浙江省宁波市鄞州区其他部分学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省宁波市鄞州区其他部分学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合；
B、是轴对称图形，故本选项符合；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2. 在平面直角坐标系中，点(一6，5)位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．
【详解】解：∵所给点的横坐标是-6为负数，纵坐标是5为正数，
∴点（-6，5）在第二象限，
故选B．
【点睛】本题考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第二象限．
3. 下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A. 2cm，3cm，4cmB. 1cm，2cm，3cmC. 3cm，4cm，5cmD. 4cm，5cm，6cm
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【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【详解】A．，能构成三角形，不合题意；
B．，不能构成三角形，符合题意；
C．，能构成三角形，不合题意；
D．，能构成三角形，不合题意．
故选B．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题关键在于看较小的两个数的和能否大于第三个数．
4. 若a＞b，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. ﹣2a＜﹣2bB. am＜bmC. a﹣3＞b﹣3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质：（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，对各选项分析判断即可得解．
【详解】A．不等式a＞b的两边都乘−2可得−2a＜−2b，原变形正确，故本选项不符合题意；
B．a＞b，当m＞0时，am＞bm，所以原结论不一定成立，故本选项符合题意；
C．不等式a＞b的两边都减去3可得a−3＞b−3，原变形正确，故本选项不符合题意；
D．不等式a＞b的两边都乘可得，两边都加上1可得，原变形正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质．
5. 如图，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 那么，最省事的方法是（ ）
A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①去和带②去
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：A、保留了两个角和它们的夹边，能确定三角形的形状和大小，符合要求；
B、不能确定三角形的形状和大小，不符合要求；
C、仅保留了三角形的一个角，不能确定三角形的形状和大小，不符合要求；
D、带①去和带②去，可以确定三角形的形状和大小，但是不是最省事的办法，不符合要求；
故选：A．
6. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 一个三角形中至少有两个锐角
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 同角的余角相等
D. 一个角的补角大于这个角本身
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形内角和判断A；由直线的性质判断B；由余角的定义判断C；由补角的定义判断D.
【详解】ABC均为真命题，D选项如果这个角为锐角，则补角大于这个角本身，如果这个角为钝角，则补角小于这个角本身，故答案选择：D.
【点睛】本题考查了三角形、余角和补角的相关性质，属于基础知识，比较简单.
7. 如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】如图，过点D作于E，
，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
8. 如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系．
根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可．
【详解】∵是中点，
∴，
∵是中点，
∴，，
∴
，
∴，
故选：C．
9. 已知点，在函数（b为常数）的图象上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把x=﹣1、1.7分别代入y=﹣9x+b中计算出对应的函数值，然后比较函数值的大小．
详解】当x=﹣1时，y1=﹣9x+b=9+b；当x=1.7时，y2=﹣9x+b=﹣15.3+b，
所以y1＞y2．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与图像可能是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数的图像有四种情况：
①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. “x的2倍与3的差是非负数．”用不等式表示为：______．
【答案】2x-3≥0
【解析】
【分析】先表示出x的2倍与3的差为2x-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x-3≥0．
【详解】解：由题意得：2x-3≥0．
故答案为2x-3≥0．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，要抓住题目中的关键词“非负数”正确选择不等号．
12. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，即等边对等角，找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
【详解】解：∵等腰三角形底角相等，
∴，
∴顶角为．
故答案为：．
13. 点A(-2，3)关于y轴对称的点的坐标为 _____．
【答案】(2，3)
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点的特征：横变纵不变计算即可；
【详解】∵点A(-2，3)，
∴关于y轴对称的点的坐标为(2，3)；
故答案是(2，3)；
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，准确计算是解题的关键．
14. 如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移______米．
【答案】
【解析】
【分析】在直角三角形中，已知,根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度．
【详解】解；在直角中，已知, ,
则,
,
在直角中，，且为斜边，
,
梯足向外移动了．
故填．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．
15. 某批电子产品进价为300元/件，售价为400元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于20%，则最多可降价___元．
【答案】40
【解析】
【分析】设降价x元，利用单件利润率不低于20%列出不等式，求解即可．．
【详解】解：设降价x元，则利润率为，
∴列得不等式：，
解得：
∴最多可降价40元．
故答案为：40．
【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意列出不等式是解题的关键．
16. 如图，中，，，点D是BC的中点，连接BD，M，N分别是上的动点，已知，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据最短路径，将关于对称至，则最小值为垂线段的值．
【详解】根据等腰三角形性质，及BD是底边的中线，线段BC与线段AB关于直线BD对称，
将关于对称至，则点落在线段BC上，过C作于点F，
M，N分别是上的动点，
最小值为垂线段的值．
，
，，
则，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查最短路径，含30度角直角三角形的性质，解题关键是找准对称轴对称，然后将线段和的最小值转换成垂线段的长度．
三、计算题：本大题共1题，共6分．
17. 解不等式组：
【答案】．
【解析】
【分析】分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．
【详解】解：由①得，
，
．
由②得，
，
．
∴原不等式组的解集是．
【点睛】本小题考查一元一次不等式组的解法等基础知识，解题的关键是熟知不等式的性质．
四、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1向左平移3个单位后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出顶点A2的坐标．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析，顶点A2的坐标为（-3，-1）
【解析】
【分析】（1）根据轴对称的性质得到点A1、B1、C1，顺次连线即可得到△A1B1C1；
（2）根据平移的性质作图并得到点A2的坐标．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图，△A2B2C2即为所求，顶点A2的坐标为（-3，-1）．
．
【点睛】此题考查了作图：轴对称作图及平移作图，以及点的坐标，正确掌握轴对称的性质及平移的性质是解题的关键．
19. 已知与成正比例，当时，．
（1）求与之间函数表达式．
（2）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可．
（2）根据（1）代入即可即解答．
【小问1详解】
解：与成正比例，
设．
时，，
，
，
，
与之间的函数表达式为．
【小问2详解】
当时，，
．
20. 已知和，AB=AD，，，AD与BC交与点P，点C在DE上．
（1）求证：BC=DE
（2）若，，
①求的度数
②求证：CP=CE
【答案】（1）见解析；（2）②70°；②见解析
【解析】
【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC≌△ADE即可得到BC=DE；
（2）①先根据外角的性质求出∠BAP，进而求出∠CAE，然后根据等腰三角形的性质求解即可；
②根据“AAS”证明△ACP≌△ACE即可得到CP=CE；
【详解】解：（1）∵，
∴，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中
，
∴△ABC≌△ADE（ASA），
∴BC=DE；
（2）①∵，，
∴∠BAD=70°-30°=40°，
∴∠CAE=∠BAD=40°．
∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，
∴∠E=∠ACE=；
②∵，∠E=∠ACE =70°，
∴∠APC=∠E=∠ACE =70°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACP=∠E =70°，
∴∠APC=∠E=∠ACE =∠ACP =70°．
在△ACP和△ACE中
，
∴△ACP≌△ACE（AAS），
∴CP=CE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21. 随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．
（1）求A模型和B模型的单价．
（2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】（1）56元，103元；
（2）购买A模型15个，B模型5个，费用最少，该方案所需的费用为元．
【解析】
【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A模型m个，则购买B模型（20-m）个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【小问1详解】
解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元．
【小问2详解】
设购买A模型m个，则购买B模型个，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
22. 甲、乙两车都从地前往地，如图分别表示甲、乙两车离地的距离千米与时间分钟的函数关系已知甲车出发分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向地，最终甲、乙两车同时到达地，根据图中提供的信息解答下列问题；
（1）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？
（2）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？
【答案】（1）乙车出发分钟后第一次与甲车相遇
（2）甲车中途因故障停止行驶的时间为分钟
【解析】
【分析】本题考查了从图象中获取信息，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答
（1）设乙车离A地的距离S与时间的函数解析式为：，利用待定系数法求出乙函数解析式，再令求出相应的t的值，然后求解即可
（2）求出甲继续行驶的时间，然后用总时间减去停止前后的时间，列式计算即可解答
【小问1详解】
解：设乙车离A地的距离S与时间的函数解析式为：，
将点代入得：，
解得，，
所以，，
当时，解得，
甲车出发分钟后乙车才出发，
分钟，乙车出发分钟后第一次与甲车相遇；
【小问2详解】
分钟，
分钟，
甲车中途因故障停止行驶的时间为分钟
23. 在中，BC=AC，∠BCA=90°，P为直线AC上一点，过点A作AD⊥BP于点D，交直线BC于点Q．
（1）如图1，当P在线段AC上时，求证：BP=AQ；
（2）如图2，当P在线段CA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？ （填“成立”或“不成立”）
（3）在（2）的条件下，当∠DBA= 时，存在AQ=2BD，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）成立，理由见解析；
（3）当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）首先根据内角和定理得出∠DAP=∠CBP，进而得出ACQ≌BCP即可得出答案；
（2）延长BA交PQ于H，由于 得到 推出AQC≌BPC(ASA)，即可得出结论；
（3）当时，存在根据等腰三角形的性质得到BP=2BD，通过PBC≌QAC，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在ACQ和BCP中
∵
∴ACQ≌BCP（ASA），
∴BP=AQ；
【小问2详解】
成立，理由如下：
延长BA交PQ于H，
∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠PBC，
在AQC和BPC中，
∴AQC≌BPC(ASA)，
∴AQ=BP，
故答案为：成立；
【小问3详解】
解：当∠DBA=22.5°时，存在AQ=2BD，理由如下：
∵∠BAC=∠DBA+∠APB=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
∵PBC≌QAC，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
故答案为：22.5°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握利用ASA证明全等是解题的关键．