浙江省宁波市鄞州区大部分学校2023-2024学年七年级上学期期末联考数学试题(含解析)

这是一份浙江省宁波市鄞州区大部分学校2023-2024学年七年级上学期期末联考数学试题(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试题
温馨提醒：试卷满分100分，考试时间90分钟，考试期间不使用计算器．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．减的差不大于，用不等式表示为（ ）
A．B．C．D．
3．若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是（ ）
A．18B．15C．12D．10
4．已知中，，则的形状为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
5．能说明命题“对于任意实数a，都有”是假命题的反例是（ ）
A．B．C．D．
6．已知点在第二象限，它到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，，分别以点，为圆心、大于为半径画圆弧，两弧相交于点、，作直线分别交于点、，连结、．在下列结论中：①；②；③；④，一定正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知为直线上不相同的两个点，以下判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，直线与轴负半轴交于点，以为边构造等边三角形；过作交直线于点，以为边构造等边三角形，…按此规律进行下去，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．点关于轴对称的点的坐标为 ．
12．将直线向上平移5个单位长度，得到的直线对应的函数解析式为 ．
13．如图，点在线段上，且，添加一个条件使得，则这个条件可以是 ．
14．一辆汽车加满油后，油箱中有汽油55升，汽车行驶时正常的耗油量为每千米0.1升，则加满油后，油箱中剩余的汽油量y（升）关于已行驶的里程的函数解析式为 ．
15．如图，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
16．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ．
三、解答题（第17-20题各6分，第21-22题各8分，第23题12分，共52分）
17．解不等式组，并把解表示在数轴上．
18．如图是由边长为1的小正方形拼成的网格图，请按要求画图：
(1)在图1中画一个钝角的等腰三角形，要求顶点C是格点；
(2)在图2中画一个等腰直角三角形，要求顶点D是格点；
19．如图，，点在边上，，与相交于点．
(1)求证：
(2)若，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
(2)若点P是y轴上一点，且，求点P的坐标．
21．2023年杭州亚运会期间，吉祥物徽章受到了众多人的喜爱．某网店直接从工厂购进A款礼盒120盒，B款礼盒50盒，两款礼盒全部售完．两款礼盒的进货价和销售价如下表：
(1)求该网店销售这两款礼盒所获得的总利润．
(2)网店计划用第一次所获的销售利润再次去购买、两款礼盒共80盒．该如何设计进货方案，使网店获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？
22．已知甲，乙两地相距km，一辆轿车从甲地出发前往乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地．一辆货车与轿车同时出发，以km/h的速度沿同一条公路从乙地前往甲地，途经服务区时货车停车装货耗时分钟．待装货完毕，货车立即调整车速继续匀速前往甲地，最后与轿车同时到达甲地．如图是两车离乙地的距离(km)与货车行驶时间(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)轿车的速度是______km/h，______；
(2)在图中补全货车行驶过程的函数图象．
(3)在装货完毕后，货车与轿车何时相距km？
23．【基础练习】
（1）如图1，在等腰中，平分交于点D，于点E，求的长．
【类比探究】
（2）如图2，是的角平分线，，点E在上，．求证：．
【拓展延伸】
（3）如图3，点P是等边外一点，连结，恰好满足，平分交于点D，线段之间有什么关系？请作出猜测并进行证明．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】A．不是轴对称图形，不符合题意，
B．是轴对称图形，符合题意，
C．不是轴对称图形，不符合题意，
D．不是轴对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：设这个三角形的第三边是，周长是，
，
，
，
，
∴该三角形的周长可能是15．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理：三角形的内角和为是解决问题的关键．
【详解】解：，
是钝角三角形．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查命题与定理，举反例说明命题旧假命题，非负数的性质：偶次方，关键是掌握任何数的偶次方都大于或等于0．
由时，，即可得到答案．
【详解】解：∵当时，，
∴能说明命题“对于任意实数a，都有”是假命题的反例是．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，根据题意，点在第二象限，它到轴的距离为2，到轴的距离为3，即可得到答案，熟记点的坐标的几何意义是解决问题的关键．
【详解】解：点在第二象限，它到轴的距离为2，到轴的距离为3，
点的坐标是，
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．
【详解】解：直线过点，
，
，
，
如图所示：关于的不等式的解是：．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
，，
，
，故①④正确，
无法判断，，故②③错误．
故选：B．
9．B
【分析】将两个点代入一次函数解析式可得，再判断即可．
【详解】解：将A、B两点坐标分别代入直线方程，得：
，
∴，
∴．
∵A、B两点不相同，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
10．D
【分析】由直线可知，点，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，，，结论可得．
【详解】解：∵直线与轴负半轴交于点，
∴，
∴，
是等边三角形，
过作轴，如图所示：
垂直平分，即，
，进而由勾股定理可得，
∴，
当时，，解得，
∴，
在等边中，同理可得；
当时，，解得，
∴，
在等边中，同理可得；
按照以上求解过程，可得，，，
∴的横坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标的特征，等边三角形的性质，含的直角三角形性质，勾股定理，特殊图形点的坐标的规律，本题是规律探索型，准确找到坐标的变化规律是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，由此即可得出答案，熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平移法则：上加下减，左加右减，即可得出答案，熟练掌握一次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：将直线向上平移5个单位长度，得到的直线对应的函数解析式为，
故答案为：．
13．或
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解决问题，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】解：根据判断，可以添加；
根据判断，可以添加；
综上所述：添加一个条件使得，则这个条件可以是或，
故答案为：或．
14．
【分析】本题考查函数关系式，根据题意得到变量之间的数量关系是解题的关键．
【详解】解：汽车耗油量为每千米升，
行驶km耗油升，
加满油后，油箱中剩余的汽油量．
故答案为：．
15．
【分析】连接，过作，如图所示，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，则，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，则，
∵将纸片沿折叠，点落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键．
【详解】解：如图，
在直角中，由勾股定理得，
，
，
将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
17．，数轴上表示见解析
【分析】本题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
．
把解表示在数轴上如图所示：
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征及等腰三角形的判定，勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）根据网格线的特征及等腰三角形的判断作图；
（2）根据网格线的特征、勾股定理及等腰直角三角形的判断作图．
【详解】（1）解：如图所示，点C即为所求；

∵，
∴
∵
∴为钝角等腰三角形．
（2）解：如图所示，点D即为所求；

∵，
∴，
∵
∴
∴为等腰直角三角形．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
（1）根据全等三角形的判定即可判断；
（2）由（1）可知：，，根据等腰三角形的性质即可知的度数，从而可求出的度数
【详解】（1）证明：和相交于点，
在和中，
，
．
又，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，，
，
．
20．(1)
(2)或
【分析】本题考查的是一次函数交点的坐标的特征，用待定系数法可对解析式进行求解．计算面积时，要注意到点坐标的数值可作为三角形的一条高．
（1）将点代入可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）由可求得的坐标，即可利用三角形面积求得，根据得到，解得，进而即可求得的坐标．
【详解】（1）解：将点代入，
，
，
，
设一次函数的解析式为，
将、 代入一次函数的解析式得：
，解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：令，则，
，
，
，
，
，即，
，
点的坐标为或．
21．(1)第一次所获利润2200元
(2)当购进款勋章礼盒40盒，款勋章礼盒40盒时，网店获利最大，最大销售利润为920元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）根据总利润款礼盒利润款礼盒利润计算即可；
（2）设购进盒款礼盒，则购进盒款礼盒，网店所获利润为元，根据总利润款礼盒利润款礼盒利润列出函数解析式，并根据购买两种礼盒的费用，求出自变量的取值范围，然后由函数的性质求最值．
【详解】（1）解：（元），
答：该网店销售这两款礼盒所获得的总利润为2200元；
（2）解：设购进盒款礼盒，则购进盒款礼盒，网店所获利润为元，
根据题意得：，
又，
，
，
随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴该网店购进款礼盒和款礼盒各盒网店获得最大的销售利润，最大利润为元．
22．(1)，
(2)见解析
(3)当时间为h或h时两车相距km
【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
（1）根据速度路程时间可以求出轿车的速度，根据路程速度时间可以求出a的值；
（2）根据题意直接补充图象即可；
（3）利用待定系数法分别求出当时轿车和货车与的函数关系式，根据两车之间的距离列绝对值方程并求解即可．
【详解】（1）解：轿车的速度是（km/h），,
故答案为：；；
（2）解：补全货车行驶过程的函数图象如图：
（3）解：（h），
点的坐标为，
设货车在段与的函数关系式为（、为常数，且），
将，和，代入，
得，解得，
货车在段与的函数关系式为；
当时，设轿车与的函数关系式为（、为常数，且），
将，和，代入，
得，解得，
；
当时，设轿车与的函数关系式为（、为常数，且），
将，和，代入，
得，解得，
；
综上，轿车y与x的函数关系式为；
当时，当货车与轿车何时相距km时，，
经整理，得，即或，解得或（不符合题意，舍去）；
当时，当货车与轿车何时相距km时，，
经整理，得，即或，解得（符合题意，舍去）或；
综上，或，
∴在装货完毕后，货车与轿车在h或h时相距km．
23．（1）；（2）见解析；（3），理由见解析
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是关键．
（1）由勾股定理求得的长度，再证明，即可求解；
（2）证明，则易得，从而求证；
（3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可证明猜测成立．
【详解】（1）解：是等腰直角三角形，，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
（2）证明：是的角平分线，
．
，
．
．
，
，
，
．
（3）解：
证明如下：
在上找一点，使得．
是等边三角形，，
．
，
．
．
平分，
．
，
是等边三角形．
，
．
类别
进货价（元/盒）
30
25
销售价（元/盒）
45
33