∵BG∥CD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴6t＝30，
∴t＝5s．
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为5s；
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R，
∵BG∥KR，
∴∠GBN＝∠KRN，
∵∠QEK＝60°+4t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+4t）＝30°﹣4t，
∴6t＝30°﹣4t，
∴t＝3s；
如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．
∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
∵∠QEK＝60°+4t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝120°﹣（180°﹣60°﹣4t）＝4t，
∴6t+4t＝210°，
∴t＝21s，
综上所述，满足条件的t的值为3s或21s．
【点评】本题考查考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
50．（1）探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连接PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH＝∠AGP+∠CHP；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠GPH＝α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数．
【分析】（1）先作出辅助线，然后利用两直线平行，内错角相等可得：∠AGP＝∠GPE和∠CHP＝∠HPE，即可证出结论；
（2）根据题意作出辅助线，然后利用两直线平行，内错角相等可得：∠AGP＝∠MPG和∠CHP＝∠MPH，根据图象可知：∠GPH＝∠MPG﹣∠MPH，即可得：∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP；
（3）先作出辅助线，根据平行线的性质可推出：∠NPG＝∠PGB，∠OQG＝∠QGB，∠NPH＝∠PHD，∠OQH＝∠QHD，然后推出∠GPH＝∠PHD﹣∠PGB，∠GQH＝∠QHD﹣∠QGB，再根据角平线的定义可得出：∠QGB＝∠PGB，∠QHD＝∠PHD，即可求出∠GQH＝∠GPH＝α．
【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，如图所示：
∴∠AGP＝∠GPE，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠CHP＝∠HPE，
∵∠GPH＝∠GPE+∠HPE，
∴∠GPH＝∠AGP+∠CHP；
（2）∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP，理由如下：
过点P作PM∥AB，如图所示：
∴∠AGP＝∠MPG，
∵AB∥CD，
∴AB∥PM∥CD，
∴∠CHP＝∠MPH，
∵∠GPH＝∠MPG﹣∠MPH，
∴∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP；
（3）过点P作PN∥AB，过点Q作OQ∥AB，如图：
∴∠NPG＝∠PGB，∠OQG＝∠QGB，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD∥OQ∥CD∥AB，
∴∠NPH＝∠PHD，∠OQH＝∠QHD，
∵∠GPH＝∠NPH﹣∠NPG，∠GQH＝∠OQH﹣∠OQD，
∴∠GPH＝∠PHD﹣∠PGB，∠GQH＝∠QHD﹣∠QGB，
∵GQ平分∠PGB，HQ平分∠PHD，
∴，，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行线性质的综合应用，解题关键所示在于：一是辅助线做法，二是根据不同图形利用不同的性质去解决问题．
51．汉江是长江的最大支流，在历史上占居重要地位，常与长江、淮河、黄河并列，舍称“江海河汉”．每年汛期来临之时，汉江防汛指挥部都会在一危险地带两岸各安置一组探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BQ顺时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，已知灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带汉江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝30°，转动时间是t秒．
（1）当t＝ 25 秒时，灯A射线第一次平分∠BAM，此时灯A射线记为射线AT，当t＝ 55 秒时，灯A射线第一次与射线AT垂直；
（2）若两灯同时转动，t＝90秒时，两束光线所在直线的位置关系是 平行 ；（填“平行”或“垂直”）
（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BP之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行．
【分析】（1）先根据题意和角平分线的定义求出，再求出转动时间即可；先求出∠MAC＝75°+90°＝165°，再求出转动时间即可；
（2）先算出两个灯旋转90秒后旋转的角度，判断出90秒后A、B两灯发出的射线与MN、PQ的关系，再利用平行线的判定和性质进行判断即可；
（3）设A灯转动时间为x秒，根据A灯转动时间，分三种情况进行讨论，分别列出方程，求出结果即可．
【解答】解：（1）∵∠BAN＝30°，
∴∠BAM＝180°﹣30°＝150°，
∵AT平分∠BAM，
∴，
∴此时灯A转动时间为：75÷3＝25（秒）；
∵AC⊥AT，
∴∠TAC＝90°，
∴∠MAC＝75°+90°＝165°，
∴此时灯A转动时间为：165÷3＝55（秒）；
故答案为：25；55．
（2）两灯同时转动，t＝90秒时，A灯转动的角度为：90×3°＝270°，B灯转动的角度为：90×1°＝90°，
∵270°﹣180°＝90°，
∴此时A灯发出的射线AC⊥MN，B灯发出的射线BD⊥PQ，
∴∠CAN＝∠DBP＝90°，
∵PQ∥MN，
∴∠CEB＝∠CAN＝90°，
∴∠CEB＝∠DBP＝90°，
∴AC∥BD，
即t＝90秒时，两束光线所在直线的位置关系是平行；
故答案为：平行．
（3）解：设A灯转动x秒后，两灯光束互相平行；
①当0＜x≤60时，根据题意得：
3x＝（30+x）×1，
解得：x＝15；
②当60＜x≤120时，根据题意得：
3x﹣3×60+（30+x）×1＝180，
解得：x＝82.5；
③当120＜x≤150时，根据题意得：
3x﹣120×3＝（x+30）×1，
解得：x＝195＞150（不合题意）；
综上分析可知，当A灯转动15秒或82.5秒，两灯的光束互相平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质和一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，用方程思想解决几何问题．
52．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ 60° ；
（2）如图2，
①若灯B射线先转动15s，灯A射线才开始转动，灯A射线与PQ交于点M′，灯B射线与MN交于点P′，在灯A射线到达AN之前，设灯A转动t秒，则∠MAM′＝ （2t）° ，∠PBP′＝ （30+t）° ；（用含t的式子表示）
②若灯B射线先转动15s，灯A射线才开始转动，灯A射线与PQ交于点M′，灯B射线与MN交于点P′，在灯B射线到达BQ之前，设灯A转动t秒，当AM′∥BP'，求t的值．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
​
【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；
（2）①根据路程＝速度×时间即可求出；②若AM′∥BP'，则∠M′AB＝∠P′BA，又QP∥MN，所以∠PBA＝∠MAB，所以∠M′AM＝∠PBP′，进而求解；
（3）设灯A射线转动时间为t秒，根据∠BAC＝2t﹣120°，∠BCD＝120°﹣∠BCD＝t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，据此可得∠BAC和∠BCD关系不会变化．
【解答】解：（1）如图1：
∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°×＝60°，
故答案为：60°；
（2）如图2：
①设灯A转动t秒（0＜t＜90），
则∠MAM'＝（2t）°，∠PBP'＝（15+t）°，
故答案为：（2t）°，（15+t）°；
②若AM′∥BP'，
则∠M′AB＝∠P′BA，
又∵QP∥MN，
∴∠PBA＝∠MAB，
∴∠PBA﹣∠P′BA＝∠MAB﹣∠M′AB，
∴∠M′AM＝∠PBP′，
∴2t＝15+t，
∴t＝15；
（3）如图3：
不发生变化，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：
设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
53．【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2．
（1）【初步应用】如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ 100° ，∠3＝ 90° ．
（2）【猜想验证】由（1），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3＝ 90° 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．
（3）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝α°，镜面AB、BC的夹角∠B＝120°，已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数．（可用含有α的代数式表示）
【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得∠1＝∠4＝50°，再利用平角的定义得∠5＝80°，然后利用平行线的性质计算出∠2＝100°，则∠6＝40°，再利用三角形内角和定理计算∠3；
（2）当∠3＝90°时，根据三角形内角和定理得∠4+∠6＝90°，则2∠4+2∠6＝180°，利用平角的定义得到∠2+∠5＝180°，然后根据平行线的判定得到m∥n；
（3）分两种情况画图讨论：①当n＝3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH内角和，可得∠BCD＝90°+α°；②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则∠BCD＝90°，与题意不符；则只能在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G＝∠BCD﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的结论可得∠BCD＝150°．
【解答】解：（1）如图2，
∵入射角与反射角相等，即∠1＝∠4＝50°，∠5＝∠6，
又∵∠7＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°，m∥n，
∴∠2＝180°﹣∠7＝100°，
∴∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
∵三角形内角和为180°，
∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°；
故答案为：100°，90°；
（2）由（1）可得当两平面镜a、b的夹角∠3＝90°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．
理由：∵∠3＝90°，
∴∠4+∠5＝90°．
又由题意知∠1＝∠4，∠5＝∠6，
∴∠2+∠7＝180°﹣（∠5+∠6）+180°﹣（∠1+∠4）＝360°﹣2∠4﹣2∠5＝360°﹣2（∠4+∠5）＝180°．
由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．
故答案为：90°；
（3）90°+α°或150°．
理由如下：①当n＝3时，如图3：
∵∠BEG＝∠1＝α°，
∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝180°﹣120°﹣α°＝60°﹣α°，
∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2α°，
∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣α°）＝60°+2α°，
∵EF∥HK，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，
∴∠GHK＝360°﹣（180°﹣2α°）﹣（60°+2α°）＝120°，
∴∠GHC＝30°，
由△GCH内角和得∠BCD＝180°﹣∠GHC﹣∠CGH＝180°﹣30°﹣（60°﹣α°）＝90°+α°；
②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则∠B＝90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图4所示：
∵∠GBC＝180°﹣ABC＝60°，
∴∠G＝∠BCD﹣∠GBC＝∠BCD﹣60°，
由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G＝∠BCD﹣60°＝90°，
则∠BCD＝150°．
综上所述：∠BCD的度数为90°+α°或150°．
【点评】本题考查了平行线的性质、列代数式，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用．
54．如图，直线FG∥直线HK，一块三角板的顶点A在直线HK上，边BC、AC分别交直线FG于D、E两点．∠BAC＝60°，∠B＝90°，∠C＝30°．
（1）如图1，∠BAH＝40°，则：
①∠FDB＝ 50 °；
②若∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，则∠I＝ 15 °．
（2）如图2．点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，若∠I＝35°，求∠FDB的度数；
（3）如图3，若∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，∠I＝ °．（用含n的式子表示）．
【分析】（1）过点B作BN∥FG，得∠FDB+∠BAH＝90°，①由∠BAH＝40°求∠FDB；
②由角平分线的定义求∠IDG和∠IAK，记AI与直线FG交于点M，由△DMI的外角性质求∠I；
（2）设∠FDB＝α，利用（1）中的思路用含有α的式子表示角，根据∠I的大小列出关于α的方程，解方程求出∠FDB的大小；
（3）根据比例关系和（2）中思路表示出∠I．
【解答】解：（1）①如图，过点B作BN∥FG，则BN∥HK，
∴∠FDB＝∠DBN，∠BAH＝∠ABN，
∴∠FDB+∠HAB＝∠DBA＝90°，
∵∠BAH＝40°，
∴∠FDB＝50°，
故答案为：50；
②记AI与直线FG的交点为M，
∵∠FDB＝50°，
∴∠CDG＝∠FDB＝50°，
∵∠BAH＝40°，∠BAC＝60°，
∴∠CAK＝80°，
∵∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I，
∴∠IDG＝25°，∠IAK＝40°，
∵FG∥HK，
∴∠DMA＝∠IAK＝40°，
∵∠DMA是△DMI的外角，
∴∠I＝∠DMG﹣∠IDG＝40°﹣25°＝15°，
故答案为：15；
（2）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，
∵∠BAC＝60°，
∴∠CAK＝α+30°，
∵点I在∠EDC的平分线上，连接AI，且∠CAI：∠KAI＝1：3，
∴∠IDG＝，∠IAK＝（α+30°），
∵FG∥HK，
∴∠DMA＝∠IAK＝（α+30°），
∵∠I＝35°，
∴35°+＝（α+30°），
∴α＝50°，
故∠FDB的度数为50°．
（3）设∠FDB＝∠CDG＝α，则∠BAH＝90°﹣α，∠CAK＝α+30°，
∵∠CDI：∠GDI＝1：n，∠CAI：∠KAI＝1：n，
∴∠IDG＝，∠IAK＝，
∵FG∥HK，
∴∠DMA＝∠IAK＝，
∴∠I＝∠DMA﹣∠IDG＝﹣＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义和三角形的外角性质，正确理解并应用角平分线的定义和n等分线的定义是解决本题的关键．
55．如图1，已知两条直线AB、CD被直线EF所截，分别交于点E、点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由；
（2）点G是射线MD上一动点（不与点M、F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①如图2，若β＝40°，求α的度数；
②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEM＝∠FEM，根据∠FEM＝∠FME，可得∠AEM＝∠FME，进而得出AB∥CD；
（2）①依据平行线的性质可得∠AEG＝130°，再根据EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH＝∠AEG＝65°，再根据HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°；
②分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，α＝．当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
【解答】解：（1）∵EM平分∠AEF
∴∠AEM＝∠FEM，
又∵∠FEM＝∠FME，
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，∵AB∥CD，β＝40°
∴∠AEG＝140°，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝70°，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣70°＝20°，
即α＝20°；
②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论：
如图2，当点G在点F的右侧时，α＝．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝180°﹣β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠AEG＝（180°﹣β），
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°﹣（180°﹣β）＝，
即α＝；
如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°﹣．
证明：∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGF＝β，
又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF
∴∠HEF＝∠FEG，∠MEF＝∠AEF，
∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF
＝（∠AEF﹣∠FEG）
＝∠AEG
＝β，
又∵HN⊥ME，
∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH，
即α＝90°﹣．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．
56．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点．
（1）如图①，求证：∠AEB＝∠DAE+∠CBE；
（2）如图②，若AE平分∠DAC，∠CAB＝∠CBA．
①请动动你聪明的头脑，你会发现：∠ABE+∠AEB＝ 90 °；
②如图③，若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，与AE交于点P，且∠F＝55°，求∠D的度数．
​
【分析】（1）过E作EF∥AD，根据AD∥BC可得出EF∥BC，故可得出∠DAE＝∠EAF，∠CBE＝∠BEF，由此可得出结论；
（2）①根据AD∥BC可知∠DAC＝∠ACB．再由AE平分∠DAC得出∠EAC＝∠DAC＝∠ACB，根据∠ABC＝∠BAC，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°即可得出结论；
②由①知∠BAE＝90°，故∠FAE＝90°．再由三角形外角的性质得出∠APC＝90°+65°＝155°．根据三角形内角和定理得出∠PAC+∠ACP＝25°．由AE平分∠DAC，CF平分∠ACD及三角形内角和定理得出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：如图①，过E作EF∥AD，
∵AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠DAE＝∠AEF，∠CBE＝∠BEF，
∴∠AEB＝∠DAE+∠CBE；
（2）解：①：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵AE平分∠DAC，
∴∠EAC＝∠DAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝∠BAC，∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠EAC＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°．
故答案为：90；
②如图（3），由①知∠BAE＝90°，
∴∠FAE＝90°．
∵∠F＝55°，
∴∠APC＝90°+55°＝145°．
∴∠PAC+∠ACP＝35°．
∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACD，
∴∠DAC+∠ACD＝2（∠PAC+∠ACP）＝50°，
∴∠D＝180°﹣70°＝110°．
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠D＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平分线的性质、三角形内角和定理等知识，难度适中．
57．已知直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．点P是直线AB上的动点（不与E重合），连接PF，平分∠PEF和∠PFC的直线交于点H．
（1）如图1，点P在射线EB上．若∠EFD＝90°，∠EPF＝40°，求∠EHF的度数．
（2）如图2，点P在射线EA上．若∠EFD＝120°，求∠EPF与∠EHF的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据图形1，由平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理计算即可；
（2）根据平行线的性质，角平分线的定义和三角形的内角和定理得出∠EPF与∠EHF的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠EFD＝90°，∠EPF＝40°，AB∥CD，
∴∠PEF＝∠CFE＝90°，∠PFD＝∠EPF＝40°，
∴∠PFC＝180°﹣∠PFD＝140°，
∵EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC，
∴∠FEM＝∠PEF＝45°，∠CFH＝∠PFC＝70°，
∴∠EFH＝∠CFE﹣∠CFH＝20°，
∵∠FEM＝∠EFH+∠EHF，
∴∠EHF＝∠FEM﹣∠EFH＝45°﹣20°＝25°．
（2）如图所示：
∠EPF与∠EHF的数量关系是∠EHF＝∠EPF+60°，证明如下：
∵AB∥CD，
∴∠PEF＝∠EFD＝120°，∠EPF＝∠PFC，
∵EM、FH分别平分∠PEF、∠PFC，
∴∠FEM＝∠PEF＝60°，∠CFH＝∠PFC，
∴∠CFH＝∠EPF，
∵∠EFM＝180°﹣∠EFD＝60°，
∴∠FMH＝180°﹣∠FEM﹣∠EFM＝60°，
∵∠EHF＝∠CFH+∠FMH，
∴∠EHF＝∠EPF+60°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．
58．如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
​
（1）如图1，若∠E＝100°，求∠BFD的度数；
（2）如图2，若BM，DM分别平分∠ABF与∠CDF，写出∠M与∠BED之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠ABF＝n∠ABM，∠CDF＝n∠CDM，设∠E＝m，直接写出用含m，n的代数式表示∠M＝ ．
【分析】（1）根据角平分线定义得：∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由AB∥CD得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，再根据四边形的内角和可得结论；
（2）设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝x，∠EBF＝2x，∠FDM＝y，∠EDF＝2y，根据（1）和四边形内角和得等式可得结论；
（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点E做EN∥AB，
∵BF、DF分别是∠ABE和∠CDE的平分线，
∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE+∠BEN＝180°，
∵AB∥CD，AB∥NE，
∴NE∥CD，
∴∠CDE+∠NED＝180°，
∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∵∠E＝100°，
∴∠ABE+∠CDE＝260°，
∴∠EBF+∠EDF＝130°，
∴∠BFD＝360°﹣100°﹣130°＝130°；
（2）结论：∠E+4∠M＝360°，理由是：
∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝2x，∠FDM＝2y，∠EDF＝2y，
由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴3x+3y+∠E＝360°，
∠E＝360﹣3x﹣3y，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴3x+3y+∠E＝∠M+2x+2y+∠E，
∴∠M＝x+y，
∴∠E+4∠M＝360°；
（3）结论：∠M＝；
理由：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，
由（1）可得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝360°，
∴x+y＝，
∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，
∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，
∴∠M＝；
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．
59．如图①，直线l1∥l1，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
（1）如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的大小；
（2）猜想：如图①，若点P在线段CD上移动，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；
（3）探究：如图②，若点P不在线段CD上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质和∠PAC＝15°，∠PBD＝40°即可得∠APB的大小．
（2）如图①所示：结合猜想即可得出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
（3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点P在DC延长线上时或当点P在CD延长线上时，结合探究过程即可写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系
【解答】解：（1）如图①，过点P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，
∴∠APB的大小为55度，
故答案为：55；
（2）如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：
∵l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD，
∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD；
（3）∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下：
如图，当点P在射线CE上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB，
∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB；
当点P在射线DF上时，
过点P作PG∥l1，
∴l1∥l2∥PG，
∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD，
∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG，
∴∠PAC＝∠APB+∠PBD，
综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握好平行线的性质是解本题的关键是．
60．如图1，直线GH与直线l1，l2分别交于B，A两点，点C在直线l2上，射线AD平分∠BAC交直线l1于点E，∠GBE＝2∠BAE．
（1）请直接写出直线l1与l2的位置关系是 l1∥l2 ；
（2）如图2，点P是线段AB上一点，射线EP交直线l2于点F，∠GBE＝130°．
①若∠EFC＝40°，请求出∠FEA的度数；
②点N在射线AD上，且满足∠EBN＝∠EFC，连接BN，请补全图形，探究∠BNA与∠FEA满足的等量关系，并证明．
【分析】（1）根据角平分线的定义，可得∠BAC＝2∠BAE，即可证明∠GBE＝∠BAC，则l1∥l2；
（2）①由已知条件和平角的定义得到∠BAE＝65°，∠ABE＝50°，有平行线的性质得到∠BAF＝∠ABE＝50°，再利用三角形内角和定理求解即可；②分当点N在线段AE上时，当点N在射线DE上时，利用平行线的性质得到∠BEF＝∠EFC，再根据三角形内角和定理进行证明即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵∠GBE＝2∠BAE，
∴∠GBE＝∠BAC，
∴l1∥l2；
（2）解：①∵∠GBE＝130°，
∴，∠ABE＝180°﹣∠GBE＝50°，
∵l1∥l2，
∴∠BAF＝∠ABE＝50°，
∴∠EAF＝∠BAF+∠BAF＝115°，
∴∠AEF＝180°﹣∠EFC﹣∠EAF＝25°；
②∠BNA+∠FEA＝130°或∠BNA＝∠FEA，理由如下：
当点N在线段AE上时，如图所示，
同理可得∠FAE＝115°，
∴∠EAC＝65°，
∵l1∥l2，
∴∠BEF＝∠EFC；
∵∠EBN+∠BEN+∠BNE＝180°，∠BNE+∠BNA＝180°，
∴∠EBN+∠BEF+∠FEA＝∠BNA，
∵∠EBN＝∠EFC，
∴2∠EFC+∠FEA＝∠BNA，
∴130°﹣2∠FEA+∠FEA＝∠BNA，
∴∠BNA+∠FEA＝130°；
当点N在射线DE上时，如图所示，
同理可得∠BEF＝∠EFC，∠NBE+∠BNA＝∠BEA，
∴∠BNA+∠EFC＝∠EFC+∠FEA，
∴∠BNA＝∠FEA；
综上所述，∠BNA+∠FEA＝130°或∠BNA＝∠FEA．