专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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【典例讲解】
Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为_______．
【详解】分两种情况考虑：
当∠ABC=60°时，如图所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°．
又∵∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°．
又∵∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形．
又∵BC=4，∴PB=4．当∠ABC=30°时，
（i）当P在A的右边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°．
又∠B=30°，BC=4，
∴，即 ．
（ii）当P在A的左边时，如图所示：
∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°．
又∠B=30°，∴∠BCP=∠B．∴CP=BP．
在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2．
根据勾股定理得：，
∴AP=AB－PB=－PB．
在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（－PB）2=BP2，
解得：BP=．
综上所述，BP的长为4或或．
【综合演练】
1．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A．B．＋1C．D．＋1
【答案】C
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD＋CD＝BC，
∴AD＋AD＝1＋．
即AD＝1．
∴S△ABC＝×BC×AD
＝（1＋）．
故选：C．
【点睛】本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决.
2．如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】以为斜边向外作等腰直角三角形，得，当在同一直线上时，取得最小值. 在中，利用正弦函数即可求得答案.
【详解】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形，
∵
∴
∴当在同一直线上时，
取得最小值.
在中，，，，
∴
∴.
故选：B
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到是解题的关键.
3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，再根据补角的定义求出∠DAC的度数，由锐角三角函数的定义可求出CD的长，再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积．
【详解】
解：延长BA，过C作CD⊥BA的延长线于点D，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAC=180°-120°=60°，
∵AC=20m，
∴CD=AC•sin60°=20×=10（m），
∴S△ABC=AB•CD=×30×10=150（m2）．
故选B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．如图，，，AC＝10，则的面积是（ ）
A．42B．43C．44D．45
【答案】A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度．
【详解】过点A作AD⊥BC于点D，
∵sinC＝ ，
∴AD＝AC•sinC＝6，
∴由勾股定理可知：BC＝8，
∵csB＝ ，
∴∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝14，
∴△ABC的面积为BC•AD＝×6×14＝42．
故选A．
【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度.
5．如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：如图，连接AE，
在正六边形中，∠F=×（6﹣2）•180°=120°．
∵AF=EF，∴∠AEF=∠EAF=（180°﹣120°）=30°．∴∠AEP=120°﹣30°=90°．
∴AE=2×2cs30°=2×2×．
∵点P是ED的中点，∴EP=×2=1．
在Rt△AEP中，．
故选C．
6．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 __．
【答案】220
【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积．
【详解】解：如图：
过点作的垂线，垂足为点．
，
设，，
，
可设，，
，
，
，
由，得，
则
故．
故答案是：220
【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键．
7．△ABC中，AB＝4，AC＝5，△ABC的面积为5，那么∠A的度数是_________．
【答案】60°或120°##120°或60°
【分析】首先根据已知条件可以画出相应的图形，根据AC=5，可以求出AC边上的高，再根据∠A的三角函数值可得∠A的度数，注意需要分情况讨论．
【详解】解：当∠A是锐角时，
如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在中，sinA＝＝＝，
∴∠A＝60°．
当∠A是钝角时，
如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于D，
∵AC＝5，△ABC的面积为5，
∴BD＝5×2÷5＝2，
在Rt△ABD中，sin∠BAD＝sinA＝＝＝，
∴∠BAD＝60°．
∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°．
故答案为60°或120°．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是画出合适的图形，作出相应的辅助线．
8．如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________．
【答案】
【分析】如图，延长BC，AD交于E，解直角三角形分别求出AE、DE、CE、BC的长，再运用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，延长BC，AD交于E，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴BC=BE-CE=，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，理解题意、明确思路、正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则S△ABC＝__．
【答案】
【分析】如图，过点C作CD⊥AB于点D．通过解直角△ACD求得CD、AD的长度，通过解直角△BCD求得BD的长度；则易求AB＝AD＋BD；然后由三角形面积公式进行解答．
【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在直角△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴AD＝AC•cs30°＝2×＝3，CD＝AC＝．
∵在直角△BCD中，∠B＝45°，CD＝，
∴BD＝CD＝，
∴AB＝AD＋BD＝3＋，
∴S△ABC＝AB•CD＝×（3＋）×＝．
故答案是：．
【点睛】本题考查了解直角三角形．对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．进而求面积，在转化时，尽量不要破坏所给条件．
10．如图，在中，，，，，垂足为，的平分线交于点，则的长为__________．
【答案】．
【分析】由图象可得两个直角三角形,分别为45°等腰直角三角形和30°直角三角形,先在Rt△ADC中算出AD,再Rt△ADB中,算出BD,根据角平分线的性质可得Rt△EBD为30°特殊直角三角形,再求出DE,即可求出AE的长.
【详解】解：∵，
∴.
在中，，，
∴，
∴
在中，，，
∴
∵平分，
∴.
在中，，，
∴
∴
【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.
11．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号）
【答案】
【分析】过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解.
【详解】如解图，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴.
∵在中，，，
∴.
∵，，
∴（平方米）.
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，AB的长___________．
【答案】5
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3，
在Rt△BCD中，tanB＝，
∴，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5.
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
13．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是__.
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题．
【详解】解：如图，作BH⊥AC于H．
∵等腰直角△ABC的面积为16,
∴BA=BC=，
∵BA=BC=，∠ABC=90°，BH⊥AC，
,
在Rt△BDH中，
∵∠BHD=90°，∠BDC =30°，
,
,
.
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即csC=），则AC边上的中线长是_____________．
【答案】或
【详解】解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，csC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•csC
∴BE=；
②△ABC为钝角三角形时，如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，csC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•csC
∴BE=．
综上可知AC边上的中线长是或．
15．在中，，，为锐角且．
(1)求的面积；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出；
（3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值．
（1）
解：过点作，垂足为，
∴，
∵为锐角且，
∴，
∴，
∴，
∴，
在，
∵，，
∴，
∵，
∴．
∴的面积为．
（2）
∵，，
∴，
在中，
．
∴的值为．
（3）
在中，，，
∴．
∴的值为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？
【答案】10.5
【分析】作AD⊥BC，根据csC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在RtΔACD中，， AC＝5，
∴CD=ACcsC＝5=4．
∴由勾股定理得：AD＝＝3．
∵sinB＝，
∴∠B＝45°．
∴∠BAD＝∠B＝45°．
∴BD＝AD＝3．
∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形．
17．已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分别是边BC、AB上的一点，若tan∠DEA＝2，DE＝，S△DEB＝4，求四边形ACDE的面积．
【答案】．
【分析】作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延长线于M．由题意易知tan∠DBH＝＝＝，可以假设CN＝2k，BN＝5k，则BC＝k，再根据tan∠A＝＝构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，作DH⊥AB于H，CN⊥AB于N，BM⊥AC交AC的延长线于M．
在Rt△DHE中，∵tan∠DEH＝＝2，DE＝，
∴DH＝2，EH＝1，
∵S△DEB＝•EB•DH，
∴4＝×EB×2，
∴EB＝4，BH＝5，
∵tan∠DBH＝＝＝，
∴可以假设CN＝2k，BN＝5k，则BC＝k，
∵∠ACB＝135°，
∴∠MCB＝45°，
∴CM＝BM＝×＝k，
∵tan∠A＝＝，
∴＝，
解得：k＝或﹣（舍弃），
∴AB＝AN+BN＝，
∴S四边形ACDE＝S△ABC﹣S△DEB
＝
＝．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，∠BAD＝45°，AC＝3，AB＝，求BD的长．
【答案】BD的长是5．
【分析】过D作DE⊥AB于点E，设DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△BDE中分别表示出tan∠ABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.
【详解】解：过D作DE⊥AB于点E，如图所示，
∵∠BAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴AE＝DE，
设DE＝a，则BE＝AB﹣AE＝﹣a，
∵AC＝3，AB＝，∠C＝90°，
∴BC=，
∴，
∴a=，
经检验，a=是上面方程的解.
∴DE=，BE=2
Rt△BED中，由勾股定理得：
BD2＝BE2+DE2=，
∴BD＝5.
【点睛】本题考查了三角函数的应用，通过在不同三角形中表示出同一个角的某个三角函数从而列出方程求解是解题关键，这种解法比用相似更简捷，要灵活运用.
19．如图，的角平分线，，、所对的边记为、.
（1）当时，求的值；
（2）求的面积（用含，的式子表示即可）；
（3）求证：，之和等于，之积.
【答案】（1）2；（2）；（3）详见解析.
【分析】（1）过点作于点，利用直角三角形30度角的性质可知BE长，得，即点E、点D重合，中线与高线重合，可知AB=AC，即；
（2）表示方法有两种，可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点，解直角三角形可得，，利用三角形面积公式可得
和的面积相加即可；可能情形2：过点作于点，解直角三角形可得，直接利用三角形面积公式求解即可；
（3）由（2）中面积的两种表示方法可直接证得结论.
【详解】解：（1）过点作于点
∵平分，∴.
在中，，.
∵，∴点与点重合，∴.
∴.
（2）答案不唯一.
可能情形1：过点作于点，过点作延长线于点
∵平分，∴.
∵在中，，，
在中，，
∴
.
可能情形2：过点作于点，用含的式子表示出，
于是.
（3）从上面两种面积表示方法，，可得，化简得，即，之和等于，之积.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练利用直角三角形中的特殊角与边的关系求线段长是解题的关键.
20．如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，∠EBC=45°，BE=6，CD=，求∠DCB的度数．
【答案】∠DCB=30°.
【分析】首先利用sin45°=求出BC的度数，进而利用cs∠DCB=求出∠DCB的度数.
【详解】在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∠EBC=45°．
∴BC=BE÷sin45°=
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，
cs∠DCB==
∴∠DCB=30°.